2026年中考数学最值问题专项复习

2026年中考最值问题专项复习 一．选择题（共6小题） 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是平面内的一动点，∠MBC+∠MCB＝90°，N是对角线AC的中点，连接MN，则MN的最小值是（　　） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若O是EF的中点，则OD的最小值是（　　） A．5 B．12 C． D． 3．如图，E为正方形ABCD边BC上一点，AB＝9，作△ABE关于AE对称，得到△AFE，FG⊥AD于点G，H为AF上一点，且满足，连接HC，则HC的最小值为（　　） A． B． C．7 D． 4．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 6．如图，矩形ABCD中，．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　） A．2 B． C．2.4 D． 二．填空题（共15小题） 7．如图，在四边形ABCD中，AD＝3，BC＝5，E、F分别是边AB、CD的中点，连接EF．则EF长的最大值为　 　 ． 8．如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　 　 ． 9．如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A′B′与线段AB关于直线l对称，则点B到直线A′B′的距离最大值为　 　 ． 10．、如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O．G为AD边上的一动点（不与点A，D重合），GE⊥AC于点E，GF⊥DB于点F，若OA＝3，OB＝6，则EF的最小值为　 　 ． 11．如图，在矩形ABCD中，DC＝1，∠CAD＝22.5°，P为线段AD上一个动点，过P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为　 　 ． 12．如图：菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E，点F是对角线AC上的两动点，EF＝2，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，E是AB边上任意一点，F为BC边上一动点，连接DE、EF，M、N分别为DE，EF的中点，则MN的最小值是　 　 ． 14．如图，点E，点F分别是正方形ABCD边BC和CD上两点，AB＝12，BE＝CF，连接AE，BF交于点G． （1）∠AGB＝　 　 ； （2）连接EF，若点H是EF的中点，则GH的最小值为　 　 ． 15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则EF的最小值为　 　 ． （15题）（16题） 16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，G是CD边的中点，E为菱形ABCD内一动点，连接CE，AE，GE．CE＝2，点F为CE的中点，连接DF，则AE+DF的最小值为　 　 ． 17．如图，在△ABC中，，BC＝4，点D是BC上的动点，连接AD，在AD右侧作菱形ADEF，∠E＝∠BAC，点G是AC的中点，连接FG，则FG的最小值为　 　 ． （17题）（18题）（19题） 18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F，则BP+QE的最小值为　 　 ． 19．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　 　 ． 20．如图，在长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BF＝DE，则CE+DF的最小值是　 　 ． 21．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　 　 ． 三．解答题（共11小题） 22．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF． （1）求证：四边形ECFD是矩形； （2）若CB＝2，CA＝4，求EF的最小值． 24．已知正方形ABCD的边长为4，点P是线段BC上一点，取AB中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结AQ，以PQ为斜边构造等腰直角三角形PQR，点R与点D在PQ的同侧，连结RD． （1）当点P不与点B重合时，求证：△AOQ≌△BOP． （2）连结OD，当△QOD是直角三角形时，求CP的长． （3）线段DR的最小值为 　 　 ． （4）四边形PRDC的最大面积为 　 　 ，此时线段BP的长度为 　 　 ． 25．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直线BC上运动时，求线段AG的最小值？ 26．如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG． （1）求证：四边形OGEF为矩形． （2）求GF的最小值． 27．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（﹣1，8）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点C（﹣3，y1），D（m，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（n＞0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且e1﹣e2＝6，求n的值． 28．已知二次函数y＝x2+bx﹣b（a﹣b）﹣c2的图象经过点（a，0）． （1）若a＝b+c，b＝1，求此二次函数的解析式； （2）若a，b，c为正实数，设，试判断N是否存在最小值？若存在，请求出N的最小值；若不存在，请说明理由． 29．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点D，使△CDE是以DE为底边的等腰三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值　 　 ． 30．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （Ⅰ）当b＝4时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b+2，yD）是抛物线上任意一点． ①当AD＝2BC时，求b的值； ②若点M（m，0）是x轴正半轴上的动点，当2DM+AM的最小值为时，求b的值． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）． （1）求抛物线C1的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为　 　 ． ②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请直接写出实数t的所有整数值． 32．已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标； （3）若抛物线y＝ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0，若0≤m≤2，求n的最小值． 2026年中考最值问题专项复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是平面内的一动点，∠MBC+∠MCB＝90°，N是对角线AC的中点，连接MN，则MN的最小值是（　　） A．1 B．2 C． D． 【解答】解：取BC的中点O，连接OM，ON，如图所示： ∵在矩形ABCD中，AB＝6，N是对角线AC的中点， ∴ON是△ABC的中位线． ∴． ∵∠MBC+∠MCB＝90°， ∴∠BMC＝90°， ∵BC＝8，O是BC的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 根据三角形三边不等关系可得：MN≥OM﹣ON，则有当点O、M、N三点共线时，MN有最小值，最小值为MN＝OM﹣ON＝1． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是边AB上一点（不与点A，B重合），作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．若O是EF的中点，则OD的最小值是（　　） A．5 B．12 C． D． 【解答】解：∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F， ∴∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴∠ACB＝∠DEC＝∠DFC＝90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴∠EDF＝90°， 连接CD， ∵O是EF的中点， ∴点O在CD上， ∴ODCD， ∴当CD取最小值时，OD最小， 当CD⊥AB时CD最小， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴CD， ∴OD的最小值是， 故选：C． 3．如图，E为正方形ABCD边BC上一点，AB＝9，作△ABE关于AE对称，得到△AFE，FG⊥AD于点G，H为AF上一点，且满足，连接HC，则HC的最小值为（　　） A． B． C．7 D． 【解答】解：如图，取AN＝6，记AN的中点为O，连接OH、NH、OC， 由题意可得：AF＝AB＝BC＝9，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵FG⊥AD， ∴∠AGF＝∠FGD＝90°＝∠BAD， ∴AB∥GF， ∴∠NAH＝∠AFG 又∵， ∴， ∴△ANH∽△FAG， ∴∠AHN＝∠AGF＝90°， ∴点H是在以AN为直径的半圆上， ∴当点H在OC上时，HC最小， ∵， ∴， ∴HC的最小值． 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接AF， ∵G、H分别为AE、EF的中点， ∴AF＝2GH， ∴当AF⊥BC时，AF有最小值，即GH有最小值， ∵GH的最小值为， ∴AF的最小值为2， ∵∠B＝60°，AF⊥BC， ∴∠BAF＝30°， ∴AF＝2BF，AFBF， ∴BF＝2，AB＝2BF＝4， 故选：B． 5．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD， 而∠A＝60°， ∴△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD， 在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2， ∴DH， 在△ADE和△BDF中 ， ∴△ADE≌△BDF， ∴∠2＝∠1，DE＝DF ∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴EF＝DE， 而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为， ∴EF的最小值为． 故选：D． 6．如图，矩形ABCD中，．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（　　） A．2 B． C．2.4 D． 【解答】解：设AD的中点为O，连接OM，OB，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且AB，BC＝8， ∴CD＝AB，AD＝BC＝8，∠BAD＝90°， ∴△OAD是直角三角形， ∵点O是AD的中点， ∴OAAD＝4， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB6， ∵∠BAP+∠MAD＝∠BAD＝90°，∠ADM＝∠BAP， ∴∠ADM+∠MAD＝90°， 在△AMD中，∠AMD＝180°﹣（∠ADM+∠MAD）＝90°， ∴△AMD是直角三角形， ∵点O是AD的中点， ∴OM是Rt△AMD的斜边AD上的中线， ∴OMAD＝4， 根据“两点之间线段最短”得：BM+OM≥OB， ∴BM≥OB﹣OM＝6﹣4＝2， ∴当点O，M，B共线时，BM为最小，最小值为2． 故选：A． 二．填空题（共15小题） 7．如图，在四边形ABCD中，AD＝3，BC＝5，E、F分别是边AB、CD的中点，连接EF．则EF长的最大值为　4　 ． 【解答】解：连接AC，如图，取AC中点O，连接OE、OF， ∵E为AB中点， ∴OE为△ABC中位线， ∴OEBC， 同理可得OFAD， 在△EOF中，根据三边关系可得EF≤OE+OF4， 当且仅当三点共线时取等， ∴EF长的最大值为4， 故答案为：4． 8．如图，在矩形ABCD中，，直线l将矩形ABCD分成周长相等的两部分，过点B作直线l的垂线，垂足为H，连接CH．当∠BCH最大时，CH的长为　　 ． 【解答】解：连接BD，记BD的中点为O． 由题意，可知直线l过点O． ∵BH⊥l， ∴∠BHO＝90°． 点H在以OB为直径的圆上运动．设圆心为点E，当CH与⊙E相切，且在BC上方时，∠BCH最大． 连接EH，此时EH⊥CH．过点E作EF⊥BC于点F， 由勾股定理，得BD＝8， ∴BO＝4， ∴BE＝OE＝EH＝2． ∵， ∴∠CBD＝30°， ∴． ∴． ∴， ∴， 故答案为：2． 9．如图，正方形ABCD边长为2，动直线l经过正方形中心O，线段A′B′与线段AB关于直线l对称，则点B到直线A′B′的距离最大值为　　 ． 【解答】解：， 则， 过点O作OQ垂直于A′B′于点Q， ∵△AOB为等腰直角三角形， ∴△A′OB′为等腰直角三角形， OQ＝2S△A′OB′÷A′B′， ， ∴OQ＝1， ∵OB+OQ≥BQ ∴当B、O、Q三点共线时距离最大， 线段A′B′与线段AB关于直线l对称，则最大距离． 故答案为：1． 10．、如图，四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于点O．G为AD边上的一动点（不与点A，D重合），GE⊥AC于点E，GF⊥DB于点F，若OA＝3，OB＝6，则EF的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，连接OG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OD＝OB＝6， ∴∠AOD＝90°， 由勾股定理得， ∵GE⊥AC，GF⊥DB， ∴∠GEO＝∠GFO＝90°， ∴四边形OFGE为矩形， ∴EF＝OG， 当OG⊥AD时，OG的值最小，即EF的值最小， 由等面积得， 即EF的最小值为， 故答案为：． 11．如图，在矩形ABCD中，DC＝1，∠CAD＝22.5°，P为线段AD上一个动点，过P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为　　 ． 【解答】解：延长PG至F，使得PG＝GF，连接BF，如图： ∵PG⊥AC， ∴AG垂直平分PF， ∴AP＝AF， ∴∠PAG＝∠FAG＝22.5°， ∴∠PAF＝45°， ∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠BAF＝∠BAD﹣∠PAF＝45°， ∴点F在与AB成45°角的射线AF上运动， ∴当BF⊥AF时，BF最短， 此时，∠ABF＝90°﹣∠BAF＝45°， ∴AF＝BF， ∵AF2+BF2＝AB2，AB＝CD＝1， ∴， ∵E是BP的中点， ∴PE＝BE， ∴EG是△PBF的中位线， ∴， 故线段EG的最小值为． 故答案为：． 12．如图：菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E，点F是对角线AC上的两动点，EF＝2，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　　 ． 【解答】解：连接BD交AC于点O，作DM∥AC，使得DM＝EF＝2，∴四边形DEFM是平行四边形， 连接BM交AC于点F， 连接BM交AC于点F， ∴DE＝FM， ∴DE+BF＝FM+FB＝BM， 根据两点之间线段最短可知， 此时BM的长就是要求的BF+DE的最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4， ∵DM∥EF， ∴∠COD＝∠MDO＝90°， 在Rt△BDM中，， ∴BF+DE的最小值为， 故答案为：． 13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝12，E是AB边上任意一点，F为BC边上一动点，连接DE、EF，M、N分别为DE，EF的中点，则MN的最小值是　　 ． 【解答】解：如图，连接DF，过点D作DG⊥BC于点G， ∵点M，N分别为DE，EF的中点， ∴， ∴当DF最小时，MN最小，此时点F与点G重合，即MN的最小值为的长， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝12， ∴CD＝AB＝12，∠C＝∠A＝60°， ∵DG⊥BC， ∴∠CDG＝30°， ∴， ∴， ∴MN的最小值为． 故答案为：． 14．如图，点E，点F分别是正方形ABCD边BC和CD上两点，AB＝12，BE＝CF，连接AE，BF交于点G． （1）∠AGB＝　90°　 ； （2）连接EF，若点H是EF的中点，则GH的最小值为　　 ． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝12，∠ABC＝∠BCD＝90°， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠AEB＝∠BFC， ∴∠BFC+∠FBC＝90°＝∠AEB+∠FBC， ∴∠AGB＝90°． （2）连接GH，如图： ∵∠AGB＝90°， ∴∠FGE＝90°， ∵点H是EF的中点， ∴， 设BE＝CF＝x，则CE＝12﹣x， ∵∠ECF＝90°， ∴EF2＝（12﹣x）2+x2＝2x2﹣24x+144＝2（x﹣6）2+72≥72， ∴EF的最小值， ∴GH的最小值． 15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则EF的最小值为　　 ． 【解答】解：连接CP，如图： ∵正方形ABCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝2， ∴， 又PE⊥BC，PF⊥CD， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝CP， 则EF的最小值即为CP的最小值， 当CP⊥DB时，CP最短， 此时， ∴， 即EF的最小值为， 故答案为：． 16．如图，菱形ABCD的边长为2，∠B＝120°，G是CD边的中点，E为菱形ABCD内一动点，连接CE，AE，GE．CE＝2，点F为CE的中点，连接DF，则AE+DF的最小值为　　 ． 【解答】解：过A作AN⊥CD交CD的延长线于N， ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠B＝120°， ∴∠ADC＝∠B＝120°，AD＝CD＝CE＝2， ∴， ∵F是CE中点， ∴， ∵CG＝1＝CF，∠DCF＝∠ECG，CD＝CE＝2， ∴△DCF≌△ECG（SAS）， ∴EG＝DF， ∴AE+DF＝AE+EG， ∵∠ADN＝180°﹣120°＝60°， ∴∠DAN＝90°﹣60°＝30°， ∴，， ∴NG＝DG+DN＝2， ∴， ∵， ∴， ∴AE+DF的最小值为． 故答案为：． 17．如图，在△ABC中，，BC＝4，点D是BC上的动点，连接AD，在AD右侧作菱形ADEF，∠E＝∠BAC，点G是AC的中点，连接FG，则FG的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，过点A作AO⊥BC于点O，取点H为AB的中点，连接DH， 则， 由条件可知， 在菱形ADEF中，AF＝AD，∠E＝∠DAF， ∵∠E＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠E＝∠DAF， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠FAD﹣∠DAC， 即∠HAD＝∠GAF， ∴△AHD≌△AGF（SAS）， ∴FG＝DH， 则当HD最小时，FG最小， 如图，当HD⊥BC时，HD取最小值， 由条件可知HB＝HO， ∵HD⊥BO， ∴BD＝DO， ∴， 根据勾股定理可得， ∴， 即FG最小值为． 故答案为：． 18．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q分别是边AD、BC上的动点，且PQ⊥BE交BE于点F，则BP+QE的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，过P作PM⊥BC于点M，将正方形ABCD沿BC翻折，得到正方形BCHG，连接GM，过点Q作QN∥MG交GH于点N， ∴∠PMB＝∠PMQ＝90°， ∵四边形ABCD，四边形BCHG是正方形， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠GBC＝∠H＝90°，BC∥GH，AB＝CD＝BC＝CH＝BG＝2， ∴四边形MGNQ是平行四边形，∠A＝∠ABC＝∠PMB＝90°， ∴MG＝QN，MQ＝GN，四边形ABMP是矩形， ∴AB＝PM＝BC，AP＝BM， 在△ABP和△BGM中， ， ∴△ABP≌△BGM（SAS）， ∴BP＝MG＝QN， ∵PQ⊥BE， ∴∠BFQ＝90°， ∴∠MPQ+∠PQM＝90°＝∠EBC+∠PQM， ∴∠MPQ＝∠CBE， 在△MPQ和△CBE中， ， ∴△MPQ≌△CBE（ASA）， ∴MQ＝CE＝GN， ∵E是CD的中点， ∴， ∴MQ＝CE＝GN＝1， ∴NH＝GH﹣GN＝2﹣1＝1， ∵BP+QE＝NQ+QE， ∴要使BP+QE有最小值，则NQ+QE有最小值，则当N、Q、E三点共线时，为线段NE的长， ∵EH＝EC+CH＝1+2＝3， ∴， ∴BP+QE的最小值为． 19．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的动点，且AE＝CF，BM⊥EF于点M，连接CM．若正方形ABCD的面积为8，则CM的最小值为　1　 ． 【解答】解：如图，连接AC交EF于点O．连接OB，取O不到中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥BC于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≡△CFO（AAS）， ∴OA＝OC， ∵正方形ABC端点面积为8， ∴AB＝BC＝2， ∵∠ABC＝90°， ∴ACAB＝4， ∵AO＝OC， ∴BO平分∠ABC，BOAC＝2， ∴∠ABO＝∠OBC＝45°， ∵BM⊥EF， ∴∠BMO＝90°， ∴JMOB＝1， ∵JH⊥BC， ∴JH＝BHBJ， ∴CH＝2， ∴CJ， ∵CM≥CJ﹣JM1， ∴CM的最小值为1． 故答案为：1． 20．如图，在长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，BF＝DE，则CE+DF的最小值是　　 ． 【解答】解：如图，在长方形ABCD中，AD＝3，AB＝2，延长CB到点M，使得BM＝CD，连接DM， ∴∠MBF＝∠CDE＝∠DCM＝90°，AB＝CD＝CM＝2，BC＝AD＝3， ∴CM＝BC+BM＝3+2＝5， 在△ECD和△FMB中， ， ∴△ECD≌△FMB（SAS）， ∴CE＝MF， 连接DM， ∵DF+FM≥DM， ∴DF+CE≥DM， 故当D，F，M三点共线时，DF+CE取得最小值， 在直角三角形CDM中，由勾股定理得最小值为：， 故答案为：． 21．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　　 ． 【解答】解：如图1，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF， ∴BF+DE的最小值等于AE+DE的最小值， 如图2，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点， 根据对称性可得AE＝HE， ∴AE+DE＝HE+DE＝DH， 在Rt△ADH中，AH＝AB+BH＝1+1＝2，AD＝1， ∴， ∴BF+DE的最小值等于． 故答案为：． 三．解答题（共11小题） 22．问题提出 （1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别在边BC，CD上，连接AE，BF，交于点G，且AE⊥BF，求证：AE＝BF； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块正方形ABCD的空地，园区管理员准备在这块空地内修四条小路AE，AG，GF，EF，其余部分种植各种不同的花卉．已知点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，且AE⊥GF于点H．若AB＝60m，CE＝2BE，求小路AG+EF的最小值．（小路的宽度均忽略不计） 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABF+∠FBC＝∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠FBC＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）解：如图所示：过B作AE的垂线，交CD于点M，过点F作FK∥BC，交CD于K， 把线段AG平移至A′F，过点A′作A′H⊥BC于H，连接A′E， 由（1）可知：CM＝BE＝20m， 由平移得：AG＝A′F， ∴AG+EF＝A′F+EF≥A′E，当且仅当A′、F、E三点共线时，AG+EF＝A′E为最小值； 设BF＝xm， ∵FG∥BM，AB∥CD， ∴四边形BFGM是平行四边形， ∴GM＝BF＝xm， ∴GD＝CD﹣CM﹣GM＝（40﹣x）m， 同理DK＝AF＝（60﹣x）m， ∴GK＝DK﹣DG＝20m， 由平移得：A′H＝60﹣20＝40（m），BH＝60m， ∴EH＝BE+BH＝20+60＝80（m）， ∴A′E40（m）， ∴小路AG+EF的最小值为40m． 23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上一个动点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E、F，连结EF． （1）求证：四边形ECFD是矩形； （2）若CB＝2，CA＝4，求EF的最小值． 【解答】（1）证明：∵FD∥CA，BC∥DE， ∴四边形ECFD为平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ECFD为矩形； （2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4， ∴AB2； ∵四边形ECFD为矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小， 此时，S△ABCBC•ACAB•CD， 即2×42•CD， 解得CD， ∴EF． 24．已知正方形ABCD的边长为4，点P是线段BC上一点，取AB中点O，点P关于点O的对称点为Q，连结AQ，以PQ为斜边构造等腰直角三角形PQR，点R与点D在PQ的同侧，连结RD． （1）当点P不与点B重合时，求证：△AOQ≌△BOP． （2）连结OD，当△QOD是直角三角形时，求CP的长． （3）线段DR的最小值为 　2　 ． （4）四边形PRDC的最大面积为 　　 ，此时线段BP的长度为 　1　 ． 【解答】解：（1）∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB， 由对称的性质得：OQ＝OP，点P，O，Q共线， ∴∠AOQ＝∠BOP， 在△AOQ和△BOP中， ， ∴△AOQ≌△BOP（SAS）； （2）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠CDA＝90°，AD∥BC， ∵△AOQ≌△BOP， ∴∠OAQ＝∠B＝90°，AQ＝BP， ∴∠OAQ+∠BAD＝180°， ∴点Q，A，D共线， 在Rt△OAQ中，∠OQA＜90°， 又∵点D是AB的中点， ∴∠QDO＜90°， ∴当△QOD是直角三角形时，只有∠QOD＝90°，连接DP，如图1所示： 设BP＝a，则AQ＝BP＝a，CP＝BC﹣a＝3﹣a，DQ＝AD+AQ＝4+a， ∵OP＝OQ，∠QOD＝90°， ∴OD是线段PQ的垂直平分线， ∴DP＝DQ＝4+a， 在Rt△CPD中，由勾股定理得：DP2＝CD2+CP2， ∴（4+a）2＝42+（4﹣a）2， 解得：a＝1， ∴CP＝4﹣a＝3； （3）过点R作RE⊥AD，ER的延长线交BC于点F，如图2所示： ∵AD∥BC， ∴RF⊥BC， ∴∠QER＝∠REP＝90°， ∴∠EQR+∠ERQ＝90°， ∵△PQR是等腰直角三角形，且PQ为斜边， ∴QR＝PR，∠PRQ＝90°， ∴∠ERQ+∠FRP＝90°， ∴∠EQR＝∠FRP， 在△QER和△RFP中， ， ∴△QER≌△RFP（AAS）， ∴ER＝PF，QE＝RF， ∵EF⊥AD，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠CDA＝90°， ∴四边形EFCD和四边形ABFE都是矩形， ∴EF＝CD＝4，AE＝BF， ∴QE＝RF＝EF﹣ER＝4﹣ER， 设BP＝AQ＝a，则AE＝QE﹣AQ＝4﹣ER﹣a， 又∵BF＝BP+PF＝a+ER， ∴4﹣ER﹣a＝a+ER， ∴ER＝2﹣a， ∴PF＝ER＝2﹣a， ∴BF＝BP+PF＝a+2﹣a＝2， ∴BF＝CF＝2，AE＝DE＝2， ∴点R始终在线段BC的垂直平分线上运动， 根据“垂线段最短”得：DR≥DE， ∴当点R于点E重合时，DR为最小，最小值是线段DE的长， ∴DR的最小值是2， 故答案为：2； （4）设ER＝PF＝t，则RF＝4﹣t， ∴S△PRFPF•RFt（4﹣t），S△DERDE•ER2t＝t， 又∴S矩形EFCD＝DE•CD＝8， ∴四边形PRDC的面积S， 根据二次函数的性质得：当t＝1时，S为最大，最大值是， 此时BP＝BF﹣PF＝2﹣t＝1． 故答案为：；1． 25．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直线BC上运动时，求线段AG的最小值？ 【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P， 由条件可知点E、M、F、G四点共圆， ∴∠EMG＝∠EFG＝30°， ∵∠B＝60°， ∴∠BEM＝30°＝∠EMG， ∴MG∥AB， ∴四边形MHAP是矩形， ∴MH＝AP， ∵BE＝8， ∴， ∴， ∴， ∴AG的最小值为． 26．如图，在菱形ABCD中，AC＝16，BD＝12，E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG． （1）求证：四边形OGEF为矩形． （2）求GF的最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠GOF＝90°， ∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G， ∴∠EGO＝∠GOF＝∠EFO＝90°， ∴四边形OGEF为矩形； （2）解：如图，连接OE， 由（1）可知，四边形OGEF为矩形， ∴GF＝OE， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12， ∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝8，OD＝OB6， ∴∠COD＝90°， ∴CD10， 当OE⊥CD时，OE最小，则GF最小， 此时，S△CODCD•OEOC•OD， ∴CD•OE＝OC•OD， ∴OE， ∴GF的最小值为． 27．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0），B（﹣1，8）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点C（﹣3，y1），D（m，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，求m的取值范围； （3）将此抛物线向左平移n（n＞0）个单位，设平移后抛物线与y轴的交点为E（0，e），若e的最大值和最小值分别为e1，e2，且e1﹣e2＝6，求n的值． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3； （2）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， 抛物线开口向上，对称轴为x＝2， 点C（﹣3，y1）到对称轴的距离为|﹣3﹣2|＝5， 点D（m，y2）到对称轴的距离为|m﹣2|， 因为y1＞y2， 所以|m﹣2|＜5，即：﹣5＜m﹣2＜5， 解得﹣3＜m＜7； （3）抛物线向左平移n个单位后，解析式为：y＝（x﹣2+n）2﹣1， 当x＝0时，与y轴交点E的纵坐标：e＝（0﹣2+n）2﹣1＝（n﹣2）2﹣1， 这是一个关于n的二次函数，开口向上，对称轴为n＝2， 当n＝2时，e取最小值e2＝﹣1， 题目中e1﹣e2＝6，则e1＝5， 令（n﹣2）2﹣1＝5，即（n﹣2）2＝6， 解得：， 因为n＞0，所以． 28．已知二次函数y＝x2+bx﹣b（a﹣b）﹣c2的图象经过点（a，0）． （1）若a＝b+c，b＝1，求此二次函数的解析式； （2）若a，b，c为正实数，设，试判断N是否存在最小值？若存在，请求出N的最小值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把点（a，0）代入y＝x2+bx﹣b（a﹣b）﹣c2得a2+b2﹣c2＝0， ∵a＝b+c，b＝1， ∴a＝1+c， ∴（1+c）2+1﹣c2＝0， 解得：c＝﹣1， ∴a＝0 ∴二次函数的解析式为y＝x2+x； （2）N存在最小值，理由如下： ∵， ∴， ∵a2+b2﹣c2＝0， ∴， ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab， ∴， ∵a，b，c为正实数， ∴为正实数， ∴， ∴N的最小值为． 29．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA＝2，OB＝6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD． （1）求抛物线的表达式； （2）是否存在点D，使△CDE是以DE为底边的等腰三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值　　 ． 【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝6， ∴A（﹣2，0），B（6，0）， 将A、B代入y＝ax2+bx+3， ∴， 解得， ∴yx2+x+3； （2）存在点D，使△CDE是以DE为底边的等腰三角形，理由如下： 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+3， ∴6k+3＝0， 解得k， ∴yx+3， 设D（t，t2+t+3），则E（t，t+3）， ∴线段DE的中点的纵坐标为t2t+3， ∵△CDE是以DE为底边的等腰三角形， ∴t2t+3＝3， 解得t＝0或t＝2， ∴D（2，4）； （3）过点E作EM⊥y轴交于M点，过点G作GN⊥y轴交于N点， ∵OE⊥OG， ∴∠EOG＝90°， ∴∠MOE+∠NOG＝90°， ∵∠MOE+∠OEM＝90°， ∴∠OEM＝∠NOG， ∵OE＝OG， ∴△OME≌△GNO（AAS）， ∴OM＝NG，ME＝ON， 设E（m，m+3）， ∴G（m+3，﹣m）， ∴AG， 当m时，AG有最小值， 故答案为：． 30．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （Ⅰ）当b＝4时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b+2，yD）是抛物线上任意一点． ①当AD＝2BC时，求b的值； ②若点M（m，0）是x轴正半轴上的动点，当2DM+AM的最小值为时，求b的值． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，y＝﹣x2+4x+c， 代入点A（﹣1，0）得：0＝﹣1﹣4+c， 则c＝5． 由顶点坐标公式得：x2，y9． ∴抛物线顶点坐标为（2，9）． （Ⅱ）如图，∠ANM＝90°，∠MAN＝30°，过点D作AN的垂线交x轴于点E，垂足为F． ①把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣1﹣b+c， ∴c＝b+1． ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+b+1． ∵抛物线对称轴为x． 根据对称轴的性质，xA+xB＝2•b． ∴xB＝b﹣xA＝b+1． ∴OC＝OB＝b+1． ∵yD＝﹣（b+2）2+b（b+2）+b+1＝﹣b﹣3， ∴点D坐标为（b+2，﹣b﹣3）． 对于等腰直角△BOC，BCOC（b+1）． 由AD＝2BC可得：（xD﹣xA）2+（yD﹣yA）2＝（2BC）2． ∴（b+3）2+（﹣b﹣3）2＝8（b+1）2． 解得：b＝1或． ∵b＞0， ∴b＝1． ②对于Rt△ANM，∠MAN＝30°．则AM＝2MN． ∴∠AEF＝∠BED＝60°， ∴2DM+AM＝2（DM+MN）． 当点M与点E重合时，点N与点F重合，DM+MN≥DF， ∴2DF． ∵xE＝xD﹣|yD|÷tan60°＝b+2（b+3）＝m，DE＝|yD|÷sin60°，EF． ∴DF＝DE+EF（b+3）+[b+2（b+3）﹣（﹣1）]÷2． 即：（b+3）（）． 解方程得：b＝2． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）． （1）求抛物线C1的函数表达式及d的值． （2）M是抛物线上的一点，且在第四象限内． ①如图1，当点M到x轴的距离为3时，△BDM的面积为　6　 ． ②如图2，过点M作MN⊥AB于点N，当线段MN最大时，求此时点M的坐标． （3）将抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2，点P（横坐标为x）在抛物线C2上，其最大值为m，最小值为n．若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，请直接写出实数t的所有整数值． 【解答】解：（1）抛物线与y轴相交于点A（0，﹣3），与x轴相交于点B（3，0），D（d，0）．将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线C1的函数表达式y＝x2﹣2x﹣3， 把点D的坐标代入得：0＝d2﹣2d﹣3， 解得：d＝﹣1或3（不符合题意，舍去）， ∴D（﹣1，0）； （2）①∵B（3，0），D（﹣1，0）， ∴BD＝3﹣（﹣1）＝4 ∵当点M到x轴的距离为3时， ∴； 故答案为：6； ②如图，A（0，﹣3），B（3，0），过点M作MP⊥x于P，连接MA，MB， ∴， 设点M（x，x2﹣2x﹣3）， ∵点M在第四象限内， ∴MP＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3，OP＝x，BP＝3﹣x， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，MN有最大值， ∴当时，， ∴当线段MN最大时，此时点M的坐标为； （3）实数t的所有整数值为0、1、2．理由如下： ∵抛物线沿x轴翻折，得到抛物线C2， ∴抛物线， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，当x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x增大而减小，当x＝1时，y 有最大值4； 当t+1≤1，即t≤0时， 在t﹣1≤x≤t+1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数值为0； ②当t﹣1＜1且t+1＞1，即0＜t＜2时， 在t﹣1≤x≤t+1时， i）当0＜t≤1时，最大值m＝﹣（t+1﹣1）2+4＝﹣t2+4， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4）﹣（﹣t2+4t）≤6， 解得：， ∴，， ∴t的整数解为1； ii）当1＜t＜2时， ∴t无整数解； ③当t﹣1≥1，即t≥2时，最大值m＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4t， 最小值n＝﹣（t﹣1﹣1）2+4＝﹣t2+4， ∵m﹣n≤6， ∴（﹣t2+4t）﹣（﹣t2+4）≤6， 解得：， ∴， ∴t的整数解为2； 综上所述，若对于任意t﹣1≤x≤t+1，m﹣n≤6恒成立，实数t的所有整数值为0、1、2． 32．已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）已知点P是抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝5，求P点的坐标； （3）若抛物线y＝ax2+（b+m）x+3+n上仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0，若0≤m≤2，求n的最小值． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，4）； （2）抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝3， ∴C（0，3）， 如图，设PA与y轴交于点D， ∴， 又∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴CD＝5， ∴D（0，﹣2）或D（0，8）， 设直线AD：y＝k1x+b1将点A，点D的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线AD：y＝﹣2x﹣2， 当x＝1时，y＝﹣2x﹣2＝﹣4， ∴P（1，﹣4）； 由A（﹣1，0）、D（0，8）同理可得AD：y＝8x+8，得到P（1，16）， 综上所述，P点的坐标为（1，﹣4）或（1，16）； （3）由题意得：y＝﹣x2+（2+m）x+3+n， ∵仅存在一个点Q（x1，y1），使得2x1+y1＝0， ∴抛物线y＝﹣x2+（2+m）x+3+n与直线y＝﹣2x仅有一个交点， ﹣x2+（2+m）x+3+n＝﹣2x， 整理得：x2﹣（4+m）x﹣3﹣n＝0， ∴Δ＝（4+m）2﹣4（﹣3﹣n）＝0， ∴（4+m）2+12+4n＝0， ∴， 又∵0≤m≤2，当m＞﹣4时，n随着m的增大而减小， ∴m＝2时，n最小为． ∴当0≤m≤2时，即当m＝2时，n有最小值﹣12． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/1 11:15:41；用户：微信用户；邮箱：orFmNt2XaOr9WnQX9Pu3xO--ahwI@weixin.jyeoo.com；学号：43689588 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $