专题03 一次函数、反比例函数、二次函数图象性质及其实际应用（5大考点）（湖北专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 一次函数、反比例函数、二次函数图象性质及其实际应用 5大考点概览 考点01一次函数及其应用 考点02反比例函数及其应用 考点03一次函数反比例函数综合 考点04二次函数小题 考点05二次函数的实际应用 一次函数及其应用 考点01 1．(2026·湖北省·一模)如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据函数图象找到函数值小于或等于3时自变量的取值方式即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 2．(2026·湖北省·一模)某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)答案不唯一，见解析，每个篮球60元，每个足球50元 (2)①且m为整数；②当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①设篮球有m个，则足球有个，，根据题意，列出不等式求出m的范围，即可；②设购买的总费用是w元，根据题意，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得： 或或， 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：①设篮球有m个，则足球有个，根据题意得： ， 解得：且m为整数． ②设购买的总费用是w元， ， ， ∴w随着m的减小而减小； 且m为整数， ∴当m最小值为4时，w最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元． 3．(2026·湖北省·一模)随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不超过型芯片数量的．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆运输车运输芯片，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： (4) (5) ①甲车的速度是______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值______． 【答案】(1)购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元 (2)当购买型芯片颗时，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）①直接利用图象求解即可；②求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元． 根据题意，得，解得． 答：购买颗型芯片需要元，购买颗型芯片需要元． （2）解：设购买型芯片颗，则购买型芯片颗． 根据题意，得，解得， 设所需资金元，则， ∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时值最小，（元）． 答：当购买型芯片颗时，所需资金最少，最少资金是元． （3）解：①乙车的速度为， 当时，， 则甲车的速度为， 故答案为：． ②，当时，解得， ∴与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为， 当，甲、乙两车相距时， 得，即，解得或， 当，甲、乙两车相距时， 得，即，解得， ∴当甲、乙两车相距时，的值为或或． 故答案为：或或． 4．(2026·湖北省·一模)如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）联立与解方程组即可求解； （2）过点作轴的垂线，在中，由勾股定理求得的长，再由求得的长，用点的横坐标表示出点、的坐标，利用的长求得值，根据即可求得的面积； （3）先求得点的坐标，得出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴． （2）过点作轴的垂线，垂足为， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， 解得， ； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 当时， ∴ ∴ 由（2）可得，， ∴ ∴四边形是平行四边形． 反比例函数及其应用 考点02 5．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 6．(25-26九上·湖北黄石·一模)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，从图象获取信息求得反比例函数的解析式是解题的关键． 根据图象可知点在该反比例函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后代入时，求得对应的函数值即可． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 由图象可知，点在该反比例函数图象上， 则，即， ∴该反比例函数的解析式为， ∴当时，． 故选：Ａ． 7．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·)密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】先利用待定系数法得，根据函数的性质并结合端点求出的范围，再逐项判断即可． 【详解】解：设，由图象可知过， ，则， 在第一象限内，随v的增大而减小， 当时，，当时，， ， ． 8．(2026·湖北省·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【分析】首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 的长，再利用勾股定理求出 的长，从而确定点 的坐标，接着利用中点坐标公式求出点 的坐标，最后将点 的坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值． 【详解】解：点，分别在 轴和 轴上 ， ， 点为的中点，， ， 点的坐标为 ， ， 在中，， 点 的坐标为， 点 为 的中点， 点的横坐标为，纵坐标为， 点 的坐标为 ， 反比例函数的图象经过点， ． 故答案为：12． 一次函数反比例函数综合 考点03 9．(2026·湖北省·一模)例如： 完成下列任务（填空写最简结果） (1)①_____．②_____． (2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于两点，结合图象，当时，求这两个函数的解析式． 【答案】(1)①1；② (2)， 【分析】（1）根据零次幂及实数的大小比较可进行求解①②； （2）由图象可知当时，，，． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵，且， ∴， ∴； （2）解：由图象可知：当时，， ∴， ∵， ， ∴一次函数的解析式为， ∴当时，则有， ， ∴， 反比例函数的解析式为． 10．(25-26九上·湖北黄石·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 11．(2026九下·湖北省广水市·一模)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与轴相交于点，与轴交于点，已知，． (1)求，对应的函数表达式： (2)直接写出当时，不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据，，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由函数的图象直接可以得出，当时，不等式的解集． 【详解】（1）解：设直线与y轴交于点D， 在中，，． ∴，即点， 把点，代入直线得， ，，解得，， ∴； 把，代入得，，， ∴，， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：由图象可知，当时，不等式的解集为． 12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点P的坐标为 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时得解集为； （3）解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 13．(2026九·湖北省襄阳市·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，根据函数图象解不等式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求解； （2）联立函数解析式，求得点的坐标，可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：联立一次函数和反比例函数， 得， 解得或， 令，则， 点坐标为， 可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 14．(2026九·湖北省荆州市监利市·一模)如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）根据，得出，求出，，从而得出，即可得出答案； （3）设点P的坐标为，根据为以点为直角顶点的直角三角形，得出，即可得出， 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合． （1）先求出点A的坐标，再用待定系数法，即可得出反比例函数的解析式； （2）根据图象，找出一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由图可知，一次函数和反比例函数图象相交于点A、B， ∴的解集为或． 二次函数小题 考点04 16．(25-26九下·湖北荆门外语学校·)如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线与轴交点个数即可判断A；根据函数图象的开口方向和对称轴位置即可判断B；根据抛物线与轴交于点，且当时，，即可判断C；根据，结合，即可判断D． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故A错误； 该函数图象的开口向下，， ∴，故B错误； ∵抛物线与轴交于点，，根据图象可得当时，， ∴， ∴得，，即，故C错误； ∵，抛物线的对称轴交x轴于点D， ∴， ，故D正确． 17．已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系判断即可． 【详解】二次函数的图象开口向上， ， 函数图象与轴交于负半轴， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ，故不正确； 由图象可知，对称轴， ，故不正确； 由图象可知，当时，， ，故正确； 由图象可知，当时，， ，故不正确． 18．已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和与x轴的交点坐标，先确定a的符号，求出对称轴得到a与b的关系，再判断c的符号，最后逐一分析各选项，得到错误结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 19．(2026九·湖北省襄阳市·一模)抛物线及其对称轴如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a的正负，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，计算与0的关系；再由与x轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，；选项A错误，不符合题意 抛物线交y轴的正半轴，故；选项B错误，不符合题意 抛物线的对称轴，∵，∴；选项C正确，符合题意 抛物线与x轴有两个交点，；选项D错误，不符合题意． 20．(25-26九上·湖北黄石·一模)写出一个顶点坐标为的二次函数解析式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数的顶点式为 的顶点坐标为是解题的关键， 利用二次函数的顶点式写出解析式即可． 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式可以为． 故答案为 （答案不唯一）． 21．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象的性质：当二次项系数时，二次函数图象开口向上即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 取即能满足题意． 二次函数的实际应用 考点05 22．跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能追上小车，见解析 【分析】（1）根据数据特征判断函数类型，利用距离与时间为点的坐标得二次函数关系式； （2）根据二次函数有最大值，求出顶点式即可求解； （3）通过分析黑色小球与小车的位置关系，建立方程，求解并验证是否符合实际运动情况，判断能否追上及对应的时间． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为经过，， 则， 解得, 则y与x的函数关系式． （2）由（1）可知， 所以当时，y 取最大值，最大值为98． 答：小球在水平木板上滚动的最大距离是cm． （3）根据题意，小车运动的路程为：， 则，     解这个方程，得，．     由（2）可知，当时小球停止运动，， 所以当时小球能追上小车． 23．(2026九·湖北省襄阳市·一模)某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 24．某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)，； (2)这两个位置之间的距离为； (3) 【分析】（1）对于抛物线，根据题意得到对称轴是直线，可求出的值．再根据抛物线与直线的交点坐标，代入直线方程求出值； （2）分别将高度值代入抛物线方程和直线方程求出对应的横坐标，然后计算横坐标差值得到水平距离． （3）先根据抛物线表达式求出特定点，直线与轴的交点的横坐标为，最后根据的范围确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度， ∴， 解得， ， 时，， ， 点在直线上， ， ； （2）解：，整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． ． 解得：， ． 答：这两个位置之间的距离为； （3）解：当时，， ， 经过点， ∴， 解得， ∴直线为， ∴直线与轴的交点的横坐标为， ∵， ∴， 时，． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数、反比例函数、二次函数图象性质及其实际应用 5大考点概览 考点01一次函数及其应用 考点02反比例函数及其应用 考点03一次函数反比例函数综合 考点04二次函数小题 考点05二次函数的实际应用 一次函数及其应用 考点01 1．(2026·湖北·一模)如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为___________． 2．(2026·湖北·一模)某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 3．(2026·湖北·一模)随着人工智能的发展，高性能芯片的需求越来越大，某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元？ (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不超过型芯片数量的．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)该公司用甲、乙两辆运输车运输芯片，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： (4) (5) ①甲车的速度是______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值______． 4．(2026·湖北·一模)如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 反比例函数及其应用 考点02 5．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（     ） A． B． C． D． 6．(25-26九上·湖北黄石·一模)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图象如图所示，当时，气体的密度是（   ） A． B． C． D． 7．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·一模)密闭容器内有一定质量的二氧化碳，气体的密度（单位：）与容器的体积V（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当容器的体积满足时，气体的密度可以是（   ）． A．2 B．6 C．10 D．14 8．(2026·湖北·一模)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 一次函数反比例函数综合 考点03 9．(2026·湖北·一模)例如： 完成下列任务（填空写最简结果） (1)①_____．②_____． (2)如图，已知反比例函数和一次函数的图象交于两点，结合图象，当时，求这两个函数的解析式． 10．(25-26九上·湖北黄石·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 11．(2026九下·湖北广水市·一模)如图，在直角坐标系中，直线与双曲线分别相交于第二、四象限内的，两点，与轴相交于点，与轴交于点，已知，． (1)求，对应的函数表达式： (2)直接写出当时，不等式的解集． 12．(2026·湖北·一模)如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的解析式和m值； (2)当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 13．(2026九·湖北襄阳市·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 14．(2026九·湖北荆州市监利市·一模)如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 15．(2026·湖北·一模)如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 二次函数小题 考点04 16．(25-26九下·湖北荆门外语学校·一模)如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴交x轴于点D，，并与抛物线的对称轴交于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 17．(2026·湖北·一模)已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 18．(2026·湖北·一模)已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 19．(2026九·湖北襄阳市·一模)抛物线及其对称轴如图所示，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．(25-26九上·湖北黄石·一模)写出一个顶点坐标为的二次函数解析式：______． 21．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)二次函数的图象开口向上，写出一个符合条件的值：___． 二次函数的实际应用 考点05 22．(2026·湖北·一模)跨学科主题学习活动中，小明同学对“小球在水平轨道上滚动距离随运动时间变化的关系”开展深入探究，小明先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用，请完成下列任务． 【设计实验方案】 如图1，一个黑色小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到水平木板A点处开始，用仪器测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s），滚动距离y（单位：cm）的数据． 【收集数据】 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 滚动距离y/cm 0 26 48 66 80 90 … 【建立模型】 根据表格中的数值，在图2的平面直角坐标系中描点，连线，通过观察图象发现，可以用二次函数近似的表示y与x的函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； 【应用模型】 (2)求小球在水平木板上滚动的最大距离； (3)若小球到达木板A点处的同时，在前方cm处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，则小球能否追上小车？请说明理由． 23．(2026九·湖北襄阳市·一模)某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 24．(2026·湖北·一模)某校人工智能小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，在飞行到点时，人工科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． (1)求、的值； (2)在整个飞行期间，飞行器的高度为2.4时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离； (3)【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，当飞行器的水平距离为9时飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，直接写出的取值范围_____． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $