专题02 方程与不等式（5大考点）（湖北专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程及其应用 考点02 二元一次方程组及其应用 考点03 分式方程及其应用 考点04 不等式及不等式组 考点05 解一元二次方程及其应用 一元一次方程及其应用 考点01 1．(2026·湖北省·一模)如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1) (2)小颖的说法正确，理由见解析 (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 2．(2026·湖北省黄石市·一模)将连续的奇数1，3，5，7，……，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由； (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17，29，41，53，……，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为______； (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 【答案】(1)十字框中的五个数之和是17的5倍，理由见解析 (2) (3)十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列 【分析】（1）求出5个数的和即可得出结论； （2）若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在5的基础上增加几个12；同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可； （3）设中间的奇数是，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：十字框中的五个数之和是17的5倍，理由如下： ； （2）解：第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； 第五列的奇数，起始数为9，每相邻2个数之间的数相隔12，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数）； （3）解：设中间的奇数是，则中间数上面和下面的数分别为，前面和后面的数分别为，则这个数的和为 ， 依题意 解得：， ；则在第列； 答：十字框中间的奇数是；这个奇数落在从左往右第列． 二元一次方程组及其应用 考点02 3．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·)国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 4．(2026·湖北省·一模)某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)答案不唯一，见解析，每个篮球60元，每个足球50元 (2)①且m为整数；②当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①设篮球有m个，则足球有个，，根据题意，列出不等式求出m的范围，即可；②设购买的总费用是w元，根据题意，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得： 或或， 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：①设篮球有m个，则足球有个，根据题意得： ， 解得：且m为整数． ②设购买的总费用是w元， ， ， ∴w随着m的减小而减小； 且m为整数， ∴当m最小值为4时，w最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元． 5．(2026·湖北省黄石市·一模)2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为_____． 【答案】(1)每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元 (2)购进“神舟”模型50个，“天宫”模型150个时，可获得最大利润，最大利润为9000元 (3)30 【分析】（1）设出两种模型的进价，再根据题意建立方程组求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量分别求出两种模型的利润，二者求和即可表示出w，再根据题意求出x的取值范围，进而利用一次函数的性质求解即可； （3）同理求出w关于x的函数关系式，结合（2）求出x的取值范围，结合最大利润为10800求解即可． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为m元，每个“天宫”模型的进价为n元． 由题意得，， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为150元，每个“天宫”模型的进价为100元； （2）解：由题意得， ， ∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元， ∴， 解得， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时， 答：购进“神舟”模型50个，“天宫”模型150个时，可获得最大利润，最大利润为9000元； （3）解：由题意得， ， 由（2）和（3）可得， 当时，，不符合题意； 当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， ∴． 6．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 【答案】(1)篮球和足球的单价分别为元和元 (2) (3)花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个 【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式； （3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元， 依题意得， 解得， 答：篮球和足球的单价分别为元和元． （2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个， 气排球个数是个，足球个数是个， 依题意得： ． （3）解：由素材三得， 解得， ，， 随的增大而减小， 当时，最小，此时，， 花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个． 分式方程及其应用 考点03 7．方程的解是________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根，舍去使分母为零的增根，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解整式方程得或， 检验：当时，，分式无意义，因此是增根，舍去； 当时，，因此是原方程的解． 8．(2026九·湖北省襄阳市·一模)计算和解方程 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，立方根，再进行加减计算即可； （2）先去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验得到最终结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 方程两边同乘，得 ， 展开得， 移项合并同类项得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 9．(25-26九下·湖北襄阳南漳县八校·)有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月 (2)甲工程队至多施工10个月 【分析】（1）根据题意列出分式方程组求解； （2）根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要个月，乙工程队单独完成此项工程需要个月，根据题意得， ， 解得 经检验，当是方程组的解，并符合题意， 答：甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月； （2）解：甲工程队施工个月，乙工程队施工个月，根据题意得， ， ∴， ∴， 解得， ∴甲工程队至多施工10个月． 10．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1)每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元 (2)①一共有20种购买方案；②最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元 【分析】（1）每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意易得不等式组，进而求解即可； ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得易得，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元． （2）解：①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m的值可以为10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29，共20个； 答：一共有20种购买方案． ②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得： ， ∵，且， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元． 不等式及不等式组 考点04 11．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 在数轴上表示时，向右且用实心点，即选项D符合题意． 12．解不等式组． 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共解集，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 13．(2026九·湖北省襄阳市·一模)某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 一元二次方程及其应用 考点05 14．(25-26九下·湖北荆门外语学校·)设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数关系进行求解即可得到结果． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴． 15．(25-26九·湖北十堰东风第七中学·)一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：、，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程， 由根与系数的关系得：、， 故选：B． 16．一元二次方程的两实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程的两实数根之和为． 17．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·)一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和p和两根之积q，再根据点的横纵坐标的正负判断点所在象限． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标、纵坐标都为正， ∴点位于第一象限． 18．(2026·湖北省黄石市·一模)已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的意义与根与系数的关系，先利用根的定义得到的值，再利用根与系数的关系得到的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：根据题意，是一元二次方程的实数根 是该一元二次方程的两个实数根 对所求代数式变形得： 代入得：原式 19．关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， ∴． 20．(25-26九上·湖北黄石·一模)已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，可得关于m的方程，即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根、， ∴ ∴ ∴； （2）解：存在． ∵一元二次方程有两个根，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 21．计算或解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】（1）先计算有理数的乘方与乘法，立方根，特殊角的三角函数，再去绝对值，最后加减即可． （2）根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴， ． 22．定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的一元二次方程是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)的值为或 【分析】（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）用表示出方程的两个根，根据“差1方程”的定义两方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∴， ∴一元二次方程不是“差1方程”． （2）解：∵， ∴，， ∵关于的一元二次方程是“差1方程”， ∴ 解得：，， 综上所述：的值为或． 23．综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 【答案】(1)36， (2)11人 【分析】（1）从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的，所以总数为，而三角形点阵数量是同行数平行四边形点阵数量的一半，即，然后把代入计算即可； （2）设这群人有x人，根据（1）的结论可知这群人摘石榴的总数为，根据这些石榴平均分配每人可得6个，可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为， ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为； 当时，， 即图1中三角形点阵前8行的点数和是36； （2）解：设这群人共有x人． 由题意得， 即， 解得（舍去），． 故这群人共有11人． 24．(2026·湖北省十堰丹江口市·一模)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题： (1)写出的展开式的第四项为________； (2)在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则________； (3)小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（）具有一次函数关系；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证当时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致； ②若展开式第三项的系数为190，则________； (4)小慧所在的“发现者”小组则发现展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答： ①写出展开式第一项为________，第二项为________； ②请写出的展开式第三项：________； ③计算________． 【答案】(1) (2)6 (3)①一致；验证见解析；②20； (4)①；；②；③或1000000000 【分析】（1）根据题意可得的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，即可求解； （2）根据题意得的展开式各项系数和，再结合，即可求解； （3）①根据题意得：m是第五行第三个数，即10，再把代入计算即可；②根据题意，列出方程，即可求解； （4）①根据题中规律解答即可；②根据题意可得第n行第3个数为，即可求解；③ 根据题意可把原式变形为即可求解． 【详解】（1）解：的展开式的系数恰好对应的是第六行的数，为：1，6，15，20，15，6，1，， ∴第四项为； （2）解：根据题意得的展开式各项系数和， ∵少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，且， ∴； （3）解：①一致，验证如下： 根据题意得：m是第五行第三个数，即10， 当时，， ∴函数m的值与“杨辉三角形”中的值一致； ②∵展开式第三项的系数为190， ∴，即， 解得：（舍去）， 即； （4）①展开式第一项为，第二项为； ②根据题意得：每一行的第3个数依次为1，3，6，10，15，……， 由此发现，第n行第3个数为， ∴的展开式第三项的系数为：， ∴的展开式第三项为； ③． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 5大考点概览 考点01 一元一次方程及其应用 考点02 二元一次方程组及其应用 考点03 分式方程及其应用 考点04 不等式及不等式组 考点05 解一元二次方程及其应用 一元一次方程及其应用 考点01 1．(2026·湖北·一模)如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 2．(2026·湖北黄石市·一模)将连续的奇数1，3，5，7，……，排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． (1)图中十字框中的五个数之和与中间数17有什么关系？说明理由； (2)落在十字框中间且又是第三列的奇数是17，29，41，53，……，则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第五列可表示为______； (3)已知被十字框框中的五个奇数之和为2025，则十字框中间的奇数是多少？这个奇数落在从左往右第几列？ 二元一次方程组及其应用 考点02 3．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·一模)国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 4．(2026·湖北·一模)某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 5．(2026·湖北黄石市·一模)2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功．航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售．该店先花费6500元购进了30个“神舟”模型和20个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费8500元以同样的价格购进了40个“神舟”模型和25个“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的售价为180元，每个“天宫”模型的售价为150元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共200个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的3倍，且航模店购进总金额不超过25000元．设购进“神舟”模型x个，销售这批模型的利润为w元．当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了a元，且限定航模店最多购“神舟”模型80个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是10800元，直接写出a的值为_____． 6．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 分式方程及其应用 考点03 7．(2026·湖北·一模)方程的解是________． 8．(2026九·湖北襄阳市·一模)计算和解方程 (1)． (2)． 9．(25-26九下·湖北襄阳南漳县八校·一模)有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 10．(2026·湖北·一模)为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． ①一共有多少种购买方案？ ②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 不等式及不等式组 考点04 11．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)在数轴上表示不等式的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 12．(2026·湖北·一模)解不等式组． 13．(2026九·湖北襄阳市·一模)某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 一元二次方程及其应用 考点05 14．(25-26九下·湖北荆门外语学校·一模)设a，b是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．1 B．2026 C． D． 15．(25-26九·湖北十堰东风第七中学·一模)一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．一元二次方程的两实数根之和为（   ） A． B． C． D． 17．(25-26九下·湖北随州曾都区曾都区三校·一模)一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．(2026·湖北黄石市·一模)已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 19．(2026·湖北·一模)关于x的一元二次方程的两个根分别是m，n，则______． 20．(25-26九上·湖北黄石·一模)已知一元二次方程有两个实数根，． (1)求的取值范围． (2)是否存在m的值，使得，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 21．(2026·湖北·一模)计算或解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 22．(2026·湖北·一模)定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“差1方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的一元二次方程是“差1方程”，求的值． 23．(2026·湖北·一模)综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 24．(2026·湖北十堰丹江口市·一模)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用下图的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”，这个发现比被欧洲称为“帕斯卡（法国数学家）三角形”早了600余年，充分体现了我们中华民族的聪明才智和我国古代在数学发展史上取得的辉煌成就． 杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列，即从第一项到最后一项a的次数依次为n，，…，1，0，而b的次数从第一项到最后一项依次为0，1，…，，n）的系数规律．例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；等等，利用上面的三角形，解答下列问题： (1)写出的展开式的第四项为________； (2)在数学活动课上，老师展示介绍了“杨辉三角”，要求同学们运用所学习的多项式的乘法验证图中的规律，并观察“杨辉三角形”找到更多的规律，同学们兴致勃勃地开始了探究．经过各小组同学们的观察交流、猜想分析、讨论验证，很快有了新的发现．小颖所在的“探索者”小组发现图中第n行的数字之和是，根据这个结论，小颖提出问题：若某同学在计算的展开式各项系数和时，由于少算了其中某一项的系数，得到的结果是44，则________； (3)小明所在的“开拓者”小组发现：左右两侧是对称的；第一斜行可以看作的常量函数；第二斜行从上至下依次为1，2，3，4，5，…，斜行上的数m（即每一行的第二位数）与所在横行n（）具有一次函数关系；第三斜行从上至下依次为1，3，6，10，…，斜行上的数m（即每一行的第三位数）与所在横行n（）具有二次函数关系．小明提出以下问题，请解答： ①请验证当时，函数m的值与“杨辉三角形”中的值是否一致； ②若展开式第三项的系数为190，则________； (4)小慧所在的“发现者”小组则发现展开式中各项的次数的和均为n，并对a和b进行了拓展变式探究，小慧提出以下问题，请解答： ①写出展开式第一项为________，第二项为________； ②请写出的展开式第三项：________； ③计算________． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $