专题10.3 分式的加减（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

本讲义聚焦初中数学“分式的加减”核心知识点，系统梳理同分母分式（分母不变、分子加减，分子为多项式需加括号）、异分母分式（先因式分解分母、定最简公分母再通分）的运算法则，以分式符号法则为关键支撑，通过“看、变、算、化”通用步骤构建知识脉络，分层题型（基础、培优、压轴）搭建递进式学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计与核心素养融合，基础题型巩固法则应用，培优题型强化符号处理与通分技巧，压轴题型结合实际情境（如购物划算、糖水浓度）及规律探究（裂项相消），培养学生数学思维（推理意识）与数学语言（应用意识）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与创新意识。

专题10.3 分式的加减 知识点1：同分母分式的加减 1.法则：分母不变，分子相加减，最后结果化为最简分式或整式。 2.公式：。 3.关键：分子是多项式时，必须加括号再运算。 知识点2：异分母分式的加减 1.法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 2.公式：。 3.步骤： ①分母为多项式时先因式分解； ②确定最简公分母； ③通分→分子加减→约分→得最简结果。 知识点3：分式的符号法则（加减必备） 变形规则 公式表达 作用 改变分子、分母符号，值不变 分母互为相反数时统一分母 改变分子、分式符号，值不变 调整符号便于通分 改变分母、分式符号，值不变 统一符号格式 知识点4：分式加减运算通用步骤 1.看：分母是否相同； 2.变：异分母→通分；分母互为相反数→用符号法则统一； 3.算：分母不变，分子相加减； 4.化：结果化为最简分式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】同分母分式直接加减 1.核心知识点 同分母加减法则；分子整体加括号；结果约分 2.解题方法技巧 分母照抄；分子合并同类项；多项式先因式分解再约分 【例题1】.（2026·江苏常州·一模）计算：______． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·湖北·一模）计算______． 【题型2】分母互为相反数的分式加减 1.核心知识点 分式符号法则；变两处符号值不变 2.解题方法技巧 对其中一个分式提负号，化为同分母；再按同分母计算 【例题2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（2026·上海奉贤·二模）化简：___________ 【变式题2-2】.（2026·广东东莞·一模）化简__________． 【变式题2-3】.（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）化简： 【题型3】异分母分式的加减（含单项式、多项式分母） 1.核心知识点 异分母分式加减法则；最简公分母确定；分母先因式分解 2.解题方法技巧 分母先分解→定最简公分母→通分→分子相加减→化为最简 【例题3】.（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是__________． 【变式题3-1】.（2026·河北保定·二模）化简分式的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（2026·天津宁河·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【变式题3-3】.（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】分式加减混合运算 1.核心知识点 通分、符号法则、约分综合运用 2.解题方法技巧 统一分母；分组计算；符号优先处理；结果最简 【例题4】.（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型5】分式化简求值（含整体代入） 1.核心知识点 加减化简；整体代入；分母不为0 2.解题方法技巧 先化简为最简式；再代入数值；排除使分母为0的值 【例题5】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，且，则______． 【变式题5-1】.（2026·西藏·一模）已知，，求__________． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川成都·月考）若，，求多项式的值． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）已知，则的值是_________． 【题型6】已知分式恒等式求参数 1.核心知识点 通分后分子对应相等；列方程组求解 2.解题方法技巧 右侧通分→分子合并→对应系数相等→解方程组 【例题6】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则常数，的值分别是：_____． 【变式题6-1】.（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知，求的值． 【压轴素养题型】 【题型7】分式规律探究（裂项相消） 1.核心知识点 ；分式加减逆用 2.解题方法技巧 裂项→中间项抵消→只剩首尾项计算 【例题7】.（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知，，，利用发现的规律计算： ______ ． 【变式题7-2】.（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·周测）观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【题型8】跨学科情境应用 1.核心知识点 速度、浓度、平均价格模型；分式加减比较大小 2.解题方法技巧 建模列分式→作差法比较→判断实际意义 【例题8】.（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 【题型9】新定义运算 1.核心知识点 分式加减；绝对值；方程思想 2.解题方法技巧 按定义列式→加减运算→解方程→检验 【例题9】.（25-26八年级上·全国·单元测试）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝______． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）定义，即当时，；当时，，则_____． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【题型10】分式加减综合探究 1.核心知识点 分式值为整数；分母不为0；恒等变形 2.解题方法技巧 分离常数→分母为分子因数→枚举整数解→检验 【例题10】.（25-26八年级上·河北邯郸·月考）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·河北廊坊·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（   ） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式题10-3】.（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③ …… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想； (4)任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中且k为奇数）写成两个分母不同的“埃及分数”的和的形式为________． 易错点 1.分子相减时漏加括号，导致符号错误。 2.异分母运算不通分，直接分子分母分别加减。 3.分母互为相反数时不会用符号法则统一。 4.结果不约分，未化为最简分式或整式。 5.化简求值时选取使分母为0的数值。 重点 1.熟练掌握同分母、异分母分式加减法则。 2.灵活运用符号法则统一分母。 3.准确进行通分、约分，会化最简分式。 4.解决化简求值、实际应用、规律探究问题。 难点 1.多项式分母先分解再通分的严谨操作。 2.分子为多项式时整体加减的符号处理。 3.裂项相消、新定义、跨学科建模等创新题型。 4.含参数分式的恒等变形与整数解讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 二、填空题 4．计算：____． 5．计算的结果等于_____． 6．定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 8．按下列程序计算，并回答下列问题： 输入 1 2 … 输出答案 1 1 m n … (1)填空：______，______； (2)根据上述计算你发现了什么规律？请说明规律的正确性． 9．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 10．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． (1)请判断是否是“和谐分式”：______；（填“是”或“否”） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当取什么整数时，该式的值为整数． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 分式的加减 知识点1：同分母分式的加减 1.法则：分母不变，分子相加减，最后结果化为最简分式或整式。 2.公式：。 3.关键：分子是多项式时，必须加括号再运算。 知识点2：异分母分式的加减 1.法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 2.公式：。 3.步骤： ①分母为多项式时先因式分解； ②确定最简公分母； ③通分→分子加减→约分→得最简结果。 知识点3：分式的符号法则（加减必备） 变形规则 公式表达 作用 改变分子、分母符号，值不变 分母互为相反数时统一分母 改变分子、分式符号，值不变 调整符号便于通分 改变分母、分式符号，值不变 统一符号格式 知识点4：分式加减运算通用步骤 1.看：分母是否相同； 2.变：异分母→通分；分母互为相反数→用符号法则统一； 3.算：分母不变，分子相加减； 4.化：结果化为最简分式或整式。 【基础必考题型】 【题型1】同分母分式直接加减 1.核心知识点 同分母加减法则；分子整体加括号；结果约分 2.解题方法技巧 分母照抄；分子合并同类项；多项式先因式分解再约分 【例题1】.（2026·江苏常州·一模）计算：______． 【答案】1 【分析】根据同分母分式加减法法则，先计算分子的整式减法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 【变式题1-2】.（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式． 【变式题1-3】.（2026·湖北·一模）计算______． 【答案】 【详解】解：． 【题型2】分母互为相反数的分式加减 1.核心知识点 分式符号法则；变两处符号值不变 2.解题方法技巧 对其中一个分式提负号，化为同分母；再按同分母计算 【例题2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 【变式题2-1】.（2026·上海奉贤·二模）化简：___________ 【答案】 【分析】根据异分母分式加减的通分规则，利用，将异分母分式的加减法运算转化成同分母分式的加减法运算即可解答． 【详解】解：． 【变式题2-2】.（2026·广东东莞·一模）化简__________． 【答案】0 【分析】先将原式中两个分式变形为同分母分式，再根据同分母分式加减法法则计算. 【详解】解： 【变式题2-3】.（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）化简： 【答案】 【详解】解： ． 【题型3】异分母分式的加减（含单项式、多项式分母） 1.核心知识点 异分母分式加减法则；最简公分母确定；分母先因式分解 2.解题方法技巧 分母先分解→定最简公分母→通分→分子相加减→化为最简 【例题3】.（2026·湖北·模拟预测）计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 【变式题3-1】.（2026·河北保定·二模）化简分式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的减法进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题3-2】.（2026·天津宁河·二模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式题3-3】.（2026·天津滨海新区·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式分解分母，再通分合并化简即可得到结果． 【详解】原式 ． 【培优高频题型】 【题型4】分式加减混合运算 1.核心知识点 通分、符号法则、约分综合运用 2.解题方法技巧 统一分母；分组计算；符号优先处理；结果最简 【例题4】.（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （2）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （3）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； （4）先通分，然后按照分式加减法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键． （1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解； （3）先通分，再利用分式减法运算法则求解； （4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）原式先通分，再化简即可； （2）先利用平方差公式，再化简即可； （3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型5】分式化简求值（含整体代入） 1.核心知识点 加减化简；整体代入；分母不为0 2.解题方法技巧 先化简为最简式；再代入数值；排除使分母为0的值 【例题5】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，且，则______． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到，再将所求分式先平方，利用完全平方公式展开后代入计算，最后根据判断符号得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式题5-1】.（2026·西藏·一模）已知，，求__________． 【答案】 【详解】解：∵ ∴即 ∵， ∴ ∴ 【变式题5-2】.（25-26八年级下·四川成都·月考）若，，求多项式的值． 【答案】18 【分析】先根据异分母分式加减法可得，即；再对所求代数式因式分解，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）已知，则的值是_________． 【答案】 【分析】将已知通分可推导得到，将该式整体代入所求分式，化简后即可得到结果． 【详解】解：由，通分可得， ， ． 【题型6】已知分式恒等式求参数 1.核心知识点 通分后分子对应相等；列方程组求解 2.解题方法技巧 右侧通分→分子合并→对应系数相等→解方程组 【例题6】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式题6-1】.（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）无论取何值，分式的值始终保持不变（分母不为零），则的值为______． 【答案】 【分析】分式值恒为常数，可设该值为常数，整理等式后利用多项式对任意恒成立时对应系数相等求解即可. 【详解】解：∵无论取何值，分式的值始终保持不变， ∴设（为常数）， 等式两边同乘，得 ， 整理得 ， ∵该等式对任意恒成立， ∴多项式对应系数相等，即， 且 【变式题6-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求整数，的值． 【答案】 【分析】先对等式左边进行通分，与等式右边的分子比较系数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解： ． ， ， ，解得． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得到关于和的方程组，解方程组求出和，再计算的值． 【详解】解： , ， ， ， ， 解得：， ． 【压轴素养题型】 【题型7】分式规律探究（裂项相消） 1.核心知识点 ；分式加减逆用 2.解题方法技巧 裂项→中间项抵消→只剩首尾项计算 【例题7】.（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【详解】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·山东淄博·月考）已知，，，利用发现的规律计算： ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式规律问题，分式的混合运算，根据已知规律将每一项拆分为两个分式的差的形式，进而通过中间项抵消求出结果． 【详解】∵，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式题7-2】.（2026·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式 ； (2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， 第6个等式：； （2）解：根据前面的式子规律可得第n（n为正整数）个等式：，证明如下： 【变式题7-3】.（25-26七年级下·全国·周测）观察下列算式：①，②，③，④，… (1)由以上式子可以推出（5）式为_________________． (2)用含字母（为非零自然数）的等式表示（1）中的一般规律为___________________． (3)用以上方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知算式的序号与式子的对应关系，可直接推出第（5）式； （2）通过分析已知算式的分子、分母与序号的关系，总结出一般规律； （3）利用（2）中的规律对分式进行裂项，再通过化简求解方程． 【详解】（1）解：观察已知算式： ①，②，③，④ 可知第式为： 因此第（5）式为：． （2）解：由上述规律可得，一般规律为：． （3）解：∵ ， ∴，整理，得， 即，解得． 检验：当时，原方程中各分母均不为零，故是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了知识点分式的裂项规律与分式方程的求解，解题关键是观察算式总结出裂项规律，并利用裂项相消法化简方程，最后注意检验分式方程的解． 【题型8】跨学科情境应用 1.核心知识点 速度、浓度、平均价格模型；分式加减比较大小 2.解题方法技巧 建模列分式→作差法比较→判断实际意义 【例题8】.（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 【变式题8-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． (1)计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． (2)证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② (3)结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】(1)①，；②，； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【详解】（1）解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； （2）证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3）证明：，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 【答案】(1)① ，；② ，． (2)见解析 (3)；说明见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）利用作差法即可证明； （3）根据题意写出新的分式，再由，得，，代入混合后的浓度化简即可； （4）由现象1得，，，利用不等式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入克水，则糖水为克， ∴糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． ②由题意得，加入克糖，则糖为克，糖水为克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴． 故答案为：① ，；② ，． （2）证明：∵， ∵，，则，， ∴，即， ∴． （3）解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克， ∴浓度可以表示为； 故答案为：； 说明：∵， ∴，， ∴， 即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． （4）证明：由三角形三边关系得，，， 由现象1的①，假设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖， 加入克水，同①可得不等式， 加入克糖，同②可得不等式， 则， 同理可得， ， 则得， 即． 【题型9】新定义运算 1.核心知识点 分式加减；绝对值；方程思想 2.解题方法技巧 按定义列式→加减运算→解方程→检验 【例题9】.（25-26八年级上·全国·单元测试）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下．例如：．若，则＝______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， ，（不为0） ，即 ∴ 故答案为：． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）定义，即当时，；当时，，则_____． 【答案】 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 【题型10】分式加减综合探究 1.核心知识点 分式值为整数；分母不为0；恒等变形 2.解题方法技巧 分离常数→分母为分子因数→枚举整数解→检验 【例题10】.（25-26八年级上·河北邯郸·月考）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫做“分离常数法”． (1)将分式分离常数，则，那么______； (2)利用分离常数法，当分式的值为正整数时，满足条件的整数的值为_______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减以及分式的基本性质，掌握分式加减法的计算方法以及分式的性质是正确解答的关键． （1）将分子变形为，通过比较常数项求即可； （2）对分式进行分离常数，得到，令其值为正整数，结合分母不为零且分式值为整数的条件，求整数 ． 【详解】（1）解：由， 得， ， ∴． 故答案为 ：； （2）解：对分式进行分离常数：分子， ∴ ． 设分式的值为正整数，则，即． 由于为正整数，， ∴ ，即． ∵为整数， ∴ 为整数． 又∵为整数且， ∴只能为． 当时，，分式值为，为正整数． 因此满足条件的整数的值为． 故答案为 ：． 【变式题10-1】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论； （2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论； （3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论． 【详解】（1）解∶， ∴，； （2）解∶， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴或； （3）解∶， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·河北廊坊·期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式解答题目： 若为正整数，求的最大值或最小值． 接力中，每位同学说明自己要完成的工作，并写出解答过程，其中首先出现错误的是（   ） 甲：（把原式通分）原式． 乙：（得到化简结果）． 丙：（确定的值）因为为正整数，所以有最小值1． 丁：（求原式的最值）原式有最大值，最大值． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了异分母分式的加减运算，掌握分式的性质，分式有意义的条件是解题的关键． 根据异分母分式的加减运算法则计算，再根据分式有意义的条件判定即可求解． 【详解】解： ，故甲正确， ，故乙正确， ∵分式要意义， ∴， ∴或， ∴首先出错的是丙，故丙错误，C选项符合题意； ∵为正整数，且， ∴的最小值为， ∴原式有最大值，最大值， 故选：C ． 【变式题10-3】.（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③ …… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想； (4)任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中且k为奇数）写成两个分母不同的“埃及分数”的和的形式为________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)，第n个等式为，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据即可求解； （2）方法一：先找出小于的“埃及分数”，再用减去这个“埃及分数”，看结果是否为“埃及分数”即可；方法二：先将的分子分母扩大相同倍数，再将分子拆成两个数的和，然后分别化简即可； （3）观察已知等式，找出等式中分子与分母变化 规律，进而根据规律写出第⑥和第n个等式，并进行证明即可； （4）根据第（3）问的猜想结果，将写成两个“埃及分数”的和的形式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴将用三个“埃及分数”表示为（答案不唯一）； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：∵ ∴将用两个“埃及分数”表示为； （3）解：观察已知的等式，发现等式左边的分子都要是2，依次为3，5，7，…，是连续的奇数，第n个等式左边的分母为 ；等式右边第一个分数的分母依次为2，3，4，…，第n个等式右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为等式左边的分母与右边第一个分数分母的乘积，即， 所以第⑥个等式中，，左边分母为，右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为， 所以第⑥个等式为； 根据上述规律，猜想第n个等式为， 证明：右边 左边． （4）解：由（3）可知： 当且k为奇数时，， ∴． 易错点 1.分子相减时漏加括号，导致符号错误。 2.异分母运算不通分，直接分子分母分别加减。 3.分母互为相反数时不会用符号法则统一。 4.结果不约分，未化为最简分式或整式。 5.化简求值时选取使分母为0的数值。 重点 1.熟练掌握同分母、异分母分式加减法则。 2.灵活运用符号法则统一分母。 3.准确进行通分、约分，会化最简分式。 4.解决化简求值、实际应用、规律探究问题。 难点 1.多项式分母先分解再通分的严谨操作。 2.分子为多项式时整体加减的符号处理。 3.裂项相消、新定义、跨学科建模等创新题型。 4.含参数分式的恒等变形与整数解讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化为同分母，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解： ． 2．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 3．计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果． 【详解】解:原式 ． 二、填空题 4．计算：____． 【答案】 【详解】解： 5．计算的结果等于_____． 【答案】 【分析】先对第二个分式的分母进行因式分解，再通分，根据分式加法法则计算，最后约分得到结果． 【详解】解：原式 6．定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 【答案】2 【分析】先对进行化简得到，再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当且仅当时，等号成立， ∴关于a，b的巧数的最小值为． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．按下列程序计算，并回答下列问题： 输入 1 2 … 输出答案 1 1 m n … (1)填空：______，______； (2)根据上述计算你发现了什么规律？请说明规律的正确性． 【答案】(1)1；1 (2)当时，答案都等于1，证明见解析 【分析】（1）根据程序图计算即可； （2）根据表格找出规律，根据程序图证明即可． 【详解】（1）解：当时， 当时， （2）解：当时，答案都等于1． 证明：当时， ∴该规律正确． 9．安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 10．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么就称这个分式为“和谐分式”．例如：，所以可称是“和谐分式”． (1)请判断是否是“和谐分式”：______；（填“是”或“否”） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并求出当取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)是 (2)， 【分析】（）根据“和谐分式”的定义判断即可求解； （）根据“和谐分式”的定义解答即可求解； 本题考查了分式的新定义，分式的加法运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐分式”， 故答案为：是； （2）解：， 要使的值为整数，则的值必须为整数， ∴应为的整数因数， ∴或，解得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $