函数的概念及其表示课件2026届高三数学二轮复习

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 体系构建 第1节　函数的概念及其表示 命题报告 命题趋势 基础(占比40%):侧重考查函数概念、定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性等基础知识,题型以选择题、填空题为主,要求考生熟练掌握基本概念和运算规则; 中档(占比40%):重点考查函数性质的综合应用(如单调性与奇偶性结合)、指数与对数函数的图象与性质、函数零点与方程根的分布问题,题型包括解答题和部分选择题,需具备一定的分析能力和计算能力; 压轴(占比20%):聚焦函数与导数、不等式的综合应用,涉及复杂函数模型、实际应用问题及创新题型,要求考生具备较强的逻辑推理、数学建模和创新能力 第1节　函数的概念及其表示 高频考点 函数概念及其表示 常以选择题形式出现,考查定义域的求解、分段函数的求值、函数解析式的确定等.近年来更注重实际背景下的函数表示(如图形、表格类问题) 函数性质 单调性、周期性和奇偶性是高频考点,常与其他知识结合 (如不等式、导数) 指数函数与对数函数 侧重比较大小、图象变换、函数性质及与导数结合的综合题,对数运算常隐含在实际问题中考查 函数与方程 重点考查零点存在性定理、二分法求近似解、函数零点与方程根的分布问题 第1节　函数的概念及其表示 命题规律 函数作为高中数学内容的一条主线,对学生整个高中阶段数学学习有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数以及抽象函数为载体,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性),常与导数、不等式、方程等必备知识结合,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想,考查学生运算求解能力、逻辑思维能力和数学建模能力等关键能力,尤其加大了对数学建模能力的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题 第1节　函数的概念及其表示 备考建议 在备考时要注意以下两点: (1)指数函数、对数函数、幂函数及一次函数、二次函数的图象和性质是基础,要求学生在理解的基础上熟练掌握这些函数的图象和性质,准确把握函数概念和性质的本质,会处理分段函数与抽象函数的相关问题,会识别函数图象的变化.同时,指对运算也是常考查的知识点,学生应加强对公式的理解及应用的训练. (2)函数性质、零点、图象等问题是函数专题的重点考查内容,注意函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用,注重数形结合、转化与化归思想的运用,为突破难点做好准备工作. 第1节　函数的概念及其表示 第1节　函数的概念及其表示 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第1节　函数的概念及其表示 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 函数概念的理解 1.(苏教版必修第一册教材习题改编)在下列图形中,能表示函数关系y=f(x)的是(　　)[命题点❶] D 返回目录 2.(人教A版必修第一册教材习题改编)下列函数中与函数y=x是同一个函数的是(　　)[命题点❹] A.y=()2 B.u= C.y= D.m= B 解析:函数y=()2和函数m=与y=x的定义域不同,则不是同一个函数,函数y==|x|与y=x的解析式不同,也不是同一个函数.故选B. 返回目录 3.(2025·甘肃平凉模拟)已知函数f(x)=x(x2-2)+1,若f(a)=-1,则f(-a)= (　　) [命题点❸] A.-3 B.-1 C.0 D.3 D 解析:由题意知f(a)=a(a2-2)+1=-1,所以a(a2-2)=-2,所以f(-a)=-a(a2-2)+1 =2+1=3.故选D. 返回目录 4.(苏教版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)=2x-3, x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数f(x)的值域为(　　)[命题点❸] A.{-1,1,3,5,7} B.(-1,7) C.[1,7] D.{1,3,5,7} A 解析:由f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},得f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=3,f(4)=5,f(5)=7,所以函数f(x)的值域为{-1,1,3,5,7}. 返回目录 5.(北师大版必修第一册教材习题改编)函数y=的定义域为　　　　　　　.[命题点❷] [-3,0)∪(0,+∞) 解析:由解得故函数的定义域为[-3,0)∪(0,+∞). 返回目录 关键点2 函数表示方法 6.(2025·辽宁沈阳二模)已知f(x-1)=ex,则f(2)=(　　)[命题点❺] A.e B.2e C.e2 D.e3 D 解析:令x-1=t∈R,则x=t+1,所以f(t)=et+1,即f(x)=ex+1,则f(2)=e3.故选D. 返回目录 7.(人教B版必修第一册教材习题改编)已知函数f(-1)=x+4-5,则f(x)的解析式是　　　　　　　　　　.[命题点❺] f(x)=x2+6x(x≥-1) 解析:f(-1)=x+4-5,设-1=t,则=t+1,t≥-1,所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5 =t2+6t,故f(x)=x2+6x(x≥-1). 返回目录 关键点3 分段函数 8.(苏教版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)=若f(a)=6,则a的值为(　　)[命题点❻] A.0 B.2 C.-3 D.2或3 B 解析:当a≥0时,则f(a)=a2+a=6,解得a=2或a=-3(舍去);当a<0时,则f(a)=5a+6=6,解得a=0(舍去). 综上所述,a=2.故选B. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.函数的概念 概 念 [❶] 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那 　　　 　任作与x轴垂直的直线,它与函数图象至多有一个交点 么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 返回目录 三 要 素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域[❷] x的取值范围 值域[❸] 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 使函数有意义的自变量的取值范围 返回目录 2.同一个函数[❹] 形式可不同,但化简后对应关系与定义域一致 (1)前提条件: ①定义域相同; ②对应关系相同. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法[❺] 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.解析式需注意定义域,图象需注意连续性,列表需注意完整性. 返回目录 4.分段函数[❻] 根据自变量所在范围,代入相应解析式 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　函数的定义域 命题视角:高考中定义域命题核心是“明暗双考”:明则直接求取,暗则嵌入方程、不等式中考查. 例1 (1)(2026·重庆阶段练习)函数y=+ln(2-x)的定义域为(　　) A.[0,2) B.[0,2] C.(-∞,2) D.(-∞,2] A 解析:由解得0≤x<2,所以函数y=+ln(2-x)的定义域为[0,2).故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·安徽亳州模拟)函数f(x+1)的定义域为[-2,2],函数g(x)=,则g(x)的定义域为(　　) A.[0,2)∪(2,4] B.[-1,2)∪(2,3] C.(,2)∪(2,4] D.(,2)∪(2,3] C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由于f(x+1)的定义域为[-2,2], 故x∈[-2,2],∴x+1∈[-1,3], 即f(x)的定义域为[-1,3], 因此g(x)=的定义域满足解得<x≤4且x≠2,故定义域为(,2)∪(2,4].故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2026·甘肃白银模拟)已知函数y=f(x)的定义域为[0,4],则函数y=+(x-2)0的定义域是(　　) A.(1,3) B.(1,2)∪(2,3] C.(1,2)∪(2,3) D.(1,3] B 解析:因为函数y=f(x)的定义域为[0,4],所以解得1<x≤3且x≠2,所以函数y=+(x-2)0的定义域是(1,2)∪(2,3].故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 能力要语 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数的解析式 命题视角:高考聚焦求函数解析式的常见方法(待定系数法、换元法、配凑法等)及灵活应用,常与函数性质、导数结合考查. 例2 (1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; (2)已知f(x+)=x2+,求f(x)的解析式; (3)已知f(x)是一次函数,且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; (4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)(配凑法)∵f(x+)=x2+=(x+)2-2,∴f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17, ∴解得 ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (4)(解方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x,① ∴将x用-x替换,得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①②解得f(x)=3x. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (原创)(1)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)为一次函数,则f(x)的解析式为　　 　　　.  f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9 解析:因为f(x)为一次函数,所以设f(x)=kx+b(k≠0),所以f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+b(k+1),因为f(f(x))=4x+9,所以k2x+b(k+1)=4x+9恒成立,所以 解得所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)若函数f(x),g(x)满足f(x)+g(x)=x+6,且f(x)-2f()=2x-,则f(1)+g(-1) =　　　　　.  9 解析:由f(x)-2f()=2x-,可知f()-2f(x)=-4x, 联立可得f(x)=2x,所以g(x)=6-x, 所以f(1)+g(-1)=9. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (3)已知f(+2)=2x+1,则f(x)=　　　 　　.  2x2-8x+9(x≥2) 解析:令t=+2,t≥2,则x=(t-2)2, 所以f(t)=2(t-2)2+1=2t2-8t+9, 所以f(x)=2x2-8x+9(x≥2). 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 据已知条件,择合适方法,换元、配凑、待定系数、列方程(组)求解函数解析式. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　分段函数及应用 角度 1 命题视角:聚焦分段函数求值、求参数范围、解分段不等式及图象应用,考查分类讨论思想与数形结合能力. 分段函数求值(参数) 例3 (1)(2025·浙江杭州模拟)已知函数f(x)=则f(f(1))=(　　) A.-1 B.- C.1 D.e B 解析:因为函数f(x)=所以f(1)=ln 1-1=-1,所以f(f(1))=f(-1)= -e-1=-故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·江西南昌二模)已知函数f(x)=若f(1-a)=4,则a的值为 (　　) A.0或 B.0或 C. D. A 解析:若1-a≥0,即a≤1,可得f(1-a)=41-a=4,解得a=0,符合;若1-a<0,即a>1,可得f(1-a)=22a-1=4,解得a=,符合.综上可知,a的值为0或故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a=(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 A 解析:因为f(1)=21=2,所以f(a)+2=0,所以f(a)=-2,当a≤0时,f(a)=a+1=-2,解得a=-3;当a>0时,f(a)=2a=-2,无解.综上,a=-3. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 分段函数与不等式 例4 已知函数f(x)=若a[f(a)-f(-a)]>0,则实数a的取值范围是 (　　) A.(2,+∞) B.[-2,0)∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2) D 解析:由a[f(a)-f(-a)]>0,知a≠0,若a>0,则f(a)-f(-a)>0,即a+1-[-2×(-a)-1]>0,解得a<2,所以0<a<2;若a<0,则f(a)-f(-a)<0,即-2a-1-(-a+1)<0,解得a>-2,所以 -2<a<0.综上,不等式的解集为(-2,0)∪(0,2).故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (一题多解)(2026·宁夏银川调研)设函数f(x)=则满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是(　　) A.(-1,0) B.(1,+∞) C.(0,1) D.(-1,1) B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析: (方法1)当x≤-1时,x+1≤0,2x≤-2,f(x+1)=1,f(2x)=1,则f(2x)>f(x+1)不成立;当-1<x≤0时,x+1>0,2x≤0,f(x+1)=3x+1,f(2x)=1,由f(2x)>f(x+1),得3x+1<1=30,则x<-1,与-1<x≤0矛盾,舍去;当x>0时,x+1>1,2x>0,f(x+1)=3x+1,f(2x)=32x,由f(2x)>f(x+1),得32x>3x+1,则2x>x+1,得x>1.综上,满足f(2x)>f(x+1)的x的取值范围是(1,+∞). (方法2)画出f(x)的大致图象,如图所示. 若f(2x)>f(x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解得x>1. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 判断自变量所属区间,代入对应解析式求值. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 1.看x的值确定区间,分段处理,验临界点. 2.分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集.各段函数定义域的交集是空集. 答题要语 分类讨论自变量所在区间,代入对应解析式解不等式. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:加强分段函数与不等式综合,常通过含参讨论、解不等式组形式,考查分类讨论思想. 1.已知函数f(x)=x2,g(x)= 若g(x)满足g(x)≤2-x,则x的取值范围为　　　　　.  (-∞,1] 解析: 由已知得g(x)=当x≥0时,x2≤2-x,解得-2≤x≤1,因此0≤x≤1;当x<0时,-x2≤2-x,不等式恒成立,因此x<0. 综上,x的取值范围为(-∞,1]. 返回目录 命题趋势2:聚焦函数新定义与图象应用,结合现实情境或新规则,考查信息转化、图象分析与创新应用能力. 2.(2025·海南模拟)对于函数f(x),若存在两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),其中x1+x2=0,f(x1)=f(x2),则称A,B两点为函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)=则f(x)共有“隐对称点”的对数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 返回目录 解析:等价转化为函数y=f(x)(x≥0)与函数y=f(-x)(x>0)的图象的交点个数,作出函数f(x)的大致图象如图所示,再作出曲线y=2x(x<0)关于y轴对称的曲线C:y=f(-x)(x>0)的图象,数形结合可知曲线y=x|2-x|(x≥0)与曲线C有3个交点,所以f(x)图象上“隐对称点”有3对.故选C. 返回目录 模块内融合:与指数函数、对数函数、绝对值函数结合,通过解方程、求值域等形式综合考查函数性质与变形技巧. 3.(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=则f(log29)的值为 (　　) A. B. C. D. B 解析:由于log29>3, 则f(log29)=f(log29)=f(log23)==3+故选B. 返回目录 4.(2025·河北邢台三模)若不等式|x+1|+|x-3|>m恒成立,则正实数m的整数解的个数为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 B 解析:令f(x)=|x+1|+|x-3|=当x<-1时,函数f(x)=2-2x单调递减,所以f(x)>f(-1)=4;当-1≤x≤3时,函数f(x)=4;当x>3时,函数f(x)=2x-2单调递增,所以f(x)>f(3)=4.综上可得,函数f(x)的最小值为4,要使得不等式|x+1|+|x-3| >m恒成立,则满足m<4,因为m为正实数,所以0<m<4,所以m的整数解取值为1,2,3,共有3个.故选B. 返回目录 模块外融合:与导数、三角函数、数列等知识交叉,常涉及求最值、判断单调性等,突出综合运用与转化能力. 5.(原创+模块间融通)已知函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且数列{an}是递增数列,则a的取值范围是(　　) A. (-,-) B.[-,-4] C.[-,-3] D. (-,-) A 返回目录 解析:因为数列{an}是递增数列,可知当n≤3,n∈N*时,f(n)=-n2-2an-a= -(n+a)2+a2-a单调递增,即-a≥3或解得a<-;当n≥4时, f(n)=2n+ln(n-3)为递增数列,且f(4)>f(3),即24+ln(4-3)>-9-6a-a,解得a>-,所以若数列{an}是递增数列,则-<a<-故选A. 返回目录 $