8.1 基本立体图形（第1课时：棱柱、棱锥、棱台） 同步练习题-2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册

8.1 基本立体图形（第1课时：棱柱、棱锥、棱台） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 　1.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 【例题精练】 【例1】下列命题正确的是（   ）． A．平行六面体的侧面是全等的平行四边形 B．正棱锥的侧面是等边三角形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【答案】C 【分析】分析各选项中几何体的特征与定义是否相符来判断对错，并确定正确选项. 【详解】在A选项中，平行六面体的侧面都是平行四边形，但侧棱仅长度相等， 底面平行四边形的邻边不一定相等，因此侧面不一定全等，A错误， 在B选项中，正棱锥的底面是正多边形、顶点在底面的投影是底面中心， 侧面都是全等的等腰三角形，只有侧棱长等于底面边长时侧面才是等边三角形， 并非所有正棱锥的侧面都是等边三角形，B错误， 在C选项中，根据棱锥的定义，棱锥仅存在一个多边形面，其余面都是共顶点的三角形， 若一个棱锥有一个面是平行四边形（四边形），这个面就是棱锥的底面，对应有4个侧面， 因此一定是四棱锥，C正确， 在D选项中，将两个底面全等的斜棱柱拼接后，满足"有两个面平行，其余面都是平行四边形"， 但侧棱不互相平行，不是棱柱，D错误. 【例2】是棱长为的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是________ . 【答案】 【分析】解此问题采取展开为平面的方法，化体为面，从图形可看出展开方式有二，一是以底棱BC，CD为轴，可以看到此两种方式是对称的，得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB1，DD1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC为轴展开与BB1为轴展开两种方式验证即可 【详解】由题意，若以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，，故两点之间的距离是. 若以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，，故两点之间的距离是; 故沿正方体表面从点到点的最短路程是, 故答案为. 【例3】在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    【例4】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)是；三棱柱BB1M－CC1N；四棱柱ABMA1－DCND1 【分析】根据棱柱的定义及结构特征可解答. 【详解】（1）该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义． （2）各部分形成的几何体还是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用柱体的定义求解即可. 【详解】根据棱柱的定义知，这4个几何体都是柱体． 故选：D 2．下列几何体是棱台的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据棱台定义，上下底面平行且相似，侧棱延长交一点，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A，C都不是由棱锥截成的不符合棱台的定义故选项A，C不满足题意； B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故选项B不满足题意； D符合棱台的定义. 故选:D. 【点睛】本题考查棱台的判断，注意棱台与棱锥的关系，属于基础题. 3．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（    ） A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B．各个面都是正三角形 C．三个侧面是全等的等腰三角形 D．顶点在底面上的射影为重心 【答案】A 【解析】利用正三棱锥和充要条件的定义逐一分析判断每一个选项得解. 【详解】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意； B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误. C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA=VC=BC=AB，AC=VB时，不一定是正三棱锥，故该选项错误； D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线，连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥，所以该选项错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查正三棱锥的定义，考查充要条件的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 【答案】C 【分析】根据空间几何体的几何特征和性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故A错误； 对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱，五棱柱等，故B错误； 对于C，正四棱柱是平行六面体，故C正确； 对于D，当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故D错误. 故选：C. 5．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱锥 【答案】B 【分析】根据四棱锥的概念进行判断. 【详解】由图可知：三棱台中，截去三棱锥， 则剩余部分是以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B 6．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 二、多选题 7．下列结论正确的有（    ） A．三棱柱有个顶点 B．棱台的侧面是等腰梯形 C．五棱锥有个面 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】ACD 【分析】根据各几何体的定义分别判断各选项. 【详解】三棱柱有个顶点，棱台的侧面是梯形，不一定是等腰梯形，五棱锥有个面，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 故选：ACD. 8．用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】BCD 【分析】根据棱柱，棱锥和棱台的定义结合图形分析判断即可 【详解】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确， 若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确， 因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误， 故选：BCD 三、填空题 9．如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【分析】根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解. 【详解】因为，，两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形， 故答案为：锐角 10．已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________ 【答案】 【分析】利用正棱柱的侧面展开图可知所求最短距离为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】正三棱柱的侧面展开图如下图所示： 则， 则质点绕行一周的最短距离为的长度，则 所求最短距离为 故答案为 【点睛】本题考查最短距离的求解问题，关键是明确此类问题是通过侧面展开图，利用两点之间线段最短来求得结果. 四、解答题 11．试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来. （1）只有一个面是等边三角形的三棱锥； （2）四个面都是等边三角形的三棱锥； （3）三棱柱. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】（1）根据正方体的面对角线相等，所以共顶点的三条棱上的四个顶点可以构成； （2）根据正方体的面对角线相等，所以选六条面对角线可以构成； （3）根据三棱柱的定义即可找到． 【详解】（1）如图所示，三棱锥（答案不唯一）. （2）如图所示，三棱锥（答案不唯一）. （3）如图所示，三棱柱（答案不唯一）. 【点睛】本题主要考查三棱锥和三棱柱的结构特征的应用，属于基础题． 12．如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （2）和的长. 【答案】（1）；（2）的长为2，的长为. 【分析】（1）由展开图为矩形，用勾股定理求出对角线长； （2）在侧面展开图中三角形是直角三角形，可以求出线段的长度，进而可以求的长度，再由相似比可以求出的长度. 【详解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为的矩形， 所以对角线的长为； （2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图所示. 设的长为，则. 因为，，， 所以(负值舍去)，即的长为2. 又因为， 所以，即， 所以. 【点睛】本题考查求侧面展开图的对角线长，以及三棱柱中的线段长，熟记三棱柱的结构特征即可，属于常考题型. 【B组能力提升】 1．如图所示，已知三棱台． (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示． 【答案】(1)三棱柱是棱柱，多面体是． (2)三个三棱锥分别是，，． 【分析】结合三棱柱、三棱锥的特征作图即可. 【详解】（1）如图（1）所示，三棱柱是棱柱，多面体是． （2）如图（2）所示：三个三棱锥分别是，，． 2．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？    【答案】（1）三棱锥；（2）见解析；（3）见解析 【详解】试题分析：（1）棱锥侧面为三角形，几棱锥决定于底面边数（2）三个侧面加上一个底面，都是直角三角形（3）根据直角情况，分别求对应直角边，再根据直角三角形面积公式求各自面积 试题解析：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.      (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. (3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2， S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2. 3．将常见的几个棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）作如下统计： 空间图形 顶点数 面数 棱数 三棱锥 4 三棱柱 5 三棱台 9 四棱锥 5 四棱柱 21 四棱台 8 五棱锥 10 五棱柱 10 五棱台 7 …… (1)把上表中空缺的数据补上； (2)由此表可猜得棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）满足一个关系式：_____________，并用石膏晶体和明矾晶体的空间图形中顶点数、面数、棱数验证你猜测的关系式的正确性． 【答案】(1)填表见解析 (2)，验证见解析 【分析】（1）根据几何体的结构特征依次填空即可； （2）由题归纳猜想得，再结合石膏晶体与明矾晶体验证即可. 【详解】（1）解： 空间图形 顶点数 面数 棱数 三棱锥 4 4 6 三棱柱 6 5 9 三棱台 6 5 9 四棱锥 5 5 8 四棱柱 8 6 12 四棱台 8 6 12 五棱锥 6 6 10 五棱柱 10 7 15 五棱台 10 7 15 …… （2）解：由于，，，，，，……， 所以，猜想棱柱、棱锥、棱台的顶点数（）、面数（）、棱数（）满足. 验证如下： 空间图形 顶点数 面数 棱数 石膏晶体 20 12 30 明矾晶体 12 8 18 显然，顶点数（）、面数（）、棱数（）满足. 4．如果一个四面体共有三个面是直角三角形，我们称这个四面体的“直度”为，如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个n面体的直度为．显然一个n面体的直度不大于1．试回答以下问题： (1)直度为的四面体是否只有一种？ (2)是否存在直度为1的四面体？ (3)试想一个五面体，使它的直度尽可能地大． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意构造、归纳图形，用新方法研究问题的定义，又要寻找适合定义的数学模型，进而判断结论； （2）根据直度为1构造、归纳四面体，进而判断结论； （3）根据五面体用新方法研究问题的定义，进而判断结论； 【详解】（1）正方体一角的四面体ABCD是一个直度为的四面体．如图1所示．    另一种直度为的四面体可用以下方法来构造，如图2，设平面四边形ABCD中，，，，但．    沿对角线AC把△ADC折起，使，此时，∴四面体ABCD的直度为． （2） 如图3，四面体ABCD由一个长方体截得，其直度为1（用三垂线定理不难证明其四个面均为直角三角形）    （3） 如图4中的五面体PABCD，它是由一个立方体截得的，其直度为．这是直度最大的五面体．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 基本立体图形（第1课时：棱柱、棱锥、棱台） 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 　1.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算. 【例题精练】 【例1】下列命题正确的是（   ）． A．平行六面体的侧面是全等的平行四边形 B．正棱锥的侧面是等边三角形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 【例2】是棱长为的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点到点的最短路程是________ . 【例3】在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【例4】如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由. 【A组基础达标】 一、单选题 1．下列几何体中，柱体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列几何体是棱台的是（    ） A．B． C． D． 3．一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（    ） A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形 B．各个面都是正三角形 C．三个侧面是全等的等腰三角形 D．顶点在底面上的射影为重心 4．下列命题中为真命题的是（   ） A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B．棱柱的每个面都是平行四边形 C．正四棱柱是平行六面体 D．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 5．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．三棱台 D．三棱锥 6．已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A．6 B． C． D． 二、多选题 7．下列结论正确的有（    ） A．三棱柱有个顶点 B．棱台的侧面是等腰梯形 C．五棱锥有个面 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 8．用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．三棱柱 D．三棱锥 三、填空题 9．如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 10．已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________ 四、解答题 11．试从正方体的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来. （1）只有一个面是等边三角形的三棱锥； （2）四个面都是等边三角形的三棱锥； （3）三棱柱. 12．如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长； （2）和的长. 【B组能力提升】 1．如图所示，已知三棱台． (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)把它分成三个三棱锥并用字母表示． 2．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？    3．将常见的几个棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）作如下统计： 空间图形 顶点数 面数 棱数 三棱锥 4 三棱柱 5 三棱台 9 四棱锥 5 四棱柱 21 四棱台 8 五棱锥 10 五棱柱 10 五棱台 7 …… (1)把上表中空缺的数据补上； (2)由此表可猜得棱柱、棱锥、棱台的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）满足一个关系式：_____________，并用石膏晶体和明矾晶体的空间图形中顶点数、面数、棱数验证你猜测的关系式的正确性． 4．如果一个四面体共有三个面是直角三角形，我们称这个四面体的“直度”为，如果一个n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个n面体的直度为．显然一个n面体的直度不大于1．试回答以下问题： (1)直度为的四面体是否只有一种？ (2)是否存在直度为1的四面体？ (3)试想一个五面体，使它的直度尽可能地大． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $