专题04 二次函数、几何综合解答题压轴（2大考点）（湖北专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 二次函数、几何综合解答题压轴 2大考点概览 考点01二次函数解答题压轴 考点02几何综合解答题压轴 二次函数解答题压轴 考点01 1．(2026·湖北·一模)在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 2．(2026·湖北·一模)如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． (1)求的值； (2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； (3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 3．(2026·湖北·一模)如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 4．(2026九下·湖北广水市·一模)【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 5．(2026九·湖北荆州市监利市·一模)如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 6．(2026·湖北·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 7．(25-26九·湖北十堰东风第七中学·一模)在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 8．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)在平面直角坐标系中，已知，抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将抛物线平移得到抛物线与直线在的范围内有公共点，求h的取值范围； (3)如图，直线与（1）中抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． 试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点P，使得总是平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．(25-26九上·湖北黄石·一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（在的右侧），顶点为点． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，为对称轴上一点，作交抛物线于点（在的右边），当四边形是平行四边形时，它的面积为6，求此时的值； (3)①已知，为抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围； ②已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围（直接写出答案）． 10．(2026·湖北·一模)如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 11．(2026·湖北·一模)如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 12．(2026·湖北·一模)已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 几何综合解答题压轴 考点02 13．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)点E，F分别是矩形的边，上的点，将矩形沿折叠，点C落在上处，点D落在平面内的点处，连接，． (1)如图1，当与点A重合时． ①求证：； ②若，，求的值； (2)如图2，若点E是的中点，且，求的值． 14．(25-26九·湖北十堰东风第七中学·一模)如图，在中，，，平分，将线段沿射线平移得到，与相交于点，连接，过点作于点，与交于，与交于点． (1)如图①，若． ①当点在边上时，直接写出线段，，之间的数量关系； ②当点与点重合时，求平移距离； (2)如图②，连接，若，当时，求的长． 15．(2026·湖北·一模)在中，，，点D，M，N分别在边，，上，． (1)如图1，若点D是的中点，求证：； (2)如图2，若，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，平分．若，求的长． 16．(2026·湖北·一模)如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； (3)如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 17．(2026·湖北·一模)中，，将绕点A旋转得到，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； (3)如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 18．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·一模)如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）． (1)若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：； (2)若，，，求的长； (3)当且时． ①求证：； ②直接写出的值． 19．(2026·湖北·一模)如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 20．(25-26九上·湖北黄石·一模)在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长， (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于 ①求证：； ②当时，直接写出的值． 21．(2026九·湖北荆州市监利市·一模)已知，在中，，延长至，使，过点作交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)若，将图1中的绕点逆时针旋转到如图2，当时，请求出的长； (3)如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，连接交直线于点，求证：． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数、几何综合解答题压轴 2大考点概览 考点01二次函数解答题压轴 考点02几何综合解答题压轴 二次函数解答题压轴 考点01 1．(2026·湖北省·一模)在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 2．(2026·湖北省·一模)如图，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，直线的解析式为，点是轴上方抛物线上一点，其横坐标为． (1)求的值； (2)作直线，若，且点是抛物线上另一点，横坐标为，轴交于点，轴交于点，求的值； (3)过点作轴的平行线和垂线，垂线交直线于一点，过这一点再作轴的平行线，直线、、与轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴交抛物线于另一点，过分别作轴的垂线，轴的平行线交直线于一点，过这一点作轴的垂线，，，与轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为，若，求的值 【答案】(1) (2)4 (3)①；② 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，熟练掌握函数的图像和性质是解题的关键． （1）先求出，将代入，求出即可； （2）由题意知：，，，，得到，，再根据进行计算即可； （3）由题意知：，①当时，矩形相邻两边长分别为，，当且时，矩形相邻两边长分别为m，，分别进行计算即可； ②分当时，当时，当时进行计算即可； 【详解】（1）解：当时，， ， 点B在上， ， 解得：； （2）解：由题意知：，，，， ，， ； （3）解：由题意知：， ①当时，矩形相邻两边长分别为，，如图2， ， 当且时，矩形相邻两边长分别为m，，如图3，4， ， 综上：； ②． 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图2， ， ， ，无解， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图3， ， ， ，（舍去）， 当时，伴随矩形相邻两边长为，，如图4， ， ， （舍去）， 综上：m的值为． 3．(2026·湖北省·一模)如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．直线经过A，C两点． (1)求a的值； (2)判断的形状，并说明理由； (3)定义：如果一个矩形的两个顶点位于三角形的一条边上，另外两个顶点分别位于三角形的另外两条边上，那么这个矩形就是这个三角形的内接矩形．若点E在上，点F在上，四边形是的内接矩形，设，矩形的面积记为S． ①求S关于m的函数关系式； ②直接写出矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)①有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，；②，或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可； （2）求出点B，C的坐标，再利用勾股定理逆定理解答即可； （3）①分三种情况：当顶点G，H都在边上时，只有一个顶点H落在上时，当点E与点C重合时，结合相似三角形的判定和性质解答即可；②结合①，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴， ∴点， 把点代入得： ，解得：； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：抛物线解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 对于， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：①当顶点G，H都在边上时，如图，设与交于点K， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴．， ∴， ∴，即， ∴； 当顶点G在边上，顶点H在边上时，如图， 此时点F与点C重合， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E与点C重合时，如图， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， 综上所述，有两个顶点G，H落在上时，；只有一个顶点H落在上时，；当点E与点C重合时，点G在上，； ②有两个顶点G，H落在上时，， 只有一个顶点H落在上时，； 当点E与点C重合时，点G在上，， ∴当或或时，矩形的面积最大， 当时，，，即点E的纵坐标为1， 当时，，解得：， ∴矩形在边上的顶点的坐标分别为，； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点H为的中点， ∴点H的坐标为； 当时，， ∴，即， ∵， ∴，即点G为的中点， ∴点G的坐标为； 综上所述，矩形的面积最大时，矩形在边上的顶点的坐标为，或． 4．(2026九下·湖北省广水市·一模)【新定义】“等距截线” 定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线和直线，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”． 若抛物线的顶点到直线的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线具有“等距截线性质”． (1)判断抛物线是否关于直线具有“等距截线性质”，并说明理由． (2)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，求的值． (3)已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为2． ①求的值； ②若点是位于直线上方的一个动点，点是抛物线上位于直线下方的一个动点，若P、Q关于直线对称，直接写出的最大值． 【答案】(1)不具有“等距截线性质”；理由见解析； (2)； (3)①；②的最大值为． 【分析】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值． （1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”； （2）根据定义列方程，即可求解参数； （3）① 先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求； ② 利用对称性表示的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值． 【详解】（1）解：不具有“等距截线性质”；理由如下： 先将抛物线配方：， 顶点坐标为，顶点到直线的距离为：， 联立抛物线与直线的方程：， 解得，，截距为， 截距的一半为，而顶点到直线的距离为，， 因此不具有“等距截线性质”； （2）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”： 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为： 联立抛物线与直线的方程：， 设两根为，由韦达定理，，， 截距为：， 根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半： 令（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则， 代入得：， 解得（舍去），故； （3）已知抛物线关于直线具有“等距截线性质”，且截距为： ① 配方得： 顶点坐标为，顶点到直线的距离为， 根据定义，距离等于截距的一半，即，解得或， 又因为抛物线开口向上，顶点在直线下方（否则截距不存在或不符合定义）， 故； ② 由①得抛物线为，关于直线对称， 设，则， 抛物线， 抛物线的最低点即顶点为， 在上方，在下方， ，解得， 的长度为：， ，即的最大值为． 5．(2026九·湖北省荆州市监利市·一模)如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)连接，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①S关于t的函数解析式为；② 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． （3）解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 6．(2026·湖北省·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是直线下方抛物线上的一点，若，求点D的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内两点，连结、，以、为边构造矩形． ①求点N的坐标（用含m的式子表示）； ②当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点，再将两个点的坐标代入二次函数关系式，求出答案即可； （2）分两种情况：当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，，结合点，可知点D的纵坐标是，再代入函数关系式得出答案； （3）①根据点可得答案； ②当点H，M重合时，求出． 再分两种情况：当点M在点H下方时，当时，矩形内没有函数y的图象；当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，可得取值范围； 当点M在点H上方时，有两种可能：当时，此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大；当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，综合以上情况可得答案． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 当时，， ∴点． ∵点B，C在抛物线上， ∴， 解得， ∴二次函数关系式； （2）解：∵点， ∴，且， ∴． 当轴时，，此时直线与直线下方的抛物线没有交点； 当时，， ∵点， ∴点D的纵坐标是， 令，， 解得， ∴点； （3）解：①当时，， ∴点，则点． ②抛物线，顶点坐标为． 当点H，M重合时，则 解得． 当点M在点H下方时，如图所示， 即， 由题意，得． 当点H，N达到对称轴两侧对称的位置时，则，则当时，矩形内没有函数y的图象； 当时，矩形区域内的函数y随着x的增大而减小，即； 当点M在点H上方时，如图， 即或， 当时，，即， 此时点Q在对称轴左侧，矩形内的抛物线y随着x的增大而增大； 当时，此时点H在对称轴的右侧，矩形内没有函数y的图象，则． 综上所述，或． 7．(25-26九·湖北十堰东风第七中学·)在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点（点在点左侧），交轴正半轴于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在点下方的轴上，点在第一象限的抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； (3)如图2，已知动点在抛物线上，为的三等分点且靠近点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为． ①求出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】（1）由得，得，把B的坐标代入得，求出a的值即可； （2）解：设，则，过E作于F，根据等腰直角三角形的性质可求出，，则，然后把E的坐标代入求解即可； （3）①根据相似三角形的判定与性质求出M的坐标，根据轴求出N的坐标，然后求出，分三种情况讨论即可； ②分或，讨论，分别求出抛物线于直线，的交点坐标，然后画出草图，数形结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 过E作于F， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在第一象限的抛物线上， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：当时，解得，， ∴， 当P和B重合时，， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴，此时M、N重合， 当P和C重合时，、都在y轴上，则P和N重合， 设， 当时，如图，过P作轴于H，设与x轴相交于G， 则轴， 又轴， ∴， ∴， ∴， ∵为的三等分点且靠近点， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵轴， ∴N的横坐标为， ∵N在抛物线上， ∴N的纵坐标为， ∴， ∴； 当时，即或时，； 当时，即时，； 当时，（、重合）； 综上，； ②当或时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 当时，， 时，，解得， 时，，解得， 函数图象草图如图， 由图象可知：当或时，， 综上，当或或或时，． 8．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)在平面直角坐标系中，已知，抛物线过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若将抛物线平移得到抛物线与直线在的范围内有公共点，求h的取值范围； (3)如图，直线与（1）中抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． 试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点P，使得总是平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合应用探究，难度较大． （1）运用待定系数法求抛物线解析式； （2）设在范围内的两个端点为M，N，求出M，N两点坐标，探究抛物线与线段只有一个交点，以及该抛物线刚好只过点时，对应的h值，从而求得h的取值范围； （3）设，，联立一次函数与抛物线解析式，运用韦达定理，得到，，设点，分别过点A，点B作直线于点D，直线于点E，结合平分，证明，从而得到，即，最后化简整理求得，故存在定点，使平分． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴； （2）解：设在范围内的两个端点为M，N， 当，，当时，， ∴，， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动， 直至抛物线与线段只有一个交点为时， 与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与直线在的范围内有公共点； （3）解：存在．点P坐标为． 设，， 联立， 得：， 由韦达定理得，，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点， 分别过点A，点B作直线于点D，直线于点E， 则， 又平分，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 去分母并整理得，， ∴， 化简，得， ∵， ∴， ∴， ∴存在定点，使平分． 9．(25-26九上·湖北黄石·一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（在的右侧），顶点为点． (1)求抛物线的对称轴； (2)当时，为对称轴上一点，作交抛物线于点（在的右边），当四边形是平行四边形时，它的面积为6，求此时的值； (3)①已知，为抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围； ②已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围（直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称轴求解、平行四边形性质、二次函数区间最值问题，需结合开口方向、对称轴位置分析函数单调性． （1）利用二次函数对称轴公式直接计算； （2）先求抛物线与轴交点坐标，结合平行四边形性质确定点的坐标，再用面积公式列方程求解； （3）①分开口方向讨论，结合区间最值与不等式恒成立条件推导的范围； ②分别分析三点的函数值，结合不等式恒成立条件，分和推导范围． 【详解】（1）解：对于抛物线， 由对称轴公式， 故对称轴为直线； （2）解：令，则， 因式分解得，解得或． ∵且在右侧， ∴，，． ∵四边形是平行四边形且， ∴． ∵在对称轴上，在右侧， ∴的横坐标为． 将代入抛物线方程，得， 故，． ∵平行四边形的面积为6， ∴，解得． ∵， ∴； （3）解：①对于函数，对称轴为直线； 当时，抛物线开口向上， ∵，， ∴当时，有最小值，不满足； 当时，抛物线开口向下， ∵，， ∴当或时，有最小值， 要使，需要，即，解得， 又∵， 综上所述； ②∵，，是抛物线上的三个点，且对于，，，都有，抛物线的对称轴为直线， 当，如图1，抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小， ∴，解得； 当时，如图2，抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴，解得 综上所述，满足条件的的取值范围为或． 10．(2026·湖北省·一模)如图1，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上位于第一象限的一点，过点P作x轴的垂线，交于点G，交x轴于点H，连接，设点P的横坐标为m，线段的长度为d， ①求d关于m的函数关系式； ②若为直角三角形，求m的值； ③如图3，点Q是抛物线上位于第四象限的一点，，分别与y轴交于点D和点E，，则直线恒经过一定点．设点Q的横坐标为n，请直接写出m，n的数量关系及该定点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线BC的解析式为 (2)；或；m，n的数量关系为：，定点坐标为 【分析】（1）根据求出点、坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线的解析式； （2）①设，则，利用求解即可； ②根据题意易得到，若为直角三角形，则分情况讨论：当时，，据此列出方程，解方程即可；当时，，过C作，根据直角三角形斜边中线的性质得到，据此列出方程，解方程即可； ③设，，求出点坐标，利用待定系数法求出直线、的表达式，进而求出、，根据得到、的数量关系，利用待定系数法求出直线的表达式，将代入直线的表达式，从而求出定点坐标． 【详解】（1）解：， ，， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：①根据题意，设，则， ； ②、， ， 轴， ， ， ， 若为直角三角形，则分情况讨论： 当时，则 ， 即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ， 如图，过C作， 则， 即， 解得：或（舍去）， 综上所述，或； ③m，n的数量关系为：，定点坐标为， 设，， 令得：， 解得：或， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： 则：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 设直线的解析式为， 将点、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为 当时，， 定点坐标为， 综上所述，m，n的数量关系为：，定点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数、一次函数的图象性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 11．(2026·湖北省·一模)如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． (1)求b的值和点D坐标； (2)如图，点E是第二象限抛物线上的点，，求点E的横坐标； (3)将抛物线沿竖直方向平移得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点P，设点P的纵坐标为n，点Q在L的对称轴上，点Q的纵坐标为，当点Q与点D不重合时，将点Q绕点D顺时针旋转得到点M，当P、M、D三点不在同一直线上时，设的面积为S． ①求S关于n的函数解析式； ②当L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)①；②或 【分析】（1）利用待定系数法求出b的值，进而得到抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）过点E作于点F，求出点B的坐标，进而求出，则；设，则，可得方程，，解方程即可得到答案； （3）①可求出抛物线L的解析式为，则，可得到，由旋转的性质可得，，则可得到；②求出当L与线段没有公共点时n的取值范围，再根据（3）①所求求出S随n的增大而增大时n的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点E作于点F， 由（1）得抛物线的解析式为， 在中，当时，，则， 当时，则， 解得或，则， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴点E的横坐标为 （3）解：①设抛物线L的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点P的纵坐标为n， ∴， ∴， ∴抛物线L的解析式为， ∴抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴， 由（1）得点D的坐标为， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即轴， ∴； ②如图3-1所示，当抛物线L的顶点恰好是点D时，则， 解得； 如图所示，当抛物线L的顶点在点D下方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-3所对，当抛物线L的顶点在点D上方，且点M恰好在抛物线L上，且在抛物线L的对称轴左侧时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时点P的坐标为，即此时D、P、M三点共线； 如图3-4所示，当抛物线L的顶点在点D上方，且点Q在点D下方，点P在点D上方时，则， 解得， 由函数图象可知，此时一定满足抛物线L与线段没有公共点； 如图3-5所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方，且点M恰好在抛物线L上时， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， 解得或（舍去）； 如图3-6所示，当抛物线L的顶点在点D上方，点Q在点D上方时， 由函数图象可知当点M的横坐标小于时，满足抛物线L与线段没有公共点， ∴， ∴， 综上所述，当抛物线L与线段没有公共点时，或或； ∵， ∴当时，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大，此时不满足题意； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 当时 ，，则， ∴ ， ∵， ∴当时，S随n的增大而增大， ∴当时，S随n的增大而增大； 综上所述，当或时，S随n的增大而增大， ∴当或时，抛物线L与线段没有公共点，且S随n的增大而增大． 12．(2026·湖北省·一模)已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)①；② (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出，求得直线的解析式为；设，则，，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，过点作轴并延长交于点，得出，则，再解直角三角形，即可求解； （3）①如图，在上截取，在轴上取点，则，根据中位线的性质可得，。证明得出，则，进而勾股定理求得，即可求解； ②过点作轴交于点，设，则，，根据三角形的面积公式得出，结合①的结论可得，则，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； （2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当在对称轴右侧抛物线上， ∴， 当时，，则， 综上所述，； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则， ∴， ∴， 在射线上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴； ②设的面积记为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ∵为抛物线上第四象限的一动点，； ∴的横坐标， 又∵， ∴， ∵， ∴，           ∴， 解得：． 几何综合解答题压轴 考点02 13．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)点E，F分别是矩形的边，上的点，将矩形沿折叠，点C落在上处，点D落在平面内的点处，连接，． (1)如图1，当与点A重合时． ①求证：； ②若，，求的值； (2)如图2，若点E是的中点，且，求的值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】本题考查了矩形的翻折问题，涉及到相似三角形的判定与性质，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键． （1）①先由矩形的性质可知，，可得，由翻折知，，从而得到，证得；②设，先运用矩形的性质和勾股定理，通过建立关于x的方程，并解方程求出x的值．再证明，运用相似三角形的性质求得； （2）连接，同②证明可得，同①证明可得，证明，为等边三角形，从而求出，即，结合，最后求出的值． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折知，， ∴， ∴； ②解：设，则， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵由①可知， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， 同②证明可得， 同①证明可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 14．(25-26九·湖北十堰东风第七中学·)如图，在中，，，平分，将线段沿射线平移得到，与相交于点，连接，过点作于点，与交于，与交于点． (1)如图①，若． ①当点在边上时，直接写出线段，，之间的数量关系； ②当点与点重合时，求平移距离； (2)如图②，连接，若，当时，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】①求出，再结合角平分线的定义可得，从而得到，再由平移的性质可得，即可解答；②证明为等边三角形，可得，，在中，求出，在中，，再由，可得，即可求解； （2）先求出，，过点D作于点P，根据角平分线的性质可得，证明，可得，，在中，，可得到，再由，可得，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质得：， ∵， ∴； ②如图， 由①得：， 由平移的性质得：， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， 即平移的距离为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于点P， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．在中，，，点D，M，N分别在边，，上，． (1)如图1，若点D是的中点，求证：； (2)如图2，若，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，，平分．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，通过证明即可得出； （2）作于点E，作于点F．通过证明得出，在根据， 得出，即可解答； （3）作交DN延长线于点P，连接．通过证明．得出，则．在证明．得出，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接． ∵，，点D是的中点， ∴，，．     ∵， ∴， ∴． ∴．     ∴． （2）解：．     理由如下：如图2，作于点E，作于点F． 则． ∵， ∴四边形是矩形．     ∴． ∴． ∴． ∴     ∴． ∵， ∴ ∴， ．     ∴． ∴． （3）解：如图3，作交延长线于点P，连接． 由（2）知，， ∴． ∵， ∴，．     ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴．     ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴ ∴，即． ∴．     16．如图，在中，点E在边上，将沿折叠，使点B的对应点F落在内，射线交射线于点G，交射线于点P，射线交边于点Q． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，点P在延长线上，若，，求的长； (3)如图3，当时，点P在边上，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再证明，结合，即可得证； （2）先证明，得出，，再证明，得出，，证明，由相似三角形的性质求出，即可得出结果； （3）延长，交于点，设，则，则，由平行四边形的性质可得，，，，证明，求出，，再证明，，求出，，最后再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长，交于点， ∵， ∴设，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 17．中，，将绕点A旋转得到，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，交于点N，点N为的中点，，，求线段的长； (3)如图3，点N为的中点，延长分别交于H、F． ①求证：，②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，再证明，即可证明； （2）可证明；由直角三角形的性质得到，则，则可证明；过点A作于点H，则四边形是矩形，则，由三线合一定理可得； （3）①可证明，进而证明，则可证明，即可推出；②过点A作于点T，同理可得四边形是矩形，，则；设；可证明，得到，则，，进而得到，，则；由相似三角形的性质可得；过点A作于点S，则，，过点H作于点R，设，解直角三角形得到，，，则，据此可得，则，，由此可得答案． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作于点H，则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①∵点N为的中点，， ∴， ∴； 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，过点A作于点T， 同理可得四边形是矩形，， ∴， 同理可得； ∵， ∴可设； ∵， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴； ∵点N为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴； 如图所示，过点A作于点S，则， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点H作于点R，设， ∴， ∴； 在中，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·)如图，M、N分别是菱形的、边上一点，将四边形沿折叠得四边形，经过点A（注：折叠后）． (1)若点F在菱形内部，延长交于点G，求证：； (2)若，，，求的长； (3)当且时． ①求证：； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数的应用，折叠的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据平行的性质得到，由折叠性质知：，，证明，即可得到结论； （2）过A作，由折叠性质知：，，在中，，设，则，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案； （3）①延长，交于点H，在菱形中，，，由折叠性质知：，证明，即可得到结论； ②过C作于K，设，，则，，即菱形的边长为7x，由折叠性质知：，，证明，根据相似的性质得到，求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，在菱形中，，， ， 由折叠性质知：，， ，， ， ， （2）解：过A作， 由折叠性质知：，， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ， ； （3）解：①延长，交于点H， 在菱形中，，， 由折叠性质知：， ， ， ， ， ， ， ； ②． 过C作于K， 由①可知，， ，， ， 故四边形是矩形， ， ， 设，，则，，即菱形的边长为， 由折叠性质知：，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．如图1，在矩形中，，，为对角线，将绕点逆时针方向旋转，得到（点的对应点为点，点的对应点为点）． (1)在图1中，连接，，求证：； (2)如图2，当点落在的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)如图3，当点落在矩形的对角线上时，延长交于点． ①求证：平分； ②直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）由旋转得，，，所以可证，即可求证； （2）过点作，垂足为，先证明四边形是矩形，再证明，即可求解； （3）①延长交于点，连接，，设交于点，先证明，，由外角的性质得出，再由三角形内角和定理得出，即可求证； ②先证明垂直平分，再证明，求出的值，接着证明，求出的值，再证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴由勾股定理得． 由旋转可得：，，， ∵， ， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图1，过点作，垂足为，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转得：，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：①如图2，延长交于点，连接，，设交于点，交于点， 由旋转得，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴平分； ②答案：． 解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴为的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键熟练掌握基本图形和基本推理． 20．(25-26九上·湖北黄石·一模)在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长， (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于 ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可得，是直角三角形，由勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则．从而得到，使用勾股定理计算即可； （3）①由旋转的性质可得，，，，则，结合，可证明．通过等量代换，可得，则可证明； ②作，垂足为，延长、交于点，设，则，使用勾股定理计算出．容易证明，根据相似三角形的性质可得，．由等腰三角形的性质，可得，进而得到．容易证明，则．由①中的，可得．由平行判定，则，代入即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴ 解得，； （3）解：①由旋转的性质可知，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ②如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ∵， ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 21．(2026九·湖北省荆州市监利市·一模)已知，在中，，延长至，使，过点作交的延长线于点． (1)如图1，求证：； (2)若，将图1中的绕点逆时针旋转到如图2，当时，请求出的长； (3)如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，连接交直线于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用即可证明； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出； （3）过点作交于点E，证明，即可得到． 【详解】（1）证明：如图， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：如图，作于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 在中，， ∴， 在中，； （3）证明：过点作交于点E，如图， ∴， 由旋转可得：， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $