题号猜押04 辽宁中考数学20-21题（锐角三角函数、圆的综合题，二次函数实际应用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押04 辽宁中考数学20-21题 （锐角三角函数） 考点1 三角函数--仰角和俯角 1．（2026·辽宁铁岭·三模）在学习完“利用三角函数测高”知识后，某综合实践活动小组，尝试通过利用三角函数的知识测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案，请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长），（精确到米） 【方案一】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为；利用无人机垂直上升到海拔高度为米的处时（米），测得与山顶处的仰角为．（参考数据：）    考点2 三角函数---构造矩形和直角三角形 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，D在上，，D、E、F三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 考点3 三角函数解决实际问题 1．（2026·辽宁鞍山·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型做出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区规划一块矩形区域建设充电站，共有10个停车位．如图是充电站（矩形）的平面示意图，矩形、……，都是充电站的停车位，且所有停车位的长宽都相同，按图示并列划定．经测量，，，，最后一个停车位右侧边的延长线恰好经过顶点，求的长度．（参考数据：，，，结果精确到） 考点4 三角函数---坡度与坡比 1．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 考点5 三角函数---母子模型 1．（2026·河南安阳·一模）殷墟博物馆新馆是首个全景式展现商文明的国家重大考古专题博物馆．某校数学兴趣小组开展“测量殷墟博物馆新馆主体建筑高度”的综合实践活动．如图，测量小组在博物馆正前方的水平地面上选取了，两点（点，，在同一直线上），用高为米的测角仪进行测量．在处测得博物馆顶端的仰角为，然后沿方向前进米到达处，在处测得顶端的仰角为． (1)求博物馆主体建筑的高度（参考数据：，，，，，）． (2)查阅资料得知，殷墟博物馆新馆主体建筑实际高度的参考值约为22米．请计算本次测量的相对偏差（相对偏差），并分析产生偏差的可能原因（写出一条即可）． （二次函数实际应用） 考点1 二次函数实际应用---最大利润问题 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 2．（2026·辽宁辽阳·一模）某商店销售一种商品，已知该商品每件的成本价为40元，当该商品每件的售价为50元时，每天可以售出100件．市场调研表明，每件的售价每上涨5元，每天的销售量就会减少10件．设该商品每件的售价为x元，每天销售量为y件，每天的总利润为W元． (1)求销售量y与售价x之间的函数关系式； (2)求当售价x为多少元时，每天的总利润W最大？最大利润是多少元？ 考点2 二次函数实际应用---最大面积问题 1．（2026·广西贺州·一模）【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．点P从点O出发，沿x轴以每秒一个单位长度的速度向点A运动，到达点A时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点A，B的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，设的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． (3)当t为何值时S最大？最大面积是多少？ 考点3 利用顶点式求抛物线解析式 1．（2026·辽宁沈阳·一模） 活动主题 无人机喷洒研究 项目背景 无人机喷洒技术在现代农业中逐渐普及，它能高效精准地为农作物供水、打药、施肥等，减少资源浪费，提升喷洒效率，助力农业现代化发展． 驱动问题 如何优化无人机喷洒方案，实现更高效、更精准的喷洒． 采集数据 如图①，是无人机的示意图，其中点为无人机的控制中心，点，是喷水口，点，，在同一水平直线上，． 图① 建立模型 如图②，以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴相交的点为，． 图② 设计方案 为了提高喷洒效率，如图③，在直线上再增加两个喷水口和，点在点左侧，点在点右侧，且，从点和喷水口喷出的水流的形状均与从喷水口喷出的相同． 图③ 根据以上信息，解决下列问题： (1)求点所在抛物线的函数表达式； (2)如图③，当无人机上升到距地面高度为时，求喷洒覆盖宽的长． 2．（2026·辽宁大连·二模）春节期间，小明要在家里的落地窗户上悬挂彩带．为此，小明开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在落地窗户上悬挂彩带 活动准备 1．找出家里购买的彩带； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 如图1是小明家的落地窗户，其左右两部分关于立柱所在的直线成轴对称，其右侧底部为矩形，上部为一条抛物线L，测得，，两条抛物线的顶点A，与点D构成等腰直角三角形（，）．家里购买的彩带总长约为．彩带全部挂到窗户上． 设计方案 小明在抛物线L上选取点E，过点E作，交抛物线于点，过点E作，垂足为F，过点作，垂足为，线段，，为所挂彩带．为了更美观，彩带尽可能的悬挂高一些． 确定思路 小明经过思考，如图2，确定以的中点O为坐标原点，线段所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．根据是等腰直角三角形求出点A坐标，根据顶点式求出抛物线L的表达式，利用抛物线的表达式表示出彩带的总长，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线L的表达式； (2)求点E的坐标， 考点4 利用一般式求抛物线解析式 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 2．（2026·河南周口·模拟预测）问题情境：无人机执行航拍任务时的水平飞行与下落轨迹可看作抛物线．某款无人机从地面点起飞，沿抛物线轨迹水平飞行并降落至地面点，其飞行轨迹的最高点距地面80米，起飞点与落地点的水平距离为200米． 数学建模：如图，以地面所在直线为轴，起飞点点为原点，过点与地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，无人机的飞行轨迹为抛物线． 问题： (1)请直接写出该抛物线的顶点坐标，并求出抛物线的函数表达式； (2)若无人机从点先竖直上升100米到点后再沿抛物线的轨迹飞行，落地点为（点在轴的正半轴上），求起飞点与落地点的水平距离的长； (3)实验表明：该无人机在飞过建筑物时，与建筑物上表面的竖直距离不少于5米才能保证航拍安全．地面上有一长方体建筑物，其底面为矩形，长60米，宽忽略不计，建筑物高度为70米，无人机从距离建筑物左侧100米的地面处起飞，判断无人机能否安全飞过该建筑物，并说明理由． （圆的综合题） 考点1 圆的综合---求阴影面积 1．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知内接于，且是的直径，点D为的中点，点E在的延长线上，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，若， ，求与弦围成的阴影部分的面积． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，过点A作交的延长线于点E，若， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 考点2 圆的综合---求弧的长度 1．（2026·辽宁·一模）如图，、为的两条直径，点在的延长线上，与相切，，弦平分，弦与相交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 2．（2026·辽宁丹东·一模）已知：如图，在中，，以为直径作，交于点，与所在直线交于点，连接． (1)如图1，点在边上，当时，求的度数； (2)如图2，点在边延长线上，若，，求的长． 考点3 圆的综合---求半径的长度 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，为的外接圆，为直径，点为半圆上一点，连接，与交于点，点为延长线上一点，连接，且． (1)求证：为切线； (2)若，，，求的半径长． 2．（2026·安徽六安·二模）如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 考点4 圆的综合与三角函数 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于． (1)求证：是切线． (2)若，． ①求的半径． ②求线段的长． 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，点是的中点，连接，点在直径的延长线上，过点作的切线，切点为，连接交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 1．（2026·辽宁大连·一模）如图，四边形内接于，且是的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 2．（2026·北京大兴·一模）如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 3．（2026·浙江杭州·二模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．    (1)求证：为的切线； (2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）四边形是的内接四边形，连接，，延长至点E． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，的半径为2，求的面积． 5．（2026·河南周口·一模） 如图，⊙O为 的外接圆，为⊙O直径，，点D在劣弧上， 交于E，连接． (1)求证: (2)若 求⊙O的半径． 6．（2026·山西·三模）综合与实践 在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） (1)求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式． (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长． (3)如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围． 7．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图像：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图像的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为．如图，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． (1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． (2)如图，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． 9．（2026·山西晋中·一模）综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： (1)去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； (2)求与的函数表达式； (3)去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 10．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求与的函数表达式，并求的最大值． 11．（2026·辽宁·模拟预测）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为元、元，与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求，与x之间的函数解析式； (2)若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 12．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 13．（2026·全国·二模）问题：如何将物品搬过直角过道？ 情境：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形的一边靠在上 2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点O在边上 3 旋转 如图2，将矩形绕点O旋转 4 推移 将矩形沿方向继续推移 探究： (1)如图2，已知，，小明求得后，说：“，按规定步骤进行，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明； (2)如图3，物品转弯时被卡住（C、B分别在墙面与上），若，求的长； (3)求该过道可以通过的物品最大长度．（精确到，） 14．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 15．（2026·陕西·模拟预测）某数学实践活动小组准备用学过的数学知识测量学校教学楼的高度，共设计了如下两种测量方案： 方案 甲 乙 测量工具 标杆、卷尺等 测角仪、卷尺等 测量示意图 测量过程 如图①，在点处竖立一根标杆，发现教学楼的顶点、标杆的顶点与地面上的点在同一直线上，在点处竖立一根标杆，发现教学楼的顶点、标杆的顶点与地面上的点在同一直线上，利用卷尺测量、、的长度及标杆、的高度 如图②，在点处利用高为的测角仪测得教学楼顶点的仰角的度数，在点处利用高为的测角仪测得教学楼顶点的仰角的度数，利用卷尺测得的长度及测角仪、的高度 图形说明 ，，，点、、、、在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 ，，，点、、在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 测量数据 ，，， ，，， （参考数据：，，，，，） 请选择一种方案：_________（填“甲”或“乙”），计算学校教学楼的高度． 16．（2026·上海奉贤·二模）综合知识的应用： (1)某社区有一个宽度（CD）为3米的矩形健身区，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示）．求每一个矩形器材区的边长； (2)为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案： （i）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道； （ii）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等； （iii）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形中，． ①求平行四边形器材区的另一边的长； ②求新建矩形健身区另一边的长度．（结果保留整数参考数据） 17．（2026·湖南娄底·模拟预测）紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，） (1)求小路的长度； (2)求梯田坡面的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押04 辽宁中考数学20-21题 （锐角三角函数） 考点1 三角函数--仰角和俯角 1．（2026·辽宁铁岭·三模）在学习完“利用三角函数测高”知识后，某综合实践活动小组，尝试通过利用三角函数的知识测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案，请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长），（精确到米） 【方案一】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，） 【方案二】 在该山体对面的山坡上选取一点，其海拔高度为米，测得与山顶处的仰角为；利用无人机垂直上升到海拔高度为米的处时（米），测得与山顶处的仰角为．（参考数据：）    【答案】山体高度约为米 【分析】过点作于点，过点作于点，构造两个矩形得到， ，，利用角得，设米，再结合角的正切值列方程求解，最后加上得出山体总海拔． 【详解】解：选择方案二进行问题解决： 过点作于点，过点作于点， 依题意知，矩形，矩形，    ∴米，米，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， 在Rt中，，， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 答：山体高度约为米． 考点2 三角函数---构造矩形和直角三角形 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，D在上，，D、E、F三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】 【分析】作于M，于N，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，得，最后在中，根据求解即可． 【详解】解：作于M，于N， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． 考点3 三角函数解决实际问题 1．（2026·辽宁鞍山·一模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型做出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区规划一块矩形区域建设充电站，共有10个停车位．如图是充电站（矩形）的平面示意图，矩形、……，都是充电站的停车位，且所有停车位的长宽都相同，按图示并列划定．经测量，，，，最后一个停车位右侧边的延长线恰好经过顶点，求的长度．（参考数据：，，，结果精确到） 【答案】的长度约为 【分析】由题意，四边形和四边形均为矩形，解得出，进而求得，解得出，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：由题意，四边形和四边形均为矩形， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， 答：的长度约为． 考点4 三角函数---坡度与坡比 1．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 考点5 三角函数---母子模型 1．（2026·河南安阳·一模）殷墟博物馆新馆是首个全景式展现商文明的国家重大考古专题博物馆．某校数学兴趣小组开展“测量殷墟博物馆新馆主体建筑高度”的综合实践活动．如图，测量小组在博物馆正前方的水平地面上选取了，两点（点，，在同一直线上），用高为米的测角仪进行测量．在处测得博物馆顶端的仰角为，然后沿方向前进米到达处，在处测得顶端的仰角为． (1)求博物馆主体建筑的高度（参考数据：，，，，，）． (2)查阅资料得知，殷墟博物馆新馆主体建筑实际高度的参考值约为22米．请计算本次测量的相对偏差（相对偏差），并分析产生偏差的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1) (2)，产生偏差的可能是测量的误差，包括距离的测量和仰角的测量误差，且在计算时进行四舍五入取近似数，也是导致偏差的原因之一 【分析】（1）延长交于点，则，设，则在中，，在中，，根据，得到，求解即可解答； （2）根据相对偏差的计算公式计算即可． 【详解】（1）解∶延长交于点，由题意知，． 设， ∵在中，， ． ∵在中，， ． ， ，即． 解得． ． 答：博物馆主体建筑的高度约为． （2）解：相对偏差为． 产生偏差的可能是测量的误差，包括距离测量和仰角测量的误差，且在计算时进行四舍五入取近似数，也是导致偏差的原因之一． （二次函数实际应用） 考点1 二次函数实际应用---最大利润问题 1．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市以每件13元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（13≤x≤18）， (2)销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），根据坐标（14，220），（16，180）代入求值即可； （2）根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可； 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18），由图象可知， 当时，；当时，， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式是（13≤x≤18）， （2）设每天所获利润为w元， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当x＜19时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值， （元）， 答：销售单价定为18元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是700元； 2．（2026·辽宁辽阳·一模）某商店销售一种商品，已知该商品每件的成本价为40元，当该商品每件的售价为50元时，每天可以售出100件．市场调研表明，每件的售价每上涨5元，每天的销售量就会减少10件．设该商品每件的售价为x元，每天销售量为y件，每天的总利润为W元． (1)求销售量y与售价x之间的函数关系式； (2)求当售价x为多少元时，每天的总利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据题意可以得到售价x（元/件）与每天销售量y（件）之间的函数关系式； （2）根据日利润=销售量×每件利润．利用配方法即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，最大， 答：当售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是1800元． 考点2 二次函数实际应用---最大面积问题 1．（2026·广西贺州·一模）【综合与实践】为了去海边冲浪，小明妈妈买来一块长宽的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间（地面是长方形，布料接头部分忽略不计），小明发现高的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化．设临时换衣间长方形地面的一边长为，临时换衣间地面面积为，请你帮小明解决以下问题： (1)求出与的函数关系； (2)求为何值时，临时换衣间的地面面积最大？最大面积是多少？ (3)小明发现离洗浴地不远处有一栋长高的建筑外墙．若利用部分墙体，你能帮小明设计地面面积更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行说明． 【答案】(1) (2)当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是 (3)小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）由题意得，长方形的宽为：，根据长方形的面积公式即可得出答案； （2）根据二次函数的性质即可得出答案； （3）设长方形的长为，则宽为，面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的宽为：， 则； （2）解：由（1）得，； ∵，故函数有最大值， 当时，函数的最大值为：， 即当时，临时换衣间的地面面积最大，最大面积是； （3）解：能． 设长方形的长为，则宽为， 则， ， 故函数有最大值， 当时，函数的最大值为， 即小明的地面面积可以更大，当长为 时，最大面积为． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B．点P从点O出发，沿x轴以每秒一个单位长度的速度向点A运动，到达点A时停止运动，运动时间为t秒． (1)求点A，B的坐标． (2)过点P作x轴的垂线，交直线l于点Q，设的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围． (3)当t为何值时S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)点的坐标为，点B的坐标为 (2) (3)当时，取最大值，最大面积是4 【分析】（1）分别令求解即可； （2）由题意，得点的坐标为，即可得到，然后用的代数式表示出，再由三角形面积公式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数． 令，则． 解得， 点的坐标为． 令，则 点B的坐标为． （2）解：由题意，得点的坐标为， ． 点 ． 轴，点在直线上， 点的坐标为． ． ∴S关于的函数关系式为 （3）解：． 抛物线的开口向下 ， 当时，取最大值，最大面积是4． 考点3 利用顶点式求抛物线解析式 1．（2026·辽宁沈阳·一模） 活动主题 无人机喷洒研究 项目背景 无人机喷洒技术在现代农业中逐渐普及，它能高效精准地为农作物供水、打药、施肥等，减少资源浪费，提升喷洒效率，助力农业现代化发展． 驱动问题 如何优化无人机喷洒方案，实现更高效、更精准的喷洒． 采集数据 如图①，是无人机的示意图，其中点为无人机的控制中心，点，是喷水口，点，，在同一水平直线上，． 图① 建立模型 如图②，以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴相交的点为，． 图② 设计方案 为了提高喷洒效率，如图③，在直线上再增加两个喷水口和，点在点左侧，点在点右侧，且，从点和喷水口喷出的水流的形状均与从喷水口喷出的相同． 图③ 根据以上信息，解决下列问题： (1)求点所在抛物线的函数表达式； (2)如图③，当无人机上升到距地面高度为时，求喷洒覆盖宽的长． 【答案】(1)． (2)喷洒覆盖宽的长为． 【分析】（1）由题意得，，利用待定系数法即可求得点所在抛物线的函数表达式． （2）由题意得，故，，过点的抛物线和过点的抛物线关于轴对称，过点抛物线表达式为，即点和点关于轴对称，当时，．求解后即可求得的长． 【详解】（1）解：由题意得，， ，， 设点所在抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 点所在抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意得， ，， 过点的抛物线和过点的抛物线关于轴对称， 过点抛物线表达式为， 点和点关于轴对称， 当无人机上升到距地面高度为时，点和点的纵坐标是． 当时，． 解得，． 点的横坐标是，点的横坐标是， ， 喷洒覆盖宽的长为． 2．（2026·辽宁大连·二模）春节期间，小明要在家里的落地窗户上悬挂彩带．为此，小明开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在落地窗户上悬挂彩带 活动准备 1．找出家里购买的彩带； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 如图1是小明家的落地窗户，其左右两部分关于立柱所在的直线成轴对称，其右侧底部为矩形，上部为一条抛物线L，测得，，两条抛物线的顶点A，与点D构成等腰直角三角形（，）．家里购买的彩带总长约为．彩带全部挂到窗户上． 设计方案 小明在抛物线L上选取点E，过点E作，交抛物线于点，过点E作，垂足为F，过点作，垂足为，线段，，为所挂彩带．为了更美观，彩带尽可能的悬挂高一些． 确定思路 小明经过思考，如图2，确定以的中点O为坐标原点，线段所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．根据是等腰直角三角形求出点A坐标，根据顶点式求出抛物线L的表达式，利用抛物线的表达式表示出彩带的总长，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线L的表达式； (2)求点E的坐标， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意建立平面直角坐标系，得出关键点、对称轴；利用等腰直角三角形性质，求出抛物线顶点A坐标；设抛物线顶点式，代入已知点D坐标，求a；写出抛物线解析式． （2）设点E横坐标为x，结合轴对称表示、、、长度；根据彩带总长列一元二次方程； 解方程得两个x值；依据悬挂更高，结合抛物线对称轴取舍x；代入解析式，求出纵坐标，确定E坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． ∵ ． ∵，窗户左右对称， 抛物线的对称轴为直线． 为等腰直角三角形，，， 顶点横坐标为， 竖直方向：， 即． 设抛物线解析式为： 将代入得： 解得： 抛物线的表达式为： 化为一般式：； （2）解：设点 由轴对称得：． ， ． 由彩带总长为，得： 化简得： 整理得： 解得：． 要求彩带悬挂尽可能高，抛物线开口向下， 横坐标越靠近对称轴，位置越高， 取． 将代入解析式： 点坐标为． 考点4 利用一般式求抛物线解析式 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 2．（2026·河南周口·模拟预测）问题情境：无人机执行航拍任务时的水平飞行与下落轨迹可看作抛物线．某款无人机从地面点起飞，沿抛物线轨迹水平飞行并降落至地面点，其飞行轨迹的最高点距地面80米，起飞点与落地点的水平距离为200米． 数学建模：如图，以地面所在直线为轴，起飞点点为原点，过点与地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，无人机的飞行轨迹为抛物线． 问题： (1)请直接写出该抛物线的顶点坐标，并求出抛物线的函数表达式； (2)若无人机从点先竖直上升100米到点后再沿抛物线的轨迹飞行，落地点为（点在轴的正半轴上），求起飞点与落地点的水平距离的长； (3)实验表明：该无人机在飞过建筑物时，与建筑物上表面的竖直距离不少于5米才能保证航拍安全．地面上有一长方体建筑物，其底面为矩形，长60米，宽忽略不计，建筑物高度为70米，无人机从距离建筑物左侧100米的地面处起飞，判断无人机能否安全飞过该建筑物，并说明理由． 【答案】(1) (2) 米 (3)无人机不能安全飞过该建筑物． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式， （1） 利用对称性确定顶点，设顶点式方程，代入已知点求系数； （2）原抛物线整体上移单位，解新方程与地面（）的交点； （3） 计算建筑物范围内无人机最低高度（处），对比安全阈值米． 【详解】（1）解：根据题意得，起飞点A的坐标为，落地点的坐标为 ．飞行轨迹的最高点距地面80米，对称轴为 ． ∴抛物线的顶点坐标为 (100,80)． 设抛物线的函数表达式为顶点式： ．得： 解得：， ∴抛物线的函数表达式为： （2）解：无人机从A点竖直上升100米到点C，则点C的坐标为 ． 如图： 新的飞行轨迹是沿原抛物线轨迹， ， 无人机落地时，高度 ，即 ， 解得 ， ． 因为落地点D在x轴的正半轴上，所以取 ． 即落地点D的坐标为 ． 起飞点与落地点的水平距离的长为 米． （3）解：不能安全飞过该建筑物．理由如下： 根据题意，无人机从距离建筑物左侧100米处起飞，建筑物长60米．以起飞点为原点建立坐标系，则建筑物在坐标系中位置，如图：；，， ． 建筑物高度为70米，为保证航拍安全，无人机与建筑物上表面的竖直距离不少于5米，即当时，无人机的高度 必须满足 米． 无人机的飞行轨迹方程为 ，该抛物线的对称轴为 ，开口向下．当时，函数 随增大而减小， 当 时，无人机的高度最低． 米 无人机飞过建筑物时的最低高度为51.2米． 因为 ，所以无人机不能保证与建筑物上表面有至少5米的安全距离． 故，无人机不能安全飞过该建筑物． （圆的综合题） 考点1 圆的综合---求阴影面积 1．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知内接于，且是的直径，点D为的中点，点E在的延长线上，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，若， ，求与弦围成的阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，再由点D为的中点，以及，可得从而得到，进而得到，即可求证 （2）连接，证明四边形是平行四边形，．可得，再结合点D为的中点，可得，，然后在中，根据锐角三角函数可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接． ∵是的直径， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴ ． ∴， ， ∴， ， ∴为的切线； （2）解：如图2，过点C作于点F，连接． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∴． ∵点D为的中点， ∴， ， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∵ ∴． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接，过点A作交的延长线于点E，若， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线性质定理及勾股定理求得圆的半径，进而求得，再在中由正弦函数关系即可求解； （2）由（1）所求可求得，利用即可求解． 【详解】（1）解：是的切线，是的半径， ∴． ， 设， 则． 在中，由勾股定理，得， ， 解得． ． 在中，，， ， ， ， ， ， 在中，， ； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ， ． 考点2 圆的综合---求弧的长度 1．（2026·辽宁·一模）如图，、为的两条直径，点在的延长线上，与相切，，弦平分，弦与相交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，因此； （2）连接，容易判断是等边三角形，则，，由角平分线的性质可得，结合圆周角定理可得，．使用三角函数计算出，，则，最后使用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 2．（2026·辽宁丹东·一模）已知：如图，在中，，以为直径作，交于点，与所在直线交于点，连接． (1)如图1，点在边上，当时，求的度数； (2)如图2，点在边延长线上，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等边对等角得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，则，由直角三角形中的两个锐角互余即可得出答案． （2）连接，，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三线合一的性质得出，再根据正弦的定义得出，由外角的定义得出，由余弦的定义得出，再求出半径，由圆周角定理得出，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， （2）解：连接，， ∵，， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， 在Rt中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 考点3 圆的综合---求半径的长度 1．（2026·辽宁鞍山·一模）如图，为的外接圆，为直径，点为半圆上一点，连接，与交于点，点为延长线上一点，连接，且． (1)求证：为切线； (2)若，，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，再根据为直径，得出，由半径相等得出，进而得出，即可得证； （2）连接，先证明为等边三角形，解，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ，为半径， ∴为切线． （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ，． 在中，， ， 2．（2026·安徽六安·二模）如图，为的直径，四边形内接于，连接，，与交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】（1）由是直径推出，结合已知，推出，垂直于弦 ，所以，最后根据 “等弧对等弦”即可求证； （2）由 ，得， 设半径，则， 在中利用勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， 即， ， ， ∴平分弧， ； （2）解：，， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得， 即的半径长为． 考点4 圆的综合与三角函数 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于． (1)求证：是切线． (2)若，． ①求的半径． ②求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①3；② 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）①可证明，得到，利用勾股定理得到，证明，得出，据此求的长即可得到答案；②证明，根据相似三角形对应边成比例解答即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵是的半径， 是的切线； （2）解：①由（1）可知，则，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3； ②， ， ， 2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，是的直径，点是的中点，连接，点在直径的延长线上，过点作的切线，切点为，连接交于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由圆周角定理得到为等腰直角三角形，连接，由圆的切线的性质得到，则，再由圆周角定理可得，最后根据求解； （2）先求出，然后由，得到，由勾股定理得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点是的中点， 是的直径， ， 如图，连接 是的切线， ∴ ； （2）解：由（1）得，， ， 连接， ∵， 在中，设， ， 由勾股定理得， 整理得， 解得或（舍去）， ． 1．（2026·辽宁大连·一模）如图，四边形内接于，且是的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理： （1）证明后，即可得到； （2）利用切线性质和等边对等角得，再利用特殊角的三角函数值得到的半径，最后用弧长公式即可． 【详解】（1）证：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：是的切线， ，即， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 在中，， 的半径， 由（1）知，， ， 的长． 2．（2026·北京大兴·一模）如图，内接于，，是上一点，连接交于点，使，延长至点，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角和同弧所对的圆周角相等，得出，再根据直角三角形两锐角互余，推出，从而得出，最后根据度的圆周角所对的弦是直径得出是直径，即可证明结论； （2）利用角的正切值，得出，利用等角对等边得出，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴​， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴​， ∴， ∴． 3．（2026·浙江杭州·二模）如图①，是的外接圆，点在上，延长至点，使得．    (1)求证：为的切线； (2)若的角平分线交线段于点，交于点，连接，如图②，其中，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，同角的余角相等得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）通过证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，再根据圆周角定理以及相似三角形的性质得出，代入计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图，   ，， ， ， ， 是直径， ，即， ， ， 是的直径； （2）解：， ， ， ， ， ， 在中，， ， 即， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ． 4．（2026·辽宁抚顺·一模）四边形是的内接四边形，连接，，延长至点E． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，的半径为2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可得，再结合圆周角定理得出，即可得证； （2）连接并延长交于点，交于点，连接，，，先证明垂直平分，得出．由圆周角定理可得，解直角三角形得出，从而得出，求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ． ． ∴． ∵，， ． ． （2）解：如图，连接并延长交于点，交于点，连接，，． ，，， 垂直平分． ，． 为的直径， ． 在中，，， ， ， ， 在中，，，， ． ， ． ． 5．（2026·河南周口·一模） 如图，⊙O为 的外接圆，为⊙O直径，，点D在劣弧上， 交于E，连接． (1)求证: (2)若 求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先通过圆周角定理，得到，再利用，得到是等腰直角三角形，利用同弧所对圆周角相等，得到是等腰直角三角形，最后通过手拉手模型证明全等即可； （2）借助（1）中的全等关系，求出的长，利用勾股定理求出，从而得到，再利用勾股定理求出，即可求出半径． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵， ∴， 对于同弧所对圆周角，， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·山西·三模）综合与实践 在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） (1)求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式． (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长． (3)如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得到顶点坐标，设抛物线顶点式，根据待定系数法求解即可； （2）由题意得到平移后的表达式，令，解一元二次方程求解即可； （3）由（2）中得到的表达式，令求出值，根据题意即可确定范围． 【详解】（1）解：由题意知该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意得抛物线向上平移个单位长度， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，（负值，舍去）， ∴弹射点与落地点的水平距离的长为； （3）解：由（2）知，抛物线的函数表达式为， 当时，， ∵弹力球要越过障碍物， ∴， 答：障碍物高度的取值范围为． 7．（2026·湖北襄阳·一模）跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 8．（2026·辽宁辽阳·一模）综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图像：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图像的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为．如图，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． (1)求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． (2)如图，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设顶点式，再将代入求解即可； （2）先求出曲线的解析式，进而设出、坐标，继而求解即可． 【详解】（1）解：设曲线所在抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴曲线所在抛物线的解析式为； （2）解：由题意可知，曲线可看作曲线向上平移个单位长度得到， ∴曲线所在抛物线的解析式为， 设，则， ∴，， ∴矩形花园的周长为：， ∴当时，矩形花园的周长最大，最大值为． 9．（2026·山西晋中·一模）综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： (1)去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； (2)求与的函数表达式； (3)去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 【答案】(1)一次，二次 (2)（，且为整数） (3)去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元 【分析】（1）直接根据一次函数、二次函数的意义即可解答； （2）由表格可知，顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）先利用待定系数法求得与的函数表达式为（，且为整数）；再结合（2）可得，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵销售时间每增加1个月，蔬菜的售价（元/）减少， ∴去年该蔬菜的售价（元/）是销售时间x（月份）的符合一次函数； ∵当时，函数有最小值1，另外数据具有对称性， ∴去年该蔬菜的成本价（元/）是销售时间（月份）的二次函数． （2）解：由表格可知，顶点坐标为， 设与的函数表达式为 ．     将，代入表达式可得：解得． 与的函数表达式为（，且为整数） （3）解：设与的函数表达式为， 由题意可知，当时，；当时，， ，解得 与的函数表达式为（，且为整数）； 设每千克的收益为元． 则， ，且为整数，， 当时，． 去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元． 10．（2026·江苏泰州·一模）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求与的函数表达式，并求的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，二次函数的应用； （1）根据平行线分线段成比例定理得，求出，再根据可得结论； （2）根据三角形面积公式得，然后根据二次函数的最值可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵为边上的动点（与、不重合），， ∴， ∴用含的代数式表示的长为； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 综上所述，与的函数表达式为，的最大值为． 11．（2026·辽宁·模拟预测）洛阳牡丹饼是河南省洛阳市的一道传统小吃，入口酥松绵软，而且具有促进人体代谢，降低胆固醇及防止细胞老化等功能，深受广大市民喜爱．小梅假期去洛阳游玩，准备回去时带点牡丹饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家超市都以25元/盒的价格销售同一种牡丹饼，并且同时在做促销活动： 甲超市：办理本超市会员卡（卡费50元），食品全部打八折销售； 乙超市：购买同种商品超过一定数量后，超过的部分打折销售． 活动期间，若小梅分别按活动方式在甲、乙超市购买牡丹饼x盒，所需费用分别为元、元，与x之间的函数关系如图所示． (1)分别求，与x之间的函数解析式； (2)若小梅准备购买20盒牡丹饼，你认为在哪家超市购买更划算？ 【答案】(1)， (2)在乙超市购买更划算 【分析】（1）根据题意求出与x之间的函数解析式；结合图象，利用待定系数法求出与x之间的函数解析式； （2）代入到（1）中的函数解析式，求出对应和的值，比较二者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得， 当时，设， 代入得，， 解得， ∴； 当时，设， 代入和得，， 解得， ∴； ∴综上，，； （2）解：当时， ， ， ∵， ∴在乙超市购买更划算． 12．（2026·辽宁抚顺·一模）某超市第一次用5000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲种商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（注：利润售价进价）． 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 29 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市决定再次购进甲、乙两种商品共200件，且总利润不高于1900元，那么该超市最少需要购进多少件甲种商品？ 【答案】(1)元 (2)件 【分析】（1）先求出甲、乙两种商品各购进多少件，再求出甲、乙两种商品的利润和即可； （2）设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设该超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴(元) ． 答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得1970元的利润． （2）解：设该超市购进m件甲种商品，则购进件乙种商品， 根据题意，得， 解得． 答：该超市最少需要购进100件甲种商品． 13．（2026·全国·二模）问题：如何将物品搬过直角过道？ 情境：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形的一边靠在上 2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点O在边上 3 旋转 如图2，将矩形绕点O旋转 4 推移 将矩形沿方向继续推移 探究： (1)如图2，已知，，小明求得后，说：“，按规定步骤进行，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明； (2)如图3，物品转弯时被卡住（C、B分别在墙面与上），若，求的长； (3)求该过道可以通过的物品最大长度．（精确到，） 【答案】(1)不赞同小明的结论，该物品不能顺利通过直角过道； (2) (3) 【分析】（）由矩形得到，再结合，通过勾股定理即可解得． （）过作交于，交于，通过矩形的性质和垂直的定义得到，可知其正切值相等，从而转化到三角形三边的比例，得到先相关线段的长度，最后通过代入即可． （）计算当时，通过勾股定理计算的长，即可计算的长度． 【详解】（1）解：不赞同小明的结论，连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该物品不能顺利通过直角过道． （2）解：过作交于，交于， 由题知，四边形是矩形， ∴， ∴，， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：由题意，当，时，物品能通过直角过道， ∴当时，则， 同理，时，， ∴物品的最大长度，即的最大值约为． 14．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∴水流可以喷在小明的“舒适喷淋点”处． 15．（2026·陕西·模拟预测）某数学实践活动小组准备用学过的数学知识测量学校教学楼的高度，共设计了如下两种测量方案： 方案 甲 乙 测量工具 标杆、卷尺等 测角仪、卷尺等 测量示意图 测量过程 如图①，在点处竖立一根标杆，发现教学楼的顶点、标杆的顶点与地面上的点在同一直线上，在点处竖立一根标杆，发现教学楼的顶点、标杆的顶点与地面上的点在同一直线上，利用卷尺测量、、的长度及标杆、的高度 如图②，在点处利用高为的测角仪测得教学楼顶点的仰角的度数，在点处利用高为的测角仪测得教学楼顶点的仰角的度数，利用卷尺测得的长度及测角仪、的高度 图形说明 ，，，点、、、、在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 ，，，点、、在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 测量数据 ，，， ，，， （参考数据：，，，，，） 请选择一种方案：_________（填“甲”或“乙”），计算学校教学楼的高度． 【答案】选甲或乙均可，学校教学楼的高度为 【分析】选甲方案：证明，，利用相似三角形的对应边成比例得到，，然后利用比例性质求解、即可； 选乙方案：延长交于点，在中和在中，利用锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：甲方案：∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴，． ∵，，，， ∴，， ∴，解得， ∴，即学校教学楼的高度为． 乙方案：延长交于点． 由题意可得，四边形、四边形和四边形均为矩形， ∴，，，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴，解得， ∴，即学校教学楼的高度为． 16．（2026·上海奉贤·二模）综合知识的应用： (1)某社区有一个宽度（CD）为3米的矩形健身区，它恰好容纳了4个竖放的矩形器材区和2个横放的矩形器材区，且每个矩形器材区形状大小都相同（如图1所示）．求每一个矩形器材区的边长； (2)为响应国家全民健身的号召，社区计划新建一个一边长为10米的矩形健身区，用于放置42个运动器材（每一个运动器材需要一个独立的器材区域），他们规划了内部器材区的布局，拟定了如下的方案： （i）健身区的布局采用竖放矩形器材区和平行四边形器材区的组合形式（如图2所示），其中平行四边形器材区的排数比矩形器材区少一排，为保证通行安全，每排器材区之间设置1.5米宽的通道； （ii）每一个矩形器材区的边长与（1）中的矩形器材区相同，每一个平行四边形器材区的面积与一个矩形器材区的面积相等； （iii）每一个平行四边形器材区的形状大小都相同，且它有一个内角为，其非水平方向的边长与矩形的长边相等，即在平行四边形中，． ①求平行四边形器材区的另一边的长； ②求新建矩形健身区另一边的长度．（结果保留整数参考数据） 【答案】(1)长2米，宽1米 (2)①米 ②15米 【分析】（1）设每一个矩形器材区的长为x米，宽为y米，根据长方形的长等于2个宽，长方形的长和宽的和为3米得出方程组，求出解； （2）①由（1）知矩形器材区的面积为2平方米，作，即可求出（米），再根据，求出答案； ②设矩形器材区有m排，则平行四边形器材区有排，再表示出矩形器材和平行四边形器材区的数量，然后根据数量和等于42列出方程，求出m，接下来求出通道数量，则答案可得． 【详解】（1）解：设每一个矩形器材区的长为x米，宽为y米，根据题意，得 ， 解得， 所以每一个矩形器材区的长为2米，宽为1米； （2）解：①由（1）知矩形器材区的面积为（平方米）， ∵平行四边形器材区的面积与矩形器材区的面积相等， ∴平行四边形的器材区的面积为2平方米． 如图，过点N作于点K， 在中，， ∴（米）． ∵， ∴， 解得， 所以平行四边形器材区的另一边的长为米； ②设矩形器材区有m排，则平行四边形器材区有排， 矩形器材区每排的数量为（个）， 平行四边形器材区每排的数量为（个）， 根据题意，得， 解得， 因为m为正整数， 所以， 此时矩形器材区有3排，能放（个），平行四边形器材区有2排，能放（个），共42个器材，符合题意， 通道数量为：（个）， 则新建矩形健身区另一边的长度为（米）， 所以新建矩形健身区另一边的长度为15米． 17．（2026·湖南娄底·模拟预测）紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，） (1)求小路的长度； (2)求梯田坡面的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作，由题意得：，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点B作，延长交于点M，由题意得：，然后可得，设，则，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：过点D作，如图， 由题意得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 答：小路的长度为． （2）解：过点B作，延长交于点M，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，设，则， ， 在中，，即， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $