简谐运动的种类和周期的推导 讲义 -2026届高考物理二轮复习

常考的简谐运动汇总及周期推导与运用 Part1: 弹簧问题 上述左图是一个弹簧连接一个小球在光滑水平杆上运动的情景，甲图为初始平衡位置，记为点，规定向右为正方向，向右运动最远位置记为点，向左运动最远位置记为点,偏离平衡的位移记为,弹簧的劲度系数为，小球所受合力为,根据牛顿第二定律： 周期 1．（25-26高二上·湖南·期中）如图所示，水平面上固定有一竖直的弹簧，劲度系数为k，质量为m的物体A拴接于弹簧上方，一开始物体与弹簧处于静止状态．在物体A上方高度静止释放一个和物体A完全相同的物体B，B下落后与A发生完全非弹性碰撞但不粘连．碰撞完毕后，A与B一同继续下降至最低点后回弹．重力加速度为g。（注：质量为m劲度系数为k的弹簧振子周期为，弹簧的弹性势能为）求： (1)第一次下降过程中，A和B的最大速度； (2)物体A第一次下降的最大位移大小； (3)B、A两物体先后第一次达到最高点时，时间差． 【参考答案】1．(1) (2) (3) 涉及知识点：胡克定律，完全非弹性碰撞，系统机械能守恒，图像，简谐运动 试卷第1页，共3页 Part2: 单摆系统 如图所示，轻绳的长度加上小球的半径为摆长，小球的质量为，拉开一个角度（），偏离最低点的距离为，无初速度释放，忽略空气阻力，证明其是简谐运动并求出周期. 解析：因为小球的运动轨迹是圆弧，速度方向时沿圆弧的切线方向， 所以分析其切线方向的合力，由数学知识可知： 由图可知： ，所以可得： 因为在近似的情况下其满足这种形式，所以可认为是简谐运动，且 弹簧振子的周期公式是 ，代入得单摆周期公式 Part3: 贯穿某一地球隧道的规律 如图所示，在距地心高为的水平隧道中，有一质量为的物体，距水平隧道的中点的距离为，说明该物体在隧道内做什么运动. 解析：因为均匀球壳对壳内物体的引力为零，所以该质点的引力为： 1．A点和B点位于地球两侧，且两点间存在一隧道，如图所示。现在A处同时释放两个载人宇宙飞船。其中一个飞船从静止开始沿着隧道运动，一段时间到达B点。另一飞船沿着近地轨道环绕地球运动，一段时间后也到达B点。已知地球半径为R，地表的重力加速度为g，且不计一切阻力。则下列说法正确的是（提示：均匀球壳内部引力处处为0）（　　） A．在沿着隧道穿行的飞船中的人会先经历超重，再经历失重过程 B．沿着隧道穿行的飞船飞行的最大速度 C．设x为沿着隧道穿行的飞行器距离地球球心的距离，则其受到的合力为，其中m为其质量 D．两飞行器同时到达B点 【参考答案】D Part4: 无初速度单杆+电感+恒定外力 如图所示，一长为,质量为，电阻不计的导体棒垂直放置在光滑的水平导轨上，导轨电阻不计，导轨左侧连接有自感系数为的电感线圈，整个导轨平面处于垂直导轨平面向下的磁感应强度为的匀强磁场中，给导体棒施加一恒定拉力，问： （1）接下来加速度随位移变化的表达式？ （2）导体棒做什么运动？ 解：从初始位置开始，根据牛顿第二定律 整个回路无电阻：，对该表达式两边积分可得： 画出图像可知： 从图像可知，最大加速度为，振幅，最大速度为,由图像可知： Part5: 等量同种点电荷的连线内简谐运动 如图所示，一对等量同种点电荷（电量为）固定于光滑水平面上，相距为，在中心处放置一质量为、电荷量为的质点，让它沿连线方向振动起来，振幅为很小，证明它是一种简谐运动并求振动周期. 解析：假设某时刻质点运动到距离点左侧处，则其合力为 因为振幅比较小，所以为一阶小量，为二阶小量，二阶小量可以近似舍去 所以代入上述结果可得：（负号代表合力的方向与位移的方向相反），满足 周期 Part6: 等量同种点电荷的中垂线上的简谐运动 如图所示的等量同种点电荷（电量均为）固定于光滑水平地面上，相距为，在中心处放置一质量为、带电量为的质点，让它沿中垂线方向来回做小幅振动， 试求其振动周期 解析：做法和上题类似，这里就不重复了，周期 Part7: 不等量异种点电荷的连线外 如图所示，和相距为，被固定在光滑水平地面上，沿连线方向距离为处放置一质量为、电荷量为的质点，让它沿连线方向做小幅振动，试求其振动周期. 解析：做法和上题类似，这里就不重复了，周期 Part8: 按压水面上的木块 1. 水的密度为，游泳池上浮有一块正方体木块，其密度为（），边长为.用力将其向下按到刚好完全浸没，然后松手，求其振动周期（忽略阻力） 解析：如图所示，假定初始平衡时浸没深度为，则有： 再假设运动过程某时刻浸入深度，即在平衡位置下方处，木块受到的合力向上，并且大小为： Part9: U型管中的液体 如图所示U型管，各处横截面积均为，灌入密度为的液体，液柱总长为，由于扰动，管中液体将会上下振动，试求其振动周期. 解析：假设平衡时液柱高为，取上下振动时某一时刻，此时左边液柱的高度为，则右边液柱的高度为，液柱所受的合力为： Part10: 恒流源+匀变磁场+杆轨模型 1．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）如图所示，两间距、倾角的足够长平行光滑导轨，轨道上有一个的恒流源电流方向图中已标出。以O点为坐标原点，沿导轨向下为正方向建立x轴，在导轨平面上垂直x轴方向建立y轴。有一磁场垂直导轨平面向下，该平面内磁场的磁感应强度大小与横坐标x变化规律为。时刻，在处由静止释放一根质量为的金属棒a，重力加速度g取， (1)求金属棒a刚释放瞬间的加速度大小； (2)求金属棒a下滑过程中速度和位移的最大值分别为多少； (3)若金属棒a运动到中最大位移处时，刚好碰到轻放在导轨上相同的金属棒b，碰后二者粘在一起形成组合体c，求组合体c第一次到达最低点的时刻。已知：简谐运动的周期，其中m为做简谐运动的物体质量，k为简谐运动的回复力系数 【参考答案】1．(1) (2)，(3) Part11: 单方向运用简谐运动规律 1．（25-26高三下·江西赣州·月考）一绝缘的固定斜面，倾角为37°，空间中存在沿斜面向下的匀强电场（图中未画出）。质量分别为2m、m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，可看成质点的M带正电，电荷量为q，N不带电。初始时有外力作用使M静止在斜面上的O点，以O点为坐标原点沿斜面向下建立x轴。物块与斜面间的动摩擦因数与坐标x的关系为，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t。已知重力加速度为g，电场强度大小为，斜面足够长，不计滑轮质量与摩擦，物块N始终不会与滑轮相撞。，，则（　　） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大距离为L C．M下滑的最大速度为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 【参考答案】 2.如图所示，与水平面成夹角且固定于两点的硬直杆上套着一质量为的滑块，弹性绳一端固定于点，另一端固定于处的光滑定滑轮与位于直杆上点的滑块栓接，弹性轻绳原长为，为且垂直于.现将滑块无初速度释放，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.滑块与杆之间的动摩擦因数为，弹性轻绳上弹力的大小与其伸长量满足.，取，.则滑块（ ） A.与杆之间的滑动摩擦力大小始终为 B.下滑与上滑过程中所受滑动摩擦力的冲量相同 C.从释放到静止的位移大小为 D.从释放到静止克服滑动摩擦力做功为 【参考答案】 考查的知识点：胡克定律、冲量、简谐运动、功能关系 C．设滑块从释放到静止运动的位移为，滑块开始向下做加速度减小的加速运动，当沿着杆方向合力为0时，滑块速度最大，之后滑块继续向下做加速度增大的减速运动. 看成单一方向的简谐运动. 学科网（北京）股份有限公司 $