第10章 二元一次方程组 单元练习 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

第10章二元一次方程组单元练习2025-2026学年苏科版七年级下册 一．选择题（共8小题） 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．现有方程组，消去m，得x与y的关系式为（　　） A．3x+2y＝1 B．x+4y＝1 C．5x+6y＝1 D．x﹣6y＝﹣1 3．已知方程组的解满足5x﹣y＝4，则k的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣4 4．若4x2a+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程，则a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 5．《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌．如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组（　　） A． B． C． D． 6．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值是（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 7．把一根长17m的钢管截成2m长和3m长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数不可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．加密规则如下：明文a，b，c对应的密文分别为a+1，2b﹣4，3c+9．例如明文1，﹣2，3对应的密文为2，﹣8，18．若接收方收到密文4，﹣6，9，则解密得到的明文为（　　） A．3，0，﹣1 B．3，﹣1，0 C．5，﹣16，36 D．4，﹣2，3 二．填空题（共8小题） 9．已知方程组的解为，写出一个满足条件的二元一次方程组　 　 ． 10．二元一次方程2x+y＝8的正整数解有　 　 个． 11．如果关于x、y的方程组的解是二元一次方程2x+y＝5的一个解，那么m的值为　 　 ． 12．一种运算：x*y＝ax+by（a，b为常数），若3*4＝2，5*（﹣1）＝11，则2*6＝　 　 ． 13．已知等腰三角形的两边a，b，满足|a﹣b﹣2|+（2a﹣3b﹣1）2＝0，则此等腰三角形的周长为　 　 ． 14．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为 　 　 ． 15．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 16．已知关于x，y的方程组，若x﹣2y＝1，则k的值为 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 17．解二元一次方程组： （1）； （2）． 18．阅读下面文字，然后回答问题． 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c），若将其y的系数b与常数c互换，得到的新方程ax+cy＝b称为原方程ax+by＝c的“船山方程”，例如方程6x+5y＝8的“船山方程”为6x+8y＝5． （1）写出2x﹣3y＝1的“船山方程”　 　 ，以及它们组成的方程组的解为　 　 ； （2）若关于x，y的二元一次方程6x+my＝8与其“船山方程”组成的方程组的解为，求m+n； （3）若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且与它的“船山方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝p的一个解，请直接写出代数式m（n﹣m）+p（p﹣n）+2026的值． 19．综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来．春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析． 信息获取： 信息一，该水果店用1500元购进甲、乙两种水果共150千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 甲 8 12 乙 14 20 问题解决： （1）该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ （2）若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利580元，求按原售价售出乙种水果多少千克． 20．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图甲，（单位：cm） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 　 　 张，B型板材 　 　 张； ②已知①中的A型板材和B型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，求x、y的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【分析】根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均为一次整式方程． 【解答】解：A、含三个未知数x，y，z，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故不符合题意． B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意． C、一个方程为二次方程x2﹣x﹣2＝0，非一次方程，不是二元一次方程组，故不符合题意． D、两个方程均为一次整式方程，且仅含x，y两个未知数．第二个方程y＝2可视为0x+y＝2，符合二元一次方程组的定义，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方程组”是解题的关键． 2．【分析】利用代入消元法消去m得到x与y的关系式即可． 【解答】解：方程组， 把①代入②得：2x+3y＝3（x﹣y）+1， 整理得：x﹣6y＝﹣1， 故选：D． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．【分析】根据②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4，再根据5x﹣y＝4，可得4k﹣4＝4，进一步求解即可． 【解答】解：， ②﹣①得5x﹣y＝4k﹣4， ∵5x﹣y＝4， ∴4k﹣4＝4， 解得k＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解法是关键． 4．【分析】根据二元一次方程的定义可得2a+b＝1，3a+2b﹣4＝1，将两个方程作差后即可求得答案． 【解答】解：∵4x2a+b﹣3y3a+2b﹣4＝2是关于x，y的二元一次方程， ∴2a+b＝1①，3a+2b﹣4＝1②， ②﹣①得：a+b﹣4＝0， 则a+b＝4， 故选：D． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．【分析】根据甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 6．【分析】将x＝3，y＝4代入每一个方程组的第二个方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值． 【解答】解：将x＝3，y＝4代入得：， ①+②得：7a+7b＝7， 则a+b＝1． 故选：A． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能说方程组两方程成立的未知数的值． 7．【分析】判断出2m长和3m长两种规格的钢管可能的对应数量，即可得出总根数的可能取值． 【解答】解：总长17m，假设2m长和3m长两种规格的钢管数量分别为x，y， 则根据题意列二元一次方程得，2x+3y＝17， 得， ∴y的可能取值为1、3、5，对应x的取值为7，4，1， ∴x+y的可能取值为8.7.6， 故总根数不可能为9，只有选项D正确，符合题意 故选：D． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 8．【分析】根据接收方收到密文4，﹣6，9，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 解得：， ∴解密得到的明文为3，﹣1，0． 故选：B． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 9．【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如2+3＝5，2﹣3＝﹣1，然后用x，y代换，得等． 【解答】解：已知方程组的解为，写出一个满足条件的二元一次方程组， 先围绕列一组算式， 如2+3＝5，2﹣3＝﹣1， 然后用x、y代换， 得等， 答案不唯一，符合题意即可． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，要理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组． 10．【分析】由于二元一次方程2x+y＝8中y的系数是1，可先用含x的代数式表示y，然后根据此方程的解是正整数，那么把最小的正整数x＝1代入，算出对应的y的值，再把x＝2代入，再算出对应的y的值，依此可以求出结果． 【解答】解：∵2x+y＝8， ∴y＝8﹣2x， ∵x、y都是正整数， ∴x＝1时，y＝6； x＝2时，y＝4； x＝3时，y＝2． ∴二元一次方程2x+y＝7的正整数解共有3对． 故答案为：3． 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数． 11．【分析】利用整体思想得到2x+y与m的关系，再结合已知条件即可求解． 【解答】解：， ①+②得2x+y＝5m， ∵关于x、y的方程组的解是二元一次方程2x+y＝5的一个解， ∴5m＝5， 解得 m＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握该知识点是关键． 12．【分析】根据已知得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，再求出答案即可． 【解答】解：∵3*4＝2，5*（﹣1）＝11， ， 解得：a＝2，b＝﹣1， ∴2*6＝2×2+6×（﹣1）＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了有理数的混合运算和解二元一次方程组，能求出a、b的值是解此题的关键． 13．【分析】绝对值和偶次方相加为0，那么绝对值里面的数和被平方的数就为0，从而得到关于a，b的方程组，从而可求出a，b的值． 【解答】解：∵|a﹣b﹣2|+（2a﹣3b﹣1）2＝0， ∴， ∴． 当a＝5为底时，腰长为3，3，能组成三角形，故周长为5+3+3＝11． 当b＝3为底时，腰长为5，5，能组成三角形，故周长为3+5+5＝13． 故周长为：13或11． 故答案为：13或11． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的两腰相等，以及非负数的性质，和解二元一次方程组的知识点． 14．【分析】先把关于x，y的二元一次方程组变形为，根据已知二元一次方程组的解为，由此可得，进而得出答案． 【解答】解：把关于x，y的二元一次方程组变形为， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 15．【分析】设小长方形的长为x，宽为y，由图形列出方程组，即可求解． 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意可得：， 解得：， ∴阴影部分的面积＝15×20﹣5×12×4＝60， 故答案为：60． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的数量共线是解题的关键． 16．【分析】先利用方程组中的第二个方程减去第一个方程得2x﹣4y＝﹣4k+3，再根据x﹣2y＝1得到k的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：， 由②﹣①得，2x﹣4y＝﹣4k+3，整理得2（x﹣2y）＝﹣4k+3， ∵x﹣2y＝1， ∴2＝﹣4k+3， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键． 三．解答题（共4小题） 17．【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 将①代入②得：3x+3x﹣2＝8， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）方程组整理为， 由①+②得：5x＝20， 解得x＝4， 将x＝4代入①得：4﹣3y＝5， 解得， 所以方程组的解为． 【点评】本题考查二元一次方程组，正确进行计算是解题关键． 18．【分析】（1）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“船山方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到﹣m+n＝p，代入代数式化简求值即可． 【解答】解：（1）根据“船山方程”的定义可得，2x﹣3y＝1的“船山方程”为：2x+y＝﹣3， 则， 由①﹣②得：﹣4y＝4， 解得：y＝﹣1， 把y＝﹣1代入①得，2x+3＝1， 解得：x＝﹣1， ∴原方程组的解为． 故答案为：2x+y＝﹣3；； （2）根据“船山方程”的定义可知，6x+my＝8的“船山方程”为：6x+8y＝m， 联立方程组得， ①﹣②得：my﹣8y＝8﹣m， （m﹣8）y＝8﹣m， ∵m≠8， 解得：y＝﹣1， 又∵方程组的解为：， ∴y＝n＝﹣1， 把x＝m，y＝﹣1代入①得，6m﹣m＝8， 解得：， ∴； （3）∵a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a， ∵ax+by＝c与其“船山方程”所组成的方程组为， 解得：， 将代入方程mx﹣ny＝p中，得﹣m+n＝p， 即n﹣m＝p，p﹣n＝﹣m， ∴原式＝mp+p×（﹣m）+2026＝2026． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 19．【分析】（1）设该水果店这一天购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（150﹣x）千克，利用购进甲、乙两种水果共150千克列式求解即可； （2）设按原售价售出乙种水果y千克，利用卖出后共获利580元列式求解即可． 【解答】解：（1）设该水果店这一天购进甲种水果x千克， 根据题意得8x+14（150﹣x）＝1500， 解得x＝100， ∴150﹣x＝50， 答：该水果店这一天购进甲种水果100千克，乙种水果50千克； （2）设按原售价售出乙种水果y千克， 根据题意得（12﹣8）×100+（20﹣14）y+（2014）（50﹣y）＝580， 解得y＝35． 答：按原售价售出乙种水果35千克． 【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键． 20．【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中a与b的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×30＝60，裁法二产生A型板材为：1×4＝4， 所以两种裁法共产生A型板材为60+4＝64（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：1×30＝30，裁法二产生B型板材为：2×4＝8， 所以两种裁法共产生B型板材为30+8＝38（张）， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的x个，横式无盖礼品盒的y个， 则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（2x+2y）个， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/6 15:17:45；用户：13961311856；邮箱：13961311856；学号：22772176 第12页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $