精品解析：甘肃天水市第二中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 6. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B. 0是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的单调递减区间是 11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在点处的切线方程为： C. 最小值为 D. 对任意，，都有 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 13. 函数的单调增区间是___________. 14. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 16. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 18. 如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. （1）求二面角的余弦值； （2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可. 【详解】①，②，③，④． 故选：C． 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数即可得解. 【详解】对于A，因为(为常数),所以，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中关于坐标轴对称的点的坐标特征可直接得到结果. 【详解】关于轴的对称点坐标为，即. 故选：B. 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标运算即可. 【详解】. 故选：B. 5. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式化简函数，然后求出导函数，代入计算即可求解. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 故选：C 6. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由知必存在，使得，即，即可求解. 【详解】因为， 所以存在使得，即， 所以. 故选：C. 【点睛】事实上，若且，则必存在，使得，即，若均不为零，则有. 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后计算即可得. 【详解】由题意可得在上恒成立， 故在上恒成立， 由，故. 故选：B. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得. 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根， 令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选题）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 10. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B. 0是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的单调递减区间是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导函数的正负，即可判断原函数单调性和极值，得出正确选项. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误. 故选：BC 11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在点处的切线方程为： C. 最小值为 D. 对任意，，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，利用导数的几何意义即可判断B，由，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； ， ，所以在处的切线方程为，即 ，故B正确； ，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据切点和斜率求得切线方程. 【详解】，， 切线斜率，故切线方程为， 即. 故答案为： 13. 函数的单调增区间是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先对求导，可得，令，解可得答案． 【详解】解： 由得， 故的单调递增区间是. 故答案为： 14. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明平面，再求出平面的法向量和直线的方向向量，应用点到平面的距离公式求得结果. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，即，取，则， 又， 故点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知空间三点，设 （1）求； （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再利用向量数量积的坐标公式计算即得； （2）先求出和，再利用向量垂直的充要条件列出方程，代入化简计算即得k值. 【小问1详解】 由题意，，则； 【小问2详解】 由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 16. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 17. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． （1）求证：平面ABD； （2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值． 【答案】（1） 取AB的中点F，连接DF，EF， 因为E是的中点，所以，且， 又，，D是的中点， ∴，，∴四边形是平行四边形． ∴，又平面ABD，平面ABD， ∴平面ABD． （2）． 【解析】 【分析】（1）取AB的中点F，连接DF，EF，可证得四边形是平行四边形，进而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据线线角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 从而，． ∴， ∴直线AC与BD所成角的余弦值为． 18. 如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. （1）求二面角的余弦值； （2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解； （2）利用共线关系表示点的坐标，利用列式求解即可求解. 【小问1详解】 取的中点为. 平面平面平面，平面平面， 平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系， ， ，，， 设平面的法向量为 即 令，则. 又平面的法向量为，则， 设二面角的平面角为，由图形知为锐角， ，即二面角的余弦值为. 【小问2详解】 设，， . 又平面的法向量为平面，∴， ∴，，即. ∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求证：． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在递增；在递减； （2）证明：若存在两个极值点，则是方程的两个根， ∴，，， 令，所以在上单调递减， 则，又，故，所以，即． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解，确定的正负，得单调性； （2）同（1）得，且两个极值点满足，，计算并化为的函数，引入函数，由导数得单调性后可证． 【小问1详解】 定义域为， ，， ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由得， 或时，，时，， 函数在递增；在递减； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $