第10章二元一次方程组 单元达标测试题 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

2025-2026学年苏科版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．已知代数式与是同类项，那么的值分别是（    ） A． B． C． D． 4．解方程组时，若将可得（    ） A． B． C． D． 5．小明在解关于x、y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（   ） A．3、 B．1、5 C．、3 D．5、1 6．我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 7．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（    ） A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 二、填空题（满分24分） 9．已知，则用含x的式子表示y为______ ． 10．如果实数，满足方程组那么________． 11．解方程组小红的思路是：用①×5-②×3消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：________________． 12．甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 13．已知关于，的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，的值不可能互为相反数；，的非负整数解有3对；④若，则，其中正确的结论有________．（填序号） 14．小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是____． 15．甲、乙两人购买纪念币共100枚，若甲给乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的4倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币？设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为________． 16．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）解方程组 (1)； (2)． 18．（8分）对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 19．（8分）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_____； ②该方程组的解为_______（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值． 20．（8分）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 21．（8分）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用11两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你为商人列出所有可能的购买方法． 22．（10分）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 23．（10分）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题2：八、九年级各有多少人参加春游？ 24．（12分）如图1，有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的卡片，其中Ⅰ型卡片和Ⅱ型卡片分别是边长为、的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形． (1)若选取1张Ⅱ型卡片和4张Ⅲ型卡片，则应取 张Ⅰ型卡片才能用它们拼成一个新的正方形（不重叠且无缝隙），新的正方形的边长是 （用含，的代数式表示） (2)若只取4张Ⅲ型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种卡片（Ⅳ型），由此可验证的等量关系为 （用含，的等式表示） (3)若选取1张Ⅳ型卡片和4张Ⅲ型卡片按图3的方式不重叠且无缝隙地放在长方形框架内，已知的长度为，的长度可以变化，若图中两个阴影部分（长方形）的周长相差，求Ⅲ型卡片的面积． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组”是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组即可． 【详解】解：二元一次方程组需满足：①有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为. A、方程组含两个未知数和，且方程和均为一次方程，符合题意． B、方程中，为二次项，不符合一次方程条件，不符合题意； C．该方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程中，为分式，不符合一次方程条件，不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题考查二元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握解的定义． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得：， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查同类项的定义，解二元一次方程组，掌握同类项的定义列式求解是关键． 同类项：字母相同，相同字母的指数也相同，由此列方程组求解即可． 【详解】解：代数式与是同类项， ∴， 解得，， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了二元一次方程的加减消元法，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 通过将方程，消去x，得到关于y的方程，本题可解． 【详解】解： 由，得，． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入第一个方程求出y，再代入第二个方程求． 【详解】解：将代入，得：， 解得，即 将，代入，得：， 故和代表的数分别是5和1， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设木长尺，绳长尺，根据题意列出方程组即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 由题意得，， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程等价于，表示乙得到甲所有钱的后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：第二个方程，等价于，即乙增加甲钱的后共有钱50， 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”， 故选：C． 9． 【详解】解：由得，①， 把①代入中得，． 10． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 通过解方程组求出和的值，再计算的值，最后求其次幂即可． 【详解】解：解方程组 两式相加得 ，解得； 将代入 得； ； ． 故答案为：． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 根据加减消元法解二元一次方程组，观察方程①和②中的系数，分别为和，其最小公倍数为，因此将①乘以、②乘以，可使的系数互为相反数，相加后即可消去未知数． 【详解】解：得：； 得：； 将两式相加：， 简化得 ，从而消去未知数． 故答案为：（答案不唯一）． 12． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 13．①②④ 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数，通过求解方程组得到，，然后逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：解方程组， ，得，解得， 把，得，解得； 对于结论①，当时，，，则，而，故成立； 对于结论②，，故不可能互为相反数； 对于结论③，由， 得 且 ，非负整数解有 、、、 共4对，故错误； 对于结论④，，若 ，则 ，解得 ，故正确． 因此正确结论是①②④． 故答案为：①②④ 14．21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 根据甲、乙两人购买纪念币共100枚，可得方程；根据甲给乙10枚纪念币后，乙的纪念币数量是甲的4倍，可得方程，从而组成方程组． 【详解】解：设甲原有枚纪念币，乙原有枚纪念币， 由题意得：． 故答案为：． 16． 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 17．(1)； (2)． 【分析】（1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可. 【详解】（1）解： 由①，得③ 把③代入②，得，解得， 把代入③，得， ∴这个方程组的解是； （2）解： ，得③ ，得④ ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴这个方程组的解是． 18．(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 19．(1) ① ② (2) 的值为． 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，即可得的值． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 20．(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 21．(1)每头牛3两银子，每只羊2两银子； (2)方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准数量关系，正确列出二元一次方程． （1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m头牛，n只羊，根据某商人准备用11两银子买牛和羊，列出二元一次方程，然后求出满足条件的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意得： ， 解得：， 答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子； （2）解：设购买m头牛，n只羊， 依题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ∴商人有2种购买方法：方案1：1头牛，4只羊；方案2：3头牛，1只羊．． 22．(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 23．(1)大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 (2)八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【分析】（1）设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； （2）根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； （2）解：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：，方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 24．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据正方形的边长相等结合题意，即可求解； （2）根据两种方式得出图2的面积，即可求解； （3）根据题意设，分别表示出上面阴影部分的周长和下面阴影部分的周长，分类讨论，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：∵Ⅰ型卡片和Ⅱ型卡片分别是边长为、的正方形，型卡片是长为，宽为的长方形 ∴若选取1张Ⅱ型卡片和4张Ⅲ型卡片，则应取张Ⅰ型卡片才能用它们拼成一个新的正方形（不重叠且无缝隙），新的正方形的边长是 （2）解：依题意，图2的面积可以表示为：或； ∴可验证的等量关系为 （3）设， 设右上角的阴影部分周长为，则 左下角的阴影部分周长为，则 又∵即 第一种情况： 解得， 第二种情况： 解得， 学科网（北京）股份有限公司 $