福建莆田第二中学2025-2026学年高一年级下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过基础题与综合题梯度设计，融合秦九韶公式文化传承与景区观光通道造价等实际应用，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量平行、斜二测画法|基础概念辨析，如第5题结合解三角形考查充分必要条件| |多选题|3/18|纯虚数性质、正方体线面关系、秦九韶公式|第11题以秦九韶公式为背景，综合考查三角形性质与向量应用| |填空题|3/15|投影向量、角平分线长度、圆柱内球半径|第14题通过圆柱容球模型，考查空间想象与方程思想| |解答题|5/77|向量模与夹角、解三角形、立体几何证明与计算|第17题结合景区观光通道造价，第19题四棱锥截面问题，体现实际应用与空间观念

2025-2026学年莆田第二中学高一年级下学期期中考试卷 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. (1+5i)i的虚部为( ) A. - 1 B. 0 C. 1 D. 6 2. 已知向量=(1,2), =(x,1-x),若∥,则 x= ( ) A. 2 B. C. 3 D. 3.如图所示，△ABC中，点D 是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 A. B. C. D. 4.用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A'B'C'如图所示，其中B'O'=C'O'=2.若原△ABC的周长为10,则A'O'=( ) A. B. C. D 5.在△ABC中, “asinA=bsinB”是“△ABC为等腰三角形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是 圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 7.已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若 则△ABC的外接圆面积为( ) A. 3π B. 6π C. 9π D. 12π 8.已知正方体 的外接球表面积为12π，点M 在线段BD上(含端点)，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数 为纯虚数，则( ) A. m=1 B. |z|=2 C. D. i·z=2 10.如图所示，在正方体. 中，O为DB的中点，直线A₁C交平面C₁BD于点M，则下列结论正确的是( ） A. C₁, M, O三点共线 B. A₁C⊥平面C₁BD C.直线A₁C₁与平面ABC₁D₁所成角的为 D.直线A₁C和直线BC₁是共面直线 11. 我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 现有△ABC满足 且 则( ) A. △ABC三个内角A,B,C满足关系A+C=2B B. △ABC的周长为 C.若E为AC的中点， ，BE与AF交于点P，则BP的长为 D.若O为△ABC的外心,则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量=(3,0), =(1,2)，则 在方向上的投影向量的坐标为 . 13. 在△ABC中，的平分线AD交 BC于点 D，则AD= . 14. 一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知 其中 是夹角为π/3的单位向量. (1)求n的模. (2)若m与n夹角为钝角，求λ的取值范围. 16.记△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知 (1)求A. (2)若 求△ABC的周长. 17. 某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内与点 B距离50米的点C处建一凉亭，与点 B 距离70米的点D处再建一凉亭，测得 (1)求sin∠BDC的值; (2)测得AC=AD，观光通道AB每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗? 18.如图, 是边长为4的正三角形，点D 是 所在平面外一点，AD=3且 E为AB的中点. (1)求证: (2)求直线 AD 和平面 CDE 所成角的正弦值； (3)求点 A 到平面 BCD 的距离. 19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,其中, 且AD=2BC,点E为棱PD的中点. (1)求证: CE∥平面PAB; (2)若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN//平面PAB?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由； (3)若PA = PB = PC = AD =5,CD =6,请在图中作出四棱锥P-ABCD过点B，E及棱AD中点的截面，并求出截面周长. 4 学科网（北京）股份有限公司 $