精品解析：福建莆田第一中学2025-2026学年下学期第一学段考试试卷高一数学

福建莆田第一中学2025-2026学年下学期第一学段考试试卷高一数学 命题人：吴炫葆 审核人：林清利、凌娜 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 2. 已知点，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 4. 如图，已知中，为的中点，，若，则 A. B. C. D. 5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ） A. EF与GH平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点一定在直线AC上 D. EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 6. 如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，这是一个正方体的平面展开图，分别是棱的中点，则在该正方体中（ ） A. B. 与是异面直线 C. 相交于一点 D. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________． 13. Rt中，为的外接圆上一动点，则的最大值为__________． 14. 如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 如图，有一码头和三个岛屿，，，. （1）求两个岛屿间的距离； （2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程. 17. 如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若分别在边上，且，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建莆田第一中学2025-2026学年下学期第一学段考试试卷高一数学 命题人：吴炫葆 审核人：林清利、凌娜 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算和复数模的定义，即可得结果. 【详解】因为，所以． 故选：D． 2. 已知点，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由点，可得， 则， 所以在上的投影向量的坐标为. 3. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4. 如图，已知中，为的中点，，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值. 【详解】因为， 所以，.故. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析. 5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（ ） A. EF与GH平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点一定在直线AC上 D. EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据题意，证得且，设和相交于点，得到平面且平面，进而得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 6. 如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把半个圆锥沿着直线展开，得到扇形，根据题意，计算扇形的弧长，由展开图和圆锥的关系，得到圆锥底面圆周长，进而计算底面圆半径. 【详解】如图为半圆锥的侧面展开图， 连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长， 设展开图的扇形的圆心角为， 根据题意得， 在中，，所以， 所以扇形弧长为， 所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A 7. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角可判断答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以，即， 所以或，即或， 的形状为等腰三角形或直角三角形. 8. 已知正方体的体积为，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知四棱锥与四棱锥重叠部分为一个三棱柱加上一个四棱锥，作出图形，结合棱柱和棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】如图， 四棱锥与四棱锥重叠部分为五面体， 又该正方体的体积为，即， 解得，则， 所以，得， 又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图， 故该五面体的体积为 . 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共轭复数、复数运算等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】对于A选项，设，满足，但不满足，故A选项错误. 对于B选项，由于，故可设，则，则，故B选项正确. 对于C选项，由于，且，所以，故C选项正确. 对于D选项，设，满足，但，故D选项错误. 故选：BC 10. 如图，这是一个正方体的平面展开图，分别是棱的中点，则在该正方体中（ ） A. B. 与是异面直线 C. 相交于一点 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将正方体的平面展开图还原，再逐个分析即可 【详解】将正方体的平面展开图还原，得到如图所示的正方体， 对A，因为，且，故四边形为平行四边形，故，又则成立，故A正确； 对B，因为分别是棱的中点，所以平面ADNE, 平面ADNE//平面，且与不平行，所以两直线是异面直线，故B正确； 对C，，则相交，设相交于点，因为平面平面，平面平面所以，即相交于一点.故C正确； 对D，连接，因为，与不垂直，所以与不垂直. 故D错误 故选：ABC. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D； 【详解】解：因为，又由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又， ， ，故选项D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则为锐角，所以． 13. Rt中，为的外接圆上一动点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的定义，结合投影向量和圆的性质可求答案. 【详解】设的夹角为，的外接圆的圆心为,则为的中点， ， 表示向量在上投影数量，如图，当与圆相切时，取到最大值； 记的中点为，连接,由圆的性质可得四边形为矩形， 因为所以，所以， 所以,即的最大值为. 14. 如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意找出过三点的平面与侧面的交线线段，证明G为靠近C的三等分点，再由已知求解三角形可得正四棱锥的底面边长与侧棱长，然后求解外接球的半径，代入球的体积表面积公式得答案． 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H，连接交于G， 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面中，过C作，交于K，则， 所以， 由已知可得，四棱锥为正四棱锥， 在等腰三角形中，由，得， 设，则，，， ， 在中，由余弦定理可得，，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6， 连接，相交于M，连接，则为正四棱锥的高，则， 设四棱锥外接球的球心为O，连接，则，解得， 所以该四棱锥的外接球的体积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知与的夹角. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的模长公式及数量积的运算律求解即可； （2）由题意可得，且与不共线，代入计算即可得出答案. 【小问1详解】 由题意， 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 对于， 得， 即，解得， 若与共线， 则存在，得，解得， 所以若向量与的夹角为锐角， 实数的取值范围为. 16. 如图，有一码头和三个岛屿，，，. （1）求两个岛屿间的距离； （2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得，，即，解得，得，所以为等腰从而求解（2）根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“”或“”，由余弦定理可以算出PA,分别计算每段长求和即可得出结论 试题解析： （1）在中，， 由正弦定理得，，即， 解得， 又因为在中，，所以， 所以，从而， 即两个岛屿间的距离为； （2）因为，所以， 在中，，由余弦定理得， ， 根据“两点之间线段最短”可知， 最短航线是“”或“”， 其航程为. 所以应按航线“”或“”航行， 其航程为. 17. 如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） ，与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点，连结，由平面几何知识可证得，再由线面平行的判定可得证； （2）由已知可得，，，再由线面垂直的判定可得平面，即得即为直线与平面所成的角，解三角形即可求得其大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 18. 已知菱形的边长为2，，平面ABCD外一点P在平面上的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，问：点E在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）点E在线段上靠近点D的四等份分点处，此时最大角的正弦值， 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知可得，与都是边长为2的等边三角形，可求出，做，即可求出，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交平面于点，要使角最大，则需使最小，此时， 由余弦定理可求，即可求得，从而求解． 【小问1详解】 ∵点P在底面上的射影是与的交点O， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，⊂平面， 所以平面． 【小问2详解】 由题意可得，与都是边长为2的等边三角形， ， 则 ， 所以， 作，所以， 则， 设点D到平面的距离为， 由，则 即 解得 故点D到平面的距离为 ； 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， 因为平面， 所以E到平面的距离即为D到平面的距离， 过E作垂线平面交平面于点，则， 此时 ,要使最大，则需使最小，此时 由题意可知 ， ∵平面，且 ， 所以 在△PAD中，由余弦定理可得： ， 所以 ， 则 ，， ，， 即点E在线段上靠近点D的4等分点处，此时. 19. 在中，角A，B，C的对边分别为的面积为．已知． （1）若，求的值； （2）若，求的最小值； （3）若分别在边上，且，求面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可； （2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到，再利用辅助角公式并结合正弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可； （3）设，由正弦定理分别表示出，由得出的关系，再根据辅助角公式及正弦函数的最值即可求解． 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以由余弦定理得． 【小问2详解】 由三角形面积公式得，且，解得， 由余弦定理得 ， 令，则，， 即，其中， 可得，解得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 【小问3详解】 由题意得，而，可得， 又，所以，则，因为，所以为等边三角形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 由正弦定理得，， 由得，， 所以， 因为，其中， 由得，则，当时取等号， 此时， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $