2026年中考数学新定义问题题型专练

专题3 新定义问题题型专练 一、方程与不等式 1．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．2 2．对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（       ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）． A． B．1 C．0 D．2 4．对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（ ） A． B． C． D． 6．定义，则方程的解为（ ） A． B． C． D． 7．定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 8．对于实数a，b定义运算“⊗”为 ，例如 ，则关于x的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 9．对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 10．定义运算:m☆n=mn2-mn-1．例如:4☆2=4×22-4×2-1=7．则方程1☆x=0的根的情况为 (　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 11．定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（       ） A．且 B． C．且 D． 12．定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A．或 B． C．或 D．或 13．规定：对于任意实数a，b，c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 14．定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（    ） A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 15．对于实数，定义运算．若，则 ． 16．若点满足，则称点为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标____________________________． 17．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 18．对于任意实数a、b，定义一种运算：，若，则x的值为 ． 19．对于非零实数a，b，规定a⊕b＝，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ． 20．对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 21．定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 22．定义新运算： ，其中 ， ， ， 为实数．例如： ．如果 ，那么 _________． 23．对于实数a，b，定义运算“”，例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 24．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为 ． 25．对于任意实数a，b，定义一种新运算：例如：，．根据上面的材料，请完成下列问题： (1)_______，_______； (2)若，求x的值． 26．阅读下面的材料： 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：． 根据上面的材料回答下列问题： （1） ； （2）当时，求x的取值范围． 27．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则 ， ； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么 ． 28．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 29．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n． 二、函数 1．函数叫做高斯函数，其中x为任意实数，表示不超过x的最大整数．定义，则下列说法正确的个数为(     ) ①； ②； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是； ④函数中，当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 2．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3．定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 4．定义：一次函数的特征数为，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是（       ） A． B． C． D． 5．若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（    ） A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1 8．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点是点的“倍增点”，则的最小值是． 其中，正确结论的个数是（　　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．在平面直角坐标系中，对于点，若，均为整数，则称点为“整点”.特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ） A. B. 若点为“整点”，则点的个数为3个 C. 若点为“超整点”，则点的个数为1个 D. 若点为“超整点”，则点到两坐标轴的距离之和大于10 10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（       ） A． B． C． D． 12．对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为______. 13．定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”． （1）若是“和谐点”，则 ． （2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ． 14．规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ． 15．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． （1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ． 16．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是 ． 17．定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 18．阅读下列材料. 定义运算：，当时，；当时，． 例如：；． 完成下列任务. (1)① _________；②_________ (2)如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于,两点．当时，,求这两个函数的解析式． 19．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”． (1)求双曲线上的“黎点”； (2)若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 20．定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”. (1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由; (2)设函数与的图像相交于点P. ①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围； ②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由. 21．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． (1)求函数的“升幂函数”的函数表达式； (2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 22．规定：若函数 的图像与函数 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． (1)下列三个函数① ；② ；③ ，其中与二次函数 互为“兄弟函数”的是______________（填写序号）； (2)若函数 与 互为“兄弟函数”， 是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是______________、______________； (3)若函数 （m为常数）与 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为 ，且 ，求 的取值范围． 23．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． （1） 已知点，在，，中，是点等和点的有__________________________________； （2） 若点的等和点在直线上，求的值； （3） 已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 24．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．    三、图形的性质 1．如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为 度． 3．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ． 4．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为__________________． 5．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为 ． 6．如图，点在射线上，．如果绕点按逆时针方向旋转到，那么点的位置可以用表示． (1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为 ； (2)在（1）的条件下，已知点的位置用表示，连接、．求证：． 7．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是 （填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （2）图形判定：如图1，在四边形中，∥，，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且，证明：四边形是垂等四边形． （3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形内接于⊙O中，．求⊙O的半径． 8．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图1，B，C，D是线段AE的四等分点．若，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，在平面直角坐标系中，点D，E，G的坐标分别是、、，以点G为圆心，r为半径画圆．若对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出r的取值范围． 9．【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 10．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：； (3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长． 四、图形的变化 1．定义新运算： ①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作． ②加法运算法则：，其中，，，为实数． 若，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a,b,c的的面积为．的边a,b,c所对的角分别是∠A,∠B,∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转 角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为__________________． 4．在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”． 例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．   (1)如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标； (2)如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的伴随点．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长； (3)如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的伴随点．请直接写出的取值范围． 5．垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在三角形ABC中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 6．对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；        （    ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；        （    ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（    ） (2)如图1，已知四边形内接于圆O，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． (3)已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 7．综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． (2)性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）． (3)拓展应用 如图3，在中，，，，分别在边，上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长． 8．如图1，点 是线段 上与点A， 不重合的任意一点，在 的同侧分别以A， ， 为顶点作 ，其中 与 的一边分别是射线 和射线 ， 的两边不在直线 上，我们规定这三个角互为等联角，点 为等联点，线段 为等联线． (1)如图2，在 个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1， 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段 为等联线、某格点 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； (2)如图3，在 Rt 中， ， ，延长 至点 ，使 ，作 的等联角 和 ．将 沿 折叠，使点A落在点 处，得到 ，再延长 交 的延长线于 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ． ①确定 的形状，并说明理由； ②若 ， ，求等联线 和线段 的长（用含 的式子表示）． 9．如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”． (1)求证：中顶点四边形为平行四边形； (2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 10．在平面直角坐标系 中， 的半径为1．对于 的弦 和 外一点C给出如下定义： 若直线 ， 中一条经过点O，另一条是 的切线，则称点C是弦 的“关联点”． (1)如图，点 ， ， ， ①在点 ， ， 中，弦 的“关联点”是______． ②若点C是弦 的“关联点”，直接写出 的长； (2)已知点 ， ．对于线段 上一点S，存在 的弦 ，使得点S是弦 的“关联点”，记 的长为t，当点S在线段 上运动时，直接写出t的取值范围． 11．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． (1)如图1，B，C，D是线段AE的四等分点．若，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）； (2)如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，在平面直角坐标系中，点D，E，G的坐标分别是、、，以点G为圆心，r为半径画圆．若对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出r的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，对于A、两点，若在y轴上存在点T，使得，且，则称A、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图像上． （1）①如图，在点、、中，点M的关联点是 （填“B”、“C”或“D”）； ②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是 ； （2）若在线段上存在点Q的关联点，求实数m的取值范围； （3）分别以点、Q为圆心，1为半径作E、Q．若对E上的任意一点G，在Q上总存在点，使得G、两点互相关联，请直接写出点Q的坐标． 13．在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在 的延长线上，使得 ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”， 例如：如图 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点Q在线段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”． (1)如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，______是图形 的“延长2分点”； (2)如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，求b的最小值： (3)如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点的等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围． 参考答案 一、方程与不等式 1．【答案】B 【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m． 【详解】解：由， ∴， 得：， ∵解集为， ∴ ∴， 故选：B． 2．【答案】D 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意由方程得： 整理得： 根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根． 故选D． 3．【答案】C 【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解． 【详解】解：由题意知：， 又， ∴， ∴． 故选：C． 4．【答案】D 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意由方程得： 整理得： 根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根． 故选D． 5．【答案】B 【分析】根据题中的新运算法则表达出方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解： ∴方程表达为： 解得：， 经检验，是原方程的解， 故选：B． 6．【答案】B 【分析】根据新定义,变形方程求解即可 【详解】∵, ∴变形为, 解得 ， 经检验 是原方程的根， 故选B. 7．【答案】A 【详解】根据新定义运算可得x2－x－1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5>0，故方程1☆x＝0有两个不相等的实数根．故选A． 8．【答案】A 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为 ，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴方程 有两个不相等的实数根.故选A． 9．【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故此题答案为A． 10．【答案】A　 【详解】根据新定义运算可得x2-x-1=0,Δ=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,故方程1☆x=0有两个不相等的实数根.故选A. 【知识归纳】一元二次方程根的情况与根的判别式的关系： 设一元二次方程为ax2+bx+c=0(a≠0),其根的判别式为Δ=b2-4ac,则根的判别式与根的情况的关系如下: 11．【答案】C 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 12．【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 综上所述，不等式的解集是或． 故选：C． 13．【答案】D 【分析】根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故此题答案为D． 14．【答案】B 【分析】将按照题中的新运算方法展开，可得，所以可得，化简得：，，可得，即可得出答案. 【详解】解：根据新运算法则可得：， 则即为， 整理得：， 则， 可得： ， ； ， 方程有两个不相等的实数根； 故此题答案为B. 15．【答案】 【分析】 根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 16．【答案】（答案不唯一） 【详解】等号两边都乘，得.令，则， “美好点”的坐标为，故答案为（答案不唯一）. 17．【答案】## 【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵即， ∴， 解得， 经检验是方程的解， 故答案为：． 18．【答案】或2 【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：， 整理可得， 解得，， 故答案为：或2． 19．【答案】 【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ＝1， 等式两边同时乘以得， ， 解得：， 经检验，x＝是原方程的根， ∴x＝， 故答案为：． 20．【答案】 【分析】根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知，，解得， 有且只有一个正整数解， ， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ． 21．【答案】或 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵，而， ∴①当时，则有，解得； ②当时，，解得. 综上所述，x的值是或． 22．【答案】 【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】∵ ，∴ ，即 ，解得 ，故答案为 ． 23．【答案】0 【分析】求出的解，代入新定义对应的表达式即可求解． 【详解】解：， 解得：， 即， 则， 故答案为：0． 24．【答案】或1. 【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决. 【详解】∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]=2x-1， ∴2x-1≤x＜2x-1+1， 解得，0＜x≤1， ∵2x-1是整数， ∴x=0.5或x=1， 故答案为x=0.5或x=1. 25．【答案】(1)1；2； (2). 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可． 【详解】（1）， . ， . 故答案为1；2. （2）若，即，则 ，解得, 若，即，则 ，解得(不合题意，舍去)， . 【刷有所得】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 26．【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥ 【分析】（1）比较大小，即可得出答案； （2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得﹣1 故答案为：﹣1； （2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 X≥ ∴x的取值范围为x≥． 27．【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11 【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解； （3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值． 【详解】（1） ①-②，得x-y=-1 ①+②，得3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则 ①×2，得40x+6y+4z=64③ ③-②，得x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 （3）∵ ∴①，②， ∴②-①，得③ ∴④ ①+②，得⑤ ⑤-④，得 ∴ 故答案为：-11 28．【答案】(1)；(2)，图见解析 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）= = = （2）∵， ∴ 解得： 将解集表示在数轴上如下： 29．【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或 【分析】 （1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案； （2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案． 【详解】解：（1） 是“共生数”， 不是“共生数”． （2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 ＜ 且为整数， 所以： 由“共生数”的定义可得： 百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除， 或或 当 则 则 不合题意，舍去， 当时，则 当时， 此时： ，而不为偶数，舍去， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时， 此时： ，而为偶数， 当时，则 而则不合题意，舍去， 综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或. 二、函数 1．【答案】D 【分析】根据表示不超过x的最大整数，即可解答． 【详解】解：①，故原说法错误； ②，正确，符合题意； ③高斯函数中，当时，x的取值范围是，正确，符合题意； ④函数中，当时，，正确，符合题意； 所以，正确的结论有3个． 故选：D． 2．【答案】B 【详解】设，， 四边形为矩形，，，，，，且， 该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B. 3．【答案】B 【详解】由题意得，， 函数的最小值为.故选B. 4．【答案】D 【分析】 先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据特征数的定义即可求解． 【详解】 解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为， ∵直线与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称， ∴点A，B，O在同一直线上， ∴直线经过原点， ∴m+3=0， ∴m=-3， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数的特征数是． 故选：D 5．【答案】D 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程 ，则方程的 ，可得 ，利用对于任意的实数 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出 的取值范围． 【详解】由“倍值点”的定义可得 ， 整理得 ， ∵关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的“倍值点”， ∴ ∵对于任意实数 总成立， ∴ 整理得 ∴ ∴ ， ∴ 或 当 时，解得 ， 当 时，此不等式组无解， ∴ ，故选D． 6．【答案】A 【详解】解：①当时，，当时，， ∵，∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，，∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵，∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，，整理得， ∵，，∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”，故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵，∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得，∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意. 综上,正确的有①③，故此题答案为A． 7．【答案】D 【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）； 若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况: 当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有， 解得； 当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得； 当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有， 解得； 当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有， 解得； 综上可得的最大值和最小值分别是，． 故此题答案为D． 8．【答案】C 【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”； ∵，， ∴， ∴，则是点的“倍增点”. 故①正确，符合题意； ②设点， ∵点A是点的“倍增点”， ∴， 解得， ∴. 故②不正确，不符合题意； ③设抛物线上点是点的“倍增点”， ∴，整理得， ∵， ∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”. 故③正确，符合题意； ④设点， ∵点是点的“倍增点”， ∴， ∵，， ∴ ， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值是. 故④正确，符合题意. 综上:正确的有①③④，共3个． 故选：C． 9．【答案】C 【详解】 点在第二象限，，故选项A错误. 点为“整点”，， 整数为，，0，1， “整点”为，，，， 点的个数为4个，故选项B错误.，，，, 若为“超整点”，则点的个数为1个,故选项C正确. “超整点”的坐标为， 点到两坐标轴的距离之和为，,故选项D错误.故选C. 10．【答案】D 【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，和至少有一个交点， 令，整理得：， 则，解得， ， ∴， ∴或 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 综上，c的取值范围是， 故选：D． 11．【答案】D 【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围 【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图， 当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称， 从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3， 最小值是当时，取得最小值， ． 故选D． 12．【答案】4 【详解】根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，.，中存在一点，使得，，， 抛物线“开口大小”为4，故答案为4. 13．【答案】 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到，整理得到，解得（不合题意，舍去），即可得到答案； （2）设点为双曲线上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到，由得到，则，由进一步得到，且，根据二次函数的图象和性质即可得到k的取值范围． 【详解】解：（1）若是“和谐点”，则， 则， ∴， 即，解得（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为： （2）设点为双曲线上的“和谐点”， ∴，， 即， ∴， 则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，且， 对抛物线来说， ∵， ∴开口向下， 当时，， 当时，， ∵对称轴为，， ∴当时，k取最大值为4， ∴k的取值范围为， 故答案为： 14．【答案】或 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 【详解】解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为． 15．【答案】③；或 【分析】（1）①中，取，不存在“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，取时，，得到是的“近轴点”； （2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到． 【详解】（1）①中，时，，不存在“近轴点”； ②，由对称性，当时，，不存在“近轴点”； ③，时，，∴是的“近轴点”； ∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③. （2）中，时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ∴，∴ ； 当直线过时，， ∴， ∴. ∴m的取值范围为或． 16．【答案】①②③． 【分析】 利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案． 【详解】 解：当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确； 当时， 把代入，可得特征数为 ∴，，， ∴函数解析式为， 当时，，函数图象过原点，故②正确； 函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确； 当时，函数图像开口向下， 对称轴为： ∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故答案是：①②③． 17．【答案】①③④ 【详解】解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则，解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则，整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且，解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则，整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”，∴， 整理得，∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得；，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为①③④． 18．【答案】(1)①1；②; (2)， 【详解】（1）解： ∵，当时，；当时，， ∴①； ∵， ∴②. （2）解：由函数图像可知当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 当x＝－2时，， ∴A（－2，1）， 将A（－2，1）代入,得， ∴反比例函数解析式为． 19．【答案】(1)上的“黎点”为， (2) 【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可； （2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论． (1)设双曲线上的“黎点”为， 则有，解得， ∴上的“黎点”为，． (2)∵抛物线上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解， 即，，， ∴． ∵， ∴． 20．【答案】(1)是函数的“组合函数” (2)①；②存在，见详解 【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可； （2）①先求出点P的坐标和“组合函数”，把代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解． (1)解：是函数的“组合函数”， 理由：由函数的“组合函数”为：， 把m=3，n=1代入上式，得， 函数是函数的“组合函数”； (2)解：①解方程组得， 函数与的图像相交于点P， 点P的坐标为， 的“组合函数”为， ， ，点P在函数的“组合函数”图像的上方， ，整理，得， ，， p的取值范围为； ②存在，理由如下： 函数的“组合函数”图像经过点P． 将点P的坐标代入“组合函数”，得 ， ， ， ，， 将代入=， 把y=0代入，得 解得：， 设，则， ， 对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变． 21．【答案】(1)； (2)； (3)①或；②；③或 【分析】（1）根据“升幂函数”的定义，可得，即可求解， （2）设，根据“升幂点”的定义得到，由，在点上方，得到，即可求解， （3）①由，，点与点重合，得到，即可求解，②由，得到对称轴为，,关于对称轴对称，结合，则，得到，进而得到，，由点在点的上方，得到点在点的上方，，解得， ，当，，，当， ，，即可求解，③根据②中结论得到，，，将，，代入，得到，，，结合图像可得，当时，直线与函数的图象有3个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，将直线与函数联立，由根与系数关系得到，，，结合，可得，当时，，解得：，由，得到，解得，即可求解， 【详解】（1）解：根据题意得， （2）解：设点，则， ∵，在点上方，∴， 解得，∴； （3）解：①根据题意得，则， ∵点与点重合，∴，解得或， ②根据题意得， ∴对称轴为，,关于对称轴对称， ∵，则，∴，解得， ∴，， ∵点在点的上方，∴，解得， ∴， 当，点在点右侧时，，， 当，点在点左侧时，，， ∴， ③∵， ∴，， 当时，， 当时，， 当时，，∴，，， 当时，直线与函数的图象有3个交点， 当时，直线与函数的图象有2个交点， 直线与函数交于,两点，，即， ∴，，， 直线与函数交于、两点，，即， ∴，，， ∵， ∴，整理得， 当时， ，解得或（舍）， ∴， ∴，解得， ∴， 综上所述，或． 22．【答案】(1)②； (2) ； 、 ； (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出 ； ； ； 图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当 时，求出 值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由 ，按照讨论结果求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：作出 ； ； ； 图像，如图所示： 与 图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数 互为“兄弟函数”的是②； （2）解：① 函数 与 互为“兄弟函数”， 是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则 ，解得 ； ②联立 ，即 ， 是其中一个解， 因式分解得 ，则 ，解得 ， 另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ； （3）解：在平面直角坐标系中作出 （m为常数）与 图像，如图所示： 联立，即 ， ①当 时， ，即 ，当 时， ； ②当 时， ，即 ，由①中 ，则 ， ； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而 ，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为 ，且 ， ， ， ， ， 由 得到 ，即 ． 23．【答案】（1） ， （2） 由题意，设点的横坐标为. 点是点的等和点， 点的纵坐标为, 点的坐标为． 又 点在直线上， , ． （3） 由题意得，则双曲线位于第一、三象限． 设直线与双曲线的交点分别为点，，如图.由满足的取值范围是或， 得的横坐标为4，的横坐标为． 把代入，得， ． 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 设，，点的横坐标为. 点是点的等和点， 点的纵坐标为, ，． 点在直线上， , , 解得，, 经检验，，是方程的解, 点的坐标为或． 【详解】（1） 由，，得， 点是点的等和点．由，，得，，， 点不是点的等和点．由，，得， 点是点的等和点．故答案为，． 24．【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】（1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得，，解得，； （2）①， ∴顶点坐标为， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴，整理得，∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为，当时，解得或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在上， 当顶点在下方时，； 综上可得或． 三、图形的性质 1．【答案】D 【分析】根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故此题答案为D． 2．【答案】36 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可． 【详解】解：∵△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=， ∴∠A：∠B=1：2， 即5∠A=180°， ∴∠A=36°， 故答案为36． 3．【答案】 【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果. 【详解】解：根据题意可得： 点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度， 连接OA，与圆O交于点B， 可知：点A和圆O上点B之间的连线最短， ∵A（2，1）， ∴OA==， ∵圆O的半径为1， ∴AB=OA-OB=， ∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为， 故答案为：. 4．【答案】， 【详解】由题知，将点向上平移2个单位所得点的坐标为．设.如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，连结,则，．在中，，，所以 ．由旋转可知，， ，所以 ．过点作轴的垂线，垂足为，则因为 ，所以是等腰直角三角形，所以，所以点的坐标为，．故答案为，． 5．【答案】 【分析】 先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解． 【详解】 解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，． ∴点O与正方形边上的所有点的连线中， 最小，等于1，最大，等于． ∵， ∴点P与正方形边上的所有点的连线中， 如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1； 如图3所示，当点A落在上时，最小值． ∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是． 故答案为： 6．【答案】(1)(3,37°) (2)见解析 【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案； （2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论． (1)解：由题意，得A′(a,n°)， ∵a=3,n=37， ∴A′(3,37°)， 故答案为：(3,37°)； (2)证明：如图， ∵，B(3,74°)， ∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3， ∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°， ∵OA′=OA′， ∴△AOA′≌△BOA′（SAS）， ∴A′A=A′B． 7．【答案】（1）④；（2）证明过程见解析；③4 【分析】 （1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可； （2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果； （3）过点O作，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案． 【详解】 （1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形； （2）∵，， ∴AC∥DE， 又∵∥， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴AC=DE， 又∵， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BD=DE， ∴BD=AC， ∴四边形是垂等四边形． （3）如图，过点O作， ∵四边形是垂等四边形， ∴AC=BD， 又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得： ， 又∵， ∴， 设半径为r，根据垂径定理可得： 在△ODE中，OD=r，DE=， ∴， ∴的半径为4． 8．【答案】(1)，； (2)图见解析（答案不唯一）； (3)或 【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； （2）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （3）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵B，C，D是线段AE的四等分点．， ∴，∴， ∴线段的平移图形是，； （2）解：如图：即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形，∴， ∵，∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）∵点D，E，G的坐标分别是、、， ∴，∴， ∵对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，∴， 当在圆外时， ∵，，∴， ∴，∴． 当在圆内时，则，∴，∴； 综上，或． 9．【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4） 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵，∴， 在中，，∴， ∴， ∴当时，取得最小值，此时，解得； （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为， 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率. 10．【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) . 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）连接、，先证明，得到，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】(1)四边形是垂美四边形． 证明：连接AC，BD， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； (2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图2，已知四边形中，，垂足为， 求证： 证明：∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； 故答案为． (3)连接、， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，又， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由(2)得，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 四、图形的变化 1．【答案】B 【分析】根据新定义得出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，. 故此题答案为B． 2．【答案】A 【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可． 【详解】解：∵，， ∴, 即， ， ， . 故选A． 3．【答案】， 【详解】由题知，将点向上平移2个单位所得点的坐标为．设.如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，连结,则，．在中，，，所以 ．由旋转可知，， ，所以 ．过点作轴的垂线，垂足为，则因为 ，所以是等腰直角三角形，所以，所以点的坐标为，．故答案为，． 4．【答案】(1);(2);(3). 【分析】（1）过点作于点，根据新定义得出，根据已知得出，则，即可求解； （2）当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，是等边三角形，且轴，设交于点，则，得出，根据即可求解； （3）当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，直线的解析式为，得出，可得到直线的距离为，则当点与点重合时，当点与点重合时，求得两个临界点时的的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，    ∵，，则，点是直线的“伴随点”时， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当到轴的距离最小时， ∴点在线段上， 设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，      则的纵坐标为，即， ∵是等边三角形，且轴，设交于点，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）, ∴等边三角形的边长为. （3）解：如图所示，当四边形是正方形时，，连接并延长交轴于点，    ∵，，, ∴，， ∵，, 设直线的解析式为，则 , 解得, ∴直线的解析式为， ∴直线垂直， 当时，, ∴， ∵，即得到直线的距离为， 则当点与点重合时，是直线：的伴随点． 此时在上，则，解得：， 当点与点重合时，则过点，此时，解得：， ∴． 5．【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或． 【详解】（1）解：，为的中点，，，， ，， ，即，解得， ， ； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，；又， ，； 设，则， ，， ，， ， ，，； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ，，， ，，，即，为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：，则，则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，作的垂直平分线； 在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形，， ，是等腰三角形； 过P作于H，则， ，，，， ， ； ,，，，即， ∴， 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得，是等腰三角形， 连接，，，，，； 同理，， ，，，，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）. 6．【答案】(1)①×；②√；③√ (2)①外接型单圆；②见解析 (3)，， 【详解】（1）解：由题干条件可得,有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确； （2）①该四边形是“外接型单圆”四边形； 理由：， 四边形无内切圆． 四边形是“外接型单圆”四边形； ②证法1：如图1，平分，平分， ，， ，即， 与均为半圆， 是的直径． 证法2：如图1，连接． 四边形内接于， ， 平分，平分， ，， ， 由同弧所对的圆周角相等可得， ，即． 是的直径; 证法3：如图2，连接，． 四边形内接于， ， 由题意，得，， 由同弧所对的圆周角相等可得，， ， , 是的直径． （3）①证明：如图，连接，，，，， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接,,,， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得，解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 7．【答案】(1)②④；(2)①．理由见解析；②；(3)或. 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，根据三线合一性质可求出，由①可得，在中，根据余弦的定义求解即可； （3）分，，，四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，故图②和图④中四边形是邻等对补四边形； （2）解：①，理由, 延长至点E，使，连接， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②过A作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时，如图，连接，过N作于H， ∴， 在中， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴，故不符合题意，舍去； 综上，的长为或． 8．【答案】 (1)见解析 (2)①等腰直角三角形，见解析；② ； 【分析】 （1）根据新定义，画出等联角； （2）① 是等腰直角三角形，过点 作 交 的延长线于 ．由折叠得 ， ， ，证明四边形 为正方形，进而证明 RtRt ，得出 即可求解； ②过点 作 于 ， 交 的延长线于 ，则 ．证明 ，得出 ，在 Rt 中， ， ，进而证明四边形 为正方形，则 ，由 ，得出 ，根据相似三角形的性质得出 ，根据 即可求解． 【详解】 （1）如图1所示（方法不唯一）； 图1 （2）① 是等腰直角三角形．理由如下： 如图2，过点 作 交 的延长线于 ， 图2 由折叠得 ， ， ， ， ， 四边形 为正方形， ， 又 ， ∴ RtRt（HL） ， ，而 ， ， ， 是等腰直角三角形； ②如图3，过点 作 于 ， 交 的延长线于 ，则 ， 图3 ， ， 由 是等腰直角三角形，知 ， （AAS） ， ， ，而 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 由 ， ， ∴四边形 为正方形， . 由 ， ，得 ， ∴ ， , 而 ， 即 ，解得 ， 由①知： ， ， ． 9．【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证； （2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果； ②连接，作直线，交于点O，然后作，然后连接即可得出点M和N分别为的重心，据此作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴中顶点四边形是菱形 ②如图所示，即为所求， 连接，作直线，交于点O，然后作（或作BM=MN=ND），然后连接即可， ∴点M和N分别为的重心，符合题意； 证明：矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形， ∴，， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 10．【答案】 (1) ， ； ； (2) 或 ． 【分析】 （1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可； （2）根据 ， 两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的 的垂直平分线上，运用相似三角形计算即可． 【详解】 （1）①由关联点的定义可知，若直线 中一条经过点O，另一条是 的切线，则称点C是弦 的“关联点”. ∵点 ， ， ， ， ， ∴直线 经过点O，且 与 相切， ∴ 是弦 的“关联点”. 又∵ 和 横坐标相等，与 都位于直线 上， ∴ 与 相切， 经过点O， ∴ 是弦 的“关联点”． ②∵ ， ， 设 ，如图1所示，共有两种情况， 图1 a、若 与 相切， 经过点O， 则 ， 所在直线分别为 ， 解得 ，∴ . b、若 与 相切， 经过点O， 则 ， 所在直线分别为 ， 解得 ，∴ . 综上， ． （2）∵线段 上一点S，存在 的弦 ，使得点S是弦 的“关联点”， 又∵弦 随着S的变动在一定范围内变动，且 ， ， ， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的 的垂直平分线上，如图2所示， 图2 ①当S位于点 时， 为 的切线，作 . ∵ ， 的半径为1，且 为 的切线，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴根据勾股定理，得 ， ， 根据勾股定理， ，同理， ， ∴当S位于点 时， 的临界值为 和 ． ②当S位于经过点O的 的垂直平分线上，即点K时. ∵点 ， ， ∴ ，∴ . 又∵ 的半径为1，∴ ， ∴△ 为等边三角形，∴在此情况下， ， ， ∴当S位于经过点O的 的垂直平分线上，即点K时， 的临界值为 和 ， ∴在两种情况下， 的最小值的范围为 内，最大值的范围为 ， 综上所述，t的取值范围为 或 . 11．【答案】(1)，； (2)图见解析（答案不唯一）； (3)或 【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； （2）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； （3）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵B，C，D是线段AE的四等分点．， ∴，∴， ∴线段的平移图形是，； （2）解：如图：即为所求； 由作图可知：， ∴四边形为菱形，∴， ∵，∴四边形为菱形， ∴， ∴即为所求； （3）∵点D，E，G的坐标分别是、、， ∴，∴， ∵对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，∴， 当在圆外时， ∵，，∴， ∴，∴． 当在圆内时，则，∴，∴； 综上，或． 12．【答案】（1）①B；②；（2）或；（3）或． 【分析】 由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可， （1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可； （2）根据关联点坐标变化规律得出关联点，列不等式求解即可； （3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，设，点，关联点， 将点A、点、点T向下平移个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点对应点、， ∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x）， ∴绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为或， 即顺时针旋转时，解得：，即关联点， 或逆时针旋转时，，解得：，即关联点， 即：在平面直角坐标系中，设，点，关联点坐标为或， （1）①由关联点坐标变化规律可知，点关于在y轴上点的关联点坐标为：或， 若点是关联点，则或，解得：，即y轴上点或，故点是关联点； 若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点； 若点是关联点，则或，无解，故点不是关联点； 故答案为：B； ②由关联点坐标变化规律可知，点关于点的关联点的坐标为或， 若，解得：，此时即点，不在线段上； 若，解得：，此时即点，在线段上； 综上所述：若在线段上存在点的关联点，则点 故答案为：； （2）设点与点是关于点关联点，则点坐标为或， 又因为点在一次函数的图像上，即：， 点在线段上，点、， 当∴， ∴， ∴， 或， ∴， 当； 综上所述：当或时，在线段上存在点Q的关联点． （3）对上的任意一点G，在上总存在点，使得G、两点互相关联， 故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点，则 设点与点是关于点关联点，则点坐标为或， 又因为在一次函数的图像上，即：， ∵点， 若，解得：， 即点， 若，解得：， 即点， 综上所述：或． 13．【答案】(1) ；(2) ；(3) 或 【分析】（1）根据题意，画出图象，进行判断即可； （2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，根据直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”，得到直线 与 有交点，进而得到当 过点 时， 值最小，进行求解即可； （3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ，得到 与 有交点，求出 与 相切以及 与 相切，两种情况求出 的临近值，即可得出结果． 【详解】（1）解：作线段 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ， ∵ ， ，∴ ， ， ∵点 是图形 的“延长2分点”，∴点 在线段 上， ∵ 在线段 上，∴ 是图形 的“延长2分点”； （2）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似图形 ，如图， ∵ ， ，∴ ， ， ∵直线 上存在点P是图形 的“延长2分点”， ∴直线 与 有交点，∴当 过点 时， 值最小， 把 ，代入 ，得 ，∴ 的最小值为 ； （3）作 以原点为位似中心，位似比为 的位似 ， ∵ ， ， ，∴ ， ， ， ∵等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”， ∴当 与 有交点时，满足题意， 当 与 相切时，如图，则 或 ， ∴ 时，满足题意； 当 与 相切时，且切点为 ，连接 ，则 ， ∵ 为等腰直角三角形，∴ 为等腰直角三角形， ∵ ， ， ，∴ 轴，∴ ， ∵以 为圆心，半径为1的 ，∴ 点在直线 上， ， ∴ ，∴ ，∴ 或 ， ∴ . 综上， 或 ． 第 页，共 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 第 87 页，共 90 页 试题资源网-凸飞教育科技(北京)有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $