专题8.3 实数及其简单运算【十大考点+十大题型】《考点•题型•技巧》讲与练高分突破-2025-2026学年七年级下册数学（人教版）

专题8.3 实数及其简单运算 【知识梳理】 知识点一：无理数 无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等 知识点二：实数： 有理数和无理数统称实数。 知识点三：实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 技巧归纳： 1、a是一个实数，它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。） 题型一：实数的概念与分类 【例1】．（25-26八年级上·上海宝山·月考）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 题型二：实数和数轴问题 【例2】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【举一反三】 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型三：实数的大小比较 【例3】．（25-26七年级下·全国·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·周测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型四：无理数的理解 【例4】．（25-26七年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在下列实数：①；②；③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中，无理数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级上·山东济宁·期末）实数，3.14，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 题型五：无理数的整数和小数部分 【例5】．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·周测）设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 2．（25-26八年级上·江西抚州·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 题型六：实数的运算 【例6】．（24-25七年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）计算： (1) (2) 3．（25-26七年级上·广西桂林·月考）计算： (1)； (2)． 题型七：实数的程序框图 【例7】．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 题型八：实数有关的规律问题 【例8】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型九：实数新定义运算 【例9】．（22-23七年级下·山东青岛·月考）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 2．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为9以内的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以________，________，________． 所以________， 所以n是“好六数”． (3)已知三位自然数m是“好六数”，且，p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 题型十：实数的实际应用问题 【例10】．（25-26七年级上·广西贺州·期末）阅读材料，并完成任务： 如图，一个标准（最内圈长度）跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，弯道半径为，每条跑道宽为，共有8条跑道．（注：π取3） (1)任务1：求每条直道的长度； (2)任务2：若学校因场地设置，只能设置最内圈长度为的跑道，跑道的宽度和条数不变，若要使跑道中间阴影部分操场的形状为正方形，每条直道的长度应设置为多少？ (3)任务3：在任务2的条件下，给正方形操场铺设草皮，跑道和中间半圆形区域铺设塑胶．已知铺设每平方米塑胶需花费100元，铺设每平方米草皮需花费40元，则铺设完整个操场约花费多少万元？（结果保留两位小数） 【举一反三】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 2．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东日照·月考）下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（21-22七年级上·四川绵阳·月考）下列各数：，其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算的结果估计在（   ） A．1至2之间 B．2至3之间 C．3至4之间 D．0至1之间 4．（21-22七年级下·四川自贡·月考）在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26七年级上·山东日照·月考）比较大小：______．(填“”，“”号) 11．（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________． 12．（25-26七年级上·北京海淀·期末）点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则__________． 14．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为______． 三、解答题 15．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 16．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)． 17．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 19．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 实数及其简单运算 【知识梳理】 知识点一：无理数 无限不循环小数称为无理数。（开方开不尽的数；含有π的数；有规律但不循环的数。） 如，等 知识点二：实数： 有理数和无理数统称实数。 知识点三：实数与数轴 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。 技巧归纳： 1、a是一个实数，它的相反数为 -a 2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （在实数范围内，相反数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、绝对值的意义完全一样。） 题型一：实数的概念与分类 【例1】．（25-26八年级上·上海宝山·月考）下列说法正确的是（    ） A．无理数与无理数的和一定为无理数 B．一个数的算术平方根一定不比这个数大 C．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 D．实数可分为有理数和无理数 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，实数，有理数，数轴等概念，熟练掌握这些概念是解题的关键； 根据实数的分类及实数与数轴的关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意； B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意； C．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意． D．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数和有理数的分类，关键是掌握各个知识点． 根据实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，即可解答． 【详解】解：按定义分：实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，故A符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．正实数包括正有理数，正无理数和0； B．实数可以分为正实数和负实数； C．所有有理数都可以对应数轴上的点； D．数轴上的点都对应有理数． 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类和数轴的性质.通过分析每个选项的定义和性质判断正误． 【详解】解：∵ 正实数是指大于0的实数，不包括0， ∴ A错误； ∵ 实数包括正实数、负实数和0，不能仅分为正实数和负实数， ∴ B错误； ∵ 有理数是实数的子集，数轴上的点与实数一一对应，因此所有有理数都可以对应数轴上的点， ∴ C正确； ∵ 数轴上的点对应所有实数，包括无理数，而并非只对应有理数， ∴ D错误． 故选：C． 题型二：实数和数轴问题 【例2】．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在数轴上表示实数的可能是（   ） A．点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】B 【详解】解：，，数轴上表示实数的可能是Q点； 故选：B． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，直径为1个单位长度的圆，从点（点在数轴上表示的数是1）．设数轴向左滚动一周后到达点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴上的点的关系，求出圆的周长是解题的关键．求出圆的周长，根据数轴与实数的一一对应关系解答即可． 【详解】解：∵直径为1的圆的周长为，A点在数轴上表示的数是1， A点沿数轴向左滚动一周后到达点B， ∴点B表示的数为． 故选：D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图所示，实数，，在数轴上的对应点分别为，，．若，，，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴、绝对值等知识，解题的关键是理解题意． 根据数轴上点的位置关系以及可知与互为相反数，再结合的值和求出的值，进而得到的值． 【详解】解：∵，且从数轴上可知，， ∴与互为相反数，即， ∵，，且， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是， ∵ ∴表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 同理可得， 可知以，两个数循环出现， ∵， ∴， 故选：B． 题型三：实数的大小比较 【例3】．（25-26七年级下·全国·周测），，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数比较大小，得出各数绝对值的大小关系是解题关键． 比较负数大小时，先比较其绝对值，绝对值大的负数反而小. 通过比较、、的大小，得到绝对值关系，再转化为负数大小关系. 【详解】解：∵ ，， ， 且 ， ∴ ， 即. 故选：A. 【举一反三】 1．（24-25七年级下·全国·周测）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ；，；，， ，即，且均为正数，． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将整理为：， ， ， 分别计算6次幂：；； 比较6次幂的大小：， 即， ∵均为负数，负数的偶次幂越大，原数的绝对值越大，数越小 ∴． 故选：B． 题型四：无理数的理解 【例4】．（25-26七年级上·全国·期末）下列各组数中都是无理数的为（    ） A．，，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义． 无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断即可． 【详解】解：∵是无理数，是无理数， ∴A中所有数都是无理数，符合题意； B中是有理数，不符合题意； C中和是有理数，不符合题意； D中是有理数，不符合题意． 故选A． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在实数：，，，，（小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，掌握无理数的判定方法是解题关键． 根据无理数的定义依次判断所给实数是否为无理数，统计个数后选出答案． 【详解】解：无理数指无限不循环小数， 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； （小数点后每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数． 则无理数有个． 故选：． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在下列实数：①；②；③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中，无理数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义分析即可，无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数”． 【详解】解：在实数：①；②﹔③；④；⑤；⑥2.020202⋯（相邻两个2之间有1个0）中， ②﹔③；⑤是无理数，共3个． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山东济宁·期末）实数，3.14，，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的定义，求算术平方根，依据无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数），逐一判断所给实数是否为无理数． 【详解】解：是无限不循环小数，属于无理数； 3.14是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； （相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）是无限不循环小数，属于无理数． ∴无理数共2个． 故选：B． 题型五：无理数的整数和小数部分 【例5】．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·周测）设的整数部分为，的整数部分为，则_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数． 估算和的整数部分，通过比较相邻平方数确定和的值，最后代入，进行计算即可． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分； ∵ ，即， ∴ 的整数部分； 则． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江西抚州·月考）的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 3．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）已知a、b分别是的整数部分和小数部分，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，则 ．∵ 、 分别是 的整数部分和小数部分， ∴ ，，则 ． 故答案为：． 题型六：实数的运算 【例6】．（24-25七年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·重庆·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先计算乘方，除法转化为乘法，再从左到右依次计算乘除运算，最后计算减法； （2）先分别计算乘方、立方根、绝对值和算术平方根，再进行加减运算，注意，故，去掉绝对值后前面加负号需变号． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级下·云南昆明·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算、平方根、立方根、整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级上·广西桂林·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，立方根是解题的关键． （1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）根据求一个数的算术平方根与立方根进行计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型七：实数的程序框图 【例7】．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为81，则输出y的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数值转换机示意图，结合算术平方根定义，进行运算求值即可． 【详解】解：， ， ∴输出结果为3． 【举一反三】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的为64时，输出的是（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，程序设计与实数运算，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 依据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：取的算术平方根，结果为． 是有理数， ∴再取算术平方根，结果为，是无理数， 故． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，解决本题的关键是看懂运算顺序． 【详解】解：当，取算术平方根，可得：， 是有理数， 再取的立方根， 又是有理数， 再取的算术平方根， 的算术平方根是是无理数， ． 故选：C． 3．（25-26七年级上·北京·期中）如图为一个数值转换器，某次输入后经过两次取算术平方根运算，输出的值为，则为（　　） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】B 【详解】解：两次取算术平方根，即， 两边平方得， 再平方得， 故选B． 题型八：实数有关的规律问题 【例8】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）设，，，…，，则+…+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ =,-,,,1×2+1-1×2..-2..+,-,,,2×3+1-2×3..-2..+...+,-,,,35×36+1-35×36..-2.. ．故选：C． 【举一反三】 1．（25-26九年级上·湖南衡阳·月考）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 1.确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 2.计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 3.确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 4.计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东德州·月考）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，通过计算出，，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则表示的数为， ∵， ∴， 表示的数为， ，则表示的数为， ∵， ∴， 同理可得， ……， 以此类推，可知， ∴， 故选：D． 题型九：实数新定义运算 【例9】．（22-23七年级下·山东青岛·月考）对于任何实数，我们规定符号，例如：． (1)按照这个规律请你计算______； (2)按照这个规定请你计算，当时，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（）按照给出的方法进行计算即可； （）按照给的方法进行整理后，再整体代入进行求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：, ∵, ∴原式， 故的值为． 【举一反三】 1．（25-26七年级上·北京·期末）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 2．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）对于一个三位自然数（a，b，c是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（t为9以内的正整数），则n是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以________，________，________． 所以________， 所以n是“好六数”． (3)已知三位自然数m是“好六数”，且，p是m去掉其百位数字后的两位数，而q是m去掉其个位数字后的两位数，请说明p与q的和能被3整除． 【答案】(1)不是 (2)，，7； (3)见解析 【分析】本题主要考查了新定义下的整式的加减，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键是掌握新定义． （1）根据新定义进行验证即可； （2）整理代数式，然后根据新定义进行验证即可； （3）整理整式，表示出原数各位上的数字，表示出p与q，然后得出p与q的和，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴352不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，． 所以， 所以n是“好六数”． 故答案为：，，7；； （3）解： ， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是“好六数”， ， 即， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 又∵， ， ∵， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定，若实数满足，则称与是关于的对称数． (1)若与8是关于4的对称数，则的值是____________； (2)若与是关于的对称数，求的值． (3)若有理数满足，判断与是否是关于7的对称数． 【答案】(1)0 (2)5 (3)是关于7的对称数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，实数的运算，新定义，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，根据x、y都是有理数，得到，据此求出x、y的值，进而计算与的值，再根据定义判断即可． 【详解】（1）解：∵与8是关于4的对称数， ∴， 解得； （2）解：∵与是关于的对称数， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是有理数， ∴都是有理数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与是关于7的对称数． 题型十：实数的实际应用问题 【例10】．（25-26七年级上·广西贺州·期末）阅读材料，并完成任务： 如图，一个标准（最内圈长度）跑道由两个平行的直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，弯道半径为，每条跑道宽为，共有8条跑道．（注：π取3） (1)任务1：求每条直道的长度； (2)任务2：若学校因场地设置，只能设置最内圈长度为的跑道，跑道的宽度和条数不变，若要使跑道中间阴影部分操场的形状为正方形，每条直道的长度应设置为多少？ (3)任务3：在任务2的条件下，给正方形操场铺设草皮，跑道和中间半圆形区域铺设塑胶．已知铺设每平方米塑胶需花费100元，铺设每平方米草皮需花费40元，则铺设完整个操场约花费多少万元？（结果保留两位小数） 【答案】(1)每条直道的长度为 (2)每条直道的长度应设置为 (3)铺设完整个操场约花费40.78万元 【分析】本题考查了圆的周长与跑道结构组成，一元一次方程-几何应用，面积计算及实际费用计算应用． （1）先求出最内圈弯道的总长度，再求两条直道的总长度，最后求出每条直道的长度即可； （2）设每条直道长度为，则弯道直径的长度为，从而得出弯道的总长度，进而得出最内圈跑道总长度的方程表达式，并求解x的值即可； （3）先分别计算正方形操场和跑道的面积，其中跑道的面积由直道区域和弯道区域组成，再分别计算铺设草皮和铺设塑胶所用的费用，最终求得总的费用． 【详解】（1）解：∵弯道半径为， ∴每个弯道的长约为， ∴两条直道的长度为， ∴每条直道的长度为． （2）解：设每条直道的长度为，则弯道直径的长度为， ∴弯道的长度一共为， 最内圈跑道的长度为，解得， 即每条直道的长度应设置为． （3）解：由（2）知，正方形操场的面积为， ∴铺设草皮需花费（万元）， 所有直道的面积：， 弯道和中间半圆形区域的面积：， ∴铺设塑胶需花费：（元）（万元）， ∴铺设完整个操场约花费（万元）． 【举一反三】 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 2．（24-25七年级下·福建南平·期末）小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为83的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得，解得，即． (1)填空：的整数部分的值为 ； (2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键； （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分的值为11； 故答案为：11； （2）解：∵面积为127的正方形的边长是，且， ∴设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又∵， ∴ 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即． 3．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4． (1)A类正方形的边长是___________； (2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长； (3)求长方形邀请函的长和宽． 【答案】(1) (2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为 (3)长方形的长为，宽为 【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键． （1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是； （2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是， （3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解． 【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2， ∴A类正方形的边长是， 故答案为：； （2）解：∵A类正方形的边长是， ∴A类正方形的周长是：， ∵B类正方形的面积是4， ∴B类正方形的边长是， ∴B类正方形的周长为； （3）解：长方形的长为，宽为． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东日照·月考）下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据有理数的分类、正负整数的定义、数轴与实数的对应关系等知识点，逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数． 【详解】解：最大的负整数是，①说法正确 有理数包含负有理数，负有理数小于，不存在最小的有理数，②说法错误 当时，，既不是正数也不是负数，③说法错误 有理数分为正有理数、和负有理数，④说法错误 数轴上的点与实数一一对应，实数包含有理数和无理数，数轴上的点不都表示有理数，⑤说法正确 综上，错误的说法有②③④，共个， 故选：B． 2．（21-22七年级上·四川绵阳·月考）下列各数：，其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵ 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； ∴有理数的个数是4个， 故选项B正确． 3．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算的结果估计在（   ） A．1至2之间 B．2至3之间 C．3至4之间 D．0至1之间 【答案】A 【分析】先估算的取值范围，再推导的范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， 则，即的结果估计在1至2之间． 4．（21-22七年级下·四川自贡·月考）在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，根据线段中点的性质可得，进而求得点所对应的实数． 【详解】解：∵，两点对应的实数分别是和， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴点所对应的实数是 故选：D． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）已知整数m满足，则m的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，只需确定介于哪两个连续整数之间，即可求出整数m的值． 【详解】解：∵， ∴，则， ∴， ∵，m为整数， ∴， 故选：C． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，熟练掌握数轴上点的特点，是解题的关键．根据得出、b异号，根据得出，再结合、b异号，得出，，且，最后进行判断即可． 【详解】解：∵非零实数，满足， ∴， ∴、b异号， ∵， ∴， ∴， ∵、b异号， ∴，，且， 因此四个选项中，只有B选项符合题意． 故选：B． 7．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 8．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（    ） A．4 B．2 C．0 D．-2 【答案】D 【分析】根据推出、的关系，再结合集合性质求解、的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，， ∴，， 又∵，集合，且， ∴ ∴，即 ∵，此时，， 由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得， ∴， ∵，两边同除以得， ∴， ∴，即D选项符合题意． 【点睛】理解集合中元素的互异性、无序性是解题的关键． 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，由已知可得，即得，根据规律将式子分组配对计算，再加上的值即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 从到与到共有对，每对和为，和为， 又∵， ∴原式， 故选：． 二、填空题 10．（25-26七年级上·山东日照·月考）比较大小：______．(填“”，“”号) 【答案】 【分析】先比较两个负数的绝对值大小，再依据两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·安徽亳州·开学考试）已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________． 【答案】 【分析】根据无理数的估算， 先估算和的取值范围，进而确定和的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 又， ， ， 根据不等式的性质，两边同时加，得， ， . . 12．（25-26七年级上·北京海淀·期末）点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算及数轴上点的坐标特征，关键是通过不等式确定目标实数的取值范围，再对应到数轴上的点．首先估算的取值范围，进而推导的范围，最后匹配数轴上的点． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， ∴， 观察数轴可知，点在负数区域，点、在大于1的区域，只有点在0到之间的正数区域，故表示的点是； 故答案为：． 13．（25-26七年级下·全国·课后作业）对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则__________． 【答案】1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据新定义的运算规则，先计算内层运算 ，再计算外层运算即可． 【详解】解：首先计算 ， 然后计算 ， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为______． 【答案】/ 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离，先求出甲的右端与数轴上表示的点重合，乙的左端与数轴上表示的点重合，进而求出距离即可得出结论． 【详解】解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15， ∴甲的右端与数轴上表示的点重合， ∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13， ∴乙的左端与数轴上表示的点重合， ∴纸条重叠部分的长度为， 故答案为：． 三、解答题 15．（25-26七年级下·全国·周测）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）． (1)有理数集合：{                                     …}； (2)无理数集合：{                                     …}； (3)正实数集合：{                                     …}； (4)负实数集合：{                                     …}． 【答案】(1) (2)，，…（小数部分由相继的正整数组成）， (3) (4)（小数部分由相继的正整数组成），，， 【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可． 【详解】（1）解：有理数集合：； （2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}； （3）解：正实数集合：； （4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}． 16．（21-22七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先去掉绝对值，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（24-25七年级下·陕西安康·期中）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为． (1)实数的值为_________； (2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度 ∴． （2）解：与互为相反数， ． ，， ，， ，， ， 的平方根为． 19．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”． 例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”． (1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）； (2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？ (3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”． 【答案】(1)①不是；②是 (2)能被11整除，理由见解析 (3)满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104 【分析】本题考查了新定义运算，列代数式及整式的加减，有理数的混合运算，关键是理解新定义，正确运用新定义解决问题． （1）根据新定义及其计算方法，即可一一判定； （2）设任意一个四位“勤奋整数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，则十位上的数字为，个位上的数字为，可得，，据此即可证得； （3）根据题意和新定义可得为整数，再枚举即可求解． 【详解】（1）解：中，， 不是“勤奋数”； 中，， 是“勤奋数”； 故答案为：不是，是； （2）证明：设任意一个四位“勤奋数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b， 则十位上的数字为，个位上的数字为， ， ，b均为整数， 也为整数， 能被11整除， 任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除； （3）解：由（2）知“勤奋数”， ，， ， 又为整数， 所以当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”； 当时，，枚举检验无符合题意的值； 综上，满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104． 2 学科网（北京）股份有限公司 $