11.1.1不等式及其解集（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.1 不 等 式 11.1.1 不等式及其解集 第十一章 不等式与不等式组 人教版2024·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 理解不等式的概念，能准确识别不等式；掌握不等式的解、解集、解不等式的含义，会判断一个数是否为不等式的解；能用不等式表示简单的不等关系，能熟练在数轴上表示不等式的解集. 经历从实际问题中抽象出不等式模型的过程，提升观察、分析、归纳数学概念的能力；通过类比方程的解学习不等式的解与解集，体会类比思想；借助数轴表示解集，感受数形结合的数学思想. 感受不等式在现实生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；激发探究数学知识的兴趣，培养严谨的数学思维和规范的解题习惯. 章前引言 例如，当两家超市推出不同的优惠方案时，到哪家超市购物花费较少? 数量有大小之分，它们之间有相等关系，也有不等关系.现实世界中存在大量涉及不等关系的问题. 本章我们将从什么是不等式说起，类比等式和方程，探究不等式的性质，学习一元一次不等式(组)及其解法，并利用不等式的知识解决一些问题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要作用. 这个问题就蕴含了不等关系，对于这样的问题，常常要分析问题中的数量关系，找到其中的不等关系，列出相应的数学式子--不等式(组)，并通过解不等式(组)得出结论. 章前引言 这样的思路与利用方程(组)研究相等关系问题的思路是类似的. 01 等式 用等号“=”表示数量之间相等关系的式子。 2 + 3 = 5 a + b = b + a 02 方程 含有未知数的等式。 方程一定是等式，但等式不一定是方程。 2x + 1 = 5 x – 3y = 0 同学们，我们已经学习了用等号来表示数量之间的相等关系。大家还记得什么是等式，什么是方程吗？ 知识回顾 现实生活中，数量之间存在着相等关系和不等关系. 谁高谁矮？ 谁重谁轻？ 谁大谁小？ 导入新课 我们将学习一种新的工具，来表示数量之间不相等的关系。 导入新课 一辆匀速行驶的汽车在6:00距离A地210km，要在8:00准时驶过A地，车速应满足什么条件？ 2h 分析： 设车速是 x km/h. 从时间上： 从路程上： 行驶 210 km 所用的时间刚好 2 h. 行驶 2 h 的路程要刚好 210 km. 等量关系 方程 准时 可列方程： 新知探究 探究点1 不等式概念 议一议 一辆匀速行驶的汽车在6:00距离A地210km，要在8:00之前驶过A地，车速应满足什么条件？ 2h 分析： 设车速是 x km/h. 从时间上： 从路程上： 行驶 210 km 所用的时间 不到 2 h. 行驶 2 h 的路程要超过 210 km. 之前 不等量关系 方程 不到 可列关系式： 不是等式 新知探究 探究点1 不等式概念 议一议 用不等号（ ＞、≥、＜、≤或≠ ）表示不等关系的式子称为不等式. (2)说一说不等式定义 (1)下面这些式子的共同特征是什么？ ＜2 2x＞210 3x+2 ≥ 5 x-1 ≠ 0 y ≤ 4 表示大小关系的符号连结 表示大小关系 符号 名称 实际意义 (3)表示不等关系有哪些情形？ ＞ ＜ ≠ ≥ ≤ 大于号 小于号 不等于号 大于等于号 小于等于号 大于， 超出 小于， 不足 不相等 至少 不小于， 不低于， 至多 不大于， 不超过， 1. 3x + 2 = 8 ❌ 否 这是一个等式 2. 5y - 1 > 9 ✅ 是 用了“>”不等号 3. a² + 1 ≥ 0 ✅ 是 用了“≥”不等号 4. 7 < 9 ✅ 是 数字间的不等关系 5. x + y ❌ 否 这是一个代数式 6. m - 3 ≠ 2 ✅ 是 用了“≠”不等号 (4)说一说下列式子哪些是不等式 新知探究 探究点1 不等式概念 议一议 新知探究 探究点2 不等式的解 议一议 当不等式中的字母表示未知数时，需要求出未知数应取哪些值使得不等关系成立 当x=90时，，不等式不成立； 当x=110时，，不等式成立. （1）问题：求出满足条件的车速的值是多少？ 表示车的行驶速度，未知数 （2）你还能找到其他让不等关系成立的x的值？ 例如 当x=120时，，不等式成立； 当x=115时，，不等式成立； 不等式的解 x … 85 90 95 100 105 106 110 150 300 … … … … … 170 180 190 200 210 212 220 300 600 否 否 否 否 否 是 是 是 是 2x 2x ＞ 210的解 新知探究 探究点2 不等式的解 议一议 不等式的解：使不等式成立的未知数的值 （3） 对比方程的解 说说什么是不等式的解 方程的解：使方程两边相等的未知数的值 （4）请完成下表，不等式2x＞210 的解唯一吗？ 解有（ ） 个. 无数 新知探究 探究点3 不等式的解集 议一议 （5）不等式2x>210的解有什么共同特点？ x … 85 90 95 100 105 106 110 150 300 … … … … … 170 180 190 200 210 212 220 300 600 否 否 否 否 否 是 是 是 是 2x 2x ＞ 210的解 2x = 210的解是105 2x>210的解都比105大 2x ＞ 210 2x=210 2x ＜ 210 x＞105 解集 （6）不等式的解集. 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. x＜105 解集 求不等式解集的过程，叫做解不等式 新知探究 探究点3 不等式的解集 议一议 不等式的解 不等式的解集 区别 定义 使不等式成立的未知数的值 使不等式成立的所有未知数的值 特点 个体 全体 形式 x=a x＞a（ x＜a ） x ≥ a （ x≤ a ） 联系 所有的解组成解集，解集包含所有的解 （7）说一说不等式的解与不等式的解集的区别与联系 注意：不等式的解集表示的是未知数的取值范围 方法（二）：用数轴表示不等式的解集 新知探究 探究点3 不等式的解集 归一归 为了更直观地表示以上这两个解集，可以用数轴表示不等式的解集 不等式的解集的表示方法 方法（一）：用不等式表示 主要形式 x ≤ a x ＞ a x ≥ a x ＜ a 2x ＞ 210 x ＞ 105 0 105 大于向右，小于向左. 一、画数轴； 二、定边界点；边界点即不等式解集中所表示的那个数在数轴上的位置。三、定方向，大于向右，小于向左 空心圆圈表示不等式的解集不包含此处点所代表的数 新知探究 探究点3 不等式的解集 议一议 试一试 在数轴上表示不等式 x≤2 的解集. 2 0 用数轴表示不等式的解集的步骤： 第一步：画数轴； 第二步：找界点； 第三步：定方向； 第四步：确定界点空心还是实心. （大于向右画，小于向左画） （>，< ， ≠画空心圆圈） 实心圆点表示不等式的解集包含此处点所代表的数 典例分析 例1用不等式表示下列不等关系： (1) a与15 的和大于27; (2)b的一半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333猕猴桃、种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. 解 (1) ； (2)； (3)设这个县原有猕猴桃种植面积为x， 由题意得： ， 也可以表示为：. 找关键词 选不等号 列不等式 典例分析 例2．根据下列的数量关系，列出不等式 (1)x与1的和是正数 (2)x除以2的商加上2，大于5 （1）解：由题意得： （2）解：由题意得：. 新知巩固 （1）a是正数； （2） 5与x的和小于7； （3）-4与m的积大于8； （4）m与1的差小于m的3倍； （5）经检测，某公园的环境噪声在 50dB（分贝）以下； （6）某市有公交车12000辆，其中新能源公交车所占比例超过66%. 1.用不等式表示下列不等关系： （1）a>0 （4） m-1＜3m （5） p＜50 （p为该公园的环境噪声） （2） 5+x<7 （3） -4m＞8 （6） （q为新能源公交车数量） 【教材P123 练习 】 解： 新知巩固 －4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12 2.下列数中哪些是不等式 x＋3＞6的解？哪些不是？ 解：3.2，4.8，8，12是不等式x+3>6的解，其余不是. 解集为: x>3. （1）x＋3＞6； （2）2x＜8； （3）x－2＞0. 3.直接说出下列不等式的解集，用数轴把它们表示出来 0 4 0 3 0 2 解集为:x>2. 解集为:x < 4. 【教材P123 练习 】 拓展提升 1.设n为正整数，且，则n的值为 ． 解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 7 真题感知 1.(2025.五河校考)不等式，的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C D． 解：不等式在数轴上表示方向向右，𝟐用空心圈，选项𝑩符合要求 B 真题感知 2.(2025怀宁校考.)根据下列的数量关系，列出不等式 (1)y的2倍与1的和大于3 (2)c与4的和的大于 (3)a与b的和的平方小于3 （1）解：由题意得： （2）解：由题意得： （3）解：由题意得： 本节课学习了三个核心概念： 不等式、不等式的解、不等式的解集； 掌握了两种技能：用不等式表示不等关系、在数轴上表示不等式的解集； 明确了不等式解集的两种表示形式：代数式表示和数轴表示. 课堂小结 知识 总 结 学习不等式知识可类比方程的相关知识，降低理解难度； 研究不等式解集时，运用数形结合思想，借助数轴让抽象知识直观化； 分析实际问题时，抓住“大于、小于、不超过、非负数”等关键词，准确列出不等式. 课堂小结 方法 总 结 （1）区分不等式的解（单个数值）与解集（所有解的集合），避免概念混淆. （2）数轴表示解集时，注意空心圆圈（不包含该点）和实心圆点（包含该点）的用法. （3）列不等式时，准确理解“不大于”“不小于”“非负数”等关键词的含义，避免符号用错. 课堂小结 易错提醒 课后练习 1. 下列数中哪些是不等式 2x+3＞9的解？哪些不是？ -4，-2，0，3，3.01，4，6，100. 解：当x=-4时，2×(-4)+3＜9，-4不是； 当x=-2时，2×(-2)+3<9，-2不是； 当x=0时，2×0+3 <9，0不是； 当x=3时，2×3+3=9，3不是； 当x=3.01时，2×3.01+3>9，3.01是； 当x=4时，2×4+3>9，4是； 当x=6时，2×6+3>9，6是； 当x=100时，2×100+3>9，100是. 综上所述，3.01，4，6，100 是不等式 2x +3 >9 的解，其他不是. 习题11.1 教材P128 课后练习 2. 用不等式表示下列不等关系： （1）a 与 5 的和是正数； （2）b 与 12 的差大于-5； （3）c 的 4 倍大于或等于 8； （4）某市2021年空气质量为优良的天数比2017年的224天多出的天数超过了60. 解：（1） 5 + a > 0； （2） b – 12 > -5； （3） 4c ≥ 8； （4） x － 224 ＞ 60. 习题11.1 教材P128 课后练习 解：（1） x ＞ 4； （2）x ＜ -4； （3） x > 2.1；（4） 3. 直接写出下列不等式的解集： （1） x + 2 > 6； x － 2 ＞ 0.1； （2） 2x ＜ -8； -3x ＜ 10. （3） （4） 习题11.1 教材P128 课后练习 6. 陶器和瓷器被誉为“土与火的艺术”，陶瓷的制作工艺离不开人们对火焰的利用和温度的控制. 我国古代窑工根据火焰的不同色调，就可以推测窑内的大致温度，其对照情况如右表所示. 设窑内温度为 t ℃. （1）用不等式表示当火焰色调为“暗赤至樱桃红”时，窑内温度的范围； （2）烧制某瓷器时，窑内温度的范围是 1260≤t≤1310，窑内火焰的颜色是怎样的？ 火焰色调 温度t/℃ 最初赤红 475 最初赤红至暗赤 475~650 暗赤至樱桃红 650~750 樱桃红至鲜红 750~820 鲜红至橘黄 820~900 橘黄至黄色 900~1090 黄色至浅黄色 1090~1320 浅黄色至白色 1320~1540 灰白色 1540以上 解：（1）650 ≤ t ≤ 750 习题11.1 教材P128 （2）烧制某瓷器时，窑内温度的范围是 1260≤t≤1310，窑内火焰的颜色是黄色至浅黄色 谢谢聆听 $