第1节 基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　基本立体图形及空间几何体的表面积与体积 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形       底面 互相　　　　且 　　　　  多边形 互相　　　　　  侧棱 　　　　　  相交于　　　但不一定相等  延长线交于　　　  侧面形状 　　　　　  　　　　  　　　  平行 全等 平行 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形         母线 平行、相等且 　　　　于底面  相交于　　　  延长线交于　　  — 轴截面 全等的　　　  全等的　 　　　  全等的　　　　  　　　　  侧面展开图 矩形 扇形 扇环 — 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 2.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.  (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段. (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的一半.  3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图       侧面积公式 S圆柱侧=　　  S圆锥侧=　　  S圆台侧=　　　　　  2πrl πrl　 π(r1+r2)l 几何体名称 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=　　　　  锥体(棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=　　　　  台体(棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 V=　 　　　  球 S=　　　　  V=　　　　  4.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积 S底·h S底·h　 (S上+S下+)h 4πR2 　R3 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)菱形的直观图仍是菱形.(　　) (2)用两个平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱.(　　) (3)棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分. (　　) (4)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　) × 解析 菱形直观图因斜二测画法会改变边的长度,故不再是菱形. × 解析 两平行平面若不与圆柱底面平行,截得的部分不是圆柱. √ × 解析 其余各面三角形需有公共顶点才是棱锥,否则不是. 2.(人A必修二教材习题改编)如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D'∥FG,则剩下的几何体是(　　) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 C 解析 由于平面ABFEA'∥平面DCGHD',且AD,BC,FG,EH,A'D'相互平行且相等,所以该几何体是五棱柱.故选C. 3.(苏教必修二教材习题改编)下列说法正确的是(　　) A.相等的角在直观图中仍然相等 B.相等的线段在直观图中仍然相等 C.正方形的直观图是正方形 D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 D 解析 由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形.故选D. 4.(人A必修二教材习题改编)一个球的表面积是16π,那么这个球的体积 为(　　) A.　　　　　　　B. C.16π D.24π B 解析 设球的半径为R,则S=4πR2=16π,解得R=2,则球的体积V=R3=故选B. 5.(人A必修二教材习题改编)已知圆锥的表面积为12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(　　) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm B 解析 设圆锥的底面圆的半径为r cm,母线长为l cm,因为侧面展开图是一个半圆,所以πl=2πr,即l=2r,所以πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,解得r=2.故选B. 6.(2021·新高考Ⅰ,3)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为(　　) A.2 B.2 C.4 D.4 B 解析 设圆锥底面半径为r1,圆锥侧面展开图半圆所在圆的半径为r2. 图1 图2 由条件得,2πr1=2πr2,则r2=2r1=2,故该圆锥的母线长为2故选B. 7.(苏教必修二教材习题改编)如图,一个水平放置的△ABO的斜二测画法的直观图是等腰直角三角形A'B'O'.若B'A'=B'O'=1,则原三角形ABO的面积为　　　.  解析 根据题意可得O'A'=,如图,在△ABO中,OB=O'B'=1, OA=2O'A'=2,所以△ABO的面积为S=1×2 8.(人A必修二教材习题改编)如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=16.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面高为　　　　.  12 解析 设△ABC的面积为a.当底面ABC水平放置时,设水面高为h.当侧面AA1B1B水平放置时,水的体积为V=S△ABC·AA1=a·16=12a.当底面ABC水平放置时,水的体积为V=S△ABC·h=ah,于是ah=12a,解得h=12,所以当底面ABC水平放置时,水面高为12. 考点一　基本立体图形 角度1　结构特征 例1　(多选题)下列说法错误的是(　　) A.有两个平面平行,其余各面为平行四边形的多面体是棱柱 B.圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的几何体 C.棱台的所有侧棱的延长线交于同一点 D.用一个平面去截圆锥,这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台 ABD 考点一 考点二 解析 如图所示的组合体满足条件A,但不是棱柱,所以A错误; 由圆柱的定义,圆柱是由一个长方形绕着它的一条边所在直线旋转得到的几何体,故B错误;由棱台的结构特征知,棱台的各条侧棱所在的直线一定相交于一点,故C正确;当截面与圆锥底面不平行时,底面与截面之间的部分不是圆台,故D错误.故选ABD. 考点一 考点二 规律方法　辨别空间几何体的两种方法 考点一 考点二 [对点训练1](多选题)(2026·湖南常德高三模拟)下列说法中不正确的是(　 ) A.以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点只可能在两个平面的交线上 C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台 AC 考点一 考点二 解析 对于A,以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台,否则不是,故A错误;B选项正确;对于C,底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥,故C错误;D选项正确.故选AC. 考点一 考点二 角度2　直观图 例2　(2025·江西景德镇模拟)已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中O'A'∥B'C',∠O'A'B'=90°,O'A'=1,B'C'=2,则原四边形OABC的面积为(　　) A. B.3 C.4 D.5 B 考点一 考点二 解析 (方法一)由已知求得O'C'=,把直观图还原后如图所示,可得原图形为直角梯形,OA∥CB,OA⊥OC,且OA=1,BC=2,OC=2,故原四边形OABC的面积为(1+2)×2=3故选B. (方法二)由题意知A'B'=1,所以S直观图=(1+2)×1=, 所以S原图形=2S直观图=3故选B. 考点一 考点二 规律方法　在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.注意直观图与原图形中的“三变”“三不变”: “三变” “三不变” 考点一 考点二 [对点训练2](2025·河北秦皇岛模拟)如图,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的周长是(　　) A.8 cm B.6 cm C.2(1+)cm D.2(1+2)cm A 考点一 考点二 解析 由三视图知原图形是平行四边形OABC,如图,OA=O'A'=1 cm, OB⊥OA,OB=2O'B'=2 cm,AB==3(cm), 所以平行四边形OABC的周长是2×1+2×3=8(cm). 故选A. 考点一 考点二 角度3　展开图 例3　(1)(2025·福建福州期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,高为5,一质点从点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线长为(　　) A. B.10 C.5 D.13 D 考点一 考点二 解析 由已知,需绕三棱柱的侧面绕行两周,则将三棱柱沿AA1展开,并沿底边扩大2倍,如图所示, 则展开图是以2×3×2=12为底,5为高的矩形,则最短路径即为其对角线长,为=13.故选D. 考点一 考点二 (2)(2025·天津河西模拟)如图,已知圆柱体底面圆的半径为 cm,高为2 cm, AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线.若一只小虫从点A出发,从侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路线的长度是(　　)(结果保留根式) A. cm B.2 cm C.2 cm D.4 cm C 考点一 考点二 解析 如图,在圆柱侧面展开图中,线段AC1的长度即为所求.在Rt△AB1C1中,AB1=π=2 cm,B1C1=2 cm,AC1=2 cm.故选C. 考点一 考点二 规律方法　在解决空间曲线或折线(段)最短问题时,一般要考虑几何体的侧面展开图,采用化曲为直的策略,将空间问题平面化. 考点一 考点二 考点二　表面积与体积 角度1　侧面积和表面积 例4　(1)(2026·山东德州期中)已知圆锥的底面半径为1,高为3,则该圆锥的表面积为(　　) A.π B.π C.(+1)π D.10π C 解析 设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l, 则由题可知r=1,h=3,∴l=, ∴圆锥的表面积为πr2+πrl=π+=(+1)π.故选C. 考点一 考点二 (2)(2025·辽宁锦州期末)如图,攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖,通常有圆形攒尖、四角攒尖、八角攒尖等,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑.某个园林建筑为六角攒尖,它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥,若此正六棱锥高为1,且侧棱长为,则棱锥侧面积为(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 解析 设正六棱锥底面边长为a,则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为a, 又正六棱锥高为1且侧棱长为,根据正六棱锥的性质得,解得a=1,所以侧面等腰三角形的高h=, 所以棱锥侧面积为S=6ah=61故选A. 考点一 考点二 规律方法　求解几何体表面积的类型及方法 求多面体的表面积 直接求各面面积,然后求和,或将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与展开图中的边长的对应关系 求不规则几何体的表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给不规则几何体的表面积 考点一 考点二 [对点训练3](1)(2025·陕西榆林期末)若正四棱锥的高为,且其各侧面的面积之和是底面积的2倍,则该四棱锥的表面积为(　　) A.4 B.8 C.12 D.24 D 考点一 考点二 解析 如图,PO是正四棱锥的高,所以PO=,PE是斜高, 由各侧面的面积之和是底面积的2倍,可得4BC·PE=2BC2,所以BC=PE. 在Rt△POE中,PO=,OE=BC=PE,所以6+()2=PE2, 所以PE=2,所以底面积S1=BC2=PE2=8,侧面积S2=2S1=16,表面积S=S1+S2=8+16=24.故选D. 考点一 考点二 (2)(2025·福建福州模拟)牛皮鼓,又称堂鼓、喜庆鼓,多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等.如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为20 cm,鼓身高度为 24 cm,用平行于鼓面的平面截牛皮鼓,所得截面圆的最大直径为30 cm,若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成,忽略鼓面与鼓身的厚度,则该牛皮鼓的表面积为(　　) A.750π cm2 B.800π cm2 C.850π cm2 D.900π cm2 C 考点一 考点二 解析 依题意可得,圆台上底面半径为10 cm,圆台下底面半径为15 cm,高为12 cm, 所以母线长为=13(cm), 故圆台的上底面面积,即牛皮鼓的鼓面面积为π×102=100π(cm2), 圆台侧面积为π×10×13+π×15×13=130π+195π=325π(cm2),该牛皮鼓的表面积为两个圆台的侧面积加上两个圆台的上底面面积,即牛皮鼓的鼓面面积为2(325π+100π)=850π(cm2).故选C. 考点一 考点二 角度2　体积 例5　(1)(2024·新高考Ⅰ,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π B 解析 ∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r.又圆柱和圆锥的高均为, ∴圆柱的侧面积为2πr,圆锥的侧面积为πr=πr又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr=πr,∴r2=9.∴圆锥的体积为πr2π×9=3故选B. 考点一 考点二 教考衔接 (人A必修二教材习题)如图,圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO的中点O'作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积. 考点一 考点二 分析 求得圆柱的底面半径和高,由此求得剩下几何体的表面积和体积. 解 由于O'是PO的中点,所以圆柱的高OO'=a,且圆柱的底面半径为 圆锥的体积为π×()2×a=a3, 圆柱的体积为π×()2a=a3, 所以剩下几何体的体积为()a3=a3.剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积,即π×()2+π+2πa2. 考点一 考点二 点评:高考题与教材习题设问的本质是一样的,都考查了圆锥的侧面积与体积的求解. 考点一 考点二 (2)《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题: “今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”意思为:今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图),下底面宽AD=3,长AB=4,上棱EF=2,EF与平面ABCD平行,EF与平面ABCD的距离为1,则该几何体的体积是(　　) A.4 B.5 C.6 D.8 B 考点一 考点二 解析 如图,过E作EG⊥平面ABCD,垂足为G,过F作FH⊥平面ABCD,垂足为H,过G作PQ∥AD,交AB于Q,交CD于P,过H作MN∥BC,交AB于N,交CD于M,连接EP,EQ,FN,FM,由图形的对称性可知,AQ=BN=1,QN=2,且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形,则该几何体的体积V=V四棱锥E-AQPD+ V三棱柱EPQ-FMN+V四棱锥F-NBCM=EG·S矩形AQPD+S△EPQ·NQ+FH·S矩形NBCM =1×1×3+3×1×2+1×1×3=5.故选B. 考点一 考点二 (3)(2020·新高考Ⅱ,13)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为　　　　.  1 解析 如图,由正方体棱长为2,得=2×2-22×1-1×1=, 又易知D1A1为三棱锥D1-A1MN的高,且D1A1=2,所以D1A1=2=1. 考点一 考点二 规律方法　求空间几何体的体积的三种方法 考点一 考点二 [对点训练4](1)(2025·广东深圳期中)已知正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,侧棱长为1,则其体积为(　　) A. B. C. D. C 考点一 考点二 解析 如图所示,正四棱台的上、下底面边长分别为1,2,侧棱长为1,作斜截面ACC1A1, 上、下底面为正方形,则AC=2,A1C1=,AA1=CC1=1,S上=1,S下=4. 过A1,C1作正四棱台的高A1E,C1F,可知EF=,所以AE=在Rt△AA1E中,根据勾股定理可知A1E=,则正四棱台的体积V=(1+4+)故选C. 考点一 考点二 (2)(2024·天津,9)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离为1,并已知AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　　) A. B. C. D. C 考点一 考点二 解析 如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合. 由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱. 该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形,其面积为12=,三棱柱的侧棱长为1+3=2+2=3+1=4, 所以VABC-DEF=VABC-HIJ=4=故选C. 考点一 考点二 $