湖南长沙大学附属中学2026届高三5月月考数学试题

2026年上学期高三五月月考数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 $$A = \left\{ x | \sqrt x \le 3 \right\} ， B = \left\{ x | x = 3 n - 1 ， n \in N \right\} ，$$ ，则 A∩B= () A. B.(3，6，9 C.2，5，8 D.(-1，2，5，8) 2.已知复数 z=(2+i)(1-i)， ，则 |z|= () $$A . \sqrt 2$$ B.2 $$C . \sqrt 5$$ $$D . \sqrt { 1 0 }$$ 3.已知向量 $$\overrightarrow { a } = \left( 1 ， - 2 \right) ， \overrightarrow { b } = \left( - 1 ， - 2 \right) ，$$ 设a与 $$\overrightarrow { b }$$ 的夹角为 θ， 则 sinθ= $$A . - \frac { 3 } { 5 }$$ $$B . \frac { 3 } { 5 }$$ $$C . - \frac { 4 } { 5 }$$ $$D . \frac { 4 } { 5 }$$ 4.若 若 $$\cos \left( a - \frac { \pi } { 3 } \right) + \cos a = - 1 ，$$ ，则 $$\cos \left( a - \frac { \pi } { 6 } \right) = \left( \right)$$ $$A . - \frac { \sqrt 3 } { 3 }$$ $$B . \frac { \sqrt 3 } { 3 }$$ $$C . \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 }$$ $$D . - \frac { 2 \sqrt 3 } { 3 }$$ 5.设 $$a = 0 . 1 e ^ { 0 . 2 } ， b = \frac { 1 } { 1 0 } ， c = 0 . 2 e ^ { 0 . 1 } ，$$ ，则下列选项正确的是() A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b 6.已知双曲线 $$C ： \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > 0 ， b > 0 \right)$$ (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 $$F _ { 1 } ， F _ { 2 } ，$$ ，双曲线的右支上有一点 $$A ， A F _ { 1 }$$ 与双曲线的左支交于点，线段 $$A F _ { 2 }$$ 的中点为M 且满足 $$B M \bot A F _ { 2 } ，$$ ，若 $$\angle { F _ { 1 } } A F _ { 2 } = \frac { \pi } { 3 } ，$$ 则双曲线c的离心率为() A.2 $$B . \sqrt 6$$ $$C . \sqrt 7$$ $$D . \sqrt { 1 3 }$$ $$f \left( x \right) = 1 - 2 \sin ^ { 2 } \left( \omega x + \frac { \pi } { 6 } \right) \left( \omega > 0 \right)$$ $$E \left( 0 ， \frac { \pi } { 2 } \right)$$ 上有且仅有两个零点，则 的取值范 围是() $$A . \left( \frac { 7 } { 6 } ， \frac { 1 3 } { 6 } \right)$$ $$B . \left( \frac { 7 } { 6 } ， \frac { 1 3 } { 6 } \right]$$ $$C . \left[ \frac { 7 } { 6 } ， \frac { 1 3 } { 6 } \right)$$ $$D . \left[ \frac { 7 } { 6 } ， \frac { 1 3 } { 6 } \right]$$ 8.等差数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 和等比数列 $$\left\{ b _ { n } \right\}$$ 都是各项为正实数的无穷数列，且 $$a _ { 1 } = b _ { 1 } ， a _ { 2 } = b _ { 2 } ， \left\{ a _ { n } \right\}$$ 的 前n项和为 $$S _ { n } ， \left\{ b _ { n } \right\}$$ 的前n项和为 $$T _ { n } ，$$ 下列判断正确的是() $$A . \left\{ a _ { n } \right\}$$ 是递增数列 $$B . \left\{ b _ { n } \right\}$$ 是递增数列 C.S,>T D.Sn≤Tn 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知样本数据x,×2,的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是() A.数据3x-1,3x2-1,3×-1的平均数为6 B.数据3x-1,3x2-1,3×-1的方差为9 C.数据x,x2,x,2的方差为1 D.数据x,x3,x的平均数为5 10.如图，AE⊥平面ABCD,CFIIAE,AD∥BC,AD⊥AB,AE=BC=2,AB=AD=1, cF-9,则() 7 A A.BD⊥EC B.BFI平面ADE C.平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为 D.直线cE与平面BDE所成角的正弦值为 11.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)f(y)-f(x)=y-y,则（) A.f(0)=1 B.f(-1)=1 C.f(x+1)为偶函数 D.f(x+1)为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若平面直角坐标系内A,B两点满足：(1)点A,B都在f(x)的图象上；(2)点A,B关于 原点对称，则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，且点对(A,B)与(B,A)记为一个“姊 [x2+2x,x<0 妹点对”.已知函数f(x)=了2 个 会。，三。·贝则〔x)的“姊未点又对“有 13.已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数xy均满足 x+2y f(x)+2f(y) 若f(2)=1,f(5)=10,则f(724)= 14.已知，5分别是双曲线号片=1(a>0,0>0,的左、右焦点，过5的直线交双曲线 的左支于A,B两点，∠8AF,号.A小=3：7，则双曲线的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)如图，在四棱锥E-ABCD中，EC1平面ABCD,ABll DC,♀ACD为等边三角形， DC=2AB=2,CB=CE,，点F为棱BE上的动点. 5 (1)证明：DC⊥平面BCE; (2)当二面角F-AC-B的大小为45°时，求线段CF的长度. 16.(15分)已知等比数列(a}和等差数列(bn},满足an1>an,a,=b,=1,a2=b2,3a,=4b. (1)求数列(an},{b}的通项公式； (2)记数列{a,·bn}的前n项和为T,,数列 的前n项和为P,证明：只< -1 n+1 17.(15分)已知F,(-2,0),F2(2,0),M是圆0：x2+y2=1上任意一点，点F,关于点M的 对称点为N,线段F,N的中垂线与直线F,N相交于点T,记点T的轨迹为曲线E· (1)求曲线E的方程； (2)过点F2且斜率为k的直线}交曲线E位于y轴右侧的部分于不同的A,B两点，Q为x轴 AF十BF4是否为定值，若是，则求出该定值：若不 QF2 上一点且满足1QA曰QB1,试探究 是，请说明理由 18.(17分)已知函数f(x)=e*-1,g(x)=lnx-mx,m∈R. (1)求f(x)的最小值； (2)设函数h(x)=f(x)-g(x),讨论h(x)零点的个数， 19.(17分)泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变 量x的所有可能取值为0,1,2，且P(X=k)= -eA,k=0,1,2,…其中入>0，则称X k! 服从泊松分布，记作X~P(). (1)设X~P(,且P(X=1)=P(X=3),求P(X=2); (2)已知当n≥20,0<p≤0.05时，可以用泊松分布P(np)近似二项分布B(n,p),即对于 X~B(n,p),Y心P(nP),当k不太大时，有P(X=k)≈P(Y=k) (i)已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试 估计某天需要至少2名水电工的概率； (i)在(i)的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率 需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.