天津市北辰区2026届高三年级第二次模拟考试数学试题

北辰区2026年高考模拟考试试卷 数学 本试卷分为第】卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试 用时120分钟。祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 州 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。 参考公式： ·全概率公式P(B)=立P(A)PBA). 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 瓶 1.已知全集U={x∈Z3<x≤5，A=3,4,5},B={2,-1,01,23},则(CuA)nB= A.{-1,0,1,2}.B.{-2,-1,0,1,2 C.{-3,-2,-1,0,1} D.{-1,0,1,2,3} 2.己知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，若m∥a,n∥B,则mLn” 是“a⊥B”的 解 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数f(x)的部分图象如图所示，那么y=∫(x)的解析式可以是 A.f(x)=2*+sinx B.f(x)=2'sinx C.f(x)=x+sinx+1 D.f(x)=xsinx 高考模拟试卷高三数学第1页（共8页) 4.下列说法正确的是 A.一组数据2,3,8,3,10,18,7,4的第50百分位数为4 B.在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C.设Y~N(1,2)且P(Y<0)=0.2,则P(1<Y<2)=02 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=4.712,根据小概率值 a=0.05的独立性检验（xos=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概 率不大于0.05 5.数列{a}的前n项和S,且S,=2a,-16.=loga,则∑b,= 1✉2 A.52 B.53 C.54 D.55 6.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代（公元前476年~前222年），其中沙 漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和 一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流 到下部容器.如图，某沙漏是由两个形状完全相同的圆推容器组成.已知最初沙漏 中细沙全部在上部容器时，其高度为圆锥高度的一半，假设细沙全部漏入下部容 器中，将细沙摇匀，此时细沙堆成如图所示的一个圆台.若圆锥容器的高为h,则 此圆台的高为 A. c-》 D. 高考模拟试卷高三数学第2页（共8页） 7.在科学研究中，许多系统的平衡状态可以通过方程∫(x)=0来描述，其中x表 示某个关键变量（如时间、浓度、位移等)。现有三个不同系统中的平衡点分别 由以下函数的零点给出：某放射性物质同时发生衰变和生成，净变化率满足 f(x)=2*+x,当净变化率为零时，对应平衡时间为；某鱼群在有限资源下的增 长速率满足g(x)=log2x+x,当增长率为零时，对应平衡种群数量为b；一个弹簧振 子在某时刻的机械能表达式为h(x)=√x+x,当能量为零时，对应平衡位置c.则这 三个平衡点a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 8.已知函数)=Asin(@r+p).(4>0,@>0回<) 的部分图象如图所示，给出下列命题： @f(x)的图象关于直线x=-7匹对称 12 12 ②f()的图象关于点子0 对称 -2 ③将函数y=√5sin2x-cos2x 的图象向左平移买个单位得到函数f(x)的图象 ④若方程f(x)=m在 3π 6 上有两个不相等的实数根，则m的范围是（一2，-1） 4 则上述命题中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 9.已知F是双曲线E:等卡=16>0，b>0)的左焦点，0为坐标原点，过点F的直 线与E的右支交于点M,与左支交于点N,且M=3NF,MF⊥ON,则E离心率为 7 A.2 B.3 C.√2 D 3 高考模拟试卷高三数学第3页（共8页) 第Ⅱ卷 主意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共11小题，共105分。 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答 对1个的给3分，全部答对的给5分. 10.己知i为虚数单位，若z=(1-2i)2,则z的虚部为 11、若(2-)2=a+ax+a2x2+…+ax,则a0+a5= (用数字作答) 2在△01B中，0为坐标原点，点A为抛物线y=立的准线与坐标轴的交点， 点B在x轴上，其横坐标为直线x-2y+4=0在x轴上的截距，则△OAB内切圆的标 准方程为 13.2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动. 三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统活动分两环 节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均 为，抢到者向A1提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是？，乙、丙均是： 第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，AI给出正确答 案的概率分别为甲是；，乙、丙均是)，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响。 则在第一环节提问中得到正确答案的概率 记在第二环节独立测试 中得到正确答案的人数为X,则X的数学期望为 14.在△ABC中，点D是AB边上一点，且AD=3DB.AC边上存在点E满足EA=CE, 直线CD和BE交于点F,且FC=uDF,记CA=a,CB=b.当u=4时，C示=（用 和6表示：当入，μe(0,+o)时，则的最大值为 CD.CA l5.若存在实数a,对任意的x∈(0，n]都有x|x-a|+x-4≤0恒成立，则实数n的 取值范围是 高考模拟试卷高三数学第4页（共8页) 三. 解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤， 16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a=2, 2sin2A+2sin2C+cos 2B=1+2sin Asin C. (I)求角B的大小： (Ⅱ)若b=V万. (i)求c的值： (ii)求sin(2C+B). 17.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AC⊥BC,AC=BC=1,AA=2,点E,F分 别为线段AC,和B,C的中点。 (I)证明：EF11平面ABC; B 网 (Ⅱ)求直线AC,与平面CEF所成角的正弦值； (Ⅲ)求直线EF与直线AB,间的距离. 高考摸拟试卷高三数学第5页（共8页) 18. 已知椭圆8：三+茶=1(a>6>0)的右焦点为P,左顶点为4，上顶点为B, 下顶点为C,离心率为，△Aa的面积为2+5 2 (I)求椭圆E的方程： （IⅡ)已知斜率存在且不为1的直线1经过点D(-1,-),且与椭圆E交于不同的两 点M,N(均不与点B重合)，点P与点M关于原点O对称，直线CP与直线OD交 于点2.求证：点B在直线№上. 高考模拟试卷高三数学第6页（共8页) 19. 设数列{a,}的前n项积为Tn,满足2an+T,=l(n∈N) (I)求证： 是等比数列： (IⅡ)己知有穷数列A:p,p2,·，Pn(n≥3)经过一次M变换后得到数列4： min{乃，p2},min{p2,户}，.，min{pn-pn},min{pn,B}.其中，min{p,q}表示p, 9中的较小者、记数列A的所有项之和为S(A).若A:.p,P2,.,P(n≥3)是 1,2,3,,n的一个排列，例如，当n=4时，4,1,3,2可以为1,2,3,4 的一个排列. (i)当n=5时，设S(A)的最小值为S(A)n,求S(A)n的值： (ii)在(i)的条件下，若[x)表示不超过x的最大整数，例如[2.]=2，[-1.5]=-2， (4-3 求数列{b,}的前2n项和 高考模拟试卷高三数学第7页（共8页） 20.已知函数f(x)=e*+,g(x)=alnx+b,其中a2l,b∈R,e是自然对数的底数 (I)若函数A(=二+ax-a,求M)的单调递增区间： f(x) (IⅡ)若b=(e+1)a,且曲线y=g(x)在x=1处的切线与曲线y=f(x)也相切，求a 的值： (I)已知=m（m为常数)，设直线y=>0)与曲线y=f)与y=g(x)分 别交于A(x,f(x》,B(x2,f(x2》两点，若对任意t>0及a21,均有x2-x1>2, 求m的取值范围. 高考模拟试卷高三数学第8页（共8页）北辰区2026年高考模拟考试试卷 数学参考答案 一、 选择题：每题5分. 题号 1 2 3 5 6 1 8 答案 B D A D C C B A D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的， 答对1个的给3分，全部答对的给5分 10.-4 11.44 12.(x+1}+(0y-1}=1 79 4 13.125 14cF=a+36: 15.(0,1+5 5 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. 16.（本小题满分14分) 解：(I)由已知化简得：2sin2A+2sin2C+1-2sin2B=1+2 sin Asin C.1分 sin2 4+sin2C-sin2B=sin Asin C 由正弦定理边角互化可得：a2+C2-b2=aC2分 再根据余弦定理cosB=42+c2-b ,将a2+c2-b2=ac代入可得： 2ac cos B=ac 2ac 23分 因为B∈(0.小，所以B=牙4分 3 (Ⅱ)(i)由题意得a=2,b=√万， 由余弦定理得cosB=4+c2-7_1 2×2×c2 6分 解得c=3或c=-1（舍去) 8分 (i)由余弦定理得c0sC=2+2-c27+4-9 2ab 2×2×V72W7 9分 cc0》nc=i-owsc- 10分 2V7 sin2C=2 sin Ccos C=2× 33.1335 .11分 272W7-14 2 cos2C=2cos2C-1=2× 27-113 1 14 12分 m2c+ 5n2cos管+es20sn=3Y×号1Bx5-55 314*214*2=-1414分 17.(本小题满分15分) 解：(I)(方法一)证明：如图所示，连接BC, 因为CF=FB,且四边形BCCB,为矩形，所以CF=BF, 又因为AE=EC,所以EF/IAB, 2分 因为ABC平面ABC,EF丈平面ABC,所以EF/1平面ABC.5分 (方法二)因为CA,CB,CC两两垂直，以C为坐标原点，CA,CB,CC所在直线分别 为x,”z轴，建立如图所示空间直角坐标系， B 可得c00.o),4L0o,s01.o,40,2,4@12)c(o0,2,4行o1,F02 平面Bc的一个法向量为n=@0),F-（0） .2分 EFn=0,EF⊥n 3分 EF吐平面ABC… 4分 .EF1/平面ABC… 5分 (）c正-传l小，示-05.G-(102.6分 CE-m-*+-0 设平面CEF的一个法向量为m=(x,y,z),则 取x=2,可得y=2,z=-1,所以m=(2,2,-1), 8分 设直线AC,与平面CEF所成角为O, 可得sin0=cos(AC,m AC·m1-445 AC励 3W515 所以直线AG,与平面CEF所成角的正弦值为45 .10分 48=(11.0)45=（20-1 AB =2EF :AB //EF .12分 则直线EF与直线AB间的距离转化为点E到直线AB,的距离 AEAB 5 32 d= AB 4 14分 所以直线EF与直线4B间的距离为3V .15分 4 18.(本小题满分15分) 解： 3 (I)依题意有 2(a+c= +V5 2 3分 a2=b2+c2 a=2 解得 b=1, c=V3. 故椭圆E的方程为十y少2=1.5分 4 (IⅡ)设直线I的方程为y=x+k-1,k≠1，点M(x,y),N(s,),则点P(-x,-y), 直线CP的方程为y=x-1,直线OD的方程为y=x,联立解得点 (）,7分 x-y+1’x-片+1 由大消去得++传-+4状2=C…8 8k(k-1) X1+X2= 则△=64k2(k-1)2-16(4k2+10K2-2K)=16(32+2k)>0, 4k2+1 4(k2-2k) ，10分 4k2+1 而点0，则0=(，2+或=任，g-. x-y+1’x-y+1 -x(02-_2x+片-12-x@,+k-2)2x+a+k-2方 .12分 名-片+1七-以+1 x-+1 x-乃+1 =2k-1x2=k-2)c+2）2k-D:4+1本0 k-2.8k- 4h2+L=0’14分 七-y+1 -+1 即BO/BN,又BO,BN有公共点B,所以点B在直线N0上15分 l9.解：(I)因为数列{an}的前n项积为Tn,满足2an+Tn=1n∈N), 所以当n=1时，2a+a=1,解得a写l分 当n≥2时， 2+T=1,化为72×7 1, 变形+1=24。 -+10, 2分 1 1+ 所以当n≥2时， =2' 3分 1+T-1 又1+ =4,所以数列1+ T 是以4为首项，2为公比的等比数列4分 (Ⅱ)()由题意知，A,中元素两两互异，故A,中的任一元素， 如P,在A中至多在min{P,p}和min{Pk,Pk+}中出现两次（规定Po=Pn,P1=p,), 且若出现两次则这两个数处于邻位（p和P.也视为邻位)· 5分 所以A的所有项中至多有两个1和两个2.所以S(4)22×1+2×2+3=9.6分 例如，当4为1,4,2,5,3时等号能取到，.7分 所以S(4)的最小值S(4)为9. 8分 (i)由(I,数列1+ 是以4为首项，2为公比的等比数列. 所以1+ =4×2-1=2+,即1+ =2n+ 9分 1+ 又因为bn 54 所以6=[]-[ 10分 2”=(3-1”=C3”+C3-(-1)+C23-2(-12+…+C3(-1)+C(-1)° =3×C93+C32()+C23-3(-)+…+C(-1)+C(-1, 可得号-cg+C-)+c-可++ct- .11分 当为奇数时，则写]子即引名子 .12分 当为限数时则号引即)-号 13分 法一：设Sn为数列{bn}的前n项和，可得 S2n=(b+b+b+…+b2m-)+(b2+b4+b。+…+b2n) -4)20 -4） n2212, 1-4 3 1-433一 3 ·数列，}的前2n项和为2， 3n 315分 法二：bm1+bn=22n-1-1 设Sn为数列{bn}的前n项和，可得 S2n=(b+b2)+(b+b)+…+(bm+b2n) =+2+…+2）n-20-4）-n=2a-3n-2 1-4 3 22m+1 2 .15分 3 3 20.解： （I)ho=r-20x-a) exta 1分 1≤a<2时，令h'(x)>0,得x<a或x>2, 故h(x)在(-0，a)和(2，+0)上单调递增.2分 a=2时，h(x)≥0，故h(x)在R上单调递增；3分 a>2时，令h'(x)>0,得x<2或x>a,故h(x)在(-oo,2)和(a,+oo)上单增..4分 (I)当b=(e+la时，8()=alnx+(e+a,g'6)=2,g0=(e+1a,g'0=a, 曲线y=g()在X=1处的切线方程为y=ax+e05分 设此切线与曲线y=f(x)的切点为(xo,f(x),f(x)=e+a 则∫f(x)=e*a=a，解得x=1-e,从而e1e=a, f(xo)=exo*a=axo+ea 即a+l-e=lna,lna-a=l-e,6分 设h(x)=lnx-x(x≥1)，h(1)=-1<0,h(e)=1-e h()=-1≤0，.h()在[L,+oo)上单调递减 7分 ∴.lna-a=1-e在[L,+oo)上有唯一解a=e 8分 (I)由题意可知：e+"=t,alnx2+ma=t,所以 x Int-a,x2 =ea ,..x2-x=ea -Int+a 9 设F0=e女-nt+a,则F0=1e 一一) t "(t0=2ea.1 2>0 10分 即F'()在(0，+∞)单调递增，又当 t→0时，F'(t)>-0;t→+o时，F'(t)→+0 11分 所以存在，∈(0，w,使得F)=0,:e&=a,即m=4+n 12分 to a a F(t)在(0，t。)单调递减，(to+oo)单调递增， F0a=F,)=e2-ln+a=2-1n4,+a≥-lh6,+1l13分 to to 设p,)=1-ln,+1为减函数 pl)=2,.当po)>2时，0<0<1，a≥10<<1.14分 m=+n,设=s∈(0,1D,则m(s)=s+lns在(0，)单调递增.l5分 a a a m<m(①=1，所以m∈（-0，ld.l6分