广东省深圳市南山区深圳市育才中学本部（新校区）2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 本试卷覆盖高一数学复数、向量、立体几何、解三角形等核心内容，通过基础题与探究题结合，考查数学抽象、几何直观及运算推理能力，适配期中诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|复数运算、向量共线、直观图还原、解三角形|如第7题圆锥内圆柱侧面积最值，考查空间想象与函数思想| |多选题|3题/15分|复数性质、三角形形状判断、正四面体与球|第11题结合球表面积考查正四面体体积及截面，体现知识综合| |填空题|3题/15分|三角形余弦值、向量夹角、圆台体积|第14题补形法求圆台体积，培养转化思维| |解答题|5题/80分|复数模与实部、向量表示与夹角、解三角形综合、正方体线面关系|第18题正方体中点线面证明与探究，第19题解三角形周长与线段最值，梯度设计合理，契合高考命题趋势|

育才中学2025-2026学年第二学期高一期中学业诊断 数学试题（2026.4） 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 命题人：钟国城 审题人：万宵宵 一、单选题 1．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．若平面向量与方向相反，且，则（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 4．已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（    ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第四象限 C．第二象限 D．第三象限 6．设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（    ） A．8 B．16 C． D． 二、多选题 9．复数，，的共轭复数为，则（    ） A．若为纯虚数，则 B．若，则 C．若，则 D．若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的△ABC有两个 D．若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形 11．如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（    ） A． B．四面体的体积为 C．过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D．过三点的平面截四面体所得的截面面积为 三、填空题 12．在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 13．若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 14．如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________. 四、解答题 15．已知复数． (1)求； (2)求的最小值； (3)若的实部大于，求的取值范围． 16．如图，在平行四边形中，，，，，. (1)用向量，表示向量，； (2)求向量，夹角的余弦值. 17．在中，角所对的边分别是，且. (1)求； (2)若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； (3)若是的角平分线，，，求的长. 18．如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积； (3)若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 育才中学2025-2026学年第二学期高一期中学业诊断 数学试题（2026.4）参考答案 1．C 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2．A 【详解】因为与方向相反，且， 所以， 所以，解得， 所以. 3．C 【详解】在矩形中，， 所以直观图还原得. 四边形为平行四边形，， ，所以，， 则. 所以，故原图形为菱形. 4．B 【详解】因为的面积等于，可得， 整理得，即，即， 因为，所以. 5．D 6．C 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 7．A 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 8．B 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示：    因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 9．BD 【详解】对于A：若为纯虚数，则，故A错误； 对于B：若，则，所以，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确； 故选：BD. 10．ABD 【详解】A选项，根据大角对大边，， 根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径， 于是，A选项正确； B选项，根据余弦定理结合选项可知，， 由，进而，B选项正确； C选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出， 故这样的三角形不存在，C选项错误； D选项，若，由正弦定理，， 则，而,则或者， 即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D选项正确. 故选：ABD. 11．ACD 【详解】由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接， 则点是正的中心，，， 对于A，由，解得，A正确； 对于B，四面体的体积，B错误； 对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似， 其面积为，C正确； 对于D，延长交于，连接，则是的中点，， 过三点的平面截四面体所得的截面为， 其面积为，D正确. 故选：ACD 12． 【详解】 因为三角形三边之比为， 所以可设三边长分别为， 根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知， 对应的角即为该三角形的最小角， ． 13． 【详解】由向量与的夹角为钝角， 可得：， 解得， 由当时，，与共线反向，舍去， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14． 【详解】由题意将圆台补形成圆锥，记顶点为，设底面圆心为， 分别连接并延长交圆台侧面为， 记，连接，如下图： 因为平面，平面，平面平面，所以， 易知，则，易知当时，的长取得最小值为， 可得，即，则，解得， 所以，易知， 因为，，所以， 综上可得圆台的体积为. 故答案为：. 15．【详解】（1）因为，所以， 解得，则， 故. （2）因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． （3）因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 16．【详解】（1）因为，所以，     所以. 因为，所以，     则. （2）因为，所以. 因为，，所以，，， 则，     ， ， 故. 17．【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； （2）解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 18．【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19．【详解】（1）由，，且， 则， 则由正弦定理得， 又在锐角中，， 则,即，解得． （2）由，的周长为，则， 又由余弦定理有， 即，得， 所以的面积为． （3）在中，，不妨设，则，， 由正弦定理有， 得，， 在锐角中，由，则， 由正弦定理有，得， 所以 ， 又，则，则，所以， 故，即线段的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $