专题09 解析几何(压轴) 解答题专项训练-2026届高考数学三轮冲刺

专题09 解析几何(压轴) 题型1：定点、定值的问题 题型2：面积的相关问题 题型3：求取值范围与最值问题 题型4：存在的问题 题型5：证明类相关问题 题型6：新定义的问题 题型1：定点、定值的问题 1．（2026·云南昭通·二模）已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 【答案】(1) (2)（i）;（ii） 【分析】（1）通过将“点到定点的距离与定直线的距离之比为”的条件转化为代数方程，化简后即得轨迹方程； （2）（i）通过设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理表示出弦长，再结合面积公式转化为函数求值域即可； （ii）通过两点坐标表示出两条直线得斜率，再结合韦达定理和面积表达式进行化简，即可证明比值为常数 【详解】（1）设点，根据题意得：，两边平方并整理得： ，即，化简得：， 因此，点的轨迹方程为椭圆. （2）（i）设过的直线方程为，与椭圆方程联立：， 代入得：，整理得：， 设，由韦达定理：， 所以的面积为， 令，则，代入得， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是. （ii）设，则， 直线的斜率为，直线的斜率为， 且， 所以， 所以， 又因为，所以. 【点睛】用椭圆的第二定义求轨迹方程，联立方程组，借助韦达定理转化面积与斜率表达式，通过代数化简即可完成范围求解与定值证明. 2．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若点，直线分别交准线l于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设AB：，和抛物线联立，由韦达定理可得到，，根据抛物线第一定义可知，再根据，代入即可求出抛物线解析式； （2）由（1）可知，设直线，令可得到，，可求出，设，则，代入，可得到圆的标准方程，令，即可证明. 【详解】（1）设 则联立得， 所以所以 又， 所以 由得 ， 即， 所以， 化简得，又， 所以，所以抛物线C的方程为； （2）由（1）知直线， 所以，易得， 由题意知直线，直线， 所以令得，， 即， 所以 , 设是以线段MN为直径的圆上的任意一点，， 则有， 即， 因此是关于的变量，要是上式恒成立，则, 代入得, 所以或， 所以线段MN为直径的圆经过定点，定点坐标为与. 3．（2026·湖南常德·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点和右顶点分别为，，，. (1)求的方程. (2)已知过点的直线与交于，两点，过点且与垂直的直线与交于，两点，，在轴的上方，，分别为，的中点.求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可知，，结合即可求出答案； （2）设，，，，直线，将直线方程与椭圆方程联立求出，进而得到点坐标，同理得到点坐标，从而求出直线的方程，即可证明. 【详解】（1）设的半焦距为，由题意知，，， 由椭圆的几何性质知，，， 所以，则， 所以， 所以，，故的方程为. （2）由（1）知，，由题意知，直线与坐标轴不垂直， 设，，，，直线， 将代入，整理得 所以，， 所以，， 所以， 同理可得， 所以， 所以直线，即， 所以直线过定点. 4．（2026·北京石景山·一模）已知椭圆的左顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，为椭圆上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于M，N两点，直线与椭圆的另一个交点为.求证： ①； ②直线恒过定点. 【答案】(1) (2)①证明见详解，②证明见详解 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求解； （2）①设，求出直线，的方程，进而求得点的坐标，验证，得证；②当直线的斜率不存在时，由对称性可求得点的坐标，得出直线的方程，当直线的斜率存在时，设其方程为，，联立直线与椭圆的方程，可得根与系数关系，结合，运算得关系，得证. 【详解】（1）由题可得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）①由已知得，设，则，即， 所以，， 所以直线的方程为，直线的方程为， 在上面两方程中分别令，得，， 所以，， ，即. ②当直线的斜率存在时，设其方程为，， 则，消去整理得， 所以，，， 由，得，即， 因为，， 所以，又， 所以， 即， 所以，化简得， 即，解得或， 所以直线的方程为或（舍）， 所以直线的方程为，过定点； 当直线的斜率不存在时，由对称性可得直线的斜率为，其方程为， 代入椭圆的方程，得，解得或， 所以，此时直线的方程为，满足题意， 综上所述，直线恒过定点. 5．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由点差法和斜率的关系可得椭圆的基本量，进而可得椭圆方程； （2）根据三角形为直角三角形进行分三类情况讨论，若时结合根与系数关系可得斜率值；若或时，分别可得或的坐标，进而可得斜率值； （3）分别用直线的斜率为表示出点的横坐标，进而可证明定值. 【详解】（1）设，则，两式相减，得，即. 因为为的中点，所以， 所以直线的斜率为，所以， 所以，即. 因为椭圆的焦距为，所以，又因为， 解得，所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为.设，如图： 将代入方程，消得， ，解得. 则. 若时，有，即，, 即， 所以，化简整理得，解得，符合； 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 若时，则，即，所以. 又因为，联立方程组解得或（舍去）， 所以，所以，符合. 综上，或. （3）由直线的方程，知. 因为点为点关于轴的对称点，所以，所以直线的方程为， 令，得点的横坐标为，因为， 所以， 所以为定值. 6．（2026·河南·模拟预测）已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义以及双曲线的标准方程，可得答案； （2）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，结合判别式计算，可得答案； （3）联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，应用弦长公式代入计算化简求解. 【详解】（1）设，为定值，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 设双曲线方程为：，， 所以，曲线的轨迹方程是； （2）设， 由，消去得， 则. 整理得， 解得. （3）设， 由，消去得，， 则. ， 所以， 7．（2026·北京通州·一模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线l与椭圆分别交于，两点，已知点，直线与直线交于点．求证：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)直线的斜率为定值，证明见解析 【分析】（1）根据条件列式求的值，可得椭圆的方程. （2）分直线的斜率为0和不为0两种情况讨论.当直线的斜率不为0时，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示和，列出直线方程，令得到点坐标，表示直线的斜率，化简即可. 【详解】（1）由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. （2）如图： 当直线与轴重合时， 先取，，则直线：， 所以，； 再取，，则直线：， 所以，. 当直线不与轴重合时，设直线：，代入椭圆方程， 得，整理得：. 设，，则，. 直线：， 令，可得， 即. 所以 . 综上可知，直线的斜率为定值. 题型2：面积的相关问题 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若平分，且，垂足为． 　求的取值范围； 　证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）利用已知条件求出，进而求出椭圆方程； （2）利用角平分线的性质，结合到角公式、韦达定理求出的关系，利用判别式构造不等式求解；利用垂直关系求出进而得出的直线方程，进而求出坐标，求出的轨迹方程，从而证明结论． 【详解】（1）已知椭圆的下顶点，故，则， 离心率，则，解得， 椭圆的方程为：． （2） 直线与椭圆联立得： ，设， 由韦达定理得， 已知平分，由到角公式可得： ①， ，，则 ，整理得②， ， 代入②得，即， 整理得③， 把③代入直线得：，联立椭圆方程得： ， 已知直线与椭圆有两个交点，则 ， 化简得，解得； 由可得，解得， 结合可得的方程：， 联立与的方程，代入，得， 解得，， 故， 设，则 ， ， ，即， ， 化为标准方程得：， 故是以为圆心，为半径的圆，故存在定点，使得为定值． 9．（2026·江西·三模）已知椭圆，以原点为圆心，为半径的圆被称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一点作椭圆的两条切线分别为和，切椭圆于点和点，求证：； (3)若直线与坐标轴交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用蒙日圆和离心率列出关于的方程求解即可； （2）分别对切线斜率是否存在进行讨论，和斜率都存在时联立方程消去，令，再利用韦达定理计算即可；切线或斜率不存在时，求出两直线方程计算即可； （3）先求出AB方程，即可求出两点坐标，再利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为椭圆的蒙日圆为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 联立方程组，解得， 则椭圆的方程为. （2）设点的坐标为， （i）当切线和斜率都存在时，设过点直线方程为， 联立得 消去，得：①， 方程①的判别式，若过点直线为椭圆的切线，则有，化简得：（2）， 那么关于的方程（2）的两个根与分别为切线和的斜率， 此时，即； （ii）当切线或斜率不存在时，不妨令斜率不存在， 则切线方程为（或），（或），代入圆方程得， 可求得切线方程为（或），； 综上所述，. （3）当椭圆切线斜率存在时，不妨令（ii）中过点切线方程为，即令， 设切点坐标为， ①式可化为， ①式可化为，即，易得， 把代入切线方程整理可得； 当椭圆切线斜率不存在时，切点坐标为时切线方程仍满足， ∴椭圆上点坐标为，切线方程为， 同理可得，点坐标为，切线方程为， 点代入方程与方程可得：与， ∴直线的方程为， ， 又，即（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 面积的最小值为. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线：与双曲线的右支交于M，N两点，且M在第一象限，将直线绕点N顺时针旋转30°得，过M作直线的垂线，交于点P； （i）当时，求三角形MNP的面积； （ii）求证：点P在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）利用点到直线的距离公式结合双曲线之间的关系即可求解； （2）（i）把三角形的面积用表示，直线与双曲线联立，利用韦达定理以及弦长公式求出即可； （ii）写出与的方程，联立方程组解得点的坐标，消去参数即可证明. 【详解】（1）由焦点坐标，故，双曲线渐近线为， 设双曲线上任意一点，满足，即， 点到两条渐近线的距离之积： 得， 结合，解得. 因此双曲线方程为：. （2）（i）直线斜率为，倾斜角为，旋转后倾斜角为，且，故为直角三角形，，，面积， 联立与，整理得. ，由韦达定理：， 弦长， 故. （ii）联立与双曲线方程，得，韦达定理得， ，斜率为，方程为：结合整理得， 过，斜率为，方程整理得：，结合整理得， 两式相减得， 两式相加得，将代入， 消去后得： ，即，与参数无关. 因此点在定直线上. 11．（2026·辽宁沈阳·二模）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得：焦点，准线为，. 设，代入抛物线方程可得，即. 设，则. 由题意可得，解得. 所求抛物线方程为. （2）由题意可知，过焦点的直线斜率必定存在. 设过焦点的直线方程为，，. 令，可得. 将直线方程代入抛物线消可得. 由韦达定理可得，. 由抛物线定义可知. 由相似三角形可知： . 所以. （3） 设的中点为，，. 则，. 由，可得，则. 所以弦长. 由题意可知直线的斜率存在且. 所以直线的直线方程为，即. 则点到直线的距离. 所以所求面积. 令，则. 所以，令，可得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，. 所以面积的最大值为. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心O和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于P，Q两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①面积的最大值为②直线MN过定点，定点为. 【分析】（1）由点在椭圆上，再由离心率以及求解即可. （2）①设直线方程为，与椭圆联立，由韦达定理求解，求解原点到直线距离为，再列出面积求解即可. ②由题意可得，设：，与椭圆联立，求解点，的坐标，列出直线的方程，化简求解即可. 【详解】（1）因为椭圆过点， 所以，即， 因为椭圆的离心率为， 所以， 因为， 所以解得，所以， 故椭圆方程为. （2）①设：，，， 由，得到， ， 由韦达定理可得，， ， 设原点到直线距离为，则， 所以，令， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. ②，所以：， ，可得， 所以， 所以，同理可得，， 所以：， 整理可得，所以直线MN过定点，定点为. 13．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据椭圆的性质结合离心率构造方程求出，进而求出椭圆方程； （2）①根据已知条件结合椭圆方程求出相关点坐标，利用斜率公式表示斜率，进而求解；②设坐标及直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理结合构造方程求出，进而得出点坐标，进而求出． 【详解】（1）设的焦距为，右顶点，上顶点， 离心率为，， ，， ，解得，故， ， 的标准方程为． （2）由题意可得，，直线的方程为， ①当的横坐标为1时，， 由题意可知点为线段的中点，， ， ； ②设，直线的方程为， 由，得， ， 为线段上的动点， ， ， ，故， 三点共线， ， 又， ， 将代入上式并化简，得： ， 即 ，解得， 当时，，与点在第一象限内矛盾，舍去； 当时，直线的方程为， ，， 又，得， ． 14．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 (1)求直线AB的斜率(用表示)； (2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得解； （2）①设直线方程为，将其与抛物线方程联立，设，由斜率之和为，结合韦达定理可证明结论； ②由于轴，则，进而化简求最值. 【详解】（1）根据题意，将点代入抛物线方程， 得，所以抛物线C：， 则，由于，则， 所以； （2）①设，直线的方程为， 所以， 联立，消去并化简得：， 所以，， 所以， 即， 所以，所以， 所以直线的方程为，即 所以直线过定点，该点坐标为； ②由，，可得轴，且， 联立与，并令，得， 则，且由得， 由，即， 得， 由于得，且， 则的面积 ， 而 ， 由于，得，而即， 即，所以，且，则且， 由于在单调递减，在单调递增， 所以，当，当， 当， 故面积S的取值范围为. 15．（2026·河南濮阳·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点，定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去． (1)求的方程； (2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）根据点与点的对称性，结合直线斜率公式进行求解即可； （3）设出直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， 又椭圆过，故，解得， 所以. （2）由（1）知，经过3次操作后停止，即有与 关于原点对称，，所以与关于原点对称， 因为与关于轴对称，与关于轴对称， 所以与关于原点对称．设， 则， 即有，解得，所以，故有． （3）由（1）知，，设，则直线的方程为 ，消得 因为，所以． 因为是上述方程的一个根，所以 则有，即， 设直线的方程为 ，消得 因为，所以． 因为是上述方程的一个根， 所以 则有，即， 所以与关于原点对称． 故直线的方程为， 点到直线的距离 又因为，所以 所以． 题型3：求取值范围与最值问题 16．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程； （2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值； （3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，则，则双曲线的方程可化为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知，双曲线的方程为，即， 设点、，易知点、关于原点对称，则， 因为，所以，故， 所以. （3）因为，所以双曲线的方程为，即， 易知点、、， 设点、，则、， 联立得， 则，可得， 由韦达定理可得，，故①， 直线的方程为，在该直线方程中令可得点， 直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程得， 即②， 由①得，代入②式得， 故，解得， 所以，可得， 所以 ， 因为，故直线恒过右焦点， 由双曲线的定义可得，， 故的周长为， 即周长的取值范围是. 17．（2026·广西河池·二模）已知椭圆：的焦距为，分别为椭圆的左右焦点，点在上，且的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点． （i）求的取值范围； （ii）已知上一点，且不在轴上，直线与的另一个交点分别为，若，，求的值． 【答案】(1)的方程为． (2)（i）的取值范围为；（ii）． 【分析】（1）由焦距得，结合的面积求出点的纵坐标，代入椭圆方程，结合即可； （2）（i）设过的直线方程并联立椭圆，由判别式得到参数的取值范围，利用韦达定理表示根的关系，结合弦长公式将转化为关于的函数，换元后求函数的值域； （ii）由向量共线关系用的坐标表示的坐标，将代入椭圆方程并结合在椭圆上的条件，化简得到关于的方程，联立消去​，求出的值． 【详解】（1）由椭圆的焦距为，得，即， 又，所以， 因为点在椭圆上，所以， 解得，， 所以的方程为． （2） （i）当直线的斜率为时，点的坐标分别为，则； 当直线的斜率不为时，设过点的直线方程为（斜率不存在时直线为，与椭圆无交点，不满足题意）， 由，得， ，解得， 设，，则，， 由弦长公式得，同理， 依题意，同号，则， 令，则， 所以， 因为，所以，， 所以，即． 综上可得，的取值范围为． （ii）设，，，，， 由，得，解得，， 因为在椭圆上，所以，化简得①， 又在椭圆上，所以，即②， 将②代入①得，化简得③， 由，得，解得，， 因为在椭圆上，所以，化简得④， 将②代入④得，化简得⑤， 由③⑤得，化简得． 18．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，一条倾斜角为的直线过点，其中，另一条直线经过点，倾斜角为．并且两直线相交于点 (1)当时，求证：线段的垂直平分线过定点． (2)当，时，若点、分别为椭圆的左，右两个焦点，点为椭圆的上顶点，且该椭圆经过点， （i）试求出该椭圆的标准方程； （ii）如果一条直线与椭圆分别交于两点，且满足，请求出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦定理求出外接圆的半径，进而求出的外接圆圆心为，再根据线段的垂直平分线过圆心，即可证明； （2）（i）在中求出，即可得到，根据即可求出答案；（ii）当时，符合题意，当时，设，，联立直线与椭圆方程求出，，得到中点坐标，进而得到中垂线方程，根据，得到在中垂线上，代入中垂线方程得到，结合解不等式，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 由正弦定理得，的外接圆半径为定值， 因为的外接圆圆心在的中垂线上，， 所以的外接圆圆心为， 又因为线段的垂直平分线恒过圆心， 所以线段的垂直平分线过定点. （2）（i）当，时，，， 在中，， 则，， 设椭圆的方程为, 则，即， ，即， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （ii）点坐标为， 当时，根据对称性可得，符合题意， 当时， 设，， 联立，整理得， 则，即（*）， ，， 则的中点横坐标为， 代入求出的中点纵坐标为， 则的中点坐标为， 则中垂线方程为， 因为，所以在中垂线上， 所以，化简得， 代入（*）得， 令，不等式可化为， 当时，不等式无解，即无解. 综上所述，的取值范围为. 19．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）为定值，证明过程见解析；（ii） 【分析】（1）根据双曲线特征和三角形面积得到双曲线方程； （2）（i）设出直线，联立双曲线方程，根据向量关系进行求解； （ii）在（i）基础上，用表达出，求出取值范围. 【详解】（1）由题意得， 当直线与轴垂直时，，即，即， 故，将其代入中，得， 所以双曲线方程为； （2）（i）显然直线不为0，故设直线为， 又直线交轴于点，故直线与轴不垂直，故， 与联立可得， ， 设，则， 过点交的右支于两点，故，不妨设， ，即， 即，解得，， ，同理可得 ，， 则； （ii）由于，由几何关系可得， 其中，故，整理可得， 又，， 所以， 由（i）知，，， 故，又，， 故，整理得，， 令，则，， 所以， 由对勾函数可知在上单调递增， 故. 20．（2026·陕西榆林·三模）设椭圆：的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆上任意一点，则椭圆在点处的切线方程为.已知点为直线（其中）上任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，直线与直线交于点. （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若是圆上的动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）. 【分析】（1）根据点在椭圆上、离心率及椭圆的参数关系列方程求参数值，即可得； （2）（i）设，，，则为，为，进而得到为，为，从而得点的轨迹方程为，设且有，最后应用两点距离公式求；（ii）根据两点距离公式及圆的性质求最大值即可. 【详解】（1）由题知，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，设，，， 切线的方程为，切线的方程为， 代入点的坐标得， 故直线的方程为，直线的方程为. 因为点不可能是原点，将代入，整理得， 所以点的轨迹方程为. 设，则，. 由，得， 所以， ， 所以. （ⅱ）圆的圆心坐标为，半径为1， 故 ， 当时，的最大值为， 由圆的性质可知，的最大值为. 21．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 【答案】(1) (2) ①②； 【分析】（1）根据题意，联立方程组讨论和，利用解出的取值集合； （2）①首先联立双曲线与直线方程，利用唯一公共点的条件得到与点坐标的关系，根据过且与垂直的直线方程可由垂直直线斜率关系得出，将坐标代入该直线方程，得到与坐标的关系，再通过消去的坐标，推导出的轨迹方程； ②由①得到的轨迹方程，将转化为单变量函数，利用基本不等式最大值，同时确定对应的值. 【详解】（1）当，直线方程， 联立双曲线与直线，代入整理得， 由题知直线与双曲线有唯一公共点， 故当时，即，此时直线与双曲线渐近线平行，仅有一个交点，符合条件； 当时，，解得， 故实数k的取值集合为. （2）①联立与得：， 由唯一公共点且，得，化简得 ， 设切点，由二次方程顶点公式得 ， 故过且与垂直的直线方程为， 分别令，，得， 将和代入，整理得， 即为的轨迹方程. ②由①知的轨迹方程，故 ， 令，， 原式 当时原式小于0，故最大值仅在时取得， 当时化简得， 由基本不等式，当且仅当时取等， 因此 ，此时， 得，即，代入得，即， 因此最大值为，对应. 22．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． (1)求的方程； (2)若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据长轴长及离心率求出，，进而求出，即可得到椭圆方程. （2）联立直线与椭圆方程求出点，坐标，联立直线与椭圆方程求出点，坐标，利用两点式求出直线，方程，联立求解即可. （3）设出点，，及直线方程，利用三点共线得到，联立直线与椭圆方程，得到及，得到点所在直线，结合点关于直线对称求解最小值即可. 【详解】（1）设的半焦距为． 由题可得，解得， 所以的方程为． （2）由题意得的方程为，即， 联立，整理得，即， 解得或． 将和分别代入的方程，可得和， 又点在点的上方，所以，． 由题意得的方程为， 将代入的方程，可得，解得， 又在第二象限，可得，． 所以直线：，直线：， 联立直线，的方程，可得， 故点的坐标为． （3），，，的斜率为，则其方程为． 由，，三点共线可得， 因此， 同理，可得， 故． 令，则，，即， 与的方程联立，可得，， 则，， 所以， 所以，即， 化简得， 代入，可得点在直线：上． 作点关于的对称点，则，当且仅当为与的交点时等号成立． 设，由对称及垂直关系可得，解得，即， 于是， 故的最小值为． 23．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 【答案】(1)4 (2)最大值为4，最小值为2 (3)，四边形面积的最大值为 【分析】（1）根据条件分别求直线和的方程，再联立直线求交点，的坐标，即可求解； （2）首先根据离心率求椭圆方程，再根据向量的平行四边形法则转化为求的最值； （3）首先根据点的坐标求直线和的方程，通过联立直线方程求点，的坐标，再代入两点间距离公式，根据定值求，首先角的关系求，再根据为定值4，分两种情况，结合余弦定理和基本不等式求面积的最大值，再求四边形面积的最大值. 【详解】（1）当点在椭圆的上顶点时，,，， 联立，得，即， 联立，得，即， 所以； （2）椭圆的离心率，得， 所以椭圆方程为； 由条件可知四边形是平行四边形，所以， 设，， 所以， 所以的最大值为4，最小值为2； （3）设，则，, 联立，解得：，， 即， 联立，解得：，， 即， 因为点在椭圆上，满足， 所以 因为为定值，所以与无关，所以，得，则； 此时， 如图：由条件可知，，则， ， 则，且为定值4， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 此时，四边形的最大值为4， 如下图：由以上可知，，， 中根据余弦定理，， ， 即，所以， 而四边形是平行四边形，，当时等号成立， 综上两种情况可知，四边形的最大值为. 24．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直． (1)求C的标准方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)存在，定圆的方程为 (3)，的方程为或 【分析】（1）先根据与轴垂直求出的值，再根据点在椭圆上以及求解出. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用得到之间的关系，再利用原点到的距离为定值从而确定圆的方程. （3）根据三角形的面积公式，其中为定值，利用弦长公式将表示成的函数，然后利用换元法求解出最大值即可. 【详解】（1）因为与轴垂直，所以，， 又点在椭圆上，，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为，. 联立得，整理得. ，即. ， ，，即，整理得. 原点到直线的距离，将代入得 故距离为定值，所以存在定圆与直线相切. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，. 联立，，则，. ，得，即直线的方程为， 此时直线与圆相切，符合题意. 综上，存在定圆与直线相切，定圆的方程为. （3）由三角形面积公式得，其中为定值. 当直线的斜率存在时，， 将代入整理得. 令，则. 当时，即（此时）时，有最大值. 此时三角形面积有最大值，最大值为. 此时，代入，得，. 直线的方程为或. 当直线的斜率不存在时，由（2）可得或. 此时，. 综上，面积的最大值为，此时直线的方程为或. 题型4：存在的问题 25．（2026·江西南昌·二模）已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）根据离心率及上顶点坐标求解即可. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到点坐标，同理设出直线的方程，求出点坐标，设出方程，将点、点代入，得到，是方程的两根，结合韦达定理证明即可. （3）利用三角形相似得到，设出直线，，的倾斜角，判断之间的关系，结合韦达定理进一步求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 因为上顶点为，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. （2）设直线的方程为，直线的方程为． 联立直线与双曲线方程，整理得， 解得，所以，所以， 设直线的方程为， 因为，则有， 整理得，同理可得， 所以，是方程的两根，所以. （3）假设存在使得，所以， 设直线，的倾斜角分别为，，直线的倾斜角为， 当时， 则，所以， 又，是方程的两根，则，， 所以， 所以，整理得，即，解得． 当时，结合对称性同理可得，，满足条件． 故存在直线使得，此时． 26．（2026·四川资阳·三模）已知抛物线的焦点为，点． 条件①：动点在抛物线上，的最小值为3； 条件②：过点的直线交抛物线于，两点，且． 从条件①，②中再选一个作为已知条件，解答以下问题： (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点． （i）点能否成为的重心（为坐标原点），若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由； （ii）直线上是否存在定点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）不能，理由见解析；（ii）存在，理由见解析 【分析】（1）若选条件①，根据抛物线的定义，将进行转化，结合几何性质求出p的值，进而得到抛物线方程；若选条件②，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式以及已知条件求出p的值，得到抛物线方程； （2）（i）假设点F能成为的重心，根据重心坐标公式得到两点坐标的关系，再结合直线与抛物线的位置关系，通过联立方程求解直线的方程；（ii）先设，得到，再验证是否符合题意即可． 【详解】（1）若选条件①， 抛物线的准线方程为，焦点， 过点作垂直准线于， 根据抛物线的定义可知，则， 当，，三点共线时，取得最小值，即，解得， 所以抛物线的方程为； 若选条件②， 设直线的方程为，，， 联立，，则，， 由抛物线的焦点弦长公式， 又因为，根据抛物线的定义可得，即， 由，，且， 可得，，联立解得，， 代入，得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）（i）假设点能成为的重心， 设，，由三角形重心的性质可知，， 即，， 设直线的方程为， 联立，， 则，解得， 此时直线的方程为，代入得，，矛盾， 所以点不能成为的重心； （ii）当时， 联立，解得或， 此时为中点，又，则在的垂直平分线上， 的垂直平分线方程为，又在直线上， ，解得，则， 当时，直线的方程为，又， 则直线关于直线对称， 当直线过时，， 联立，解得或， 不妨取，此时直线关于直线对称，符合题意； 当直线不过时，设直线的斜率为， 由对称性可知， 又由（i）知，，， ， ， ， 所以直线上存在定点，使得． 27．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点． （ⅰ）设直线的斜率分别为，，且满足，证明：直线l恒过定点； （ⅱ）若直线l经过点，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形的面积为,若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）恒过定点；（ii）存在，直线的条数为 【分析】（1）直接根据椭圆的定义可得曲线C的方程； （2）（i）先证明直线l斜率存在时，由根与系数关系判断直线过定点，再证明直线斜率不存在时直线是否还过定点可得； （ii）先由四边形的面积，再进而可得，再代入根与系数关系得方程，从而只需判断方程有几个根，再构造函数，用导数判断函数的零点问题，从而可得结果. 【详解】（1）因为点M满足，由椭圆的定义知点M的轨迹是以为焦点椭圆， 其中，即， 因此曲线的方程为： . （2）（i）因为曲线C的左顶点为，设， 当直线l的斜率存在时，设直线，联立椭圆方程得， 消去y得， ， ，——① 由，且，所以， ，化简整理得： ， 将①代入， ， 化简得，即或. 若，则直线，直线l经过，此时E与P，Q中一个点重合，不符合题意； 若，则直线，直线l恒过点.如图： 当直线l的斜率不存在时，则P，Q关于x轴对称，且，不妨设， 代入，解得，此时直线的方程为， 与椭圆方程联立，化简整理得，解得或， 所以此时直线l为，仍经过定点.如图： 综上所述，直线l恒过定点. （ii）设直线，联立椭圆方程得：，消去x得： ，， ，不妨设. 因为与关于原点对称，所以， 所以到直线的距离， 所以四边形的面积，， 又因为，由坐标三角形面积公式得： . 所以，得， 代入得：，， 再代入得：， ，， 整理得，显然方程有一个根， 再判断方程的根，令， 则，，所以恒成立， 所以函数在R上单调递增， 且，所以在上必有唯一零点； 所以方程有唯一实数根. 综上所述，存在或，使得四边形的面积为， 所以存在直线l，使得四边形的面积为，这样的直线有2条. 28．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆与椭圆，过的右顶点与轴垂直的直线与的一个交点为，过的右焦点作轴的垂线与的一个交点为． (1)求，的方程； (2)若斜率为的直线交于点，是坐标原点，垂直于的直线交于点． （I）求的最小值； （II）是否存在一个与直线相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)（I）；（II）存在，且该圆方程为 【分析】（1）对椭圆，可得且，解出即可得；对椭圆，可得且，解出即可得； （2）（I）由题意可得，，分别联立曲线两曲线，可解出两点坐标，再利用勾股定理计算即可得解；（II）借助等面积法与（I）中所得，可得原点到直线的距离为定值，即可得解. 【详解】（1）对椭圆，由题意可得， 且，又，则， 整理得，即或， 由，故，则，即； 对椭圆，由题意可得， 且，则，解得， 则； （2）由题意可得，则， 由，则，则， ，解得，即， ，解得，则， （I） ， 令，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； （II）， ， 则， 又，则， 由为直角三角形，故的高， 即原点到直线的距离， 故存在一个与直线相切的定圆，且该圆方程为. 29．（2026·江苏苏州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可； （2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论. 【详解】（1）过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得， 依题意有，又由离心率为，得，联立得， 所以曲线的方程为. （2）设，由（1）得，所以，因为关于原点对称， 所以，可知直线的斜率不能为 （否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立， 整理得，可得且， 以及，所以， 解得或，所以直线的方程为或或. （3）若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线方程为，与双曲线方程联立， 整理得，设， 则有且，以及， 其中，所以，结合其它不等式解得， 设，由得，即， 变形得到，将代入， 解得①，代入得②， 解法一： 由①有③，代入②得到④，再由 得，将④代入，整理得， 解得，再由③可得， 因为，， 所以不存在满足条件的点. 解法二： 由得即， 将①②代入该方程得到， 整理得，即， 令，则在区间上单调递减， 又，故当时，恒成立， 即方程在内无解， 所以不存在满足条件的点. 30．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在．求该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程； （2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设， 因为点，在抛物线上，所以，， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 同理可得到直线的距离为， 因为两直线均与圆相切，所以，即， 两边平方得，所以， 所以， 所以 整理得， 因为是不同的两点，所以， 所以①， 设直线的方程为，与抛物线联立得， 所以，所以，所以， 所以的方程，所以，所以直线过定点. ①因为，，， 所以， 由，得， 显然不符合题意，所以， 所以， 所以②， 由①②得，所以或， 当，得，此时是方程， 又，不符合题意，舍去； 所以，可得， 由，，两式相减得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. ②因为直线过定点，过点作于点， 所以点在以为直径的圆上，所以， 所以存在定点，使得为定值，定值为. 题型5：证明类相关问题 31．（2026·云南曲靖·一模）已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， (1)求，的方程； (2)若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； (3)设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 【答案】(1)， (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）先将四个点代入抛物线方程，判断哪些点在上，进而求出得到的方程，将剩余的点代入椭圆方程，结合，求出和得到的方程； （2）先求出椭圆的左焦点的坐标，设出直线的方程联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到坐标的关系，写出的坐标，令得到点的坐标，根据三角形面积公式表示出面积，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； （3）设出点的坐标，通过抛物线切线公式求出切线的方程，联立切线与椭圆的方程，利用韦达定理求出中点的坐标，求出直线的方程，再求出过且垂直于轴的直线方程，联立这两个方程得到点的坐标，通过化简判断其是否在定直线上. 【详解】（1）抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； （2）设，，则，由题意可知直线的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 由得：，此时， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令，则， 所以，此时，所以，当最大时， 的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 直线l的方程为：或． （3）设，由得， 所以切线的方程为：， 设，，由得：， 由，得：，代入得：， 所以，所以， 由得：，所以点R在定直线上． 32．（2026·河北唐山·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点． (1)若焦距为12，求的方程； (2)当时，若，证明：轴； (3)若，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据焦距为12可得，进而求出，即可求解； （2）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及题设可得，进而求出坐标，即可证明； （3）联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出，令，可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以，解得， 所以的方程为. （2）当时，直线的方程为，设， 联立，得， 则 ，且， 而，故，将代入， 整理得，同理， 所以 ，解得（负根舍去）， 则双曲线，则的坐标为， 而方程，即为，解得或，则， 所以轴． （3）当时，双曲线，直线的方程为，设， 联立，得 ， 则， 所以， 将直线与渐近线分别联立得： ， 因为， 令，即， 则， 则，即时，的最大值为，经检验符合题意． 33．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为，得，结合双曲线过定点，联立求解得到双曲线的标准方程； （2）（ⅰ）设过定点的直线方程，与双曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理得到两点纵坐标的和与积的关系式；根据斜率公式，得到，，从而计算出的值； （ⅱ）分别设过定点的直线，方程，分别与双曲线方程联立求出点与点，点与点的横、纵坐标之间的关系式，根据,,三点共线，则求出定点。 【详解】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 【点睛】联立直线与双曲线方程时，要注意判别式大于0，且保证交点在左支；计算斜率乘积和直线过定点时，要注意利用双曲线方程对坐标进行代换，简化运算。同时，过定点的直线方程要注意分斜率存在和不存在两种情况. 34．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线，直线与有唯一的公共点，与的两条渐近线分别交于两点. (1)求和的关系； (2)证明点是的中点； (3)以线段为直径的圆与轴交于两点，与轴交于两点，当时，求双曲线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）联立直线、双曲线方程，由判别式等于0即可求解； （2）联立直线和渐近线方程，求得交点坐标，进而确定中点坐标，再结合（1）即可求证； （3）由（1）（2）确定圆的方程，通过弦长公式求得，再通过面积相等构造等式求解即可. 【详解】（1）将代入双曲线， 整理得： ， 因为直线与双曲线有唯一公共点，且（二次项系数不为0）， 故判别式，即 ， 化简可得： ； （2）双曲线的渐近线为， 由，可得，即， 由可得，即， 则中点坐标： ，， 即 而唯一公共点是（1）中二次方程的重根，得​，代入得​，即, 故是的中点，得证； （3） 为直径，故圆心为， ， 结合，化简可得， 故圆的方程为， 化简得： 令得， 则 ， 高为， 故： 令得， 则 ， 高为， 故： ，​​ 由， 得， 平方得， 代入，令， 整理得： ， 解得或， 故或， 双曲线方程为：或. 35．（2026·湖南岳阳·二模）如图，椭圆 与抛物线 有相同的焦点，坐标原点为O，椭圆右顶点为A，椭圆与抛物线在第一象限交于点P，在第四象限交于点Q，且. (1)求椭圆方程； (2)若封闭曲线围成的区域面积为S，证明： (3)将封闭曲线绕x轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以x轴为轴的圆台，圆台体积为 ，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】(1)根据抛物线的焦点求出椭圆的，再根据点的条件列出方程求出即可； (2)利用切线放缩，转化成求多边形面积即可； (3)对圆台位置分类讨论，利用均值不等式或函数求最值即可. 【详解】（1）由抛物线 有相同的焦点为， 从而在椭圆中有，得； 由，故点在的垂直平分线上，由题意， 从而点的横坐标为，代入，得，即， 又点在椭圆上，从而有，即得， 即，解得（负值舍去），从而， 从而所求椭圆方程. （2）由（1）可知，， 如图过点，分别作轴的平行线，分别交轴于， 过点作轴的垂线，交于，交于， 在点分别作抛物线与椭圆的切线，分别交轴于，直线于. 由点在第一象限，可把抛物线表示为，求导得：， 椭圆表示为，求导得， 从而， 从而的表达式为：，得，故， 从而的表达式为：，得，故. 由， 故在第一象限内，直线在抛物线上方； 由，， 令，则 ， 故在第一象限内，直线在椭圆上方； 从而由对称性可知封闭曲线OPAQ围成的区域面积为 即，即可得. （3）当圆台的两底面均在直线的左侧时， 两底面到轴距离分别为，则两底面半径， 从而圆台体积：， 又由均值不等式，当且仅当时取等号，故 ， 即； 当圆台的两底面在直线的两侧时， 两底面到轴距离分别为，则两底面半径， 从而圆台体积： （此处应用的变形）， 而， 又， 当且仅当时，取等号， 而， 故， 从而. 当圆台的两底面在直线的右侧时， 两底面到轴距离分别为，则两底面半径， 从而圆台体积：， （此处应用的变形）， 而 由，，而， 所以， 令，，则， 令，，或（舍去） 在导函数，从而单调递增； 在导函数，从而单调递减； 从而在的最大值为, 从而. 综上，封闭曲线绕x轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以x轴为轴的圆台，圆台体积为 36．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【详解】（1）由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. （2）（i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧.    37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程． (2)设，分别为的左、右顶点，动点在直线（，且）上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （i）求直线与轴的交点的坐标； （ii）设直线与轴的交点的横坐标为，证明：． 【答案】(1) (2)（i），且）（ii）证明见解析 【分析】（1）列出关于，，的方程组，解方程即可得到的方程． （2）（i）写出直线与的方程，由两条直线均过点，即横坐标相等，列出等式，分析得到坐标． （ii）由（i）知（，，对放缩，得到． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）由椭圆对称性可知，直线与轴的交点异于原点，且斜率不为0，如图所示: 设交点为，，，，， 设直线的方程为，由 消去，得， 由，得， 则，． 由（1）知，， 则直线的方程为， 直线的方程为， 由题意知，直线与交于点，且点在直线上， 所以， 所以． 所以， 所以① 当，即直线的斜率存在时，由. 得， 代入①，得． 当时，上式恒成立，所以． 当，即直线的斜率不存在时， 若，则直线的方程为， 不妨取点在第一象限，则，，满足①式． 综上，直线与轴的交点的坐标为，且）． （ii）由（i）可知， 当时，， 当，时， 题型6：新定义的问题 38．（2026·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据相似三角形对应角相等，结合三角函数定义即可得证； （2）先求和的面积之比，然后结合相似比即可得解； （3）设直线MN的方程为，联立椭圆方程消元，利用韦达定理表示出MN的中点坐标，代入已知方程求出参数，然后结合判别式可求得的范围，即可求得“焦顶三角形”的周长范围. 【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等. 如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，    所以相等，而，所以相等，即离心率相等； 若离心率相等，则相等，则相等，则相等； 同理，相等，则相等，所以相等； 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”. 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等. （2）设椭圆的半焦距为. 因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为， 若的面积为，又的面积与的面积之比为， 所以的面积为． 因为与的相似比为， 所以的面积与的面积的比为， 所以的面积为． （3）由离心率相等可知椭圆的方程为， 如图，设直线MN的方程为的中点为．      由消去并整理得， 则，即， 由MN的中点在直线上，得，解得， 因此，而，解得， 椭圆中，短半轴长，半焦距， 所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为 故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是． 39．（2026·湖北·模拟预测）对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用A，B关于点P“-共轭”的定义计算得解. （2）利用A，B为点P的“-共轭点对”的定义列出方程组，再判断方程组有解即可. （3）利用（2）的信息求出直线方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理、结合三角形面积公式求出函数关系，借助对勾函数单调性求出最大值. 【详解】（1）依题意，， 则，，而， 因此，，所以点. （2）设，，，并记， 则，因此， 即， 于是，即， 因此只要证明方程组有解即可，令，，，， 则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即， 圆的圆心到直线的距离， 因此直线和圆相交，即方程组有解， 所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”. （3）设，，，由（2）知直线的方程为， 由消去得，， 又，则 ，令，函数在上单调递增， 当时，，即当时，， 所以面积的最大值为.    40．（2026·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)（i），；（ii）证明见解析 【分析】（1）设，再利用新定义求出的坐标即可求解； （2）（i）双曲线上任取一点，根据新定义得出其旋转过后的点坐标，再将其坐标代入中即可求得双曲线的标准方程，进而求得离心率； （ii）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，再分别用点坐标求出线段的中垂线方程，设，将点坐标代入两条中垂线方程中，再利用同构思想得出是方程的两个根，再根据两次韦达定理建立关系式，即可求出，进而得出为定值. 【详解】（1）设，则，， 将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到， 则， 则，解得，，因此点的坐标是. （2）（i）在双曲线上任取一点， 将绕原点沿逆时针方向旋转， 得到， 则 又点在曲线上，则， 化简得双曲线的标准方程为：， 则，，，故离心率. （ii）由（i）可知，，由题意可知直线的斜率存在不为0， 故设直线方程为：，，， 联立，得， 则，，，， 因线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线为， 即， 又，， 则线段的垂直平分线为， 同理线段的垂直平分线为， 设， 因点是的外心，则有， 则是方程， 即的两个根， 则，， 故，， 两式作商得，， 得，则， 即直线与直线的斜率之积为定值. 41．（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 【答案】(1)曲线表示坐标原点为圆心，半径为的圆，其标准方程为；曲线Γ表示以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线，其标准方程为． (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据参数方程消去参数和即可求解； （2）（ⅰ）把问题转化为证明，设直线的方程为：，直线的方程为：，分别与圆和双曲线方程联立，求出的坐标，最后利用两点斜率公式即可证明； （ⅱ）利用相交弦定理把问题转化为证明，分别计算和即可证明. 【详解】（1）设根据，消去，得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则, 因， 则得的标准方程为， 曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线． （2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，消去，整理得， 则，即， 得，， 所以点的坐标为， 同理点的坐标为， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为． 令，得，所以点的坐标为， 同理联立方程，类似可得 ，，． （ⅰ）直线的斜率为， 同理直线的斜率为，所以， 所以； （ⅱ）设，由、、、四点共圆：可知： ， 又，而， 所以， 所以、、、四点共圆． 42．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】 （1）利用信息建立方程组可求解； （2）（i）由题意得的方程组，求出变换后的焦点坐标，再利用变换求出变换前的焦点坐标； （ii）求出点A坐标，直线及的方程，设出切点坐标，写出切线方程，切线方程与直线m联立求出交点坐标，再求出直线和的方程及交点坐标即可证明. 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）(i)由题意得，化简得，解得， 故曲线的焦点坐标为. 设，则，， 解得，所以. （ii）与联立,得,即， 故， 直线的方程为：，切线， 设， ，则切线：， 因在切线上，故 ； 同理：，  . 由，解得 ， 同理可得 . 直线， 直线， 联立解得， 故直线和的交点在定直线上. 43．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①由极点极线的定义可得极线方程；②利用齐次化可证； （2）利用（1）②的结论可证三点共线，从而可证为线段的中点. 【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为. ②设，设直线的方程为：， 又椭圆方程可化为， 故， 由得： ， 设， 则（★） 故为（★）的两个解， 所以 因为过，故，故， 故 . （2） 由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为， 故点在极线上，同样记，连接， 由（1）中的结论可知，，且， 故即三点共线， 如图所示，设， 则， 由（1）中②知，故， 故，故为线段的中点. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解析几何(压轴) 题型1：定点、定值的问题 题型2：面积的相关问题 题型3：求取值范围与最值问题 题型4：存在的问题 题型5：证明类相关问题 题型6：新定义的问题 题型1：定点、定值的问题 1．（2026·云南昭通·二模）已知点与定点的距离和它到定直线的距离之比为． (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与交于两点(其中不共线），记（为坐标原点）的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为． （i）求的取值范围； （ii）求证：为定值． 2．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）已知抛物线，过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若点，直线分别交准线l于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点. 3．（2026·湖南常德·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点和右顶点分别为，，，. (1)求的方程. (2)已知过点的直线与交于，两点，过点且与垂直的直线与交于，两点，，在轴的上方，，分别为，的中点.求证：直线过定点. 4．（2026·北京石景山·一模）已知椭圆的左顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，为椭圆上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于M，N两点，直线与椭圆的另一个交点为.求证： ①； ②直线恒过定点. 5．（2026·江苏·模拟预测）已知椭圆的焦距为，过点的直线与交于两点，为的中点，为坐标原点.设的斜率为，直线的斜率为，. (1)求椭圆的方程； (2)若为直角三角形，求的值； (3)直线交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，探究：是否为定值？ 6．（2026·河南·模拟预测）已知，，动点M满足，设M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设直线与曲线C有两个交点A，B，求k的取值范围； (3)设直线与曲线C交于P，Q两点，求证：为定值． 7．（2026·北京通州·一模）已知椭圆的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线l与椭圆分别交于，两点，已知点，直线与直线交于点．求证：直线的斜率为定值． 题型2：面积的相关问题 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，下顶点为，离心率，直线交椭圆于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若平分，且，垂足为． 　求的取值范围； 　证明：存在定点，使得为定值． 9．（2026·江西·三模）已知椭圆，以原点为圆心，为半径的圆被称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率是，它的蒙日圆为圆. (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一点作椭圆的两条切线分别为和，切椭圆于点和点，求证：； (3)若直线与坐标轴交于两点，求面积的最小值. 10．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且双曲线上任意一点到两条渐近线的距离之积为. (1)求双曲线的方程； (2)设直线：与双曲线的右支交于M，N两点，且M在第一象限，将直线绕点N顺时针旋转30°得，过M作直线的垂线，交于点P； （i）当时，求三角形MNP的面积； （ii）求证：点P在定直线上. 11．（2026·辽宁沈阳·二模）已知抛物线，过焦点F的直线与抛物线E相交于A，B两点，与抛物线E的准线相交于点Q．若以线段AF为直径作圆，当此圆经过点时，． (1)求抛物线E的方程； (2)证明：； (3)若点C，D在抛物线E上，且线段CD的中点在直线上，点．求面积的最大值． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点，点是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心O和顶点重合），过点作轴的垂线交椭圆于P，Q两点，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点． ①求面积的最大值； ②直线是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由． 13．（2026·江苏·二模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 14．（2026·重庆·二模）已知抛物线C：经过点是抛物线C上异于点A的动点，且 (1)求直线AB的斜率(用表示)； (2)设不经过点A的直线l与C交于M，N两点，且直线的斜率之和为1. ①求证：直线l恒过定点Q； ②若向量，且，求的面积S的取值范围. 15．（2026·河南濮阳·二模）已知椭圆的离心率为，且经过点，定义第次操作为：经过上的点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去． (1)求的方程； (2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值； (3)若是在第一象限与不重合的一点，求的面积． 题型3：求取值范围与最值问题 16．（2026·上海普陀·二模）设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点. (1)若点的坐标为，求双曲线的方程； (2)若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值； (3)设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围. 17．（2026·广西河池·二模）已知椭圆：的焦距为，分别为椭圆的左右焦点，点在上，且的面积为． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点． （i）求的取值范围； （ii）已知上一点，且不在轴上，直线与的另一个交点分别为，若，，求的值． 18．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，一条倾斜角为的直线过点，其中，另一条直线经过点，倾斜角为．并且两直线相交于点 (1)当时，求证：线段的垂直平分线过定点． (2)当，时，若点、分别为椭圆的左，右两个焦点，点为椭圆的上顶点，且该椭圆经过点， （i）试求出该椭圆的标准方程； （ii）如果一条直线与椭圆分别交于两点，且满足，请求出的取值范围． 19．（2026·山东菏泽·模拟预测）已知是坐标原点，双曲线左顶点，直线过点交的右支于两点，记的面积分别为，．且当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线交轴于点， （i）若，求证：为定值； （ii）在（i）条件下，若，当时，求的取值范围． 20．（2026·陕西榆林·三模）设椭圆：的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆上任意一点，则椭圆在点处的切线方程为.已知点为直线（其中）上任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，直线与直线交于点. （ⅰ）若，，求的值； （ⅱ）若是圆上的动点，求的最大值. 21．（2026·江苏镇江·二模）已知双曲线与直线有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于、两点． (1)如果，求实数k的取值集合； (2)如果，当点M在运动时， ①求出点的轨迹方程； ②求的最大值并求出对应的s的值． 22．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆：的长轴长为4，离心率为，过点作两条直线，，其中垂直于轴，且与交于，两点（点在第二象限），与交于，两点，直线，交于点． (1)求的方程； (2)若的斜率为，且点在点的上方，求点的坐标； (3)求的最小值． 23．（2026·上海嘉定·二模）已知椭圆与直线、．过椭圆上一点P作的平行线交于点M，作的平行线交于点N． (1)当P为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)若椭圆的离心率，求椭圆的方程，并求的最大值与最小值； (3)若为定值（与点P的位置无关），求a的值，并求此时四边形面积的最大值． 24．（2026·河南开封·二模）已知椭圆经过点，F为C的右焦点，且与x轴垂直． (1)求C的标准方程； (2)设直线l与C交于A，B两点，且（O为坐标原点），探究：是否存在定圆与直线l始终相切? 若存在，求出该定圆的方程；若不存在，说明理由； (3)在（2）的条件下，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 题型4：存在的问题 25．（2026·江西南昌·二模）已知双曲线：（，）的离心率，其上顶点为，过点作斜率为的直线与双曲线的两支分别相交于，两点（在双曲线的上支）且与轴相交于点，直线与轴相交于点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； (3)是否存在直线使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26．（2026·四川资阳·三模）已知抛物线的焦点为，点． 条件①：动点在抛物线上，的最小值为3； 条件②：过点的直线交抛物线于，两点，且． 从条件①，②中再选一个作为已知条件，解答以下问题： (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线交抛物线于，两点． （i）点能否成为的重心（为坐标原点），若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由； （ii）直线上是否存在定点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2026·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点M满足．记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设曲线C的左顶点为E，动直线l与曲线C交于P，Q两点． （ⅰ）设直线的斜率分别为，，且满足，证明：直线l恒过定点； （ⅱ）若直线l经过点，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形的面积为,若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由． 28．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆与椭圆，过的右顶点与轴垂直的直线与的一个交点为，过的右焦点作轴的垂线与的一个交点为． (1)求，的方程； (2)若斜率为的直线交于点，是坐标原点，垂直于的直线交于点． （I）求的最小值； （II）是否存在一个与直线相切的定圆？若存在，求出这个圆的标准方程；若不存在，请说明理由． 29．（2026·江苏苏州·二模）已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. (1)求曲线E的方程； (2)A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 30．（2026·湖南浙江·模拟预测）已知点在抛物线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上． ①若存在，使得，求直线的方程； ②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在．求该定值；若不存在，请说明理由． 题型5：证明类相关问题 31．（2026·云南曲靖·一模）已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， (1)求，的方程； (2)若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； (3)设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 32．（2026·河北唐山·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点． (1)若焦距为12，求的方程； (2)当时，若，证明：轴； (3)若，求的最大值. 33．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 34．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知双曲线，直线与有唯一的公共点，与的两条渐近线分别交于两点. (1)求和的关系； (2)证明点是的中点； (3)以线段为直径的圆与轴交于两点，与轴交于两点，当时，求双曲线的方程. 35．（2026·湖南岳阳·二模）如图，椭圆 与抛物线 有相同的焦点，坐标原点为O，椭圆右顶点为A，椭圆与抛物线在第一象限交于点P，在第四象限交于点Q，且. (1)求椭圆方程； (2)若封闭曲线围成的区域面积为S，证明： (3)将封闭曲线绕x轴旋转一周得到一个几何体Ω，在Ω内部有一个以x轴为轴的圆台，圆台体积为 ，证明：. 36．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 37．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程． (2)设，分别为的左、右顶点，动点在直线（，且）上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （i）求直线与轴的交点的坐标； （ii）设直线与轴的交点的横坐标为，证明：． 题型6：新定义的问题 38．（2026·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比. (1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等； (2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；    (3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围. 39．（2026·湖北·模拟预测）对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：. (1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标； (2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在； (3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值. 40．（2026·吉林·模拟预测）已知对任意平面向量，把向量绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点. (1)若平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； (2)若双曲线绕坐标原点逆时针旋转得到曲线. （i）求双曲线的标准方程及离心率； （ii）双曲线的左顶点为，右焦点为，过点且斜率存在的直线交双曲线于，两点，点是的外心，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 41．（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 42．（2026·山东潍坊·模拟预测）已知椭圆可由椭圆绕原点逆时针旋转得到.经过（）变换：可将椭圆的方程转化为的方程. (1)若上的点经过（*）变换后得到上的对应点的坐标为，求的值； (2)设椭圆的焦点为（其中在第一象限）. （i）求的坐标； （ii）过在第一象限内的顶点作切线，过作轴的垂线，在上且在外的一点作的两条切线，切点分别为，直线和分别交直线于两点.证明：直线和的交点在定直线上. 43．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题： (1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线， ①求极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：. (2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $