广东省深圳市光明区深圳实验学校光明部2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 以舞蹈机器人、歼-35A等科技前沿，粤BA、乡村振兴等社会热点及杨辉三角文化传承为情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查集合、概率、回归分析等知识，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/32|集合运算、函数最值、古典概型|第6题机器人站稳概率结合全概率公式，体现科技情境应用| |多选|3/18|正态分布、回归模型、杨辉三角|第11题杨辉三角性质探究，融合文化传承与逻辑推理| |填空|3/15|分配问题、条件概率、对数回归|第14题对数回归预测最值，考查数学建模能力| |解答|5/85|二项式定理、独立性检验、比赛概率|第19题乒乓球比赛积分模型，综合概率、期望与函数最值，凸显数学思维的严谨性|

深圳实验学校光明部2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：周 良 审题人：王 鹏 第一卷 一、单选题（每题4分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 3．有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（     ） A．81 B．64 C．27 D．24 4．一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则（   ） 2.8 3.3 5.0 6.7 7.2 2.6 4.0 5.1 5.4 A．2.5 B．2.7 C．2.9 D．3.1 6．2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（   ） A．0.9 B．0.91 C．0.92 D．0.93 7．随机变量，则等于（    ） A．16 B．8 C．5 D．4 8．第十五届中国国际航空航天博览会于2024年11月12日至17日在广东珠海举办，此次航展上，作为我国新一代中型隐身多用途战斗机的歼－35A首次公开亮相，并在进行飞行表演时飞出了“马赫环”，假设歼－35A在某次飞行过程中，飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，且飞出“马赫环”的概率与飞行速度满足以下关系：当时，概率为0.9；当时，概率为0.5；当时，概率为0.1.若歼－35A在一次飞行过程中飞出了“马赫环”，则它飞行速度不低于1.2马赫的概率约为（若，则）（    ） A．0.2856 B．0.1428 C．0.1587 D．0.5 二、多选题（每题6分） 10．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量，则 B．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2 C．若，，且，则C，D相互独立 D．，，，则的值为 10．如图是根据一组观测数据得到海拔千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为；根据非线性回归模型得到经验回归方程为，决定系数为，则下列说法正确的是（    ） A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关 B．由方程可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低kPa C．由方程可知，当时，则预测值 D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程的预报效果更好 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 第二卷 三、填空题（每题5分） 12．将4名大学生分配到3所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生：则不同的分配方法有__________种.（用数字填写） 13．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连续取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________． 14．已知变量与的一组样本数据，，…，满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得.若变量，则当的预测值最大时，变量的取值约为________.（，结果保留1位小数） 四、解答题 15．（本小题满分13分）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： (1)求的值. (2)求展开式中的系数. 16．（本小题满分15分）在6道数学试题中有3道代数题和3道几何题，每次从中随机抽出1道题. (1)如果抽出的题不再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (2)如果抽出的题再放回，从中抽2道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率； (3)如果抽出的题不再放回，从中抽3道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望. 17．（本小题满分15分）2026年举办的广东省城市篮球联赛（简称“粤BA”）深受广大市民的喜爱，为了解喜欢观看“粤BA”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“粤BA”联赛的情况，得到如下表格： 性别 不喜欢观看“粤BA”联赛 喜欢观看“粤BA”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“粤BA”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率，从喜欢观看“粤BA”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本小题满分17分）实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价（元）与网上月销量（万件）的数据如下： (1)求相关系数（保留3位小数），并说明与的线性相关程度； (2)建立关于的线性回归方程； (3)若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 19．（本小题满分17分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． (1)求甲获得3分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 深圳实验学校光明部2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试题解析 1．B 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2．D 【详解】因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立. 则的最小值为. 3．A 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 4．B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 5．C 【详解】由题意，可得，， 所以样本点的中心坐标为， 代入回归直线方程，可得， 解方程得. 6．D 【详解】. 7．C 【详解】因为随机变量，所以期望 ， 再根据期望的线性性质：有， 代入得： . 8．A 【详解】由于飞行速度（单位：马赫）服从正态分布，得， 则， ，. 设歼－35A飞出“马赫环”为事件A，飞行速度不低于1.2马赫为事件， 则，， 所以. 故选：A. 9．BCD 【详解】，，选项错误； 设小黄同学做对的题目数量为，则，期望为，选项正确； 根据条件概率公式，由，得， 所以，则C，D相互独立，选项正确； 由全概率公式，即， 解得，选项正确. 10．AD 【详解】对于A，由图象知，海拔高度越高，大气压强越低， 所以大气压强与海拔高度负相关，故A正确； 对于B，经验回归方程得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误； 对于C，当时，，所以预测值为24.5，故C错误； 对于D，随着海拔高度的增加，大气压强越来越小，但不可能为负数， 因此方程的预报效果更好，故D正确． 故选：AD． 11．ACD 【详解】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 12． 【详解】由题设，必有一个学校有两名大学生，故不同的分配方法有. 13． 【详解】第一次取得红球，此时袋中还有2个红球和2个白球，现从中随机取出一个球，则取得白球的概率， 故已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为. 14． 【详解】由已知可得， 所以， 同理， 代入，得， 所以，所以，则， 令，则， 当时，z取最大值，此时． 故答案为：. 15．【详解】（1）由题意，，解得. （2）的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 16．【详解】（1）如果抽出的题不再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； （2）如果抽出的题再放回， 设事件“从中抽2道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”， 则； （3）根据题意，可能的取值为， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 故随机变量的数学期望 . 17．【详解】（1）假设：喜欢观看“粤BA”联赛与性别无关， ， 则假设不成立，即有99%的把握认为喜欢观看“粤BA”联赛与性别有关. （2）喜欢观看“粤BA”联赛的市民中男性的概率为：，则. 的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 18．【详解】（1），， 故 ， 故与完全负相关. （2），故， 故回归方程为. （3）由题设，此时，故，故定价最高为元. 19．【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； （2）由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； （3）①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $