精品解析：广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学2024-2025学年第二学期第二次月考高二数学试卷

大亚湾一中2024-2025学年第二学期第二次月考 高二数学试卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 3. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数. 【详解】在的展开式中，项为， 所以的系数为. 故选：A 5. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式及概率的性质计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为且，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为且，所以，故D正确. 故选：C 6. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式和对立事件的概率公式即可求得. 【详解】因，则，，1，2，3. . 故选：A. 7. 已知为等差数列，为等比数列，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差、等比数列概念可得、通项，即可得出答案. 【详解】∵为等差数列且， ∴， ∴，，， ∵为等比数列且， ∴， ∴，，， ∴当时，，当时，，故A、B不正确； ∵，，∴， 故选：C. 8. 已知实数，满足 ，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解. 【详解】由，可得，则，可得， 因为函数在定义域上为单调递增函数， 又由，所以 ，可得，即 所以. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（ ） A. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C. 若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 D. 若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相关系数、决定系数的概念一一判断即可. 【详解】对于A：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A正确； 对于B：用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故B错误； 对于C：若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点，故C正确； 对于D：若和的样本相关系数，所以和成负相关， 又且接近，所以和之间具有很强的线性相关关系， 所以和之间具有很强的负线性相关关系，故D正确. 故选：ACD 10. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，解得，所以AB选项正确. ，所以 ，C选项错误. ， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 11. 已知函数，设，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出函数的图象，当时由于可得可判断A，结合基本不等式可判断B；数形结合，结合函数的单调性可判断CD. 【详解】作出函数的图象，如图示： 对于A，当时，由于，可知， 则，则，即，A正确； 对于B，由于，则， 即，则，B正确； 对于D，当时，， 若，由于，在单调递增，则； 若，则，所以当时，必有，故D错误； 对于C，当时，， 如下图： 存在，使成立，故C正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是作出函数的图象数形结合求解. 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答） 【答案】78 【解析】 【分析】先排有约束条件的元素，因为要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，所以需要针对于不最后一个出场的歌手第一个出场，不最后一个出场的歌手不第一个出场，根据分类计数原理得到结果. 【详解】分两种情况： 当不最后一个出场的歌手第一个出场时，有种排法； 当不最后一个出场的歌手不第一个出场时，有种排法； 则共有种不同的排放. 故答案为：78. 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件，即可得出答案. 【详解】由已知可得， 根据正态分布的对称性可知. 又，所以. 故答案为：. 14. 已知，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用凑角法和同角三角函数关系得到方程组，求出，，从而利用进行求解. 【详解】， ， 故， 所以， 解得，故， 所以 . 故答案为： 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 16. “政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评． 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （1）完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联； （2）现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，该食堂的好评率和更换厨师有关联 （2） x 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）先结合题意求出列联表，再求出进行独立性检验即可. （2）先依据抽样调查的性质判断可能的取值，再求出每个取值对应的概率，最后求出分布列和数学期望即可. 【小问1详解】 由题可得列联表， 好评 非好评 合计 更换厨师前 400 1600 更换厨师后 3200 800 4000 合计 4400 5600 记零假设为：该食堂的好评率和更换厨师无关． 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该食堂的好评率和更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不超过． 【小问2详解】 由题可知，抽样调查的8位老人中， 好评的人数为人，非好评的人数为2人，则的可能取值为． 而；；； 从而X的分布列为： x 1 2 3 P 则数学期望． 17. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时， 恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时， . 【答案】（1）的单调递减区间为； 的单调递增区间为； （2）； （3）证明： 等价于 设， ∴，由（2）知时， 恒成立， 所以， ∴恒成立 ∴在上单调递增， ∴，因此时，有. 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；（2）先将不等式中参数分离分离出来可得： ，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；（3）先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此时，有： 试题解析：（1））当时，则，令得，所以有 即时， 的单调递减区间为； 的单调递增区间为. （2）由，分离参数可得： ， 设， ， ∴，又∵， ∴，则在上单调递减， ∴，∴ 即的取值范围为. （3）略 点睛：解答本题的第一问时，先对函数求导得，借助导函数值的符号与函数单调性之间的关系求出其单调区间；求解第二问时，先将不等式中参数分离出来可得，再构造函数， ，求导得，借助，推得，从而在上单调递减， ，进而求得；第三问的证明过程中，先将不等式等价转化为，再构造函数，求导可得，由（2）知时， 恒成立，所以，即恒成立，故在上单调递增，所以，因此证得当时，不等式成立． 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大亚湾一中2024-2025学年第二学期第二次月考 高二数学试卷 本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. 10 C. D. 80 5. 下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为等差数列，为等比数列，其中，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，满足 ，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 对变量和的一组样本数据，，…，进行回归分析，建立回归模型，则（ ） A. 残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B. 用决定系数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好 C. 若由样本数据得到经验回归直线，则其必过点 D. 若和的样本相关系数，则和之间具有很强的负线性相关关系 10. 已知离散型随机变量，满足，其中的分布列为：且，则下列正确的是（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 11. 已知函数，设，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：（本大题共3小题，每题5分，共计15分） 12. 安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是_____________.（用数字作答） 13. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________. 14. 已知，，则________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16. “政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评． 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （1）完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联； （2）现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 17. 已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 设函数. （1）当时，求的单调区间； （2）当时， 恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时， . 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $