四川绵阳市三台县2025-2026学年高一下学期期中教学质量调研测试数学试题

**基本信息** 以潮汐现象、秦九韶公式等真实情境与文化素材为载体，考查复数、向量、解三角形等知识，体现数学眼光观察现实、语言表达世界的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量共线、三角函数振幅|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|复数几何意义、四边形向量运算|辨析能力，思维严谨| |填空题|3/15|共轭复数、定比分点、重心性质|细节考查，知识综合| |解答题|5/77|潮汐函数建模、三点共线、秦九韶公式|情境真实，文化传承，创新应用|

2025级高一下半期数学试题参考答案 一、单选题 1 2 3 6 7 8 A c B B D D A 二、多选题 9 10 11 BD ACD ABD 三、填空题 12.-i 13. (5,-6) 14. 2√5或2W13 四、解答题 15.【详解】(1)由表格知，f(0)mx=7.5,f(0)mm=2.5, 则Af0一f0业=)b三0十f量52分 2 函数/w的周期T=12,则0=2π=乃 4分 即有f0=5sin(5t+p)+5,又f2)=7.5, 5. 2 6 即工x2+p= +2mmeZ,而水分则n=0,p 6 6分 所以0=n爱+5. 61 .7分 6 11 8分 () 10分 .11分 15 当t=2时f(t)max 米 .12分 当t=6时f()min= 5米 4 13分 16.【详解】(1)Ap=AB+BP=2g-6+2g+g=4e+(2-1)）日3分 4=t AP=tPC=1(g+8)=1g+8则 则元=5： -1= 6分 试卷第1页，共4页 (3)(i)BC=BP+PC=2e+5e,+g+e2=3g+6e2, 向量BC的坐标为(3,6)… 9分 (i)设A的坐标为(x,y),A,B,C,，D恰好为构成平行四边形ABCD 则AD=BC,AD=(-2-x,4-y),BC=(3,6) .12分 -2-x=3 4-y=6解得： x=-5 y=-2 ，.A的坐标为(-5，-2）15分 17.【详解】(1)由m‖h,则2b-c=2 acosC… 2分 结合余弦定理可得2b-c=2a× b2+a2-c2b2+a2-c2 2ab b 4分 所以b+a2-c2=2b2-bc,所以2+c2-a2=bc,所以cosA=2+c-a_ 2bc 2 又0<A<π，所以4= 37分 2》因为a1c的面积为39，所以如43通 由)知A-胥所以bc=3 9分 又b2+c2-a2=bc,a=3,所以b2+c2=9+3=12, 11分 因为D为线段BC的中点，所以D=(AB+AC), 13分 所以而-+2而-Ac+4C到&+26co+6 e+e+6)-2+)-, 所以AD=5 2 l5分 18.【详解】【详解】1D由题6g-cos60-2 4G=6+2g=V4e+G+4e-e-V4+1+2=V万…4分 (2)因为COS∠CRD=COS(AC,ED 由(1)知AC=2E+C2,且AC=AB+AD 所以AB=2e,AD=e 又因为ED=AD-AE=e,-e… 6分 试卷第2页，共4页 E@-vg-226+G=1+=1 ad=6+2g=V4e+e+4ee=v4+1+2=万 AC.ED=(2g+g)-(g,-e)=-2+e,+ee,=- 28分 1 所以cos(AC,ED)= AC.ED 2、 AC ED7 14 所以cos∠CRD=- √万 .10分 14 (3)因为设AP=e,AQ=e,,则以A亚，AO为邻边的平行四边形是菱形， ,e2分别是AB和AD方向上的单位向量， AP+A⊙是该菱形的对角线 (+e)BD=0,所以AP+A0与BD垂直，所以P11BD, 可得AB曰AD,所以平行四边形ABCD是菱形，12分 所以AB=AD,AC⊥BD, 作EH⊥AC于点H,又因为E为AB的中点， 所以ED在AC上的投影向量为AC, .14分 所以D.0R=44C(号4C号c=-名cf-6.-7分 19【详解】(1)因为△ABC的周长为18，所以p=9, 由正弦定理得a:b:c=sinA:sinB:sinC=2:3:4, 所以Q=4,b=6,C=8 2分 所以三角形的面积S=V9×(9-4)×(9-6)×(9-8)=3154分 1 (2)设内切圆半径为r,因为Sc=2a+b+c)r, 试卷第3页，共4页 代入S。Bc=6,a=4,r=1,可得b+C=8①.6分 又由p=a+b+c)-S,=6,由海伦公式5c-Pp-回p-P-. 可得6=V6(6-4)(6-b)(6-c), 化简得(6-b)(6-c)=3,即bc-6(b+c)+36=3, 8分 b+c=8 代入①，可得bc=15②，联立方程组 bc=15，且b<c, 解得b=3,c=5… …10分 B 2si B B B sin (3)因为tan。=- 2 in 2 cos2 sinB 2 B 2cos2B 1 +cos B cos- 2 2 由题意可得 sin B sin A 1+cos B 2-cos A sin B(2-cos A)=sin A(1+cos B), 整理得2sinB=sinA+sin AcosB+cos Asin B=sinA+sifA+月=sinA+sin(, 由正弦定理可得2b=a+c=8,即b=a+ =413分 △ABC的面积S a（64-c-6月4d-4如月1ss分 因为acs(a+c =16,当且仅当a=c时，等号成立， 4 则S=V12ac-144≤12×16-144=4B, 所以△ABC面积的最大值为4V5… 17分 试卷第4页，共4页2026年春高一半期教学质量调研测试 数学 一单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的， 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知复数Z满足Z=2-3i,则Z的虚部是（) A.-3 B.-3i C.3 D.3i 2.已知一个弹簧振子的运动方程为y=3sin(4t+,则该弹簧振子的振幅、初相分别是（) A.振幅是3，初相是交 B.振幅是4，初相是 3 C.振幅是3，初相是写 D.振幅是，初相是牙 3.已知向量a,b反向共线，且>a>0,则向量a+6的方向() A.与向量a方向相同 B.与向量b方向相同 C.与向量a-b方向相同 D.与向量b方向相反 4.已知向量a=(2,3),b=(m,1),若(a+b)1a,则m=(). A.-6 B.-8 C.8 D.6 5.在△ABC中，点D在边AB上，BD=3DA,记CA=m,CD=n,则CB=() A.3m-4n B.3m+4n C.-3m+4n D.-3m-4n 6.已知三个平面向量a6,c两两的夹角相等，且满足日==d=1,则向量a+方在向量c上 的投影向量是() A.-C B.2c C.c或-2c D.-c或2c 7.如图：A,B,P,2在同一个铅垂面，在山脚A测得山顶P的仰角∠QAP=60°，∠QAB=30°，斜 坡AB长为m,在B处测得山顶P的仰角∠CBP为a,则山的高度P9为() √3msin(a+30） √3msin(a-30） A. B. 2sin(a+60) 2sin(a+60） √3 msin(a+30） √5msin(a-30°） C.2sin(a-60） D.2sin(a-60） 高一数学试卷第1页，共4页 AB AC 8.已知非零向量AB与AC满足 BC=0,且AB+AC=AB-AC=4,点D是 △ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为() A.-2 B.2 C.-1 D.1 二、多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分。 9.下列结论正确的是() A.若复数Z满足Z=2,则Z=±2i B.复数Z=-2+4i在复平面内对应的点在第二象限 C.若复数(m2+3m-4)+(m2-2m-24)i是纯虚数，则实数m=1或-4 D.若复数Z满足2≤Z≤3，则复数Z在复平面内对应的点所构成的图形的面积5π 10.已知在四边形ABCD中，AB=BC=2,AD=2V3,且AB⊥AD,∠ABC=120°，E为CD 的中点。则下列说法正确的有() A.四边形ABCD的面积为45 B.(4C,CD)=60 C.△ABC的外接圆的周长为4π D.BE·BD=10 11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,且ccos B+bcosC=a2,则下列说 法正确的是() A.a=1 B.若A=牙，则△ABC周长的最大值为3 C.若△ABC为锐角三角形，且C=2A,则C的取值范围为(V2,2) D.若△4BC的外心为0，则BC.B0=月 三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.已知(1-i)Z=1+i,则Z的共轭复数是· 13.已知点A2,3),B(4,-3),点P在线段AB的延长线上，且AF=3BF,则点P的坐标为 高一数学试卷第2页，共4页 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足cos2A+4+3)si(B+C)=2N5+1, b=2,点P是△ABC的重心，且AP-25,则a 3 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤。 15.(13分)潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐。下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2:00 5:00 8:00 11:00 14:00 17:00 20:00 23:00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数 f0=4sna+oj+b4>0o>01p水号来捕述. (I)根据以上数据，求出函数f(t)=Asin(ot+p)+b的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 16.(15分)已知，e,是平面内两个不共线的向量，若AB-2-e,,BP=2+e, PC=e+E,且A、PC三点共线. (I)求实数1的值； (2)若e=(1,0),e2=(0,1) (i)求BC; (ⅱ)若D(-2,4),四边形ABCD构成平行四边形，求点A的坐标. 高一数学试卷第3页，共4页 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知m=(2b-c,2a),n=(cosC,1),且mln. (1)求角A的大小； (2②)若a=3,△1BC的面积为3V5 ,线段BC的中点为D,求AD的长 4 18.(17分)如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R,,e2分别是 与AB,AD方向同向的单位向量 B (I)若e，,C,的夹角为60°，且AC=2e+e,求AC; (2)在(I)的条件下求cos∠CRD的值 (3)若(g+gBD=0,AC=6,求ED.CR; 19.(17分)阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边 分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为b,大斜为C,则三角形的面积为 这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积 的公式，即三角形的三条边长分别为a,b,c,则它的面积S=Vp(p-a)(p-b)(p-c),其中 刀-和++d,这个公式称之为海伦公式： 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c.请回答下面的问题： (1)若△ABC的周长为18，且满足sinA:sinB:sinC=2:3:4,求这个三角形的面积S; (2)若△4ABC的面积为6，其内切圆半径为1，a=4,b<c,求b、c。 B sinA (3)若a+c=8,am22cosA?求AMBC面积的最大值 高一数学试卷第4页，共4页 2026年春高一半期教学质量调研测试 数 学 一、单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是4，初相是 C．振幅是3，初相是 D．振幅是4，初相是 3．已知向量反向共线，且，则向量的方向（   ） A．与向量方向相同 B．与向量方向相同 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反 4．已知向量，，若，则=（    ）． A． B． C．8 D．6 5．在中，点在边上，,记则( ) A. B. C. D. 6．已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．如图：在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角，，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（    ） A． B． C． D． 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 2、 多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分。 9．下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若复数是纯虚数，则实数或 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积 10．已知在四边形ABCD中，，为的中点。则下列说法正确的有（   ） A．四边形的面积为 B． C．的外接圆的周长为 D． 11． 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则周长的最大值为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知，则的共轭复数是_____． 13．已知点,点在线段的延长线上，且,则点的坐标为______. 14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，，点P是的重心，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤。 15．（13分）潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 16.（15分）已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. (1)求实数的值； (2)若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标. 17．（15分）在中，角的对边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． 18．（17分）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．分别是与方向同向的单位向量 (1)若，的夹角为，且，求； (2)在（1）的条件下求的值 (3)若，，求； 19．（17分）阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式； 在中，所对边分别为请回答下面的问题： （1）若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积； （2）若的面积为6，其内切圆半径为1，，求、。 （3）若，，求面积的最大值. 试卷第2页，共4页 高一数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $