动量守恒定律的应用：弹性碰撞、非弹性碰撞、爆炸问题、反冲问题 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

动量守恒定律的应用：弹性碰撞、非弹性碰撞、爆炸问题、反冲问题专项训练 动量守恒定律的应用：弹性碰撞、非弹性碰撞、爆炸问题、反冲问题专项训练 考点目录 弹性碰撞 非弹性碰撞 爆炸问题 反冲问题 考点一 弹性碰撞 例1．（2026·天津·二模）如图所示，某一打桩机重锤的质量为，牵引机械将重锤牵引至距离钢桩顶部处后，由静止释放，重锤自由下落后与钢桩发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后立即取走重锤。钢桩质量为，钢桩下降过程中受到泥土的平均阻力，。求： (1)碰撞前瞬间，重锤的速度大小； (2)碰撞过程中，钢桩对重锤做的功W； (3)碰撞后钢桩下降的距离x。 例2．（2026·河南·模拟预测）如图所示，内壁光滑的细圆管被弯曲成圆形轨道水平固定放置，甲、乙两小球（均视为质点）放置在管内，其中甲的质量为，现给甲一个水平沿圆弧切线的速度，接着甲与乙发生弹性碰撞（第一次碰撞），碰撞刚结束时，甲、乙的速度等大、反向，大小均为，然后发生完全非弹性碰撞（第二次碰撞），碰后甲、乙组成整体的向心力大小为。 (1)求第一次碰撞前甲的速度大小； (2)求第二次碰撞产生的热量以及圆形轨道的半径； (3)求第一次碰撞前后，甲的向心加速度变化量的绝对值。 例3．（2026·天津河西·二模）当我们用尺子击打一摞棋子的最下面一个时，只要速度够快，可使该棋子飞出，上面的棋子落下而不倾倒。某同学受到启发而设计了如图甲所示的探究装置：在水平桌面上沿竖直方向叠放4枚相同的圆柱形棋子A、B、C、D，最底层为棋子A。用一个内径略大于棋子直径的竖直固定圆筒套住上面3枚棋子，限制它们只能沿竖直方向运动，棋子A可在水平方向运动。已知每枚棋子质量，直径，棋子与棋子之间、棋子与桌面之间的动摩擦因数均为0.4，圆筒与棋子间的摩擦力及空气阻力不计，重力加速度g取。 (1)该同学用的水平拉力将A拉出，求A被拉出前的加速度大小。 (2)如图乙所示，改用质量为的摆球撞击A。摆球从与悬挂点O等高处（细线处于伸直状态）由静止释放，在最低点与A发生弹性正碰，碰撞时间极短。已知绳长，摆球视为质点。求： ①碰后瞬间棋子A的速度大小； ②碰后棋子A移动的位移大小x。 变式1．（2026·陕西·模拟预测）如图所示，倾斜传送带的长度，传送带以恒定速率顺时针转动，一个固定在竖直平面内倾角为的粗糙斜面AB与粗糙水平面BC平滑连接于B点，小物块甲从顶端A处静止释放，滑到水平面上的B点向右运动到C点与小物块乙沿水平方向发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后小物块乙从C点滑上倾角的传送带，并从顶端D点沿传送带方向滑出，最后落至水平地面上的E点，已知小物块甲与斜面AB间的动摩擦因数和小物块乙与传送带之间的动摩擦因数均为，小物块甲与水平面间的动摩擦因数为，斜面长，B、C两点的距离，两小物块（可看成质点）质量均为，，，，不计空气阻力，不计传送带传动轮的大小，水平面BC右端C处与倾斜传送带平滑连接，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)小物块甲到达B点时的速度大小； (2)两小物块碰撞后的瞬间小物块乙的速度大小； (3)小物块乙从C点运动到D点的时间t和小物块乙离开传送带后距水平面BC的最大高度h。 变式2．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 变式3．（2026·江苏·二模）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为L。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知m=2g，L=1m，R=0.4m，H=0.2m，v=2m/s，物块与MN、CD之间的动摩擦因数=0.5，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取重力加速度g=10m/s2。求： (1)若h=1.25m，a、b碰撞后瞬时物块a的速度v0的大小； (2)求物块a到达DE最高点E时的速度大小vE（用h表示），此时管道对物块的作用力FN； (3)在（1）的条件下，物块a最终静止的位置x坐标（以A点为坐标原点，水平向右为正建立x轴）。 考点二 非弹性碰撞 例1．（2026·安徽淮北·二模）如图所示，固定的平行光滑轨道由一段水平轨道和一段倾斜轨道组成，轨道间距，轨道之间均平滑连接，一挡板竖直固定在水平轨道的左侧。矩形区域MNOP存在方向垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度，MP与NO长度均为。MN左侧的轨道由绝缘材料制成，在绝缘轨道的水平段上放置质量，宽度也为L的“[”形金属框edcf，“[”形框的cd边的电阻，其余两边电阻不计，de与cf长度均为。MN右侧轨道导电性能良好，水平轨道接有电容的电容器，通过单刀双掷开关可分别与接线柱1、2相连。倾斜轨道倾角，所在空间存在垂直于轨道平面向下的匀强磁场，轨道顶端连接一电源及开关，电源电动势，内阻。闭合开关，质量、电阻的金属棒ab恰好静止在距离水平轨道的高度处。断开开关，将开关接1，导体棒ab运动到斜轨最底端时立即取走，并将其放置于水平轨道磁场区域内靠近左侧边缘，将开关改接2，电容器放电，导体棒ab以的速度被弹出磁场，然后棒ab与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将开关与2断开。框abcd与挡板相碰后，原速率反弹向右运动，在接线柱2左侧某位置停下。除已给电阻外其他电阻不计，棒ab与框abcd运动过程中始终与轨道垂直且接触良好。，重力加速度g取。求： (1)倾斜轨道空间磁场的磁感应强度B的大小； (2)棒ab运动到倾斜轨道底端时的速度v的大小； (3)框abcd停止运动时，棒ab离MN的距离x。 例2．（2026·北京海淀·一模）验证动量守恒的实验可以在如图所示的气垫导轨上完成，其中左、右两侧的光电门可以记录遮光片通过光电门的挡光时间。实验时，开启气垫导轨气源的电源，轻轻拨动两滑块，两滑块在导轨上自由运动时近似为匀速运动，再让滑块A从导轨的左侧向右运动，穿过光电门与静止在两光电门之间的滑块B发生碰撞。现在两个滑块的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥，如图所示。碰撞时撞针插入橡皮泥中，使两个滑块连成一体运动。实验前，测得滑块A（连同其上的遮光片、撞针）的总质量为m1、滑块B（连同其上的遮光片、橡皮泥）的总质量为m2，两滑块上遮光片的宽度相同。实验中测到滑块A单独通过光电门的时间记为t1，滑块连成一体通过光电门的时间记为t2。通过多次实验得到多组t1、t2的值。某同学想通过绘制t1—t2图像验证滑块碰撞前后是否动量守恒，分析说明判断的方法。 例3．（2026·浙江绍兴·二模）一游戏装置的竖直截面如图所示，由平板车、竖直固定螺旋圆轨道（最低点、略有错开）、3个平台、长方体无盖收集箱组成，、分别是平台2的左右两端，平板车的上表面与平台2平齐，、与平台2平滑连接。滑块质量，可视为质点，平板车长，质量，滑块与平板车、平台2的动摩擦因数均为，其余摩擦不计。与的距离，与的距离，收集箱左侧与的距离，圆轨道的半径，平台2与平台3的高度差，收集箱高。滑块以速度滑上平板车，平板车与平台2碰撞后，速度立即变为零，之后滑块恰能通过收集箱边缘。 (1)求：①滑块通过点的速度大小； ②滑块在圆轨道最低点受到的支持力大小； ③平板车右端与端的距离； (2)若滑块进入收集箱后，只在箱底发生一次弹性碰撞，随后从收集箱边缘离开，求：收集箱的宽度。 变式1．（2026·广西柳州·三模）如图所示，原长L=0.5m的弹性轻绳一端固定在O点，另一端连接质量为m=0.8kg的小物块A，O点正下方距离0.5m处固定有一根光滑细钉E，弹性绳的弹力F的大小与其伸长量x的关系满足F=kx，k=60N/m。初始时A与O点等高，弹性绳刚好伸直但无弹力，现将A由静止释放，当A到达O点正下方处时，刚好与地面接触但无弹力，即速度恰好水平，之后A立即与静止在处的小物块B发生碰撞，碰后粘在一起。已知B的质量为3m，A、B与水平地面间的动摩擦因数均为=0.375，OO'的距离为0.9m，g取 10m/s2，A、B均可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 弹性势能。求： (1)碰撞前瞬间，A的速度大小； (2)A与B碰撞损失的机械能； (3)A、B组成的新物块最终停在距O'点多远处。 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，两块相同平板P1、P2置于光滑水平面上，质量均为0.5 kg，P2的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由端B相距L=0.1m，物体P置于P1的最右端，质量为1 kg且可看作质点。P1与P以共同速度向右运动，与静止的P2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P1与P2粘连在一起。P压缩弹簧后被弹回并在A点与P1、P2相对静止，弹簧始终在弹性限度内。已知P与P2之间的动摩擦因数为，重力加速度。求： (1) P1、P2刚碰完时的共同速度； (2)此过程中弹簧的最大压缩量； (3)弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。 变式3．（2026·湖南长沙·一模）如图所示，一足够长的竖直光滑杆固定在水平地面上，杆上穿有小球1和2，一劲度系数为的轻弹簧套在光滑杆上，弹簧下端固定，上端与质量为的小球2连在一起，小球2静止时所在位置为O。另一质量也为的小球1从与O点距离为（未知）的位置由静止开始下落，与小球2发生瞬间碰撞后一起向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变量始终在弹性限度内，当其形变量为时，弹性势能为，重力加速度为 g，不计空气阻力。（已知弹簧振子的周期公式为，其中m为振子的质量） (1)若，求小球1、2碰后向下运动的过程中离O点的最大距离； (2)要使小球1、2碰后的运动过程中始终不分离，求h的最大值； (3)h取第（2）问的最大值情况下，测得小球1、2碰后从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间t。 考点三 爆炸问题 例1．（2026·广东惠州·一模）如图（a）所示，一科研小组计划研究某小型无人机的发射性能，将质量为的小型无人机装载到质量为的母机上，系统在竖直向上的恒定升力作用下，从地面静止起飞，经时间后系统速度为，此时母机发射筒内的少量火药在极短时间内释放化学能，使无人机瞬间以的速度与母机竖直向上分离，之后将作用在母机上的恒定升力调整为，同时，风洞装置对母机施加如图（b）所示的水平风力（以系统静止起飞时为计时起点），为常量，忽略空气阻力和系统质量的变化，重力加速度，求： (1)恒定升力的大小； (2)分离后，母机还需多长时间落地； (3)母机落地时的水平距离与的关系。 例2．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，足够长的固定粗糙斜面的倾角，木板静置在斜面上，木板下端的固定挡板（垂直斜面且质量不计）的上方有少量炸药。将滑块（视为质点）从木板上到挡板的距离处由静止释放，滑块沿木板下滑，下滑过程中木板恰好静止，滑块碰到挡板处的炸药后，炸药立即爆炸（爆炸时间极短且内力远大于外力），爆炸后瞬间木板的速度大小，爆炸后滑块恰好未滑离木板的顶端。滑块的质量，木板的质量，滑块与木板间的动摩擦因数，取重力加速度大小，，，，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)木板与斜面间的动摩擦因数； (2)炸药爆炸后瞬间，滑块的速度大小； (3)木板的长度以及从炸药爆炸到滑块与挡板第二次碰撞的时间。 例3．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 变式1．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，质量为的小物体位于斜面底端，并通过劲度系数为的轻弹簧与质量为小物体相连，质量为的小物体紧挨物体，小物体、间有一定量的火药。小物体、、与斜面间的动摩擦因数为，开始时小物体、、均静止在斜面上，弹簧处于原长状态。现锁定物体，引爆物体间的火药，在极短时间内物体分离，在之后的运动过程中，每当物体沿斜面向上减速为零时，立刻锁定物体，同时释放物体，每当物体沿斜面向上减速为零时，立刻锁定物体A，同时释放物体B。已知物体C沿斜面向上运动的最大距离为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度的大小，弹簧的弹性势能（为劲度系数，为形变量）。 (1)火药爆炸后物体B获得的速度大小； (2)从火药爆炸到物体B向下减速到零的过程中，弹簧的最大压缩量； (3)从物体B第一次沿斜面向上减速到零到第二次沿斜面向上减速到零的过程中，物体B运动的位移大小； (4)物体A、B、C均停止运动时物体B、C间的距离。 变式2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图所示，足够长的固定粗糙斜面的倾角，木板静置在斜面上，木板下端的固定挡板（垂直斜面且质量不计）的上方有少量炸药。将滑块（视为质点）从木板上到挡板的距离处由静止释放，滑块沿木板下滑，下滑过程中木板恰好静止，滑块碰到挡板处的炸药后，炸药立即爆炸（爆炸时间极短且内力远大于外力），爆炸后瞬间木板的速度大小，爆炸后滑块恰好未滑离木板的顶端。滑块的质量，木板的质量，滑块与木板间的动摩擦因数，取重力加速度大小，，，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)木板与斜面间的动摩擦因数； (2)炸药爆炸后瞬间，滑块的速度大小； (3)木板的长度以及从炸药爆炸到滑块与挡板第二次碰撞的时间。 变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）一质量为1kg的烟花弹从地面斜向上发射，发射速度大小为50m/s，方向与水平方向夹角为53°，如图所示，达到最高点时炸裂为质量相等的两部分A和B。爆炸后A又上升了3s，且恰好落回出发点，不计空气阻力，爆炸的时间极短且忽略爆炸前后的总质量变化，取重力加速度，，，求： (1)爆炸点到抛出点的水平、竖直距离； (2)炸裂后A的速度大小； (3)爆炸过程中释放的化学能。 考点四 反冲问题 例1．（2026·四川宜宾·二模）深空探测如同人类文明的“望远镜”，设想有一探测器组合体（包含弹射器与探测器）在半径为r的较高轨道上做匀速圆周运动如图实线所示。某时刻组合体中的弹射器将探测器沿原速度方向弹出，弹出后瞬间探测器速度大小为原来的2倍，此后探测器作离心运动飞向深空执行任务。已知引力常量为G，地球质量为M，弹射器的质量为m，探测器的质量为0.25m，忽略其它天体以及稀薄大气的影响。求： (1)组合体做匀速圆周运动的速度大小； (2)推出探测器后瞬间，弹射器的速度大小； (3)已知弹射器仅在地球引力作用下沿椭圆轨道运动过程中，它与地心连线在任意相等时间内扫过的面积相等；以无穷远处引力势能为0，弹射器在r处的引力势能。求弹射器离地心的最近距离。 例2．（25-26高三上·江苏苏州·期末）如图甲所示，长度为l的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端与质量同为m的木板中点O用光滑轻质铰链连接。足够长的木板置于光滑水平地面上，初始时轻杆竖直，系统静止。小球可视为质点，现给小球一轻微扰动使之下摆，重力加速度为g。 (1)若木板固定，求小球与木板碰撞前瞬间所受杆的作用力大小F； (2)若木板不固定，求杆与竖直方向夹角时，木板速度的大小； (3)如图乙所示，将木板固定，撤去铰链，使杆下端与木板直接接触，两者接触时不会发生相对滑动。求小球第一次落在木板上时，速度与水平方向夹角的正切值。 例3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，质量、内壁光滑的木槽A静置于水平面上，与水平面间的动摩擦因数，木槽内有两个质量分别为m和2m可视为质点的滑块B、C，两滑块通过细线将很短的轻弹簧压缩，B与弹簧连接，C靠着弹簧但不与弹簧连接，B滑块距木槽左端为，C滑块距木槽右端为，初始时弹簧的弹性势能为，现烧断细线，滑块B与木槽碰撞后粘合，滑块C与木槽碰撞无机械能损失，碰撞时间极短，可忽略不计．重力加速度大小，求： (1)滑块B、C与木槽A碰前的速度和的大小； (2)木槽A与滑块C发生第一次碰撞后A的速度大小； (3)木槽A与水平面间因摩擦产生的热量Q。 变式1．（25-26高三上·河北衡水·月考）政府推出惠民政策欲规划一项新的娱乐设施，它是由陆上滑道和水上浮台两大部分组成，如下图所示。滑道ABC有斜道AB和平道BC，AB与BC在B处平滑衔接。A和C的竖直高度，水平距离。水面宽，浮台质量，长，与BC齐平，静止在C处，其左端静止放置一橡胶柱，质量。一质量的游客，从A处由静止开始下滑，游客与滑道的动摩擦因数，游客与浮台、橡胶柱与浮台的动摩擦因数均为，认为浮台碰到右岸后立即停止运动并锁定，人和橡胶柱均可视为质点。不考虑水的阻力对浮台的影响，取。 (1)游客在A点由静止开始下滑，求滑到C处时的速度大小； (2)游客滑上浮台并立即抱住橡胶柱，求游客和橡胶柱的共同速度； (3)求游客、橡胶柱和浮台达到共同速度时，游客离浮台右端的距离； (4)游客、橡胶柱和浮台达到共同速度后，游客为了不冲上右岸也不掉入水中，游客在与橡胶柱一起滑行到离右岸x（未知）的地方时猛地将橡胶柱以速度推出，试用x来表示的范围。（结果不需要写出x的范围） 变式2．（2025·广东·模拟预测）某学校科技小组研究试射火箭模型。如图甲所示，将质量为1.0kg的火箭模型（不含压缩气体质量）由静止竖直发射升空，200g压缩气体以大小为220m/s的对地速度在极短时间内从火箭喷口喷出。若不计空气阻力，重力加速度。 (1)火箭发射后上升的最大高度； (2)如图乙所示，经过改进后，将该火箭设计为上、下两级，每级火箭的质量均为0.5kg（不含压缩气体质量），每级火箭分别灌装100g压缩气体，独立释放，每次喷出的压缩气体相对火箭该次喷气前的速度大小均为220m/s。仍将火箭由静止竖直发射升空，若当下级火箭喷气结束后的1s末两级火箭完成分离（分离过程中两级火箭之间没有相互作用），此刻上级火箭内的压缩气体喷出，求火箭能够上升的最大高度。 变式3．（2025·四川绵阳·一模）在仿生学领域，科研人员正在模仿跳蚤的弹跳设计微型机器人或跳跃式飞行器。如图所示，是一个研究小组设计的一种模仿跳蚤跳跃的两级弹跳装置，圆柱形的一级和二级弹跳体内的弹簧相同，弹簧劲度系数相等且都非常大，被压缩相同程度后锁定（储存的弹性势能相等），通过遥控可分别解锁两根弹簧，使弹簧弹性势能瞬间释放全部转化为弹跳体的动能，弹跳体获得的速度方向沿竖直方向。 两级弹跳体竖直叠放在水平地面上静止，一级弹跳体与地面之间、二级与一级弹跳体之间不拴连。一级、二级弹跳体的总质量相等且分别均为，先解锁一级弹跳体内的弹簧，两级弹跳体一起竖直上升，离地面的最大高度为，上升到最大高度时解锁二级弹跳体内的弹簧。重力加速度为，忽略弹跳体的高度，不考虑空气阻力。 (1)求两级弹跳体一起竖直上升的时间； (2)求二级弹跳体离地面最大高度； (3)若一级弹跳体的质量为，其他初始条件相同，解锁一级弹跳体的弹簧后，在两级弹跳体落地前的任意时刻解锁二级弹跳体的弹簧。求二级弹跳体离地面的最大高度。 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律的应用：弹性碰撞、非弹性碰撞、爆炸问题、反冲问题专项训练 动量守恒定律的应用：弹性碰撞、非弹性碰撞、爆炸问题、反冲问题专项训练 考点目录 弹性碰撞 非弹性碰撞 爆炸问题 反冲问题 考点一 弹性碰撞 例1．（2026·天津·二模）如图所示，某一打桩机重锤的质量为，牵引机械将重锤牵引至距离钢桩顶部处后，由静止释放，重锤自由下落后与钢桩发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后立即取走重锤。钢桩质量为，钢桩下降过程中受到泥土的平均阻力，。求： (1)碰撞前瞬间，重锤的速度大小； (2)碰撞过程中，钢桩对重锤做的功W； (3)碰撞后钢桩下降的距离x。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据动能定理   （2）取向下为正方向，根据动量守恒定律   根据机械能守恒定律   联立解得   根据动能定理   可得 （3）钢桩下降过程根据动能定理   解得 例2．（2026·河南·模拟预测）如图所示，内壁光滑的细圆管被弯曲成圆形轨道水平固定放置，甲、乙两小球（均视为质点）放置在管内，其中甲的质量为，现给甲一个水平沿圆弧切线的速度，接着甲与乙发生弹性碰撞（第一次碰撞），碰撞刚结束时，甲、乙的速度等大、反向，大小均为，然后发生完全非弹性碰撞（第二次碰撞），碰后甲、乙组成整体的向心力大小为。 (1)求第一次碰撞前甲的速度大小； (2)求第二次碰撞产生的热量以及圆形轨道的半径； (3)求第一次碰撞前后，甲的向心加速度变化量的绝对值。 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）设乙的质量为，第一次碰撞前甲的速度为，由弹性碰撞规律可得， 联立解得， （2）甲、乙发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒有 碰撞产生热量 联立解得， 对整体，由向心力公式可得 联立解得圆形轨道的半径 （3）第一次碰撞前甲的向心加速度为 碰撞后甲的向心加速度为 向心加速度变化量的绝对值为 综合可得 例3．（2026·天津河西·二模）当我们用尺子击打一摞棋子的最下面一个时，只要速度够快，可使该棋子飞出，上面的棋子落下而不倾倒。某同学受到启发而设计了如图甲所示的探究装置：在水平桌面上沿竖直方向叠放4枚相同的圆柱形棋子A、B、C、D，最底层为棋子A。用一个内径略大于棋子直径的竖直固定圆筒套住上面3枚棋子，限制它们只能沿竖直方向运动，棋子A可在水平方向运动。已知每枚棋子质量，直径，棋子与棋子之间、棋子与桌面之间的动摩擦因数均为0.4，圆筒与棋子间的摩擦力及空气阻力不计，重力加速度g取。 (1)该同学用的水平拉力将A拉出，求A被拉出前的加速度大小。 (2)如图乙所示，改用质量为的摆球撞击A。摆球从与悬挂点O等高处（细线处于伸直状态）由静止释放，在最低点与A发生弹性正碰，碰撞时间极短。已知绳长，摆球视为质点。求： ①碰后瞬间棋子A的速度大小； ②碰后棋子A移动的位移大小x。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）上方3枚棋子对A的滑动摩擦力为 桌面对A的滑动摩擦力 根据牛顿第二定律 代入数据得 （2）① 摆球下摆过程机械能守恒 代入得。 摆球与A发生弹性正碰，满足动量守恒和动能守恒 ， 解得v=0，。 ② 对A用动能定理 代入数据得 变式1．（2026·陕西·模拟预测）如图所示，倾斜传送带的长度，传送带以恒定速率顺时针转动，一个固定在竖直平面内倾角为的粗糙斜面AB与粗糙水平面BC平滑连接于B点，小物块甲从顶端A处静止释放，滑到水平面上的B点向右运动到C点与小物块乙沿水平方向发生弹性碰撞（碰撞时间极短），碰撞后小物块乙从C点滑上倾角的传送带，并从顶端D点沿传送带方向滑出，最后落至水平地面上的E点，已知小物块甲与斜面AB间的动摩擦因数和小物块乙与传送带之间的动摩擦因数均为，小物块甲与水平面间的动摩擦因数为，斜面长，B、C两点的距离，两小物块（可看成质点）质量均为，，，，不计空气阻力，不计传送带传动轮的大小，水平面BC右端C处与倾斜传送带平滑连接，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)小物块甲到达B点时的速度大小； (2)两小物块碰撞后的瞬间小物块乙的速度大小； (3)小物块乙从C点运动到D点的时间t和小物块乙离开传送带后距水平面BC的最大高度h。 【答案】(1) (2) (3)1.4s， 【详解】（1）根据牛顿第二定律，小物块甲沿粗糙斜面下滑的加速度大小为 小物块甲从A端运动到B端做初速度为零的匀加速直线运动，设需要的时间为，则有 解得 小物块甲到达B点时的速度大小 （2）设小物块甲在水平面上运动时的加速度为，根据牛顿第二定律得 解得 小物块甲从B点到C点的运动满足 解得小物块甲向右运动到达C点时的速度大小 甲与乙发生弹性碰撞，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得， （3）小物块乙以滑上传送带，设小物块乙匀减速运动的位移大小为时与传送带共速，由牛顿第二定律有 解得 由运动学公式 解得 小物块乙匀减速的时间为 此后对小物块乙受力分析，由牛顿第二定律有 解得，则小物块乙接着以做匀减速直线运动，由运动学公式 解得 再次减速的时间为 则小物块乙从C点运动到D点的时间 D点离地面的高度为 小物块乙离开传送带后做斜抛运动，则有 解得 联立解得小物块乙距水平面BC的最大高度为 变式2．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 变式3．（2026·江苏·二模）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为L。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知m=2g，L=1m，R=0.4m，H=0.2m，v=2m/s，物块与MN、CD之间的动摩擦因数=0.5，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取重力加速度g=10m/s2。求： (1)若h=1.25m，a、b碰撞后瞬时物块a的速度v0的大小； (2)求物块a到达DE最高点E时的速度大小vE（用h表示），此时管道对物块的作用力FN； (3)在（1）的条件下，物块a最终静止的位置x坐标（以A点为坐标原点，水平向右为正建立x轴）。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）物块b摆到最低点过程中，由机械能守恒定律有 解得 a与b发生弹性碰撞，规定向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得， 联立解得 （2）碰后对a，根据动能定理有 其中，联立解得 可知当时，物块a到达E点时的速度恰好为零，则有 方向竖直向上。 设在E点管道对物块a有弹力，取竖直向下为正方向，则在E点由牛顿第二定律有 联立解得 可知当时，弹力为负，则弹力方向竖直向上；当h=1.4m时，弹力为0；当时，弹力为正，则弹力方向竖直向下。综上可知，当时，（方向竖直向上）；当时，；当时（方向竖直向下）。 （3）由第（2）问可知h=1.25m时物块a能过E点，且速度大小为 物块a从E点抛出后，根据平抛运动规律有， 联立解得 故物块a最终静止的位置x坐标 几何关系可知 联立解得 考点二 非弹性碰撞 例1．（2026·安徽淮北·二模）如图所示，固定的平行光滑轨道由一段水平轨道和一段倾斜轨道组成，轨道间距，轨道之间均平滑连接，一挡板竖直固定在水平轨道的左侧。矩形区域MNOP存在方向垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁感应强度，MP与NO长度均为。MN左侧的轨道由绝缘材料制成，在绝缘轨道的水平段上放置质量，宽度也为L的“[”形金属框edcf，“[”形框的cd边的电阻，其余两边电阻不计，de与cf长度均为。MN右侧轨道导电性能良好，水平轨道接有电容的电容器，通过单刀双掷开关可分别与接线柱1、2相连。倾斜轨道倾角，所在空间存在垂直于轨道平面向下的匀强磁场，轨道顶端连接一电源及开关，电源电动势，内阻。闭合开关，质量、电阻的金属棒ab恰好静止在距离水平轨道的高度处。断开开关，将开关接1，导体棒ab运动到斜轨最底端时立即取走，并将其放置于水平轨道磁场区域内靠近左侧边缘，将开关改接2，电容器放电，导体棒ab以的速度被弹出磁场，然后棒ab与“[”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将开关与2断开。框abcd与挡板相碰后，原速率反弹向右运动，在接线柱2左侧某位置停下。除已给电阻外其他电阻不计，棒ab与框abcd运动过程中始终与轨道垂直且接触良好。，重力加速度g取。求： (1)倾斜轨道空间磁场的磁感应强度B的大小； (2)棒ab运动到倾斜轨道底端时的速度v的大小； (3)框abcd停止运动时，棒ab离MN的距离x。 【答案】(1)1T (2) (3)0.46m 【详解】（1）依题意金属棒ab静止，根据平衡条件有 根据闭合电路欧姆定律有 联立得 （2）金属棒ab下滑过程中，根据牛顿第二定律有 其中 电容器充电，取很短的时间，有 其中，根据法拉第电磁感应定律有 解得，即金属棒ab做匀加速直线运动，由速度与位移关系式有 其中 联立得 （3）金属棒ab与框碰撞后粘在一起，由动量守恒定律，有 得 设闭合框abcd到停下的过程中，走过的路程为，取小段时间，由动量定理有 其中 得 因，说明框abcd没有完全离开磁场就停下了，，说明金属棒ab已经通过磁场 当金属棒ab通过磁场，cd边还未进入磁场时，穿过框abcd的磁通量不发生变化，框做匀速直线运动，走过路程 之后cd边进入磁场直到框abcd停下来，故最终棒ab离MN的距离 例2．（2026·北京海淀·一模）验证动量守恒的实验可以在如图所示的气垫导轨上完成，其中左、右两侧的光电门可以记录遮光片通过光电门的挡光时间。实验时，开启气垫导轨气源的电源，轻轻拨动两滑块，两滑块在导轨上自由运动时近似为匀速运动，再让滑块A从导轨的左侧向右运动，穿过光电门与静止在两光电门之间的滑块B发生碰撞。现在两个滑块的碰撞端分别装上撞针和橡皮泥，如图所示。碰撞时撞针插入橡皮泥中，使两个滑块连成一体运动。实验前，测得滑块A（连同其上的遮光片、撞针）的总质量为m1、滑块B（连同其上的遮光片、橡皮泥）的总质量为m2，两滑块上遮光片的宽度相同。实验中测到滑块A单独通过光电门的时间记为t1，滑块连成一体通过光电门的时间记为t2。通过多次实验得到多组t1、t2的值。某同学想通过绘制t1—t2图像验证滑块碰撞前后是否动量守恒，分析说明判断的方法。 【答案】见解析 【详解】设遮光片宽度为，碰撞前滑块匀速运动，速度为 滑块静止，故碰撞前总动量 碰撞后两滑块连成一体匀速运动，共同速度 故碰撞后总动量 若碰撞过程动量守恒，则 整理得 绘制图像，若图像为过原点的倾斜直线，且直线斜率等于，即可验证碰撞过程动量守恒；若不满足该关系，则说明动量不守恒。 例3．（2026·浙江绍兴·二模）一游戏装置的竖直截面如图所示，由平板车、竖直固定螺旋圆轨道（最低点、略有错开）、3个平台、长方体无盖收集箱组成，、分别是平台2的左右两端，平板车的上表面与平台2平齐，、与平台2平滑连接。滑块质量，可视为质点，平板车长，质量，滑块与平板车、平台2的动摩擦因数均为，其余摩擦不计。与的距离，与的距离，收集箱左侧与的距离，圆轨道的半径，平台2与平台3的高度差，收集箱高。滑块以速度滑上平板车，平板车与平台2碰撞后，速度立即变为零，之后滑块恰能通过收集箱边缘。 (1)求：①滑块通过点的速度大小； ②滑块在圆轨道最低点受到的支持力大小； ③平板车右端与端的距离； (2)若滑块进入收集箱后，只在箱底发生一次弹性碰撞，随后从收集箱边缘离开，求：收集箱的宽度。 【答案】(1)①；②12N； ③ (2)0.4m或2.4m 【详解】（1）①根据平抛运动规律有， 代入题中数据，解得 ②滑块从B到C过程有 解得 在B点有 联立解得 ③设滑块在点的速度大小为，从A到C过程，根据动能定理有 联立解得 设滑块与小车达到共速时，速度为，规定向右为正方向，根据动量守恒有 联立解得 因为滑块一直做减速运动，根据动能定理有 联立解得 （2）滑块到达收集箱底端碰撞时，竖直方向速度大小为，则有 解得 根据 联立解得， 则收集箱的宽度或 变式1．（2026·广西柳州·三模）如图所示，原长L=0.5m的弹性轻绳一端固定在O点，另一端连接质量为m=0.8kg的小物块A，O点正下方距离0.5m处固定有一根光滑细钉E，弹性绳的弹力F的大小与其伸长量x的关系满足F=kx，k=60N/m。初始时A与O点等高，弹性绳刚好伸直但无弹力，现将A由静止释放，当A到达O点正下方处时，刚好与地面接触但无弹力，即速度恰好水平，之后A立即与静止在处的小物块B发生碰撞，碰后粘在一起。已知B的质量为3m，A、B与水平地面间的动摩擦因数均为=0.375，OO'的距离为0.9m，g取 10m/s2，A、B均可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 弹性势能。求： (1)碰撞前瞬间，A的速度大小； (2)A与B碰撞损失的机械能； (3)A、B组成的新物块最终停在距O'点多远处。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从释放开始到到达处，设的距离为，对由机械能守恒定律有 其中 代入数据解得。 （2）A、B碰撞过程动量守恒，设碰后共同速度为，则有 A、B碰撞后损失的动能为 联立解得。 （3）碰后A、B的重力 弹性绳的弹力为 即满足，所以碰后A、B一起在水平方向运动，水平方向受弹性绳拉力的水平分力和滑动摩擦力，设最终弹性绳伸长量为，A、B组成的新物块最终停在距点远处，根据题意可知，弹性绳的弹力在竖直方向的分力有 弹性绳的弹力在竖直方向的分力始终不变，则在A、B从运动过程中的支持力 弹性绳的弹力做功转化为弹性绳的弹性势能，滑动摩擦力做功等于减少的机械能，根据能量守恒定律有 根据几何关系有 联立解得 即A、B组成的新物块最终停在距点处。 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，两块相同平板P1、P2置于光滑水平面上，质量均为0.5 kg，P2的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由端B相距L=0.1m，物体P置于P1的最右端，质量为1 kg且可看作质点。P1与P以共同速度向右运动，与静止的P2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P1与P2粘连在一起。P压缩弹簧后被弹回并在A点与P1、P2相对静止，弹簧始终在弹性限度内。已知P与P2之间的动摩擦因数为，重力加速度。求： (1) P1、P2刚碰完时的共同速度； (2)此过程中弹簧的最大压缩量； (3)弹簧达到最大压缩量时的弹性势能。 【答案】(1) (2)0.1 m (3)0.5J 【详解】（1）对、组成的系统，由动量守恒定律得 解得 （2）对、、P组成的系统，从、碰撞结束到最终P停在点，由动量守恒定律得 解得 由能量守恒定律得 解得 （3）对、、P组成的系统，从、碰撞结束到弹簧压缩到最短，由能量守恒定律得 解得 变式3．（2026·湖南长沙·一模）如图所示，一足够长的竖直光滑杆固定在水平地面上，杆上穿有小球1和2，一劲度系数为的轻弹簧套在光滑杆上，弹簧下端固定，上端与质量为的小球2连在一起，小球2静止时所在位置为O。另一质量也为的小球1从与O点距离为（未知）的位置由静止开始下落，与小球2发生瞬间碰撞后一起向下运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变量始终在弹性限度内，当其形变量为时，弹性势能为，重力加速度为 g，不计空气阻力。（已知弹簧振子的周期公式为，其中m为振子的质量） (1)若，求小球1、2碰后向下运动的过程中离O点的最大距离； (2)要使小球1、2碰后的运动过程中始终不分离，求h的最大值； (3)h取第（2）问的最大值情况下，测得小球1、2碰后从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球1自由下落h的速度为v₁，根据机械能守恒有 1与2碰撞过程动量守恒，则有 将代入，联立解得 2在O位置弹簧被压缩，根据平衡条件得 1与2共同运动离O点的最大距离为，根据机械能守恒定律有 整理得 解得舍去）即 （2）小球1、2碰后做简谐运动，当运动到最高点即将分离时，它们的加速度大小，即反弹上升的最高点为弹簧 原长位置，由能量守恒有 解得 由（1）问动量守恒，碰前速度 解得 （3）两小球一起向下运动的过程中，根据平衡条件有 小球1、2碰后做简谐运动的振幅 振动图像如图所示 由余弦函数知 小球1、2碰后从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间 则小球1、2碰后做简谐运动的周期 故小球1、2碰后从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间 考点三 爆炸问题 例1．（2026·广东惠州·一模）如图（a）所示，一科研小组计划研究某小型无人机的发射性能，将质量为的小型无人机装载到质量为的母机上，系统在竖直向上的恒定升力作用下，从地面静止起飞，经时间后系统速度为，此时母机发射筒内的少量火药在极短时间内释放化学能，使无人机瞬间以的速度与母机竖直向上分离，之后将作用在母机上的恒定升力调整为，同时，风洞装置对母机施加如图（b）所示的水平风力（以系统静止起飞时为计时起点），为常量，忽略空气阻力和系统质量的变化，重力加速度，求： (1)恒定升力的大小； (2)分离后，母机还需多长时间落地； (3)母机落地时的水平距离与的关系。 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【详解】（1）系统从静止开始匀加速运动，后速度为，由运动学公式得加速度 对整体（总质量）由牛顿第二定律 解得 （2）分离过程动量守恒，设分离后母机速度为，无人机速度为，有 解得，方向向上。 分离前系统上升的高度 分离后母机质量，升力为，由牛顿第二定律（向下为正） 解得，方向向下。 设分离后落地时间为，位移向下为，由运动学公式 解得正根（负根舍去） （3）水平方向内，水平位移为0； 分离后母机水平加速度，分离后总运动时间为，分两种情况： 当分离后全程受水平风力，水平位移 当风力作用秒后，剩余秒水平匀速； 前秒位移，秒末速度，匀速位移 总位移 例2．（2026·河北邯郸·一模）如图所示，足够长的固定粗糙斜面的倾角，木板静置在斜面上，木板下端的固定挡板（垂直斜面且质量不计）的上方有少量炸药。将滑块（视为质点）从木板上到挡板的距离处由静止释放，滑块沿木板下滑，下滑过程中木板恰好静止，滑块碰到挡板处的炸药后，炸药立即爆炸（爆炸时间极短且内力远大于外力），爆炸后瞬间木板的速度大小，爆炸后滑块恰好未滑离木板的顶端。滑块的质量，木板的质量，滑块与木板间的动摩擦因数，取重力加速度大小，，，，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)木板与斜面间的动摩擦因数； (2)炸药爆炸后瞬间，滑块的速度大小； (3)木板的长度以及从炸药爆炸到滑块与挡板第二次碰撞的时间。 【答案】(1) (2) (3)3.25m，2.3s 【详解】（1）对木板，根据物体的平衡条件有 解得。 （2）设从释放滑块至滑块下滑到挡板处，滑块的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 设滑块下滑到挡板处时的速度大小为，根据匀变速直线运动的规律有 解得 炸药爆炸时内力远大于外力，系统动量守恒，因为 所以炸药爆炸后瞬间滑块的速度方向沿斜面向上，以沿斜面向下为正方向，有 解得。 （3）设在炸药爆炸后滑块相对木板上滑的过程中，滑块的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 设在炸药爆炸后滑块相对木板上滑的过程中，木板下滑的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 设炸药爆炸后经时间，滑块与木板的速度相同，且该相同速度的大小为，以沿斜面向下为正方向，有 解得， 以沿斜面向下为正方向，在这段时间内，滑块的位移 解得 在这段时间内，木板的位移 解得 又 解得 设从滑块与木板达到相同速度至滑块与挡板第二次碰撞的时间为，经分析可知，在这段时间内，滑块相对木板做初速度为0、加速度大小为的匀加速直线运动，有 解得 又 解得。 例3．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 【答案】(1)3m/s (2)； 【详解】（1）对A、B组成的系统，动量守恒 由能量关系可得 解得 （2）爆炸后，物块A向左匀减速，物块B匀速，长木板向左匀加速；设A与木板共速后，B再与木板碰撞，规定方向向左为正方向；A、长木板动量守恒 对A受力分析根据牛顿第二定律 匀变速运动中速度时间关系 可得， 物块B的位移 长木板位移 ，假设成立 A和木板共速后以匀速运动， 爆炸后瞬间到B第一次与挡板相碰所经历的时间 第一次B与木板发生弹性碰撞，以右为正向 根据动量守恒 机械能守恒 解得 变式1．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，质量为的小物体位于斜面底端，并通过劲度系数为的轻弹簧与质量为小物体相连，质量为的小物体紧挨物体，小物体、间有一定量的火药。小物体、、与斜面间的动摩擦因数为，开始时小物体、、均静止在斜面上，弹簧处于原长状态。现锁定物体，引爆物体间的火药，在极短时间内物体分离，在之后的运动过程中，每当物体沿斜面向上减速为零时，立刻锁定物体，同时释放物体，每当物体沿斜面向上减速为零时，立刻锁定物体A，同时释放物体B。已知物体C沿斜面向上运动的最大距离为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度的大小，弹簧的弹性势能（为劲度系数，为形变量）。 (1)火药爆炸后物体B获得的速度大小； (2)从火药爆炸到物体B向下减速到零的过程中，弹簧的最大压缩量； (3)从物体B第一次沿斜面向上减速到零到第二次沿斜面向上减速到零的过程中，物体B运动的位移大小； (4)物体A、B、C均停止运动时物体B、C间的距离。 【答案】(1)8m/s (2)0.8m (3)0.8m (4)0.2m 【详解】（1）物体B、C分离后C沿斜面向上做减速运动，由牛顿第二定律有 解得 由运动学公式有 解得 火药爆炸过程，组成的系统动量守恒，由动量守恒定律有 解得 （2）设火药爆炸后物体B向下减速到零运动的位移为，由能量守恒定律有 解得 （3）沿斜面向上的运动时设B处于平衡位置时弹簧的压缩量为，则   沿斜面向下偏离平衡位置的位移为时，弹簧的压缩量为。取沿斜面向下为正方向，则此时弹簧振子的回复力 设第一次沿斜面向上的振幅为，则有 设第一次沿斜面向上速度减小为零时弹簧的伸长量为，则 则从火药爆炸到第一次沿斜面向上减速到零，沿斜面向上运动了 由（3）问同理可得，物体沿斜面向上的运动为简谐运动。设处于平衡位置时弹簧的伸长量为，则有 第一次沿斜面向上的振幅为，则有 设第一次沿斜面向上速度减小为零时弹簧的压缩量为，可得 设第二次沿斜面向上的振幅为，速度减小为零时弹簧的伸长量为， 解得 则从第一次沿斜面减速到零到第二次减速到零，沿斜面向上运动了。 （4）设第二次沿斜面向上的振幅为，速度减小为零时弹簧的压缩量为，则有 解得 设第三次沿斜面向上的振幅为，速度减小为零时弹簧的伸长量为，则有 解得 此时均停止运动，从第二次沿斜面减速到零到第三次减速到零，沿斜面向上运动了，由以上分析可知沿斜面向上运动的总路程为，所以最终间的距离为。 变式2．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图所示，足够长的固定粗糙斜面的倾角，木板静置在斜面上，木板下端的固定挡板（垂直斜面且质量不计）的上方有少量炸药。将滑块（视为质点）从木板上到挡板的距离处由静止释放，滑块沿木板下滑，下滑过程中木板恰好静止，滑块碰到挡板处的炸药后，炸药立即爆炸（爆炸时间极短且内力远大于外力），爆炸后瞬间木板的速度大小，爆炸后滑块恰好未滑离木板的顶端。滑块的质量，木板的质量，滑块与木板间的动摩擦因数，取重力加速度大小，，，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： (1)木板与斜面间的动摩擦因数； (2)炸药爆炸后瞬间，滑块的速度大小； (3)木板的长度以及从炸药爆炸到滑块与挡板第二次碰撞的时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）对木板，根据物体的平衡条件有 解得 （2）设从释放滑块至滑块下滑到挡板处，滑块的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 设滑块下滑到挡板处时的速度大小为，根据匀变速直线运动的规律有 解得 炸药爆炸时内力远大于外力，系统动量守恒，因为，所以炸药爆炸后瞬间滑块的速度方向沿斜面向上，以沿斜面向下为正方向，有 解得 （3）设在炸药爆炸后滑块相对木板上滑的过程中，滑块的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 设在炸药爆炸后滑块相对木板上滑的过程中，木板下滑的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 解得 设炸药爆炸后经时间，滑块与木板的速度相同，且该相同速度的大小为，以沿斜面向下为正方向，有 解得 以沿斜面向下为正方向，在这段时间内，滑块的位移 解得 在这段时间内，木板的位移 解得 又 解得 设从滑块与木板达到相同速度至滑块与挡板第二次碰撞的时间为，经分析可知，在这段时间内，滑块相对木板做初速度为0、加速度大小为的匀加速直线运动，有 解得 又 解得 变式3．（25-26高三上·广东深圳·期末）一质量为1kg的烟花弹从地面斜向上发射，发射速度大小为50m/s，方向与水平方向夹角为53°，如图所示，达到最高点时炸裂为质量相等的两部分A和B。爆炸后A又上升了3s，且恰好落回出发点，不计空气阻力，爆炸的时间极短且忽略爆炸前后的总质量变化，取重力加速度，，，求： (1)爆炸点到抛出点的水平、竖直距离； (2)炸裂后A的速度大小； (3)爆炸过程中释放的化学能。 【答案】(1)120m， (2) (3)1462.5J 【详解】（1）初速度的水平、竖直分量分别为vx = v0 cos 53° = 30 m/s ，vy = v0sin53° = 40 m/s 运动时间为 水平、竖直方向位移为x = vx t = 120 m， （2）炸裂后，A运动的竖直方向有， 下落过程有 解得 A运动的水平方向有x = vAx (t1 + t2) 解得vAx = 15 m/s 炸裂后A的速度 （3）爆炸时，由水平、竖直方向动量守恒有 解得vBx = 75 m/s，vBy = 30 m/s     爆炸过程中释放的化学能为 考点四 反冲问题 例1．（2026·四川宜宾·二模）深空探测如同人类文明的“望远镜”，设想有一探测器组合体（包含弹射器与探测器）在半径为r的较高轨道上做匀速圆周运动如图实线所示。某时刻组合体中的弹射器将探测器沿原速度方向弹出，弹出后瞬间探测器速度大小为原来的2倍，此后探测器作离心运动飞向深空执行任务。已知引力常量为G，地球质量为M，弹射器的质量为m，探测器的质量为0.25m，忽略其它天体以及稀薄大气的影响。求： (1)组合体做匀速圆周运动的速度大小； (2)推出探测器后瞬间，弹射器的速度大小； (3)已知弹射器仅在地球引力作用下沿椭圆轨道运动过程中，它与地心连线在任意相等时间内扫过的面积相等；以无穷远处引力势能为0，弹射器在r处的引力势能。求弹射器离地心的最近距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）弹射器和探测器组成的组合体总质量为 组合体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，则 解得 （2）弹射器和探测器组成的系统动量守恒，则 解得 （3）设弹射器离地心最近距离为时，速度的大小为，根据它与地心连线在任意相等时间内扫过的面积相等，则任意时间内 得 根据能量守恒定律有 又 联立解得 例2．（25-26高三上·江苏苏州·期末）如图甲所示，长度为l的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端与质量同为m的木板中点O用光滑轻质铰链连接。足够长的木板置于光滑水平地面上，初始时轻杆竖直，系统静止。小球可视为质点，现给小球一轻微扰动使之下摆，重力加速度为g。 (1)若木板固定，求小球与木板碰撞前瞬间所受杆的作用力大小F； (2)若木板不固定，求杆与竖直方向夹角时，木板速度的大小； (3)如图乙所示，将木板固定，撤去铰链，使杆下端与木板直接接触，两者接触时不会发生相对滑动。求小球第一次落在木板上时，速度与水平方向夹角的正切值。 【答案】(1)2mg (2) (3) 【详解】（1）若木板固定，则小球绕铰链转动，到达地面时，由机械能守恒定律 此时杆对球的作用力 （2）设木板对地速度为v1，小球速度对地为v2，由水平方向动量守恒 小球相对O点的运动是圆周运动，则水平方向相对O点的速度为 设竖直方向相对O点的速度为vy，也是对地速度 由矢量关系解得： 则 由能量关系 解得木板速度的大小 （3）设当杆转过角时杆的弹力变为零，则 解得 以后球做斜下抛运动，则落地时水平速度 竖直速度 速度与水平方向夹角的正切值 例3．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）如图所示，质量、内壁光滑的木槽A静置于水平面上，与水平面间的动摩擦因数，木槽内有两个质量分别为m和2m可视为质点的滑块B、C，两滑块通过细线将很短的轻弹簧压缩，B与弹簧连接，C靠着弹簧但不与弹簧连接，B滑块距木槽左端为，C滑块距木槽右端为，初始时弹簧的弹性势能为，现烧断细线，滑块B与木槽碰撞后粘合，滑块C与木槽碰撞无机械能损失，碰撞时间极短，可忽略不计．重力加速度大小，求： (1)滑块B、C与木槽A碰前的速度和的大小； (2)木槽A与滑块C发生第一次碰撞后A的速度大小； (3)木槽A与水平面间因摩擦产生的热量Q。 【答案】(1)， (2)2m/s (3)2.4J 【详解】（1）烧断细线后，弹簧弹开B、C的过程，对BC和弹簧构成的系统，根据动量守恒和机械能守恒分别有， 代入数据，联立解得， （2）碰后B运动到A左端用时 碰后C运动到A右端用时 可知C碰A前B已经与A发生了碰撞，规定向左为正方向，设B与A碰后AB整体速度大小为，对B碰A过程有 解得 对C碰AB整体过程有， 联立解得碰后C、A速度分别为， （3）结合第（2）分析可知，B碰A过程AB系统损失的机械能为 之后C与AB整体碰撞（C与木槽碰撞无机械能损失），碰撞多次后ABC均静止不动，根据能量守恒，木槽A与水平面间因摩擦产生的热量为 变式1．（25-26高三上·河北衡水·月考）政府推出惠民政策欲规划一项新的娱乐设施，它是由陆上滑道和水上浮台两大部分组成，如下图所示。滑道ABC有斜道AB和平道BC，AB与BC在B处平滑衔接。A和C的竖直高度，水平距离。水面宽，浮台质量，长，与BC齐平，静止在C处，其左端静止放置一橡胶柱，质量。一质量的游客，从A处由静止开始下滑，游客与滑道的动摩擦因数，游客与浮台、橡胶柱与浮台的动摩擦因数均为，认为浮台碰到右岸后立即停止运动并锁定，人和橡胶柱均可视为质点。不考虑水的阻力对浮台的影响，取。 (1)游客在A点由静止开始下滑，求滑到C处时的速度大小； (2)游客滑上浮台并立即抱住橡胶柱，求游客和橡胶柱的共同速度； (3)求游客、橡胶柱和浮台达到共同速度时，游客离浮台右端的距离； (4)游客、橡胶柱和浮台达到共同速度后，游客为了不冲上右岸也不掉入水中，游客在与橡胶柱一起滑行到离右岸x（未知）的地方时猛地将橡胶柱以速度推出，试用x来表示的范围。（结果不需要写出x的范围） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设游客在点时速度为，设AB与水平面夹角为，游客从滑到过程，由动能定理得 解得 （2）在处，游客迅速抱住橡胶柱，规定向右为正方向，由动量守恒定律得   解得 （3）游客抱住橡胶柱后在浮台上滑动做减速运动，浮台做加速运动，三者达到共同速度，由动量守恒定律得 解得 滑动过程能量守恒，三者动能的损失转化为摩擦热量    解得 共速时游客离浮台右端的距离 解得 （4）三者共速瞬间浮台与右岸相碰停止运动，游客与橡胶柱继续滑行时的速度为，由动能定理得 即 解得 ①在该处若不冲上右岸，速度不能超过，有 得 游客猛地推出瞬间速度由减为，由动量守恒定律得 解得 ②在该处若不反向掉入水中，速度不能超过，即 解得 游客猛地推出橡胶柱瞬间速度由反向为，由动量守恒定律得 解得 故用来表示的范围为 变式2．（2025·广东·模拟预测）某学校科技小组研究试射火箭模型。如图甲所示，将质量为1.0kg的火箭模型（不含压缩气体质量）由静止竖直发射升空，200g压缩气体以大小为220m/s的对地速度在极短时间内从火箭喷口喷出。若不计空气阻力，重力加速度。 (1)火箭发射后上升的最大高度； (2)如图乙所示，经过改进后，将该火箭设计为上、下两级，每级火箭的质量均为0.5kg（不含压缩气体质量），每级火箭分别灌装100g压缩气体，独立释放，每次喷出的压缩气体相对火箭该次喷气前的速度大小均为220m/s。仍将火箭由静止竖直发射升空，若当下级火箭喷气结束后的1s末两级火箭完成分离（分离过程中两级火箭之间没有相互作用），此刻上级火箭内的压缩气体喷出，求火箭能够上升的最大高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对火箭喷气过程研究，火箭和气体组成的系统动量守恒，由动量守恒定律有 喷气后火箭上升过程，由运动学公式有 联立解得 （2）第一次喷气过程中由动量守恒定律有 第一次喷气结束后的1s内，火箭做竖直上抛运动，由运动学知识有 该过程中火箭上升的高度 第二次喷气过程中由动量守恒定律有 第二次喷气后火箭上升过程，由运动学公式有 第二次喷气后火箭能够上升的最大高度 变式3．（2025·四川绵阳·一模）在仿生学领域，科研人员正在模仿跳蚤的弹跳设计微型机器人或跳跃式飞行器。如图所示，是一个研究小组设计的一种模仿跳蚤跳跃的两级弹跳装置，圆柱形的一级和二级弹跳体内的弹簧相同，弹簧劲度系数相等且都非常大，被压缩相同程度后锁定（储存的弹性势能相等），通过遥控可分别解锁两根弹簧，使弹簧弹性势能瞬间释放全部转化为弹跳体的动能，弹跳体获得的速度方向沿竖直方向。 两级弹跳体竖直叠放在水平地面上静止，一级弹跳体与地面之间、二级与一级弹跳体之间不拴连。一级、二级弹跳体的总质量相等且分别均为，先解锁一级弹跳体内的弹簧，两级弹跳体一起竖直上升，离地面的最大高度为，上升到最大高度时解锁二级弹跳体内的弹簧。重力加速度为，忽略弹跳体的高度，不考虑空气阻力。 (1)求两级弹跳体一起竖直上升的时间； (2)求二级弹跳体离地面最大高度； (3)若一级弹跳体的质量为，其他初始条件相同，解锁一级弹跳体的弹簧后，在两级弹跳体落地前的任意时刻解锁二级弹跳体的弹簧。求二级弹跳体离地面的最大高度。 【答案】(1) (2)2H (3) 【详解】（1）设两级弹跳体一起竖直上升的时间为t，则 解得 （2）当两级弹跳体一起竖直上升到离地面最大高度H时，两级弹跳体速度为零。以竖直向上为速度正方向，设解锁二级弹跳体内的弹簧后一、二级弹跳体的速度分别为v1、v2，由动量守恒和能量守恒定律分别可得0=mv1+mv2， 解得， 之后，二级弹跳体做竖直上抛运动，设又上升的高度为H1，有 解得H1=H 则二级弹跳体离地面最大高度Hm1=H+H1=2H （3）若一级弹跳体的质量为M，解锁一级弹跳体的弹簧后，设在一、二级弹跳体竖直上抛运动过程中速度为v'时，以竖直向上为速度正方向，解锁二级弹跳体的弹簧后一、二级弹跳体的速度分别为v3、v4，由动量守恒和能量守恒定律分别可得（M+m）v'=Mv3+mv4， 解得， 解锁二级弹跳体的弹簧后，二级弹跳体增加的速度为 可见，二级弹跳体增加的速度Δv与解锁前的速度v′无关。一、二级弹跳体速度为v及二级弹跳体的v4-t图像关系如图所示， 由图可知：越早解锁二级弹跳体的弹簧二级弹跳体所能到达的高度越高。设一级弹跳体的弹簧解锁后瞬间一、二级弹跳体的共同速度为v时解锁二级弹跳体的弹簧，则 设解锁二级弹跳体的弹簧后瞬间二级弹跳体速度为v5，由前述分析知： 设二级弹跳体离地面最大高度为Hm2，有 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $