精品解析：广东梅州市梅县外国语学校2025-2026学年度第二学期高二期中考数学试卷

广东梅县外国语学校2025-2026学年度第二学期高二期中考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记“第1天去餐厅”，“第1天去餐厅”，“第2天去餐厅”， 则由全概率公式得：． 故选：A. 2. 设函数在处存在导数为1，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义直接求得. 【详解】由题意可知， . 故选：D. 3. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中的系数为. 6. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 7. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得甲去场馆或的总数为，进一步由组合数排列数即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为， 甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为， 甲不去场馆，分两种情况讨论， 情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种； 情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种， 场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时， 场馆仅有2名志愿者的概率为. 故选：B． 8. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数求出切线斜率的取值范围，结合垂直关系得出的取值范围，再判断各选项. 【详解】的定义域为， ，即直线的斜率， 设与垂直的直线的斜率为，则，所以，. 对于A，直线的斜率为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，直线的斜率为，故C正确； 对于D，直线的斜率为，故D错误. 故选：AC. 10. 随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由随机变量X的分布列的性质得，且a，b，由a，b，c成等差数列，得，可以求出c的取值范围，从而能求出的可以取的值． 【详解】解：随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c ，且a，b，① ，b，c成等差数列， ，② 联立①②，得，， 所以， ， 可以为 ，， ， 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是0 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误. 【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 6个人选3个人去演讲，若甲一定去，则有__________种选法. 【答案】10 【解析】 【分析】根据组合的定义进行求解即可. 【详解】6个人选3个人去演讲，甲一定去，所以从剩下的人中再选出人即可， 所以有种选法. 故答案为：10 13. 某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________. 【答案】##0.7 【解析】 【分析】根据题意，首先分析从5人中选出2人，再分析可得若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女分别担任正、副班长两种情况，分别计算其情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案. 【详解】根据题意，从3名男生和2名女生中选出2名学生，有种选法， 若选出的2人中至少有1名女生，即包括1男1女和2女两种情况， 共有种选法，则选出的2人中至少有1名女生的概率为. 故答案为：． 14. 已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. （1）若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ （2）若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 【答案】（1）种 （2）种 【解析】 【分析】（1）利用插空法求得正确答案. （2）利用对立事件的知识求得正确答案. 【小问1详解】 2个语言类节目不能相邻的排法有种. 【小问2详解】 前4个节目中要有语言类节目的排法有种. 16. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和； （3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 【答案】（1）6 （2）64 （3）常数项为960，二项式系数最大的项为 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解； （2）由二项式系数的性质可求解； （3）根据二项式展开式的通项特征，即可求解，二项式系数最大的项为中间项即可求解. 【小问1详解】 展开式前三项的二项式系数和为22， 或（舍）， 故的值为6. 【小问2详解】 展开式中各项的二项式系数和为. 【小问3详解】 设展开式中常数项为第项， 即， 令，得， ， 由题可得，展开式中最大的二项式系数为， 展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即， 综上所述：常数项为，二项式系数最大的项为. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数的取值情况，分类讨论函数的单调性即可； （3）根据（2）的结论，结合得，即，设，利用导数分类讨论即得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 则，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有极小值， 极小值为，此时极小值也是最小值， 由，可得，因，可得， 令，求导得，即在上单调递减， 又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东梅县外国语学校2025-2026学年度第二学期高二期中考 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 2. 设函数在处存在导数为1，则（　　） A. B. C. 2 D. 3. 用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ） A. 60 B. 30 C. 36 D. 21 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 6. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（ ） A. B. C. D. 10. 随机变量X的分布列如下： X 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 当时，函数在定义域上单调递增 C. 曲线是中心对称图形 D. 若，且的最小值是0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 6个人选3个人去演讲，若甲一定去，则有__________种选法. 13. 某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则至少选到1名女生的概率__________. 14. 已知函数，则方程的根的个数为 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单. （1）若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？ （2）若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示） 16. 二项式展开式前三项的二项式系数和为22. （1）求的值； （2）求展开式中各项的二项式系数和； （3）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项. 17. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $