列举法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

列举法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 列举法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 考点目录 列举法求概率 由频率估计概率 游戏公平性问题 考点一 列举法求概率 例1．（2026·辽宁本溪·一模）《道德经》第三十九章中有：天得一以清，地得一以宁．而“天辽地宁、爱国奉献、诚实务实、创新争先”就是新时期辽宁精神的完整表述．某校在开展学习“新时期辽宁精神”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“新时期辽宁精神”知识测试，其甲、乙两组的成绩相关信息如下： 信息一：甲组学生成绩（单位：分）： 70，70，80，80，90，90，90，90，90，100 信息二：乙组学生成绩统计图（单位：分）： 信息三：数据分析（不完整） 平均数 中位数 众数 甲组 85 乙组 90 90 根据以上信息回答下列问题 (1)求a的值； (2)你认为哪组的成绩更好？说明理由： (3)现在准备从甲、乙两组满分的同学中随机抽取两名同学参加校级比赛，用列表法或画树状图的方法求抽取的两名同学恰好都来自乙组的概率． 例2．（2026·江苏南京·一模）2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． (1)若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． (2)若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 例3．（2026·山东烟台·一模）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获得最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)获得“秦九韶奖”的学生有________人，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______，众数是__________； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 变式1．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案并分别记作A，B，C，D，卡片背面保持完全相同． (1)将这四张卡片将背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“文学”的概率为____________； (2)将这四张卡片背面朝上洗匀后，小明从中随机抽取一张，记下结果，放回：背面朝上洗匀后，小丽再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求小明和小丽抽取不同卡片的概率． 变式2．（2026·辽宁·一模）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 变式3．（2026·黑龙江牡丹江·一模）“丹江中学”为调查学生上学的交通工具情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查者从A．自行车；B．步行；C．私家车；D．校车；E．公交车五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： (1)本次抽取的学生共有_____人，并把条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，B选项对应的扇形圆心角是_____．A选项所占百分比是_____； (3)若小明、小红上学需从四种交通工具中随机选择一种，请用画树状图的方法，求出两人恰好选择同一种交通工具的概率． 考点二 由频率估计概率 例1．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 例2．（2026·福建厦门·一模）为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 10 50 270 750 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 662 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.800 0.940 0.870 0.883 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（   ） A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 例3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 例4．（2026·浙江衢州·一模）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 变式1．（25-26九年级下·山西太原·月考）山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 变式3．（2026·河北沧州·二模）某足球运动员进行定点射门训练，通过大量重复射门试验后，发现射进球门的频率稳定在0.7．若该足球运动员定点射门10次，则估计他射进球门的次数为__________次． 变式4．（2026·上海宝山·二模）在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 考点三 游戏公平性问题 例1．（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 例2．（2026·山东青岛·一模）小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． (1)这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； (2)将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东抽中的是唐僧的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 变式1．（25-26九年级下·陕西·期中）西安地铁15号线皇子坡站的航天主题站台，以深蓝色弧形穹顶与星光点缀营造沉浸式环境．某志愿者协会组织地铁站点服务，小军和小东均希望前往该站，由于人数限制，两人中只能去一人，会长提出一个办法：将正面分别写有3、4、4、6的四张不透明卡片（卡片除正面所写数字不同外其余均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，小军先从四张卡片中随机抽取一张，记下所抽取的卡片上的数字后不放回；小东再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下所抽取的卡片上的数字．若抽到的数字之和大于8，则小军去；若抽到的数字之和小于8，则小东去，其他情况视为平局． (1)小军抽到正面写有数字4的卡片的概率为___________； (2)你认为这个办法对双方公平吗？请通过列表或画树状图的方法进行说明． 变式2．（2026·江苏连云港·模拟预测）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； (2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 变式3．（2026·山东青岛·一模）甲、乙两位同学做摸球游戏，两人手中各有一个不透明的口袋，分别装有4个完全相同的小球．游戏规则是：两人分别将自己口袋中的球涂成红色或蓝色后，从中随机摸出一球，若两人摸出的球颜色相同，则甲赢；颜色不同，则乙赢．甲同学现已将自己口袋中的3个球涂成红色，1个球涂成蓝色、乙同学认为，将自己口袋中的球3个涂成蓝色，1个涂成红色，就可以保证这个游戏对双方是公平的．你同意乙同学的想法吗？请用树状图或列表的方法，说明你判断的理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $列举法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 列举法求概率、由频率估计概率、游戏公平性问题专项训练 考点目录 列举法求概率 由频率估计概率 游戏公平性问题 考点一 列举法求概率 例1．（2026·辽宁本溪·一模）《道德经》第三十九章中有：天得一以清，地得一以宁．而“天辽地宁、爱国奉献、诚实务实、创新争先”就是新时期辽宁精神的完整表述．某校在开展学习“新时期辽宁精神”期间，在九年级随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“新时期辽宁精神”知识测试，其甲、乙两组的成绩相关信息如下： 信息一：甲组学生成绩（单位：分）： 70，70，80，80，90，90，90，90，90，100 信息二：乙组学生成绩统计图（单位：分）： 信息三：数据分析（不完整） 平均数 中位数 众数 甲组 85 乙组 90 90 根据以上信息回答下列问题 (1)求a的值； (2)你认为哪组的成绩更好？说明理由： (3)现在准备从甲、乙两组满分的同学中随机抽取两名同学参加校级比赛，用列表法或画树状图的方法求抽取的两名同学恰好都来自乙组的概率． 【答案】(1)a的值为85 (2)乙组的成绩更好；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数和众数进行分析求解即可； （3）先列出表格，得到所有的结果数，求出其中两名同学恰好都来自乙组的有2种，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由图的数据得，平均数； 答：a的值为85； （2）解：乙组的成绩更好； 理由如下：， 从平均数、中位数和众数来看，两组成绩均相同，但甲组成绩90分有5人，100分1人，而乙组90分有4人，100人有2人，相对高分人数较多， 所以乙组的成绩更好． （3）解：从甲乙两组满分的同学中抽取两名同学参加校级比赛，列表如下： 甲 乙1 乙2 甲 （乙1，甲） （乙2，甲） 乙1 （甲，乙1） （乙2，乙1） 乙2 （甲，乙2） （乙1，乙2） 共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两名同学恰好都来自乙组的有2种， ∴两名同学恰好都来自乙组的概率为． 例2．（2026·江苏南京·一模）2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． (1)若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． (2)若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 【答案】(1) (2)列表见解析，概率为 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）列表展示出所有可能出现的结果，再找出都没有“驰驰（C）”的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是； （2）解：所有可能出现的结果有： 第2张 第1张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两张卡片中都没有C”（记为事件）的结果有6种，所以． 例3．（2026·山东烟台·一模）为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获得最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)获得“秦九韶奖”的学生有________人，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______，众数是__________； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)分；分 (3) 【分析】（1）从两个统计图可知，被调查的学生中获得“祖冲之奖”人数除以所占比例，即可求出被调查学生的总数，进而求出获“秦九韶奖”的学生人数，求出获“刘徽奖”的学生人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （3）用树状图表示从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：被调查学生总数为（人）， 获得“秦九韶奖”的学生人数为（人）， 获得“刘徽奖”的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：将获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列，处在第10位和第11位的数据为85分和90分， 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是分， ∵获得“祖冲之奖”的学生成绩出现次数最多的是85分，共出现7次， 众数是分； （3）解：画树状图如下： 一共有12种等可能性的情况，其中恰好抽到甲和乙的有2种可能， 恰好抽到甲和乙的概率为． 变式1．（25-26九年级下·江苏连云港·期中）同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案并分别记作A，B，C，D，卡片背面保持完全相同． (1)将这四张卡片将背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“文学”的概率为____________； (2)将这四张卡片背面朝上洗匀后，小明从中随机抽取一张，记下结果，放回：背面朝上洗匀后，小丽再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求小明和小丽抽取不同卡片的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率公式计算； （2）先画出树状图，再根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：∵一共有4张卡片，卡片内容是“文学”的只有1张， ∴抽到的卡片内容是“文学”的概率为； （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：共有16种等可能的结果，其中小明和小丽抽取不同卡片的结果有12种， ∴小明和小丽抽取不同卡片的概率为． 变式2．（2026·辽宁·一模）为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)喜欢“篮球”运动的学生约有人 (4) 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】（1）解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： （2）解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； （3）解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； （4）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 变式3．（2026·黑龙江牡丹江·一模）“丹江中学”为调查学生上学的交通工具情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查者从A．自行车；B．步行；C．私家车；D．校车；E．公交车五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： (1)本次抽取的学生共有_____人，并把条形统计图补充完整； (2)在扇形统计图中，B选项对应的扇形圆心角是_____．A选项所占百分比是_____； (3)若小明、小红上学需从四种交通工具中随机选择一种，请用画树状图的方法，求出两人恰好选择同一种交通工具的概率． 【答案】(1)500；见解析 (2)，5 (3) 【分析】本题考查了从扇形统计图和条形统计图中获取信息，样本估计总体，列表法或树状图法求解概率，解题的关键是能从统计图中获取信息，以及求解概率的方法． （1）根据D选项的人数以及所占百分比，求出抽取的总人数，再求得C的人数，补全统计图即可； （2）先求得B选项的百分比，再求的圆心角的度数即可，根据A选项的人数求得百分比即可； （3）利用树状图法求得两人恰好选择同一种交通工具的概率即可． 【详解】（1）解：由题意可得，D选项的人数为人，所占百分比为， 则抽取的学生有（人）， C选项的人数为：（人）， 则补全统计图如下： ； （2）解：由题意可得，B选项的人数为人，所占百分比为， 则B选项对应的扇形圆心角是， A选项的人数为人，所占百分比为； （3）解：根据题意可得，画出树状图，如下： 则试验总的可能数为，两人恰好选择同一种交通工具的可能数为，则概率为． 考点二 由频率估计概率 例1．（2026·湖南长沙·模拟预测）在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在附近，那么可以估算出m的值为（   ） A．8 B．12 C．15 D．20 【答案】B 【分析】在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，据此得到摸到红球的概率，再根据概率公式列方程求解即可． 【详解】解：∵大量重复试验后，摸到红球的频率稳定在 ∴摸到红球的概率为 由题意得，总球数为，红球共个，根据概率公式可得 ，解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意 例2．（2026·福建厦门·一模）为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 10 50 270 750 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 662 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.800 0.940 0.870 0.883 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（   ） A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，据此即可解答． 【详解】解：观察表格数据可知，随着移植总数不断增大，成活的频率逐渐稳定在附近，即这种幼苗移植成活的概率为． 例3．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如表是实验中结果A出现的频率统计表，请估计A在这次实验中结果出现的概率为 _________． 试验次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 频数 125 350 540 740 950 1140 频率 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，观察表格中频率的变化趋势，找到频率稳定的数值即可估计结果A出现的概率． 【详解】解：由统计表可知，随着试验次数不断增加，结果出现的频率逐渐稳定在附近， 因此估计结果在这次实验中出现的概率为． 例4．（2026·浙江衢州·一模）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 94 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.940 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 若该工厂生产10000个头盔，估计合格的头盔数约有______个． 【答案】9600 【分析】观察表格得到合格头盔频率的稳定值，再用总生产数量乘稳定频率得到估计的合格头盔数． 【详解】解：由表格可知，随着抽查头盔数增大，合格头盔的频率逐渐稳定在， 因此估计生产个头盔，合格头盔数为 （个）． 变式1．（25-26九年级下·山西太原·月考）山西是中国沙棘资源的第一大省，沙棘果中含有丰富的维生素、多种氨基酸以及黄酮类化合物等生物性物质，某林业局考察某种沙棘树苗的移植成活率，将在一定条件下沙棘树苗成活的数据绘制成统计图，由此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据“大量重复试验中，事件的稳定频率可作为其概率的估计值”的统计原理，观察折线统计图中沙棘树苗的成活频率最终稳定在附近，以此估计该种沙棘树苗成活的概率即可． 【详解】解：从折线统计图可以看出，随着试验的推进，沙棘树苗成活棵数的占比（即成活频率）逐渐稳定在附近，因此可估计该种沙棘树苗成活的概率约为． 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率对概率的估计越准确，计算不同试验的频率后，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，， ∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为， ∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是． 变式3．（2026·河北沧州·二模）某足球运动员进行定点射门训练，通过大量重复射门试验后，发现射进球门的频率稳定在0.7．若该足球运动员定点射门10次，则估计他射进球门的次数为__________次． 【答案】7 【分析】根据频率的稳定值得到射进球门的概率估计值，再利用总射门次数乘以概率得到估计的进球次数. 【详解】解：因为大量重复试验后，射进球门的频率稳定在， 所以该运动员射进球门的概率估计值为， 所以估计定点射门次射进球门的次数为． 变式4．（2026·上海宝山·二模）在一个不透明的袋子里装有5个绿球、2个黄球和若干个红球，这些球除颜色不同外无其他差别．每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.3，则袋中红球的个数是______． 【答案】 3 【分析】根据大量重复试验中频率的稳定值为概率，结合概率公式设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有个，根据题意得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意， 所以袋中红球的个数是． 考点三 游戏公平性问题 例1．（2026·云南保山·二模）为活跃班级文化，某班开展“趣味抽奖”活动，将学生分为甲、乙两队，并设置2个不透明的抽奖箱．第1个抽奖箱内放了分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外其余都相同）；第2个抽奖箱内放了分别标有数字1，2的两个小球（除标号外其余都相同）． 抽奖规则如下：老师先从第1个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为x，再从第2个抽奖箱内随机摸出一个小球，小球上的数字记为y．若，则甲队中奖，否则乙队中奖． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个抽奖规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪个队更容易中奖？ 【答案】(1)所有可能出现的结果总数为6 (2)这个抽奖规则公平，理由见解析 【分析】（1）根据抽奖规则通过列表列出所有可能出现的结果即可； （2）利用概率公式计算出两队中奖的概率，即可判断． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 1 2                              由列表可知，共有6种等可能的结果，分别为，，，，，， 即所有可能出现的结果总数为6； （2）解：这个抽奖规则公平，理由如下： 由（1）可知共有6种等可能的结果，其中的结果有3种，的结果有3种， （甲队中奖）（乙队中奖），                         ∴这个抽奖规则公平． 例2．（2026·山东青岛·一模）小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． (1)这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； (2)将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 【答案】(1)游戏不公平，见解析 (2)3 【分析】（1）列表得出共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：这个游戏方案对双方不公平，理由如下： 列表如下： 红 红 白 红 （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） 共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∵， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方不公平； （2）解：将红球个数改成3个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方公平， 故答案为：3． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）“一寸光阴不可轻，最是书香能致远．”阅读是美好的，阅读是快乐的．某校社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除编号和人物肖像外其余完全相同），活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事．游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小东先从中随机抽取一张，再把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小华再从3张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小东讲，否则由小华讲． (1)小东抽中的是唐僧的概率为______； (2)用画树状图或列表的方法，表示所有可能出现的结果，你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式解答； （2）画出树状图，可知所有等可能出现的结果，再得出师徒关系的结果，然后求出各自的概率比较可得答案． 【详解】（1）解：一共有4张卡片，抽到A的概率为； （2）解：公平，理由如下： 画出树状图如下： 一共有12种等可能出现的结果，师徒关系的有6种，即，， 则，， 所以这个游戏公平． 变式1．（25-26九年级下·陕西·期中）西安地铁15号线皇子坡站的航天主题站台，以深蓝色弧形穹顶与星光点缀营造沉浸式环境．某志愿者协会组织地铁站点服务，小军和小东均希望前往该站，由于人数限制，两人中只能去一人，会长提出一个办法：将正面分别写有3、4、4、6的四张不透明卡片（卡片除正面所写数字不同外其余均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，小军先从四张卡片中随机抽取一张，记下所抽取的卡片上的数字后不放回；小东再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，记下所抽取的卡片上的数字．若抽到的数字之和大于8，则小军去；若抽到的数字之和小于8，则小东去，其他情况视为平局． (1)小军抽到正面写有数字4的卡片的概率为___________； (2)你认为这个办法对双方公平吗？请通过列表或画树状图的方法进行说明． 【答案】(1) (2)游戏不公平，理由见解析 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四张卡片中正面写有数字4的卡片有张， ∴小军抽到正面写有数字4的卡片的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 列表如下： 由上表可知，一共有12种等可能的结果，其中抽到的数字之和大于8的结果有6种，抽到的数字之和小于8的结果有4种， ，， ， 游戏不公平． 变式2．（2026·江苏连云港·模拟预测）小敏和小华同学玩如图所示的三种颜色材质均匀的转盘游戏，已知红色、黄色、蓝色区域的圆心角度数分别为，，，当指针刚好落在分界线时，重新转动． (1)小敏同学自由转动转盘一次，求“指针落在红色区域”的概率是________； (2)若自由转动转盘一次，“指针落在黄色区域”小敏赢，自由转动转盘两次“指针都落在蓝色区域”小华赢，这样的规则对小敏和小华是否公平？请说明理由． 【答案】(1) (2)公平，理由见详解 【分析】（1）求出蓝色区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率； （2）列举出所有情况，求出指针都落在蓝色区域的概率，再求出自由转动转盘一次，指针落在黄色区域即可得出答案． 【详解】（1）解：把蓝色部分分成圆心角为的两个扇形，共 4 种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能， ∴P指针落在红色区域； （2）解：列表如下， 第一次第二次 红色 黄色 蓝色 蓝色 红色 （红，红） （红，黄） （红，蓝） （红，蓝） 黄色 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝） （黄，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 蓝色 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝） （蓝，蓝） 共有 16 种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种， ∴自由转动转盘两次，P（指针都落在蓝色区域）； ∵自由转动转盘一次，P（指针落在黄色区域）． ∴公平． 变式3．（2026·山东青岛·一模）甲、乙两位同学做摸球游戏，两人手中各有一个不透明的口袋，分别装有4个完全相同的小球．游戏规则是：两人分别将自己口袋中的球涂成红色或蓝色后，从中随机摸出一球，若两人摸出的球颜色相同，则甲赢；颜色不同，则乙赢．甲同学现已将自己口袋中的3个球涂成红色，1个球涂成蓝色、乙同学认为，将自己口袋中的球3个涂成蓝色，1个涂成红色，就可以保证这个游戏对双方是公平的．你同意乙同学的想法吗？请用树状图或列表的方法，说明你判断的理由． 【答案】不同意乙同学的想法，理由见解析 【分析】根据列表法或树状图法分别得出甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：即可判断． 【详解】解：不同意乙同学的想法，理由如下： 根据题意列表如下： 红 红 红 蓝 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，蓝） 根据表格得，共有16种等可能的结果，其中颜色相同的结果有6种，颜色不同的结果有10种， ∴甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， ∴游戏不公平． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $