2026年中考数学能力提升练习 第四讲 反比例函数与一次函数

**基本信息** 聚焦反比例函数与一次函数综合应用，通过多题型梯度训练构建“性质-交点-几何”逻辑链条，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础综合|1-5题|交点参数范围、图象共存性判断|从函数性质（k值符号、图象分布）到方程联立求交点，构建代数关系| |几何应用|6-18题|面积计算、对称与旋转|结合几何图形（三角形、坐标变换），运用几何直观转化函数关系| |动态与最值|19-28题|动态点、存在性问题（等腰三角形等）|以函数为载体，通过分类讨论与模型思想解决动态几何问题，发展应用意识|

第四讲 反比例函数与一次函数 1.双曲线 与直线y=kx-4(k<0)有两个不同的交点，则k的取值范围是 .若直线y=-x+b与反比例函数 的图象有两个公共点，则b 的取值范围是 . 2.函数 与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 . 3.二次函数 的图象如图，则函数 与y=bx+c的图象可能是 . 4.直线y= kx(k<0)与双曲线 交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)两点，则 5.在同一平面直角坐标系中，若正比例函数 的图象与反比例函数 的图象有公共点，则k₁k₂的取值范围是 .若两函数的图象没有公共点，则k₁k₂的取值范围是 . 6.已知在平面直角坐标系中有两点A(0，1)，B(-1，0)，P是反比例函数 的图象上一动点，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点 P 的坐标为 . 7.如图，一次函数 的图象在第一象限内与反比例函数 的图象相交于A，B两点，当 时,x的取值范围是1<x<4,则k= . 8.如图，直线y=mx+4与双曲线 只有唯一公共点A，与x轴交于点 B，与双曲线 (x>0)交于点 C,S△OAB=2S△OBC,则k= . 9.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象都经过点A(-1,2),B(2,-1),观察图象，则不等式 的解集是 . 10.如图,直线y= kx-2(k>0)与第一象限内的双曲线 交于点 R，与x轴，y轴的交点分别为 P，Q,过点 R作 RM⊥x轴于点 M,且 则k= . 11.如图，已知直线 与双曲线 交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于D，C两点，若AB=5,则k= . 12.如图,直线y=-x+5与双曲线 交于A，B两点，C为双曲线上点A，B之间的一点，则△ABC 的面积最大为 . 13.如图，直线 与双曲线 交于A,B两点,点 B 的坐标为(-4,-2),C为第一象限内双曲线 上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点 C 的坐标为 . 14.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，P是第一象限内反比例函数的图象上一点，过点 P作y轴的平行线交直线AB于点 C，连接PO， 则点 P 的坐标是 . 15.如图,A(4,3)是反比例函数 在第一象限内图象上的一点，连接OA，过点A 向右作AB∥x轴，且AB=OA，连接OB，交反比例函数 的图象于点 P，则 16.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 与正比例函数 的图象分别交于点 A,B.若∠AOB=45°,则△AOB 的面积是 . 17.如图，一次函数y=x+9与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数 与一次函数y=x+9的图象交于C，D两点，且 则这个反比例函数的解析式是 . 18.如图，双曲线 和直线y=-x在第二象限内交于点A，将直线y=-x向上平移1个单位长度，所得直线交 于点C，交y轴正半轴于点 B， 则 k的值为 . 19.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象交于A(-1,m),B(n,-1)两点. (1)求一次函数表达式； (2)求△AOB 的面积. 20.如图，一次函数 b为常数， 的图象与反比例函数 的图象交于点A(m,8),点B(4,2). (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当x为何值时， 21.如图，直线y=-x+4交坐标轴于点A，B，反比例函数 的图象交直线AB于点 C，D，且AB=2CD,求k的值. 22.如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知点A 的纵坐标是3. (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 C，如果 的面积为20，求平移后的直线的函数表达式. 23.如图，直线y=kx+5与双曲线 交于A,B(4,1)两点,与x轴交于点 D,与y轴交于点 C. (1)求线段AB的长; (2)P为第三象限内双曲线上一点， 于点E， 求点 P坐标； (3)直线a过点Q(4,-1),且与 的图象恰好有两个交点，则直线a的解析式为 . 24.如图,已知A(a,a+1),B(a+3,a-1)是反比例函数 的图象上两点，经过点A，B的直线y=mx+n交x轴于点 C. (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)已知点 P 在反比例函数的图象上，且 求点 P 的坐标； (3)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围. 25.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于点A，与x轴交于点 B(5，0)，若OB=AB,且 (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点 P 为x轴上一点,△ABP 是等腰三角形,求点 P 的坐标. 26.如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+b的图象与函数的图象交于点A(-1,6),并与x轴交于点 C，D 是线段AC上一点，△ODC与△OAC 的面积比为2：3. (2)求点D 的坐标; (3)若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数 的图象上，并说明理由. 27.如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限内交于A(1,3),B(3,1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)已知点P(a，0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数 的图象于点N.若PM>PN，结合函数图象直接写出a的取值范围. 28.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A(-3,1),B(1,n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线AB与y轴交于点C，若点P在x轴上，使BP=AC，请直接写出点P的坐标； (3)过点 B(1,n)的直线l与函数 的图象只有两个交点，求直线l的解析式. 第四讲 反比例函数与一次函数 1.-2<k<0;b>2或b<-2. 2. C. 3. D. 5. 6.(1,2)或(-2,-1). 7.4. 8.-5. 9.x<-1或0<x<2. 11.-9. 13.(2,4)或(8,1). 或(2,4). 15.5. 16.2. 18.-2. 19. 解:(1)y=-x+4;(2)12. 20. 解:(1)y=-2x+10, 或x>4. 21. 解:作CM⊥x轴于 M,DQ⊥CM 于 Q.由题意得:A(0,4),B(4,0),∴OA=OB=4,AB=4,∠ABO=45°. 联立=-x+4 和 即 解得 ,解得 k = 3. 22. 解: (2)易得B(6，-3).设平移后的直线与y轴交于点 D， 设CD 为 ∴平移后的直线为 23. 解: (1)AB =3;(2):连接PC,PD,PO.易得C(0,5),D(5,0), 设 或(﹣4,﹣1);(3)y=﹣1或 或 y = 24. 解:(1)∵A,B 都在 上,∴a(a+1)=(a+3)(a﹣1),∴a=3,∴A(3,4),B(6,2),易得反比例函数为 一次函数为 ;(2)P(6,2)或(﹣6,-2);(3)0<x<3或x>6. 25. 解:(1)反比例函数的解析式为 直线AB的解析式为y= (2) 由(1)知,AB=5.讨论:①当AB =PB时,PB =5,∴P(0,0)或(10,0);②当AB =AP时,过A作AD⊥x轴于D,BD=4,易知,点P与点B关于AD对称,∴DP=BD=4,∴OP=5+4+4 =13,∴ P(13,0);③当 PB =AP 时,设P(a,0),∵A(9,3),B(5,0), 9 即满足条件的点 P 的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或( 26. 解:(1)-6,5;(2)过点D作DM⊥x轴于M, 过点A作AN⊥x轴于 点 A 的坐标为( ﹣1,6),∴AN=6,∴DM=4,即点D的纵坐标为4.把=4代入= -x+5 中得x=1,∴点 D 的坐标为(1,4).(3)点C'不在 上，理由如下：由题意可知， 过点C'作C'G⊥x轴于G, DM=OD'·C'G,即 所以 C'G= 在 Rt△OC'G 中, 点 C'的坐标为 所以点 C'不在函数 的图象上. 27.解： y=-x+4;(2)1<a<3. 28. 解: y=-x-2;(2)P(4,0)或(﹣2,0);(3)y=﹣(9 学科网（北京）股份有限公司 $