湖南长沙市第一中学2026届高三5月数学模拟卷一

高三数学模拟卷一 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 福 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A={1,2,3,4},B={yly=1og2x,x∈A},则A∩B= A.(1,2} B.{2,4}》 C.{1,2,3} D.{1,2,4} 2.已知a,b为实数，虚数1一i是方程x2十ax十b=0的根，则ab的值为 A.2 B.-2 C.4 D.-4 3.若函数f(x)的定义域为R,则“函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称”是“f(a)=”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a=(2,1),b=(2,λ)，c=(-4,),λ，u均为实数，且a⊥b,a∥c,则|3a一b十2c= A.25 B.16 C.5 D.4 5.下图是某城市在2025年元月至十月的最低气温（单位：℃）和最高气温（单位：℃）的折线图.定 义各月的温差为该月的最高气温减去最低气温.若最低气温和最高气温的线性相关系数为， 最低气温和温差的线性相关系数为”2，则下列说法正确的是 月月月月月月骨9 25 ◆最高气温 -最低气温 A.r2>0,且|r2<|r1 B.r2>0,且|r2l>n C.r2<0,且|r2|<|n D.r2<0,且|r2>|r1l 数学试题(Q)第1页（共5页） 6.如图，圆柱OO2的表面积为(4√2十4)π，AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且四面体 ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为 A.4② 3 R号 C26 D4③ 3 3 7.已知圆C:(x-cos0)2+(y-sin0)2=1,若存在0，使得直线x-y十4=0与圆C有公共点， 则实数的取值范围是 A[-划 B.[-√3，w3] C.[-√2，W2] [-] 11og2xl,0<x<4, 8.已知函数f(x)= 4sin(x+若)，4≤≤14， 若方程f(x)=m有四个不等的实根xr,x2,xg, x4,且x1<x2<x3<x4,则下列结论正确的是 A0<m≤2 .12x2=2 C.x3+x4=8 D.c1x3的取值范围为(1,5) 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题 目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分) 9.已知正三角形A1B1C1的边长为6，记其面积为S1,取各边中点连接得到新的正三角形 A2B2C2,记其面积为S2,依此规律，得到一系列正三角形A.B.Cn,其面积记为S,设Tn=S1十 S3十十S2m-1.则下列说法正确的有 A数列{S)是首项为93，公比为的等比数列 且前3个正三角形的面积之和为82 C.存在正整数m,使得Tm>12√3 D.T,+s+1=483 15 5 10.已知函数fx)=子x-2,则下列说法正确的是 A.函数f(x)有三个零点 Bf0.1+f09)<吉 C.曲线y=f(x)上不同的两点A(x1),B(x2,y2)处的切线分别为☑，2，若1∥12，则十 x2=1 D.若方程了()=6有三个不同的实数根1，，则十十。=是 数学试题(Q)第2页（共5页） 11如图，一张半径为r的圆形纸片的圆心为点E,F是圆内的一个定点，P是圆E上任意一点， 把纸片折叠使得点F与P重合，折痕1与直线PE相交于点Q,T为EF的中点，E,F在折痕 L上的射影分别为M,N,则 A.QE+QF=27 B.TM=TN C.4|EM·|FN|<r2 D.4TM.TN+22>0 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.若（一2）”的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数为 13.若x∈(0，)，且cos2x=cos(x+）cos(x-5),则x= 14.已知数列{am}满足a1=0,am+1=am十4√an十I十4(n≥l),bn=an十λn,对任意不箦于3的正 整数m,都有bm>b3,则实数入的取值范围是 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(c一2b)cosA十acos C=0. (1)若a三4，b十c=8,求△ABC的面积； (2)若a=√2c,求sin(2C十A)的值， 数学试题(Q)第3页（共5页） 16.（本小题满分15分) 已知函数f(x)=一xe-4 (1)设g(x)=f'(x),分别讨论函数f(x)与g(x)在（一∞，十∞）上的单调性； (2)证明：当0<tx时，f(t)十f(x)<f(t十x). 17.（本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC,且PA=AC,AC⊥BC,点E为棱PC的中 点，四面体E-ABC的外接球O与直线PB的另一交点为F. (1)证明：PB⊥平面AEF; (2)若PA=2,三棱锥P-AEF的体积是号，求直线C0与平面AEP所成角的正弦值 数学试题(Q)第4页（共5页） 18.（本小题满分17分) 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片， 2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如 果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程 n次后，箱子中普通卡片的张数记作Xn,X.的数学期望记为E(Xn). (1)求随机变量X2的分布列； (2)设P(Xm=4十)=(k=0,1,2) (1)用含p(兔=0,1,2)的式子表示E(X+1); (i)证明：{E(Xm)一6}是等比数列，并求E(Xm). 19.(本小题满分17分) 已知双偏线器蒂=1公>0,6>0)，过右焦点的直线与双商线T的右支交于P,Q 两点.设PQ的中点为M,且当直线☑的斜率为1时，点M的坐标为(3,1). (1)求双曲线Γ的标准方程； (2)直线2上有两点R,S满足：O京=1O驴+uO,OS=μO+λOQ,其中，>0,0为坐标 原点.已知点R在双曲线下上， (1)证明：点S也在双曲线T上； (ⅱ)设点T(0,1),设RS的中点为N,若△TMN的面积的最小值为5，求λ+u的值. 数学试题(Q)第5页（共5页） 高三数学模拟卷一参考答案 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号1 2 3 5 6 答案 A D A C B D D 1.A{解析】因为集合A={1,2,3,4),所以B=(yly=1og2x,x∈A)={0,1,log23,2},所以A∩B=(1,2. 2.D解析因为1一i是方程x2十ax十b=0的根，所以(1一i)2十a(1一i)十=0， 所以a十b-(a十2)i=0,又知a,b为实数，所以a十b=0且a十2=0，解得a=-2,b=2,所以ab=一4. 3.A【解析】若函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称，则f(a十x)+f(a一x)=2b, 若f(x)的定义域为R,令x=0可得f(a)=b, 但f(a)=b不能推出函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称，故选A 4.C【解析i因为a⊥b,a∥c,所以4+入=0,2μ=一4，得λ=-4，μ=一2， 所以3a-b+2c=3(2,1)-(2,-4)+2(-4,-2)=(-4,3),故|3a-b+2c=√(-4)2+32=5. 5.C{解析】由折线图可得，随着最低气温的升高，最高气温也升高，所以最低气温和最高气温成正相关， 故n>0. 因温差二最高气温一最低气温，由图如知，随着最低气温不断升高，最高气温升高幅度相对按小， 故温差逐浙减小，即最低气温和温差成负相关，故r2<0. 由折线图可以看出，最低气温与最高气温的线性相关程度较强，最低气温与温差的线性相关程度较弱， 根据线性相关系数的性质，r值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；x值越接近0，随机变量之间 的线性相关程度越弱.由上分析，可得r2<n. 6.B《解析】连接CO,DO,因为四面体ABCD为正四面体，则AB⊥CD,设AB=2r,则CO=3r,OO2=√2r, 故国柱O,0:的表面积为22+2r=(4E+4m,解得=E,故V=S%m·AB=是，故选B 7.D《解折法一：国心C到直线的距离d=bc0s0-血0叶l≤1，即中血(0o)-≤1，即-1十 √1+2 √1+2 3≤sin(g-p)≤1十4北 件依题意，存在0，使得1土料充血0区1士元成三，故山 ≥1且-1+1，色岸-2得，解得-得c≤得 法二：当日变化时，圆C扫过的图形是以原，点为圆心，2为半径的圆M,故若存在0，使得直线x一y十4=0与 国C有众夫点，申定线一9叶-0与国M有文点得物每得一得≤得 8.D【解析】当0<x<1时，log2x<0,则f(x)=-logx=1ogx在(0,1)上单调递减，f(x)>f(1)=0, 当1≤x<4时，log2,x>0,则fx)=1og2x在[1,4)上单调递增，f(1)≤f(x)<f(4),即0≤f(x)<2, 当4≤x≤14时，f(x)=4sin（需x+)在[4,8)上单调递减，在[8,14幻上单调递增， 且f④)=4sin(5+晋)=2，f(56)=4sin(倍+若)=0，f8)=4sin(气+晋)=-4， f1)=4sn(+晋)=0，f14)=4sim(3+吾）=4， y=f) 利用对数函数与正弦函数的性质，画出f(x)的图象如图所示， Cy=m m 115 811 因为方程f(x)=m有四个不等的实根，所以f(x)的图象与y=m的图象有四个戒场按 414宝 交点，则0<m<2,A错误； 结合选项A中分析可得一l10g2x1=log2x2,所以1og2(x1x2)=0,则西1x2=1,B错误； 由正弦函数的性质结合图象可知(xg,m)与(x4,m)关于直线x=8对称，所以x十x4=16,C错误； 数学参考答案(Q)一1 当0<a<1时，fx)=-l0gz,令fx)=2,得=子，所以<<1,4<a<5, 由图如4，g同增同减，所以21∈(1,5)，D正确.故选D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选 对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分，) 题号 ⊙ 10 11 答案ABD BCD BCD 9ABD【解折】选页A:旅据正三角形面积公式可得海始面取S-吗X6-9,连接各边中点后，高正三角形 边长变为原三角形边长的号，因此面积变为原面积的，即S1=是S,所以数列(S,}是首项为95，公比为号 的等比数列.故A正确； 所以S=S()=93·(),T=S+S+…+S-1=9 g良-a门 1- 选项B:前3个正三角形的面积之和 95[1-(门195故B正： 16 1-4 达项C对任意正整囊，工<42wv月，故C错误， 选项D:T+1=经1-（偏）门+·9，（侵）》产-经，DE瑰，收选AD 10.B0D【解标】由fx)=青-合，得f)=x2-, 令f(x)<0,得0<x<1,令f(x)>0,得x<0或x>1, 所以f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间（一∞，0），(1，十∞)单调递增. 对于A,因为f1)=-日<0，f0)=0,f2=号， 所以f(x)在区间(1,2)内存在1个零点，故f(x)在R上有2个零点，故A错误； 对于B,因为（合十十f(合一）=一青，所以f)的图象关于点（合，一）中心对称， 令x=0.4,得f0.1)+f09)=-日 又f0.9)>f0.9),所以f0.1D+f0,9)<f0.1)+f0.9)=一言，放B正确； 对于C,依题意f(x)=f(x2),即x好一x1=x始一x2, 所以（一x2)(红十x2一1）=0，因为x1≠x2,所以1十x2=1,故C正确； 对于D,设fe)-t=-号女-t=月红-)一)（红-， 所以一青么十十)=一号，所以五十十=号为定值，放D正确故选BCD 11.BCD【解析】对于A,|QE+|QF=|QE引+|QP|=|EP|=r,故A错误； 对于B,在△EPP中，T,N分别为EF,PF的中点，故|TN=|EP|=, 如图，延长FQ,EM交于点R, 则有1QR=QE,MR|=|MEl,故MT=|FR=|EP=专=|TNl,故B ·正确； 数学参考答案(Q)一2 对于C,设∠EQM=∠FQN=0,lQEl=m,|QF|=n,则|EM|=msin0,lFN|=nsin0, 则|EM·|FN|=mnsin20,由于点Q的轨迹为椭圆，设捕圆长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c, 则在△EQF中，4c2=m2十2-2 nncos(x一20)=(m十n)2一2mn(1一cos20), 化简得4C=4a2-msin8,即min-,所以EM·FN=<a2=若，故C正确； 对于D,设MN的中点为S,则有T.TN-T交-是本=}CEM+FN)2-是|MNP≥EM1· FN-寻iE=6-c>-a2=-云，放4成：+r>0,故D正确.故选CD 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.40【解析】因为二项式系数之和为2”=32，所以n=5, (任-2E)°的展开式的通项为工1=G(-2x)y()-(一1rC·2·xt, 令一5十是r=-2,得r=2,所以T=C号：2·x2=40x2,则展开式中含是项的系教为40， 13.晋或写【解析icos2x=cos[(z+)+(x-晋)门-cos(x+皆)os(x-晋）-sin(x+资)sin(x-音)= eos(x+肾）os(x-),所以in(x+昏）sin(e-}=0,即sin(x+晋)-0或i(e-晋）=0， 因为x∈(0，)，得x十哥=π或x一号=0，即x=或号 14.(-24,-16)【解析i由a+1=an十4√a十I+4(n≥1)，得a+1十1=（√an干I+2)2(n≥1）， 得√a+1十I=√a,十I十2(n≥1)，所以数列{√an十I}是以√@十I=1为首项，2为公差的等差数列， 则√/an+I=1+2(n-1)=2n-1,所以an=4n2-4n,于是bn=4n2-4n十λn, 因为二次画数了x)=42-4红十证图象的对称轴为x=4号， 由题意得，号<号<号，解得一24<<一16，所以实数入的取位范国是（一24，一16）. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)因为(c一26)cosA+acos C=0, 所以由正弦定理得(sinC-2sinB)cosA十sin Acos C=0, 又图为sin Ccos A+sin Acos C=sin(A+C)=sin(r-B)=sinB, 所以sinB(1一2cosA)=0, 因为0<B<,所以sinB≠0，所以cosA=分 因为0<A<x,所以A=于 由余弦定理得a2=b十c2一2 bccos A=+c2一bc=16, 所以（亿+c)2一36c=16,所以bc=16, 所以△ABC的西积S=besinA=号X16×号=4W5, …6分 (2)因为a=√2c,根据正弦定理得sinA=√2sinC, 则sinC=inA-2-6 又a=√2c>c,则A>C,故C为锐角， 所以osC=V-C=√1-（②=平， 数学参考答案(Q)一3 则sin20=2 sin Cos=2x9×厘-厘 s202*0-1=2X-1=是、 所以sm(2C+A=n20cas音+es20sn晋-里×号+×9-压+ 8 …13分 16.【解析】(1)f(x)=(x-1)e2-x, 令f(x)>0,得x>1;令f(x)<0,得x<1. 所以f(x)在(1，十o∞)上单调递增，在（一∞，1）上单调递减。…3分 由g(x)=(x)=(x-1)e-r,得g'(x)=e-x+(x-1)·e-x·(-1)=(2x)e1-, 令g(x)>0,得x<2;令g(x)<0,得x>2, 所以g(x)在（一0∞，2）上单调递增，在(2，十∞)上单调递减。…6分 (2)因为0<t<x,所以x<x十t, ①当x≥1时，1≤x<x十t,由(1)知f(x)在(1，十o∞)上单调递增， 所以f(x)<f(x十t), 因为t>0,所以f(t)=一t抢-<0， 所以f(t)十f(x)<f(t十x); ②当0<x<1时，令h(x)=f(t)+f(x)-f(x十t), 则h'(x)=f(x)-f(t十x),0<x<t+x<2, 由(1)知g(x)=f(x)在(0,2)上单调递增，所以f(x)<f(t十x), 所以h'(x)<0, 所以h(x)在[0,1)上单调递减，所以h(x)<h(0)=f(0)=0, 即当0<x<1时，f(t)+f(x)<f(t什x). 综上，当0<tx时，f(t)十f(x)<f(t十x).…15分 17.【解析】(1)证明：因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC, 又因为ACLBC,且PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以BC⊥平面PAC,又AEC平面PAC,所以BCLAE. 因为PA=AC,点E是PC的中点，所以AE⊥PC 又PC∩BC=C,PC,BCC平面PBC, 所以AE⊥平面PBC,又PBC平面PBC,所以AE⊥PB. 由题知，四棱锥A-BCEF内接于球O,则必有B,C,E,F四点共圈，又∠BCE=受，则∠BFE=受， 即PB⊥EF,又AE∩EF=E,AE,EFC平面AEF,所以PB⊥平面AEF.…6分 (2)设PF=λ(>0)，由(1)得PB⊥平面AEF,AE=PE=CE=√2， 因为AEL平面PBC,则∠AEF=受，所以V=号XSrXPF=-号×号XWEX,2一平XX= 61 化简得2(2一λ2)=1，解得λ=1，则PF=1. 又PE=√瓦，EF⊥PB,则EF=1,则∠CPB=45°，又∠BCE=90°，PC=2√2，则BC-2√2. 又由(1)知△ACB,△AEB都是以AB为斜边的直角三角形， 故外接球球心O为AB的中点. 如图，以A为原点，与BC平行的方向，射线AC,射线AP分别为x,y,之轴的正半轴，建 立空间直角坐标系. 因为PA=AC=2,BC=22,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(2/2,2,0),C(0,2,0),0(W2,1,年 0), 由(1)如知，PB⊥平面AEF,所以PB=(2√2,2，一2)是平面AEF的一个法向量， 数学参考答案(Q)一4 又直线OC的方向向量为Cδ=(W2,一1,0)， 设直线CO与平面AEF所成角为0， 则sing= Pi.cδ 2 _/3 1PBIcδ 4X3 6 故直线C0与平面AEF所成角的正弦值为 …15分 61 18.【解析(1)根据题意，X2的可能取值为4,5,6， X:=4即二次抽卡均抽到普逼卡片，P(X:=4)=普×青一号， X=5印二次热卡恰好指到-普道一稀有卡片，P(X:=5)-告×号+后×号=号 X6=2, X2=6即二次抽卡均抽到稀有卡片，P(X2=6)= w11 所以X2的分布列为 X2 4 6 P 9 12 …5分 (2)(ⅰ)设第n次抽卡抽到稀有卡片为事件Am, 则P(X1=4)=P(X=4)PAX:=40=X普-号0， PX1=5)=P(X,=4)PAhX=40+P(X,=5PhX=5)=o×号+×号=3+音， P(X+1=6)=P(X,=5)PA+1X,=5)+P(X,=6)PA+1X=6)=X合+X1=合+， 所以E(X)=4×号十5X(合十名)十6X(信+p如)=号十n十6. …10分 (l)由(1)及p十p1十2=1，E(X)=4p十5p1十6p2得， EX+n)=号o+器十6：=君(4p+5A十6：)+(A十十g)=号EX,)+1, 所以EX)-6=吾[B(X,)-6],又EX)一6=4X号+5X号-6=-号， 所以(E(X,)一6》是以一号为首项，号为公比的等比数列， 所以E(X)一6=-号×（停）尸，即E(X,)=6-2X(倍》： …17分 19.【解析】(1)设直线h:x=my十c,依题意可知，3=1十c,解得c=2, 设P(x1,),Q(x2,2),则 作差并整理得当一丝。当十业= -21十2a2 代入斜率和中成坐标得号=骨，又6=2，可得a=3,=1, 放双曲线T的方程为号-少=1.4分 (2(1)由恩意RQ十d十，由点R在双尚线上，得十-十wg)=1, 3 鉴理得（得-）+（停-）+2（色受-为）=1，化蔺可得受-%-1， 3 2λ4 数学参考答案(Q)-5 点Sm+Xw+),则画寸22-(4+g)=(臂-)+x(停-)+2（色-1）= -一++2=1， 2λ4 所以点S也在双曲线上.… …9分 ()设R(xs,为)，S(x4,y), 由P(1,h),Q(x2,y)在直线h:x=my十2上，以及R(1x1十4x2,h十2)可知， x=λx1十4x2=λ(m+2)十μ(my2十2)=m(y十y2)十2（十u)=my十2(0+）， 所以点R在直线x=my十2（十4）上，同理S(x4,y)也在直线x=my十2(a十)上， 即直线RS的方程为x=m0y十2t,其中=1十4：故RS,∥PQ, （x=y+2t, 联立 -y=1,86m-3y+my叶-3=0， A=16mt-4(m2-3)(4x-3)=12(m2+4x2-3)>0,则m2+4-3>0, 圆由可知，og是，月显有ans-g,成O,MN三点关线。 周地3-×-2之2，中Saw=1E一1Saa, S△oMOM x-my十2， 联立 管-g2=1,装强得6m-3》y+my十1=0， 所以n十g=把g设320a=十2=+23， 故5aw=号10lam=3≥1，当且仅当m=0时取等号影且>是， 因此SATMN=|t-1|SAoM≥|2-1|， 故|t-1=5,解得t=6或t=一4（舍去）， 因此=6，即1十μ=6.… …17分 数学参考答案(Q)一6