专题05 数列（5大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学二模分类汇编

丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05数列 考点1 等差数列 2 3 4 5 6 7 8 B B A B B AB AD BC 9.1100 a52=a2a14 10.【详解】(1)设公差为d, 则S与=5a1+10d=25,即 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d) S5=5a1+10d=25 (a1=5∫a1=1 解得d=0或d=2，所以an=5或an=2n-1: (2)因为数列(an}为递增数列，an=2n-1,Sn=+2型=n2, 2 bn=(-1sn=(-1)”.n2, 所以T30=-12+22-32+42+.-392+402 =(2-1)·(1+2)+(4-3)·(3+4)+…+(40-39)·(39+40) =1+2+3+4+…+39+40=4040=820: 2 所以T40=820, 考点2 等比数列 1 2 3 4 B B ACD ABD 5.-日 6.【详解】(1)设{an}的公比为9，由a号=2a2a5知(a192)2=2(a19)(a194),g=, 由a1+2a2=1得a1+2:a1q=1,a1=专，an=寺 (2)证明：由题知ba=1og2V5=-赤， 所以1+bn-器=1-赤-杂=2西<0， 2n :1+bn<2: 1/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.【详解】(1)正方形ABCD的面积为1=4，故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的 , 设k是第k个正方形的面积，则{ak}是首项为4，公比为的等比数列， 所以=4×(3)1=(3)-， 因此b=k-k+1=(告)-2，故{bkJ的通项公式为bk=()-。 (2》南题意得Sn=+2+35+…+3a==8×[1-()], 1- 故当n→0∞时， (3)”→0，M=8 考点3 数列求和 1.C. 2.2646 3.【详解】(1)因为导=-2=3， a-1 a.-1 且a1-1=2-1=1, 所以数列{an一1}是以1为首项，3为公比的等比数列. (2)由(1)得，an-1=1×3r1→an=3-1+1. 所以bm=3r1+n+1. 所以Sn=(3°+1+1)+(32+2+1)+(32+3+1)+…+(3m1+n+1) =(3+32+32+…+3r1)+(1+2+3+…+n)+n =将++n=4n4 2 4.【详解】(1)因为aH1=2an+2,所以a#1十2=2(an+2), 又bn=an+2,所以b+1=2ba, 因为a1=2,所以b1=a1+2=4≠0， 结合以上递推关系可知，bn≠0，则会=2， 所以数列{bn}是以b1=a1十2=4为首项，2为公比的等比数列， 所以bn=4·2-1,所以数列{b}的通项公式为bn=2*1 (2)由(1)知bn=2*1, 由cn=g,4gp得cn=-+5=-, 2/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以Tn=克-青+青-寺+…十帝-=支-<支 因为得cn=+1+万>0，数列{Tn}为单调递增数列， 所以Tn之T1=专-青=， 所以君≤Tn<寺： 5.【详解】(1)由题意a1=2,at1=3an-2,故am1-1=3(an-1), a1=2,结合at1=3an-2可知{an}为递增数列，可得an-1≠0 故导=3，即数列{an-1}是公比为3的等比数列， (2)由(1)可得an-1=(a1-1)×31,即an=31+1, bn=nan=n.31+n 采用分组求和方式.设Pn为数列{n·31}的前n项和.Qn为数列{n}的前n项和. 则Pn=1×3°+2×32+……+n×3① 3Pn=1×32+,+(n-1)×3r1+n×3② ①-②可得： -2Pn=1×3°+1×32+…+1×3m1-n×3=g-n×3”=→-n-3n 1-3 即Pn=京+（号-）3， 又Qn=1+2+3+.+n=t 2 故sn=Pn+Qn=+(号-)3P+型 6.【详解】(1)当n≥2时，an-a-1=2n, 则an=2n+2(a-1)+…4+2=2×=n(n+1), 当n=1时，a1=2满足上式，an=n(n+1): 设等比数列{bn}的公比为9， 1[- 1- 则b2=6-2=4,3=正应=-9的 1-2_1+X1-2=1+q3=9, (1-q8 1-0 解得g=2,abn=b29r2=4×22=24. 2+3 2+3 1 (2)由(1)得cn=22+i2<2r-12+z=22m-(a+2 3/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 <c1+点-京+高-…+@- @+p=五-22<最. 7 （3》dn=2t出=2婴学+2n-1 b 先证2”>2n-1. 法一：当n=1时，2>1成立， 当n≥2时，2=c8+c+c哈+…+c片≥c9+c4+c品=1+n+9, 要证1+n+>2n-1,只需证n2-3n+4=(n-昌)2+子>0成立， :n∈N,a2-3n+4=(n-)2+子>0恒成立， .22>2n-1. 法二：当n=1时，2>1成立， 当n≥2时，设f(n)=2-2n+1,f(n+1)-f(n)=2-2>0, 则f()单调递增，·f(n)≥f(2)>0, 2>2n-1,0<2<1, 则[dn]=2n-1,Tn=+2=n2. 2 7.【详解】(1)依题意，当n=1时，2S1=2a1=a+a1,an>0,则a1=1; 当n≥2时，2Sn=a弱+an,2Sm-1=a品1+am-1,两式相减， 整理可得(an+am-1)(an-ar1-1)=0,又{an}为正项数列，故an-am1=1, 所以数列{an}是以a1=1为首项，d=1为公差的等差数列， 所以an=n, (2)证明：由(1)可知an=n,所以bn=2六，显然T1=b1=1<2, 当n≥2，则2”-1=2·2r1-1=2n-1+2r1-1>2r-1,即21<2÷， 此时7<1++…+六=1+空=2-声<2， 1-号 综上，Tn<2成立. 考点4 数列综合问题 1.ACD 2.ABD 3.ABD 4/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.【详解】(1)因为数列{an}各项均不为零，a1=1,2=青， 所以当t=1时，由an3n+1=(tan-3nt1)an#2→ann1=(an-n+1)n+2→3n2==, 所以有=器=斜=克4=器=料=-16=路==- 6=器=9--，=器==1， -1+ -+2 所以此时该数列的周期为6，因此a1十a2十…+a6=1+青+专-1-青-青=0， 所以{an}的前50项和为8×(a1十a2十…+a6)+a49十a50=8×0+a1十a2=1+寺=号： (2）由an+1=(tan-at1)at2→：=-毫， 因为a1=1,a2=青， 所以克=高-毫=3t-1→a3=3六， 因为an>a+1 所以2>a→青>点→青-点>0→号>0→t>导，或t<有， 因为t是正整数，所以t>3,即t=2,3,4,… 当t=2时，由=本-毫→=一京→十毫=， 所以数列{条}是以完=1为首项，公差为完-完=3-1=2的等差数列， 因此法=1+2(n-1)=2n-1→an=2点，所以at1=2+, 显然an>a+1恒成立，所以正整数t的最小值为2： 5.【详解】(1)设数列{an}的公比为9(q>0) 因为3a220,a3,3a2成等差数列，所以2a3=3a2十20， 即2g2-3g-20=0,解得q=4或-号（舍去）. 所以an=41 (2)由Tn=abm,得Tn=4bnT+1=4”bt1, 两式相减，得b1=T1-Tn=4bH1-41bn所以==气， 则腰-兰--计六>+六 4-1 4"-1 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点5 数列与概率/导数 1.【详解】(1)记附近居民第i(i=1,2)天选择路线AB分别为事件AB;, 依题意，P(A)=,P(B)=号，P(A2A)=P(B2A1)=,P(A2B1)=P(B2B1)=, 则由全概率公式，得居民第二天选择路线A散步的概率 P(A)=P(AP(AA)+P(B)P(A2B1)=青×支+号×=号： 记第二天选择路线A散步的人数为Y,则Y~B(4,号)， 则(y=0=()=,(y==C4()-员， Py=2=()(清)==品，Py=3)=()°=器. Py=4=()4=, 则Y的分布列为： 0 器 器 故Y的数学期望E(y)=4×号=号 (2)(i)当第n天选择路线A时，第n+1天选择路线A的概率PH1=Pn: 当第n天选择路线B时，第n十1天选择路线A的概率PH1=(1-P), 所以PH1=3Pn+(1-Pn=-Pn+(aeN) (i)由(i)知Pt1=-专Pn十(neN),则Pt1-是=-(Pn-),而P1=青， 于是数列{Pn-}是首项为P1-=言-=-是，公比为-寺的等比数列， 因此Pn-是=-告（-)1，即Pn=是-告(-)，Mn=品-4=4-4， 16 当≥2删，品=兰=奇<号=，而密=0< 所以器：+等+…+总<号： 当≥2脚六-器--生>-。 而0=0>子-星=-， 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以觉+学+…+必>骨-3导+京+京+…+)=号-(1-)>号-1， 所以星-1<0+0：+…+总<。 2.【详解】(1)（1)由题可知，X1的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知： P(X1=0)=青×号=号P(X1=1)=青×青+号×号=司：P(X1=2)=号×青=司， 故X1的分布列如下表： X1 0 1 2 P 29 5可 29 (2)由全概率公式可知： P(XH1=1) =P(Xn=1)·P(X+1=1|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xt1=1|Xn=2) +P(Xn=0)·P(XH1=1|Xn=0) =(待×青+号×号)P(Xn=1)+(号×1)P(Xm=2)+(1×号)P(Xn=0) =号P(Xn=1)+号P(Xn=2)+号P(Xn=0), 即：at1=哥an+号bn+号(1-an-bn), 所以at1=-青an十号， 所以aH1-寻=-(an-), 又a1=P(X1=1)=号， 所以，数列{an-}为以a1-是=-希为首项，以-青为公比的等比数列， 所以a-昌=-希·(-青)r=看(-)”， 即：an=是+号(-)” (3)由全概率公式可得： P(XH1=2) =P(Xn=1)·P(X+1=2Xn=1)+P(Xn=2)·P(X+1=2Xn=2) +P(Xn=0)·P(XH1=2|Xn=0) 7/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =(号×青)P(Xn=1)+(待×1)P(Xn=2)+0·P(Xn=0), 即：bH1=号an十bn 又an=目+月(-)” 所以b+1=bn+（是+(-)”)， 所以bt1-吉+(-)*1=新ba-言+(-青)门 又b1=P(X1=2)=, 所以b1-吉+吉×(-)=号-吉-希=0， 所以bn-吉+(-)”=0， 所bm=青-吉(-)” 所以E(Xn)=an+2bn+0(1-an-bn)=an+2bn=1. 3.【详解】(1)①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为1一京=，变道到1的概率为： 当前在车道1时，变道到0的概率为竞，留在1的概率为1一专=： 因此一步转移的概率矩阵为P= ②设事件Ao:n=0时刻车辆在车道0，A1:n=0时刻车辆在车道1，B1:n=1时刻车辆在车道 1, 己知P(A)=,P(A1)=,P(B1A)=寺，P(B1A)=支， P(BA)P(Ao) 持 由贝叶断公式P(4B1)=@西一x=号. (2)设an=P(Xn=0),，由全概率公式得递推关系 at1=P(Xm1=0)=an+（1-an)·支=an十支， 则a叶1-号=幸(an-号)，首项a0-号=是-号=品， 因此通项为：n=+最·()只 所以P(Xn=1)=1-an=青-品()。 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故Xn的分布列为 Xn 0 y 号+最()” 寺-品·()” 4.【详解11（京+方-动）=（货+）-2（生+）·动+7 =京十六+品-+x7 2 京+方+动+器器-篇京++动， 又x,y>0,限+京十师=+方-病， (2)由1)可得助=情+京十行=+责-扇， 故Sg=a1十a2十…十ag=9×克+克-青+支-音+青-青+…+青- =号+1+青-六-立=6-品=8； (3)Sn=a1+a2十…十an=号+1-青+号-京+青-言+…+清- =+1+-南一南=学-m<学， 又1-*品网=2答- 2+3 2+-1 (+1+2 4a#方>0， 故Sn=学+1-m>学， 2+3 故学<Sn<学，故品<京<品； 令f(x)=ln(x+1)-x(x≥0)，则f(x)=克-1=舜≤0， 故f(x)在(0，+∞)上单调递减，故f(x)=n(x+1)-x≤f(0)=0, 即ln(x+1)≤x对任意x≥0恒成立，则≥n(+1)=h(), 测病≥n好+h号+…+h(瑞)=h(得×号×…×瑞)=h(学)=h(号+1)， 又扇<京，做专>22南≥2咖（程+1）=1血（号+1）月 当n≥1时，(V6+Va-1)2=n+n-1+2Nn(n-<2n-1+2N反=4n-1 (n+1)2-(4n-1)=n2+2n+1-4n+1=n2-2n+2=(n-1)2+1>0, 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则(n+1)2>4n-1>(V+a-i)2,即有n+1>V+Va-i, 点<点焉是阿=6-h-, -- 2帝<F-6+巨-+…+a-a-i=a, 又<品，刚<帝=2南<26， 综上所运：可得h(号+1)2<支<2. 10/10 专题05 数列 5大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 考点04数列综合问题 考点05数列与概率/导数 等差数列 考点1 1．(2026·辽宁朝阳·二模)已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】记的公差为，由得. 故， 于是. 故选：B 2．（2026·黑龙江大庆·二检）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式可得公差，再利用等差数列前项和公式求解判断. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，则， 而，解得，则，， 由和，得，则， ，由，得数列单调递减，当时，， 则当时，，所以使得的的最小值为4051. 故选：B 3．（2026·内蒙古兴安盟·二模）记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 【答案】A 【详解】等差数列中，由，得，即，解得， 而，则公差，所以. 故选A. 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由，得，即，即，所以， 又，由等差数列的性质得，解得. 故选B. 5．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据已知及等差数列的通项公式列方程求基本量. 【详解】设公差为，则，解得. 故选：B 6．（2026·吉林白山·二模）（多选）已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（    ） A． B． C．最小 D． 【答案】AB 【分析】由题意可得，根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式计算，逐一判断选项即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为， 由，得，即，故A正确； 又，故B正确； 当，是单调递增数列，， 所以当时，当时，所以或最小； 当，是单调递减数列，， 所以当时，当时，所以或最大，故C错误； 又，因为,所以，故D错误. 故选：AB. 7．（2026·东北三省三校·二模）（多选）记为等差数列的前n项和，若，,则（   ） A． B．公差 C． D．若,则， 【答案】AD 【分析】先利用等差数列的性质求出​，再结合​求出公差，进而逐一分析选项. 【详解】设等差数列的公差为, 由，所以，故A正确； 由​，得，即， 又，所以，解得，故B错误； 由等差数列前项和公式得，故C错误； 对于，因为，所以​， 所以，故D正确. 故选AD. 8．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C．最小 D． 【答案】BC 【分析】利用等差数列前项和公式代入条件计算可得数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】因为是等差数列的前项和，的公差为，则，故， 所以，故数列是公差为的等差数列． 对于A选项，由题意可得，故，所以，A错； 对于B选项，，解得，B对； 对于C选项，由题意可得，解得， 所以， 故当时，取最小值，即最小，C对； 对于D选项，， 所以，D错． 故选BC. 9．（2026·吉林长春六中·二模）已知等差数列的前项和为，，，则__________． 【答案】1100 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，， 联立解得，， 所以，， 所以. 故答案为：1100. 10．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】根据条件先求出的通项公式，再求出的通项公式即可. 【详解】（1）设公差为，则，即 解得或 ，所以或； （2）因为数列为递增数列，，，， 所以 ； 所以. 等比数列 考点2 1．（2026·吉林G35联合体·二模）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设等比数列公比为，由，得，，. 由，得，即， 因，故，则. 故选B. 2．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为数列是等比数列， 若，则，与题设条件不符，所以； 当时，所以，即， 所以. 故选B. 3．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】应用等比数列通项公式计算判定A，B，应用计算判定C，应用等比数列求和公式计算判定D. 【详解】因为等比数列的公比为q，，， 则，所以，B选项错误； ，所以，A选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； ， 当为偶数时，单调递增，的最小值是， 当为奇数时，单调递减，所以， 综上，的最小值是，D选项正确； 故选ACD. 4．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（    ） A．成等比数列 B．成等差数列 C．成等比数列 D．成等差数列 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的性质，可判断A 的真假，根据条件，求等比数列的公比，结合等比数列的通项公式及前项和公式，可判断BCD的真假. 【详解】对A：因为数列为等比数列，可设首项为（），公比为（）， 则，所以，，成等比数列，故A正确； 对B：若等比数列的公比，则，，， 根据，，成等差数列，则，即 ， 这与矛盾，故不成立； 当时，由 . 所以， 两边同乘以得：，即， 所以，，成等差数列，故B正确； 对C：若，，成等比数列，则， 因为，所以：， 又，所以 ， 所以 ，所以，这与矛盾， 故，，不可能成等比数列，故C错误； 对D：因为，，两边同乘以，得， 可得，即， 所以，，成等差数列，故D正确. 故选：ABD 5．（2026·内蒙古包头·二模）已知数列的前n项和，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】由数列的递推公式可得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求得数列的通项公式，写出的表达式，分n为偶数和奇数两种情况求得的取值范围即可得解. 【详解】已知，令，则，解得， 当时，， 两式相减，得，即， 数列是首项为，公比为的等比数列， ，则，， 当n为偶数时，； 当n为奇数时，. ，即的最大值为. 故答案为： 6．（2026·吉林长春六中·二模）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等比数列基本量计算； （2）根据对数运算求得，由得证. 【详解】（1）设的公比为，由知，， 由得，. （2）证明：由题知， 所以， . 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正方形的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”，记第k个“环域”的面积为，初始正方形为第1个正方形. (1)求数列的通项公式； (2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M，求这个常数M的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设是第个正方形的面积，则可得是首项为4，公比为的等比数列，借助等比数列定义计算可得的通项公式，即可得数列的通项公式； （2）求出数列的前项和后，考虑时，的值即可得. 【详解】（1）正方形的面积为，故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的， 设是第个正方形的面积，则是首项为4，公比为的等比数列， 所以， 因此，故的通项公式为； （2）由题意得， 故当时，，∴. 数列求和 考点3 1．（2026·辽宁省名校协作体·二模）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 【答案】C 【分析】根据原数列可得，再结合取整函数的性质逐项求解并求和即可. 【详解】已知， 则，根据取整函数性质： 对任意整数，，因此. 由从到，依次计算得： 所以. 故选C. 2．（2026·黑龙江大庆·二检）已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 【答案】2646 【分析】由题意，结合，可得数列是首项和公差均为1的等差数列，从而求得，所以.进而求得.根据数列的特征可求出. 【详解】因为，所以前项和. 所以当时， 因为， 所以，可得， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列，所以，即. 当时，， 又满足上式，所以. 新数列中从到共有项. 当时，；当时，. 所以 . 故答案为：2646. 3．（2026·辽宁大连·二模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， . 所以. 所以 . 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，若数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的定义求证等比数列，再利用通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，再根据裂项相消求出，结合其单调性即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 因为，所以， 结合以上递推关系可知，，则， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以数列的通项公式为； （2）由（1）知， 由得， 所以 因为得，数列为单调递增数列， 所以， 所以. 5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件可得，结合等比数列的定义可证明结论； （2）结合（1）的结论可求出的表达式，即可得的表达式，利用分组求和以及错位相减法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，故， ，结合可知为递增数列，可得 故，即数列是公比为3的等比数列． （2）由（1）可得，即， 采用分组求和方式．设为数列的前项和．为数列的前项和． 则① ② ①-②可得： 即． 又． 故． 6．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数列满足，，，等比数列的前项和为，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：； (3)设，求数列的前项和（其中表示不超过的最大整数，如，）． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，结合累加法，即可得的通项公式；根据条件及等比数列的前n项和公式，代入数据，求出q值，即可得答案. （2）由（1）得的通项公式，利用放缩法，结合裂项相消求和法，即可得证. （3）求出的通项公式，先证明，可得，即可得的通项公式，根据等差数列的前n项和公式，即可得答案. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，满足上式，； 设等比数列的公比为q， 则，， 解得，． （2）由（1）得 . （3） 先证． 法一：当时，成立， 当时，， 要证，只需证成立， ，恒成立， ． 法二：当时，成立， 当时，设，， 则单调递增，， ，， 则， ． 7．（2026·辽宁省名校协作体·二模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【详解】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 数列综合问题 考点4 1．（2026·辽宁大连·二模）（多选）已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C． D．若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 【答案】ACD 【分析】根据递推关系判断A，根据首项可能为0判断B，根据分组求和判断C，解不等式可判断D. 【详解】由可得，两式相减得，故A正确； 因为可能为0，故不一定为等比数列，故B不正确； 因为 ，故C正确； 当为奇数时，不妨设，则 ，则有； 因为，故，即，时，，故D正确. 故选ACD. 2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等比数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】ABD 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得为等比数列，可判断A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，即A正确； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则 ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 故选ABD. 3．（2026·吉林长春六中·二模）（多选）若无穷数列存在满足：①为等差数列；②为等比数列；③对任意正整数恒成立，则称数列为“项等差-等比过渡循环数列”.已知前项和为的数列为“项等差-等比过渡循环数列”，且，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的值可以为11 D．不存在，使得 【答案】ABD 【分析】根据公差和公比写出等差和等比数列的通项公式，A选项利用周期性即可计算；B选项中因只能为等差数列中的项，故而可得即可；C选项因也为等差数列中的项，故得可解；D选项利用周期性以及分组求和即可. 【详解】可知等差数列的公差为，首项为， 则； 可知等比数列的公比为，首项为， 则； 若，则，由得，故A正确； 因等比数列中任意一项均不为，则必属于等差数列中的项， 又因，故，其中，解得，故B正确； 10为等差数列的第4项，故，故， 则，可知当时，不是正整数，故C错误； 依题意， ，故D正确. 故选：ABD. 4．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可； （2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为数列各项均不为零，，， 所以当时，由， 所以有 ， 所以此时该数列的周期为，因此， 所以的前50项和为； （2）由， 因为，， 所以， 因为， 所以，或， 因为是正整数，所以，即 当时，由， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此，所以， 显然恒成立，所以正整数的最小值为. 5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得. 【详解】（1）设数列的公比为（）. 因为 ，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）由，得， 两式相减，得，所以， 则. 数列与概率/导数 考点5 1．（2026·内蒙古包头·二模）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以. 2．（2026·吉林白山·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)1 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出. 【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. （3）由全概率公式可得： , 即：, 又, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 所以, 所以. 3．（2026·东北三省三校·二模）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记 为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】(1)①；② (2) 0 1 【分析】（1）①结合概率矩阵的定义求解即可； ②根据条件概率公式及贝叶斯公式求解即可. （2）根据条件概率公式及全概率公式得到递推关系，进而求出，从而得到分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 4．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算可得其等于，即可得证； （2）结合（1）中所得，利用分组求和计算即可得解； （3）利用分组求和可得，则；构造函数，利用导数计算可得对任意恒成立，则可得，计算可得，结合可证得，利用不等式性质可得当时，有，计算可得，则可得，即可得证. 【详解】（1） ， 又，，故； （2）由（1）可得， 故 ； （3） ， 又， 故， 故，故； 令，则， 故在上单调递减，故， 即对任意恒成立，则， 则， 又，故； 当时， ， 则，即有， 则， 则， 又，则， 综上所述：可得. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 5大考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03数列求和 考点04数列综合问题 考点05数列与概率/导数 等差数列 考点1 1．(2026·辽宁朝阳·二模)已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·黑龙江大庆·二检）已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 3．（2026·内蒙古兴安盟·二模）记为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．5 4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)为等差数列的前项和，若，且，则（   ） A．12 B．15 C．16 D．18 5．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）设等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2026·吉林白山·二模）（多选）已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（    ） A． B． C．最小 D． 7．（2026·东北三省三校·二模）（多选）记为等差数列的前n项和，若，,则（   ） A． B．公差 C． D．若,则， 8．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C．最小 D． 9．（2026·吉林长春六中·二模）已知等差数列的前项和为，，，则__________． 10．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 等比数列 考点2 1．（2026·吉林G35联合体·二模）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 2．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）（多选）已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 4．（2026·内蒙古包头·二模）（多选）已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（    ） A．成等比数列 B．成等差数列 C．成等比数列 D．成等差数列 5．（2026·内蒙古包头·二模）已知数列的前n项和，则的最大值为___________. 6．（2026·吉林长春六中·二模）已知等比数列的各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求证：. 7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正方形的边长为2，按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第个正方形之间的封闭区域为第k个“环域”，记第k个“环域”的面积为，初始正方形为第1个正方形. (1)求数列的通项公式； (2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M，求这个常数M的值. 数列求和 考点3 1．（2026·辽宁省名校协作体·二模）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 2．（2026·黑龙江大庆·二检）已知正项数列的前项和为，且.若在和中插入个相同的数，构成一个新数列，即，记数列的前项和为，则___________. 3．（2026·辽宁大连·二模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)记，若数列的前项和为，求证：. 5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 6．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数列满足，，，等比数列的前项和为，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设，证明：； (3)设，求数列的前项和（其中表示不超过的最大整数，如，）． 7．（2026·辽宁省名校协作体·二模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 数列综合问题 考点4 1．（2026·辽宁大连·二模）（多选）已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C． D．若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）（多选）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等比数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 3．（2026·吉林长春六中·二模）（多选）若无穷数列存在满足：①为等差数列；②为等比数列；③对任意正整数恒成立，则称数列为“项等差-等比过渡循环数列”.已知前项和为的数列为“项等差-等比过渡循环数列”，且，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的值可以为11 D．不存在，使得 4．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知数列各项均不为零，，，. (1)当时，求的前50项和； (2)若，求正整数的最小值. 5．（2026·吉林G35联合体·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 数列与概率/导数 考点5 1．（2026·内蒙古包头·二模）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 2．（2026·吉林白山·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 3．（2026·东北三省三校·二模）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记 为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 4．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $