专题04正方形压轴题型专项训练(15大题型+压轴题型精析)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 15类正方形压轴题型系统训练，以母题精讲+梯度专练构建方法体系，融合性质应用与模型思想，提升几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|每题型3道（含母题+跟踪练）|轴对称性质+方程思想|以正方形边、角性质为基础，通过折叠实现线段/角度转化| |存在性与分类讨论|每题型3道（含母题+跟踪练）|分类讨论+几何构造|结合动点动态分析，运用全等/相似判定图形存在性| |模型应用|每题型3道（含母题+跟踪练）|半角/十字架等模型辅助线+全等转化|提炼旋转、一线三垂直等模型通法，强化知识迁移能力|

专题04正方形压轴题型专项训练 【温馨提示】15大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.正方形折叠求线段长 题型02.正方形折叠求角度 题型03.正方形分类讨论问题 题型04.正方形存在性问题 题型05.正方形对角线综合问题 题型06.正方形旋转综合 题型07.正方形最大值问题 题型08.正方形最小值问题 题型09.正方形定值问题 题型10.正方形多结论问题 题型11.正方形与坐标系综合 题型12.正方形半角模型 题型13.正方形十字架模型 题型14.正方形一线三垂直模型 题型15.正方形手拉手旋转模型 题型01.正方形折叠求线段长 1．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得到线段与角的等量关系，先通过勾股定理列方程求出的长度，再依次求出、的长度，结合的条件判定为等腰直角三角形，进而求出的长度，接着用面积法求出边上的高，再通过勾股定理求出、的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点， ∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得． 在中，由勾股定理得． 过点作于点， ∵， ∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 2．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为________． 【答案】 【分析】过点A作交于点I，连接，构造，再延长至K，使，连接，，，构造，由全等三角形的性质，将转化为，根据全等三角形的性质得出此时，设此时，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作交于点I，连接， 由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 延长至K，使，连接，，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由翻折可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、G、K三点共线时，最小，即最小， ∵、G、K三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当最小时，， 设此时，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即当最小时，． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等，解题关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 3．在第十四届艺术节期间，帆帆利用24张正方形彩纸制作了一个正方体（如图1），以下是帆帆的制作过程：先用一张正方形彩纸按照一定的方式折出一个四边形（操作过程如图2），再将24个这样的四边形按照一定的方式折叠、拼接，即可得到一个正方体． ①、②沿虚线按照箭头方向先后折叠； ③沿虚线按照箭头方向折叠，并插入实线所在的图形内。 (1)①请你判断图中四边形的形状是___________； ②若正方形彩纸的边长为m，则图中四边形的面积是___________（用含m的式子表示）； (2)帆帆从该正方体的表面发现了“赵爽弦图”（如图．）：四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以围成一个大正方形．利用此弦图可证明勾股定理，请完成以下证明过程． 已知：如图3，正方形，正方形，，中，，，，． 求证：． 证明：，，，，， ①___________（用含a，b的式子表示）． ②___________（用含a，b的式子表示）． ③___________（用含a，b的式子表示）． 又④___________（用含c的式子表示）， ． (3)图为正方体的表面正方形，图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点．若用这种方法制作一个棱长不小于的正方体，则使用的正方形纸片的边长至少为___________ ． 【答案】(1)①平行四边形；② (2)①；②；③；④ (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①结合正方形的性质以及折叠的性质得出四边形是矩形，再根据一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形， ②结合折叠的性质，得出平行四边形的面积，即可作答． （2）连接上下文，结合三角形的面积以及正方形的面积公式进行补充，即可作答． （3）理解题意，根据原正方形纸片的边长为，且图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点，以及运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①如图所示： 依题意，纸片是正方形，且结合折叠性质，得四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ②∵折叠， ∴，矩形的面积=正方形彩纸面积的一半， 即矩形的面积 ∵折叠，平行四边形的面积=矩形的面积的一半， 即平行四边形的面积， 故图中四边形的面积是； （2）证明：，，，，， ；， 又， ； （3）解：由（1）得， 设正方体的棱长为， 依题意， ∵原正方形纸片的边长为，且图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点． ∴ ∵， 则 ∴ ∴ 当时，则． ∴若用这种方法制作一个棱长不小于的正方体，则使用的正方形纸片的边长至少为． 题型02.正方形折叠求角度 4．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 5．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由正方形得到，，然后由折叠得到，，，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，然后得到，然后得到，求出，，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴， ∵将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处， ∴，， ∴ ∴ ∵点M为边的中点， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 6．综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 【答案】(1)30 (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）由折叠可知垂直平分，，，连接，易证是等边三角形，所以； （2）①连接，证明，即可得到；②由（1）可求得，则，则，则，设，则，由勾股定理求得的值，即可求出的长度； （3）连接，可得与都是直角三角形，在中，由勾股定理求得，则，过点作，可得四边形是矩形，设，则，，在与中，根据勾股定理列方程，求出的值，即可求出的长度． 【详解】（1）解：如图①，连接， 由折叠可知垂直平分，，， ∵． ． 是等边三角形． ． ． （2）解：①证明：如图②，连接， 由折叠可知：，， ． ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ∴． ． ②由（1）得， ． ． ， ． ． 在中，， 设，则， 由勾股定理得：，即，解得， ， ． （3）解：如图③，连接， 由题可得与都是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ． 过点作，则四边形是矩形， 设，则，， 在与中，由勾股定理得， ， 即，解得， ． 题型03.正方形分类讨论问题 7．如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】或. 【分析】由平行四边形的性质，得对角线与互相平分，交点为中点O，即O是中点，且．过O作于H，先在等腰直角中求出；再在中，由勾股定理算出．分类讨论当M在线段上时，当在延长线上时即可解答． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①当点M在对角线上时，设交于点O，过点O作于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且，为对角线， ∴，，， ∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ②当点M在的延长线上时，设交于点O，过点O作于点H，如图所示： 同理可得：，，， 在等腰直角中，， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， 综上所述：的值为或． 8．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t()． (1)如图1．若，求的长； (2)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标； (3)若直线与直线相交于点M，且时， ①求点C的坐标； ②当时，的大小是否发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；的大小不会改变 【分析】（1）根据坐标确定的长，由确定的长，再根据勾股定理即可求出的长； （2）过点作于点Q，则，,则，由勾股定理求出x，求出的函数表达式为，则可得出答案； （3）①连接，证明，得出，则四边形为正方形，可得出答案； ②分两种情况，由全等三角形的性质及折叠的性质可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ∵，， ∴； （2）过点作于点Q， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由对称得，， 则， 设,则， 由勾股定理得：， 即 ， 解得：， ∴， ∵，， 即， 解得：， ∴点的横坐标为， 设的函数表达式为，将代入得：， ∴的函数表达式为， 将代入得：， ∴； （3）①连接， ∵， ， ∴，， ∵和对称， ∴， ∴， 又∵，OM=OM， ∴， ∴， 则四边形为正方形， ∴； ②（Ⅰ）当 时， ∵，， ∴， （Ⅱ）当时，， ∴， . ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 即， 综上所述：的大小不会改变． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．已知正方形，为平面内两点． 【探究建模】 (1)如图，点在边上时，，且三点共线．求证：； 【类比应用】 (2)如图，点在正方形外部时，，，且三点共线．猜想并证明线段之间的数量关系； 【拓展迁移】 (3)如图，当点在正方形外部时，，，，且三点共线，与交于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 (3) 【分析】（）根据正方形性质以及题意证明，即可得出结论； （）根据已知条件证明，然后证明为等腰直角三角形即可得出结论； （）先证明，得出为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直角三角形的性质求出的长度，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，三点共线， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：，理由如下： ，四边形是正方形， ，， ， ，， ，． ， 在和中，， ， ，， 为等腰直角三角形， ，即； （3）解：过点作于点，连接， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 且， 为等腰直角三角形， ， 在中，，， ， 是正方形对角线， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ． 题型04.正方形存在性问题 10．已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 【答案】或 【分析】当△是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，过点作于点，的延长线交于点，则四边形是矩形，进而得，△是等边三角形，则，，在四边形中，，，则进而得，则；②当时，过点作，的延长线交于点，则是正方形的一条对称轴，进而得，则△是等边三角形，然后在中可求出，综上所述即可得出的值． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 根据轴对称的性质得：，，，， 当是以为腰的等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，过点作于点，的延长线交于点，如图1所示： ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在四边形中，，， ， ， 在中，， ； ②当时，过点作，的延长线交于点，如图2所示： ， 是的垂直平分线， 所在直线是正方形的一条对称轴， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 11．如图，P是正方形边上一个动点，线段与关于射线对称，连接并延长交射线于点F，连接． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)能为等腰三角形； (3) 【分析】（1）利用正方形的性质得到，即可求出，由对称的性质可得到，即可求出，利用等腰三角形的性质求出度数，再由三角形内角和求解即可； （2）先分析出等腰三角形的顶角，设，用含的式子表示出和的度数，再通过建立方程求解即可； （3）连接，过点作交于点，利用勾股定理得到，利用正方形的性质和对称的性质证明，得到，推出，得到，即可得到三边关系． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵线段与关于射线对称， ∴， ∴ ∴在等腰中， ∴在中， （2）解：能成为等腰三角形，理由如下： ①由（1）可得： ∵ ∴ ∴不能为等腰三角形的顶角时， ②当为等腰三角形的顶角时， 则， 此时，与重合，不符合题意； ③当为等腰三角形的顶角时， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴， 解得：， ∴时，能为等腰三角形； （3）解：连接，过点作交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 设，由（2）同理可得：，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， 又∵在和中，， ∴， ∴在中，， ∴． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①；② (2)不变，定值为，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）①过点作轴于点，通过论证即可得出结论； ②过点作轴于，过点作于点，通过论证即可得出结论； （2）过点作轴于，可得，进而利用即可得出结论； （3）过点作轴于，由（2）的结论得，推出，再分3种情况讨论：、、，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：①当与重合时，如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②过点作轴于，过点作于点， ∴， ∵矩形中， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点作轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，定值为； （3）解：过点作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴分3种情况讨论： 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 当时，则， 解得， ∴； 综上：或或． 题型05.正方形对角线综合问题 13．如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于点，垂足为，勾股定理得出，证明四边形是矩形，，得出，在中，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于点，垂足为，如图所示： 设， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 15．如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， (1)求 (2)连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由正方形边性质得，，，结合，，可证明，从而得出； （2）延长至使，结合为中点证明，可得，，进而得，结合得，即可得，利用证，可得，由，得，即可得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴； （2）解：， 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ​∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴， ∴． 【点睛】第一问是共顶点双直角手拉手全等模型（，共顶点），这是正方形中最经典的全等构造，通过“同角的余角相等”快速得到夹角相等，结合边相等证全等；第二问是倍长中线法，这是处理“中点+线段倍数关系”问题的通用方法，通过延长中线一倍构造全等，将分散的线段集中到同一个三角形中，再结合第一问的角证第二次全等． 题型06.正方形旋转综合 16．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 17．如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、交于点，由正方形的性质得，，，求得，，，则，作点关于直线的对称点，连接，由旋转得，，因为垂直平分，所以，则，所以，可证明，得，作于点，作交的延长线于点，可证明，得，因为四边形是矩形，所以，由，得，则线段的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、交于点， 四边形是边长为的正方形， ，，， ，，， ， 作点关于直线的对称点，连接， 把线段绕点逆时针旋转到线段， ，， 垂直平分， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 作于点，作交的延长线于点，则， 在和中， ， ， ， 点在经过点且与垂直的直线上运动， ， 四边形是矩形， ， ， ， 线段的最小值为， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)12 (3)，理由见解析 【分析】（1）由旋转的性质可得，证明，即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则可得，从而可求得正方形的边长； （3）过点D作，且，连接，可证明，则可得；再证明，可得，在中，由勾股定理即可得三条线段之间满足的数量关系； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴E、B、N在同一直线上， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 即正方形的边长为12； （3）解：三条线段之间满足的数量关系为； 证明：如图②，过点D作，且，连接，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中 ，    ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即． 题型07.正方形最大值问题 19．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、、根据勾股定理可得，在点与之间总有如图，、、、四点共线，此时等号成立如图可得线段取最大值． 【详解】解：取的中点，连接、、． ， ． 同理． 正方形，为中点，， ． 在点与之间总有如图， 由于的大小为定值，只要，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立如图． 线段取最大值． 20．如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，将转化到中，结合三角形三边关系求解最大值． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 四边形是正方形，为中心， ，， 由旋转性质可知：， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， 根据三角形三边关系，， ， ， 当 ，， 三点共线时， 取得最大值，最大值． 21．实践操作： 在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如下图，按以下步骤操作： 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出，使． 问题解决： (1)设，则图④中的值为______； (2)小聪量得他的矩形纸片长为，宽为，如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在上的点F处，折痕为，他延长交直线于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算的长； (3)连接（2）中得到的正方形的两条对角线和交于点H，如图⑥G是的中点，E是上的一点，且，仍为，F是上的一动点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由折叠的性质得出结合勾股定理得出，再把数值代入进行化简，即可作答． （2）先由正方形的性质得出，结合勾股定理算出，，设，则．列式，解出，过点D作于点G．，则，即可作答． （3）作点G关于的对称点，连接并延长交BN于点，当点F运动到点时，取得最大值，因为G是的中点，所以是的中点．过点H作于点K，显然K是的中点，证明是的中位线，得．则，而，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平， ∴， ∵折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处， ∴， ∴； （2）解：由题意可知，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， 如图1，过点D作于点G， 显然是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴； （3）解：如图2，作点G关于的对称点，连接并延长交BN于点， 即当点F运动到点时，取得最大值， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∵G是的中点， ∴是的中点， 过点H作于点K，显然K是的中点， ∴， ∴E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 显然是等腰直角三角形， ∴， 显然， 而， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段的最值，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型08.正方形最小值问题 22．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 【答案】 【分析】（1）由正方形的性质得到，再利用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，先求出，证明四边形是矩形得，证明和全等得，再证明四边形是平行四边形得，，进而得，，由勾股定理得，根据得当为最小时，为最小，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是边长为6的正方形， ∴， 在中，由勾股定理得； （2）如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵于点， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为． 23．如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点， 根据对称性可知， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 24．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 题型09.正方形定值问题 25．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：过点作于点，过点作于点，易证四边形是正方形，可得，；再证明可得，进而得到，然后证明可得，即；根据三角形中位线的性质可得，即，运用勾股定理可得，最后代入求比值即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在正方形中， ∴平分，， ∴四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26．如图，在正方形中，点E是边上一点，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接、，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证，得；再由平行四边形的性质，推出且．过P作，构造 “一线三直角” 模型，证，得、．设，结合表示出各线段，用勾股定理算出和，最后化简比值． 【详解】 过点P作，交延长线于点H， ∵ 正方形， ∴，． ∵ 平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，即． ∵，， ∴． 在和中， ​ ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ​ ∴， ∴，． ∵，设，则，， ∴，， ∴． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵中，，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ​​． 故选：C． 【点睛】考查正方形性质、全等三角形判定、平行四边形性质、勾股定理、等腰直角三角形性质．构造 “一线三直角” 模型，通过两次全等将线段关系转化． 27．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使得，容易证明，则，，进而可证明，因此； （2）过点作的垂线，交于点，交于点，容易证明，．此时，符合（1）中的模型，因此，设，则，，在直角中，利用勾股定理构造方程解出的值，再利用勾股定理求出； （3）过点作的垂线，交于点，利用正方形的性质可得，结合同角的余角相等可得，，从而证明，则，．利用勾股定理可得，结合，计算出比值． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作的垂线，交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，此时， 设， ∴，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴，， 在直角中，； （3）解：如图，过点作的垂线，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在直角中，， ∵， ∴，即． 题型10.正方形多结论问题 28．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】可证明，得到，则可证明，据此可判断①②；根据勾股定理可得，，则，据此可判断③；由勾股定理可得，，可证明，据此可判断④． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ， 正方形的面积是四边形的面积的4倍，故②正确； ， ， 在中，由勾股定理得，则， 在中，由勾股定理得， ，故③正确； 当时，，则， ， ， ，即四边形的周长大于，故④不正确． 综上所述，正确的有①②③． 29．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用SAS可证明，根据等腰直角三角形性质得，进而可得，即可判断结论①；在中，根据勾股定理可得的长，即可判断结论②；结合前面的结论可知，进而可判断结论③；连接，根据可求出正方形的边长，进而可判断结论④． 【详解】解：对于结论①， 在正方形中，，． ， ， ，， ． 在和中， ． ． ， ，， ，故结论①符合题意； 对于结论②， 由前面的结论可得， ． 在中，，， ，故结论②不符合题意； 对于结论③， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 如图，连接． ， ， ， ， ， ， ，故结论④不符合题意； 综上，结论①③符合题意． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理，二次根式．熟练掌握全等三角形的判定和性质，能够把复杂的问题进行有效地转化是解题的关键． 30．如图，在正方形中，点在上，连接、，作于点，交于点，作于点，交于点，下列结论正确的个数有（    ）个： ①；②；③；④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】因为正方形的边相等、角为直角，所以先利用正方形的性质得出各边相等、各内角为的条件．对于①，因为，所以可推出，，进而得到角相等，再结合正方形的边相等，用全等三角形判定定理判断．对于②，因为，所以可推出，，进而得到角相等，再结合正方形的边相等，用全等三角形判定定理判断．对于③，若前两个全等成立，那么可利用全等三角形对应边相等的性质，结合正方形边长相等的关系，推导．对于④，先利用四边形内角和为，结合已知垂直条件和，再利用全等得到的角的关系，推导的度数；最后统计正确结论的个数，匹配选项． 【详解】结论① ： 正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①正确． 结论② ： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②正确． 结论③ ： ∵， ∴， ∴， ③正确． 结论④ 时，： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ④正确． 故正确的有①②③④，选：D． 题型11.正方形与坐标系综合 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【分析】过点D作y轴的垂线，垂足为，证明，得到的长度，再运用勾股定理，得到正方形的边长，最后得出正方形的面积． 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 32．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点O为原点，点，对角线的交点为M，作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点D，交于点H．则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据正方形性质证明为等腰直角三角形，得到，再利用角平分线的性质及全等三角形证明，从而求出的长，即可得到点的坐标 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 33．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点D，E作，的平行线，相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【分析】根据易知四边形是平行四边形，结合正方形的性质易证得，即可根据邻边相等的平行四边形为菱形证得结论． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是正方形， ，， 点D，E是，的中点， ， 在和中， ， ， ， 是菱形． 题型12.正方形半角模型 34．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 【答案】 【分析】延长至G，使得，连接，先根据正方形的性质证明，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，即可得出，接下来设，则，，再结合可得方程，求出解，进而求出，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，延长至G，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， ∴， ∴． 35．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查的正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用等知识点，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明得到，再由，然后代入即可解答． 【详解】解：如图：将逆时针旋转得， . ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 36．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 【答案】（1），理由见解析（2），理由见解析（3） 【分析】（1），由折叠得到，，，从而推出，，，，得到，推出点三点共线，即可说明； （2），将绕点逆时针旋转，得到，连接，由旋转可得，，得到，，，，推出，证得，得到，再利用勾股定理即可说明； （3）将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点，得到，，，，，，从而可得，，可证明四边形是正方形，设，则，，，利用勾股定理，可得到，解得，（舍去），得到，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由：由折叠可得，，， ∴，，，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴； （2）解：，理由： 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 由旋转可得，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴； （3）解：如图所示，将沿翻折得到，将沿翻折得到，延长，交于点， ∴，，， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 题型13.正方形十字架模型 37．如图，在正方形中，对角线，交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F，G，连接，，与交于点H．若，则______． 【答案】 【分析】首先证明出，得到，，然后证明出，得到，，得到是等腰直角三角形，如图，过点O作于点M，设，则，利用勾股定理求出，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵四边形是正方形，对角线，交于点O， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 如图，过点O作于点M ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ 设，则 ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即 ∴． 38．如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为___________． 【答案】6 【分析】先通过证明，进而得到，，从而可得，代入数据进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，． 又，， ， ， ． ，，， ， ，， ． 39．在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F． ①求证：． ②求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G．连接，若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)2 【分析】（1）①根据正方形的性质可推出，然后根据同角的余角相等可推出，即可证得结论； ②根据正方形的性质和同角的余角相等，利用证明，得到，即可利用线段的和差证得结论； （2）过点G作于点P，易得四边形是矩形，同（1）②的原理证明，得到，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：①∵四边形是正方形 ，， ∴， ， ， ， ， ， ； ②∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （2）解：如图，过点G作于点P， ∵四边形是正方形， ，， ∴四边形是矩形， ， ， ，， ， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，M是的中点， ， ． 题型14.正方形一线三垂直模型 40．如图，在正方形中，，在线段上，作射线，分别过点，，作的垂线，垂足分别为点，，，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】连接，由正方形性质得，结合三角形面积公式，得，再通过的最大值求该式的最小值． 【详解】解：连接，如图， 四边形是正方形，且边长为10， ，， ∴， ∴， ， ， 又∵， ， ∴， ， 当E与B重合时，的值最大为， ∴有最小值为． 【点睛】解题的核心是利用面积法，将分散的垂线段之和转化为含的分式，再结合的取值范围，利用“分母最大时，分式值最小”的性质，快速求得结果． 41．如图，在中，，，，点为中点，E为直线上一动点，以为边向下作正方形，当时，则C、E两点间的距离为________ 【答案】0或 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接作直线，过点作交于点，过点作交于，证明≌，得到，设，证明，得到为等腰直角三角形，，推出点的轨迹，进而分类讨论求解． 【详解】解：由题意知，， ∴，， 如图，当点与边的中点重合时， 有为的中位线， ∴， ∵为正方形， ∴，另记此时点所在的位置为点，则； 如图，当点在线段上时，连接，作直线，过点作交于点，过点作交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴≌， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴点在直线上运动，其中； ∴当时，有以下两种情况： ①当点和点重合时，，此时； ②当点在延长线上时，，，则垂直平分， ∵为正方形的对角线， 此时、、三点共线， ∴， ∴； 综上所述，当时，或． 42．如图，在正方形中，O是的中点，E是上一点，连接，交于点H，作于点F，于点G，连接． (1)求证：； (2)若正方形边长为1，当点F为中点时，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，由“”可证，可得； （2）根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，证明，得到，，进而得到，证明，即可得到； （3）根据正方形的性质得到，由“”可证，可得，，可证为等腰直角三角形，可得，由（1）可证得可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴，， ∵点F为中点，于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 题型15.正方形手拉手旋转模型 43．如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】①连接，证明，进而证明根据等角对等边即可判断；②由①中结论即可判断；③连接，过点作于点，利用正方形的性质及线段的和差关系可得，假设，则，可得，即、是的三等分点，当点在上运动时由此可判断；④由正方形的判定与性质可得，再由全等三角形的判定与性质及最值问题即可判断． 【详解】解：①如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形中，， 又∵， ∴，故①正确； ②在与中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即；故②正确； ③如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故③不正确； ④当点G在左边时，由②得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为， 当点E与点B或点D重合时，最大，m的值最大， 此时，m的最大值为， ∵点E不与B、D重合， ∴， 当点G在右边时，同理可得上述结论，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④． 44．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】连接，根据正方形的性质得到，证明，得到点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值， 此时， ， ， ． 45．【模型建立】 (1)如图1，已知是正方形的一边，点在的延长线上，以为一边向右构造正方形，连接，．判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型探究】 (2)如图2，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接，，判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型拓展】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当点在上运动时，写出的最小值，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“”可证，可得结论． （2）延长、交于，证明，得出，．在四边形中求出，由此得； （3）过点G作交延长线于点H，证明，得到，说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可． 【详解】（1）解：，．理由如下， 如图1中，延长交于， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ，， ， ，即， ． （2）解：，．理由如下， 如图，延长、交于， ∵， ∴， 又∵， ∴，. ∴，． ∴在四边形中，， ∴， 即； （3）解：如图4中，过点G作交延长线于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，． 在中，，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04正方形压轴题型专项训练 【温馨提示】15大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 题型01.正方形折叠求线段长 题型02.正方形折叠求角度 题型03.正方形分类讨论问题 题型04.正方形存在性问题 题型05.正方形对角线综合问题 题型06.正方形旋转综合 题型07.正方形最大值问题 题型08.正方形最小值问题 题型09.正方形定值问题 题型10.正方形多结论问题 题型11.正方形与坐标系综合 题型12.正方形半角模型 题型13.正方形十字架模型 题型14.正方形一线三垂直模型 题型15.正方形手拉手旋转模型 题型01.正方形折叠求线段长 1．如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 2．如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是边，上的点，连接，将四边形沿折叠，点B 的对应点G恰好落在边上，点A 的对应点为H，连接．当取得最小值时，此时线段的长为________． 3．在第十四届艺术节期间，帆帆利用24张正方形彩纸制作了一个正方体（如图1），以下是帆帆的制作过程：先用一张正方形彩纸按照一定的方式折出一个四边形（操作过程如图2），再将24个这样的四边形按照一定的方式折叠、拼接，即可得到一个正方体． ①、②沿虚线按照箭头方向先后折叠； ③沿虚线按照箭头方向折叠，并插入实线所在的图形内。 (1)①请你判断图中四边形的形状是___________； ②若正方形彩纸的边长为m，则图中四边形的面积是___________（用含m的式子表示）； (2)帆帆从该正方体的表面发现了“赵爽弦图”（如图．）：四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以围成一个大正方形．利用此弦图可证明勾股定理，请完成以下证明过程． 已知：如图3，正方形，正方形，，中，，，，． 求证：． 证明：，，，，， ①___________（用含a，b的式子表示）． ②___________（用含a，b的式子表示）． ③___________（用含a，b的式子表示）． 又④___________（用含c的式子表示）， ． (3)图为正方体的表面正方形，图中四边形的顶点G，H拼接后成为正方形的边的中点．若用这种方法制作一个棱长不小于的正方体，则使用的正方形纸片的边长至少为___________ ． 题型02.正方形折叠求角度 4．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为______ ． 5．如图，在正方形中，点M为边的中点，将沿折叠，使点D落在正方形的内部一点N处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展探究学习活动，具体探究过程如下． (1)【操作判断】 操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上取一点，沿着折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，如图1，当点落在上，则_______°； (2)【迁移探究】 小敏同学将矩形纸片换成边长为5的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照上述操作，点在上，延长交于点，如图2． ①求证：； ②求的长度． (3)【拓展应用】 小敏在（2）的操作基础上继续探究，连接，当点落在上，如图3，过点作于点，求的长度． 题型03.正方形分类讨论问题 7．如图，在正方形中，，M是对角线所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形为平行四边形，且，则的值为 ____________________ ． 8．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t()． (1)如图1．若，求的长； (2)如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标； (3)若直线与直线相交于点M，且时， ①求点C的坐标； ②当时，的大小是否发生变化，请说明理由． 9．已知正方形，为平面内两点． 【探究建模】 (1)如图，点在边上时，，且三点共线．求证：； 【类比应用】 (2)如图，点在正方形外部时，，，且三点共线．猜想并证明线段之间的数量关系； 【拓展迁移】 (3)如图，当点在正方形外部时，，，，且三点共线，与交于点．若，，求的长． 题型04.正方形存在性问题 10．已知正方形的边长为4，点为线段上的动点（不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接，，，，当是以为腰的等腰三角形时，的值为______． 11．如图，P是正方形边上一个动点，线段与关于射线对称，连接并延长交射线于点F，连接． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； (3)如图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为________； ②用含的代数式表示点的坐标为________； (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 题型05.正方形对角线综合问题 13．如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交边于点F．若，，则______． 14．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 15．如图，已知为正方形对角线，为线段上一点，连接，过点作，，连接， (1)求 (2)连接，已知为中点，请写出与的数量关系，并证明． 题型06.正方形旋转综合 16．如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 17．如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 18．如图①，在正方形中，点、分别在边、上，连接、、．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)如图②，点、分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 题型07.正方形最大值问题 19．在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 20．如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 21．实践操作： 在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如下图，按以下步骤操作： 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出，使． 问题解决： (1)设，则图④中的值为______； (2)小聪量得他的矩形纸片长为，宽为，如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在上的点F处，折痕为，他延长交直线于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算的长； (3)连接（2）中得到的正方形的两条对角线和交于点H，如图⑥G是的中点，E是上的一点，且，仍为，F是上的一动点，求的最大值． 题型08.正方形最小值问题 22．如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则： （1）的长为_________， （2）的最小值为_________． 23．如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 24．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 题型09.正方形定值问题 25．如图，正方形中，为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点，若为的中点，则的值为________． 26．如图，在正方形中，点E是边上一点，交于点F，以，为邻边构造平行四边形，连接、，若，则等于（   ） A． B． C． D． 27．根据题目要求，解答下列各题 (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，直接写出线段，，的数量关系：______； (2)如图2，在正方形中，，交于点，，若，，，求的长． (3)如图3，在正方形中，点在线段的延长线上，，过点作于点，连接，求的值． 题型10.正方形多结论问题 28．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为4，四边形为两个正方形重叠部分．正方形可绕点O转动，给出下列结论： ①； ②正方形的面积是四边形的面积的4倍； ③连接，总有； ④当时，四边形的周长为． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 29．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．如图，在正方形中，点在上，连接、，作于点，交于点，作于点，交于点，下列结论正确的个数有（    ）个： ①；②；③；④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.正方形与坐标系综合 31．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 32．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点O为原点，点，对角线的交点为M，作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点D，交于点H．则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，正方形的两边分别在坐标轴的正半轴上，分别过，的中点D，E作，的平行线，相交于点F．求证：四边形为菱形． 题型12.正方形半角模型 34．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 35．如图，正方形中，，连接，则之间的数量关系为____________． 36．【模型建立】（1）如图，在正方形中，分别是边上的点，连接，，连接，探究线段之间的数量关系．小明发现可以将沿折叠，沿折叠，和恰好重合在上，进而利用折叠的性质来证明此问题．请你根据小明的解题方法探究之间的数量关系； 【类比探究】（2）如图，在等腰直角中，，点在边上，连接，，探究线段之间的数量关系； 【拓展迁移】（3）如图，在中，于点，若，，，求的面积． 题型13.正方形十字架模型 37．如图，在正方形中，对角线，交于点O，E为上一点，，，垂足分别为F，G，连接，，与交于点H．若，则______． 38．如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为___________． 39．在正方形中，E是边上一点（点E不与点C，D重合），连接． (1)如图1，过点A作交于点F． ①求证：． ②求证：． (2)如图2，取的中点M，过点M作交于点F，交于点G．连接，若，求的长． 题型14.正方形一线三垂直模型 40．如图，在正方形中，，在线段上，作射线，分别过点，，作的垂线，垂足分别为点，，，则的最小值为____________． 41．如图，在中，，，，点为中点，E为直线上一动点，以为边向下作正方形，当时，则C、E两点间的距离为________ 42．如图，在正方形中，O是的中点，E是上一点，连接，交于点H，作于点F，于点G，连接． (1)求证：； (2)若正方形边长为1，当点F为中点时，求的长； (3)求证：． 题型15.正方形手拉手旋转模型 43．如图，正方形的边长为4，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③；④设四边形的周长为，则．其中正确的结论有__________．（填写所有正确结论的序号） 44．如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 45．【模型建立】 (1)如图1，已知是正方形的一边，点在的延长线上，以为一边向右构造正方形，连接，．判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型探究】 (2)如图2，若正方形的边长为4，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接，，判断和的数量与位置关系，并说明理由． 【模型拓展】 (3)如图3，在（2）的条件下，连接，当点在上运动时，写出的最小值，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $