动量守恒定律：板块问题、子弹打木块问题、斜面问题、滑块弹簧问题、人船问题及其变式、爆炸问题 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

动量守恒定律：板块问题、子弹打木块问题、斜面问题、滑块弹簧问题、人船问题及其变式、爆炸问题专项训练 动量守恒定律：板块问题、子弹打木块问题、斜面问题、滑块弹簧问题、人船问题及其变式、爆炸问题 专项训练 考点目录 板块问题 子弹打木块问题 斜面问题 滑块弹簧问题 人船问题及其变式 爆炸问题 考点一 板块问题 爆炸问题 解题思路点拨：先整体后隔离，受力分析判断板块间摩擦力；判断是否相对滑动，用牛顿第二定律求加速度；涉及运动、能量时，用动量守恒+能量守恒，摩擦生热等于滑动摩擦力乘以相对位移，关注共速临界状态。 例1．（2026·湖北·二模）如图，在光滑的水平面上，质量为的平板小车以速度向右匀速运动。现将一质量为的小物块无初速度放在小车右端，同时对小车施加一大小不同的水平向右的恒力，作用一段时间后撤去，最终使物块与小车一起以原速度向右匀速运动。已知物块始终没有从小车上掉下来，重力加速度为，不计空气阻力的影响（物块与小车间的动摩擦因数未知）。 (1)若恒力大小为，求做的功； (2)若恒力的大小为，求做的功； (3)若不知恒力大小，求恒力做功的范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若恒力大小为，故小车始终以速度做匀速运动，物块做加速运动，当物块的速度为时撤去，此过程经历的时间为 小车运动的距离为 恒力做的功为 解得 （2）若恒力的大小为，小车先做减速运动，物块做加速运动，设经历时间物块与小车的速度相同，设为，对物块和小车分别有， 可得 此过程中物块相对小车滑动的距离为 物块与小车相对静止后一起在的作用下加速到后撤去，根据功能关系得整个过程中做的功 解得 （3）当恒力很小时（趋于0）物块相对小车滑动的过程中系统的动量守恒，有 此过程中物块与小车摩擦生热 物块与小车等速后再一起加速到撤去恒力，整个过程中恒力做功的最小值为 解得 当恒力很大时且作用时间极短，恒力给小车一个瞬时冲量后撤去，小车以速度做减速运动，物块做匀加速运动，经过一段时间物块与小车速度均变为，此过程中对系统由动量守恒有 恒力做功的最大值为 解得 可得恒力做功的范围为 例2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）如图所示，长度的轻绳一端固定在点，另一端拴一小球。木板静止在光滑水平面上，物块静止在木板左端。开始时，木板右端与竖直墙相距，、、的质量均为，、间的动摩擦因数。现将小球拉到点正上方（轻绳伸直），以的初速度水平向左抛出，当小球运动至最低点时与物块发生碰撞，碰撞后立即撤去小球。木板的长度可以保证物块在运动过程中不与墙接触。小球和物块均可视为质点，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短。取重力加速度大小。求： (1)小球与物块发生碰撞前瞬间，轻绳对小球的拉力大小； (2)与相对运动所用的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设小球A从最高点开始恰好做圆周运动，需满足 解得 小球A的初速度 故小球A做圆周运动，由动能定理有 解得 在最低点，由牛顿第二定律有 解得 （2）小球A在最低点与物块B发生弹性碰撞，由动量守恒定律、机械能守恒定律有， 解得 物块B与木板C发生相对滑动，木板C从静止开始做匀加速运动。设木板C的加速度大小为a，经历时间后与墙第一次碰撞，碰撞时木板C的速度大小为，由牛顿第二定律有 由运动学公式有， 解得， 此时物块B的速度大小 解得 B、C的总动量向右，木板C还会与墙碰撞 假设木板C从第一次与墙碰撞到第二次与墙碰撞做匀变速直线运动，所用时间为，木板C与墙第二次碰撞时物块B的速度大小 解得 可知木板C第二次与墙碰撞前已经和物块B共速，设二者共速时的速度大小为，对B、C组成的系统，由动量守恒定律有 解得 因为木板第二次与墙碰撞前和物块共速，所以木板第二次与墙碰撞后与最终将静止，即与相对运动所用的时间 解得 例3．（2026·江苏南京·二模）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在水平地面上，最低点切线水平，紧邻轨道左侧放置着一个下表面光滑、上表面粗糙的木板，在木板的左侧放置一小物块。从与圆心点等高处静止释放小滑块，经圆弧最低点滑上，与共速后，再与发生弹性碰撞。在以后的运动过程中，小滑块始终在木板上。已知，，，与间、与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度。求： (1)经过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小； (2)、第一次碰撞前，、系统损失的机械能； (3)在地面上运动的最大位移。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由机械能守恒可得 解得 在最低点时，由向心力公式得 代入数据解得 （2）由动量守恒定律得 解得与共同的速度 由能量守恒可知、系统损失的机械能 解得 （3）A、C第一次碰撞，由动量守恒定律得 由机械能守恒可知 解方程得， 此后 解得 A、C第二次碰前，在地面上运动，加速度为 减速到零时有 对木板，有 解得 加速到有 可得， 可知A、C第二次碰前已停止，且每次A、C再次碰撞前，C的速度都为零。A、C第二次碰后根据速度交换可得 依次类推A、C第n次碰撞，有 C在地面上运动的最大位移 代入数据得 变式1．（2026·山东枣庄·二模）如图所示，质量的滑板静止在光滑水平面上，长度的水平段AB和光滑圆弧面BC平滑连接，B、C的高度差。质量的滑块置于滑板上点，与滑板AB段间的动摩擦因数；长度的细线一端固定于点，另一端与质量的小球栓接。初始时细绳水平伸直，小球由静止被释放，运动至点正下方时与滑块发生对心碰撞（时间很短），碰后反弹的瞬间，受到的拉力大小。小球与滑块均可视为质点，不计空气阻力，细线不可伸长，取。 (1)求碰撞后瞬间滑块的速度大小； (2)求滑块从滑板上的处运动到处的时间； (3)若滑块从滑板上点离开后在空中运动的最小速率为，求滑块在滑板上运动的过程中，所受合力的冲量大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球碰撞前的速度大小为，则 解得 碰撞后小球的速度大小为，则 解得 碰撞过程中，动量守恒 解得 （2）滑块在滑板上，对滑块根据牛顿第二定律可得 解得 对滑板根据牛顿第二定律可得 解得 则 解得 （3）滑块从滑板上的A处运动到B处时，滑块的速度大小为 滑板的速度大小为 滑块在滑板上运动的过程，最终水平分速度大小为，根据滑块和滑板组成的系统，在水平方向动量守恒可得 系统机械能守恒 解得 则滑块离开滑板上升的高度为 所以，滑块离开滑板时，竖直分速度大小为 在此过程中水平方向的冲量为 竖直方向上的冲量为 根据动量定理可得，滑块在此过程中所受合力的冲量大小为 变式2．（25-26高三下·河北衡水·期中）如图所示，水平传送带顺时针匀速传动，左、右两端相距，其右端与足够长的光滑轨道无缝平滑连接，在轨道的左侧静止一足够长的质量的木板，轨道的右侧足够远处固定有一竖直弹性挡板，木板的右端放置有小物块乙，其质量，它与木板间的动摩擦因数，某时刻，小物块甲以初速度水平向右从传送带左端A点滑上传送带，一直匀加速从右端滑离传送带时，与木板发生弹性正碰，已知物块甲的质量，它与传送带间的动摩擦因数，不计木板与挡板碰撞过程的时间及能量损失，物块均可视为质点，重力加速度g取。 (1)求传送带的运动速度v的大小应该满足的条件。 (2)求物块甲与木板碰后，物块甲与木板左端相距的最大距离。 (3)若物块甲与木板碰后立即取走甲，木板与挡板碰撞前，乙与木板已共速，求从木板与挡板第一次碰撞开始计时到木板停止运动，物块乙与木板相对滑动过程所经历的时间。 【答案】(1) (2)10m (3)2.5s 【详解】（1）物块甲在传送带上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 由运动学公式 代入数据解得甲滑离传送带时的速度 因为甲一直匀加速从右端滑离，说明甲在传送带上运动时速度始终未达到或刚好达到传送带速度，故传送带速度应满足，即。 （2）甲与木板发生弹性正碰，设碰后甲的速度为，木板的速度为。由动量守恒和能量守恒得， 代入数据解得， 碰后甲向左滑上传送带，加速度大小 木板向右运动，乙在木板上向右加速，加速度， 木板受乙的摩擦力向左，加速度大小 当甲与木板速度相等时，相距最远。设碰后经过时间共速。甲先向左减速到0用时 此时甲位移 此后甲向右加速。木板一直减速，设经过时间两者速度相等 解得（此时木板与乙也恰好共速，，）。 甲的速度 与木板速度相等。此时甲的总位移 木板的位移 最大距离 （3）取走甲后，木板与乙系统动量守恒。第一次与挡板碰撞前，乙与木板共速，速度。木板与挡板弹性碰撞后，速度变为，乙速度仍为。此后乙相对木板向右滑动，受向左摩擦力，木板受向右摩擦力。设相对滑动时间为，共速速度为。对系统由动量守恒： 解得 对木板由动量定理 解得 此后木板与乙以向右匀速运动，再次与挡板碰撞。每次碰撞后，系统总动量减半，共速速度减半，相对滑动时间也减半。总时间 变式3．（2026·天津红桥·一模）如图所示，挡板固定地面上，半径为，粗糙程度分布不均匀的四分之一圆弧轨道静置在光滑的水平面上，左端紧靠挡板，右端B紧靠等高的木板。质量为可视为质点的物块从圆弧轨道上端点的正上方高度为处由静止开始下落，物块刚好从点沿切线方向进入轨道，到达点时对点的压力大小为。已知木板质量为，物块与木板间的动摩擦因数为，重力加速度取。 (1)求圆弧轨道对物块做的功； (2)若轨道始终紧靠挡板，求挡板在物块下滑过程中对轨道的冲量； (3)若物块恰好不从木板上掉下，求木板的长度 【答案】(1) (2)，方向水平向右 (3) 【详解】（1）设物块在点的速度为，对物块，在点，由牛顿第三定律可知支持力 牛顿第二定律可得， 物块从释放到点，由动能定理得 解得， （2）对轨道和物块，在物块下滑的过程中，在水平方向使用动量定理 解得 方向水平向右。 （3）对物块和木板组成的系统使用动量守恒定律和能量守恒， 解得 考点二 子弹打木块问题 解题思路点拨：系统水平方向动量守恒；作用时间极短，外力忽略；先由动量守恒求共同速度，再用能量守恒，损失的机械能转化为内能，内能等于摩擦力乘以射入相对深度，区分留在木块和击穿两种情况。 例1．（2026·北京东城·一模）如图所示，把一个质量的小球放在高度的直杆的顶端。一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的水平距离取，求： (1)子弹穿出小球瞬间小球的速度； (2)子弹穿出小球瞬间子弹的速度； (3)子弹和小球相互作用过程中系统损失的机械能。 【答案】(1)20m/s (2)100m/s (3)1160J 【详解】（1）小球做平抛运动，则有， 代入数据解得 （2）子弹射穿小球过程，根据动量守恒定律有 代入数据解得 （3）系统损失的机械能 代入数据解得 例2．（2026·辽宁·一模）如图所示，质量为的物块P静置在水平地面上，并通过劲度系数为的轻质弹簧连接在右侧的固定挡板上，初始时弹簧处于原长。质量为的子弹以初速度水平向右击中物块P并留在其中，物块P与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，弹簧始终在弹性限度内，子弹与物块P作用时间可忽略不计，求： (1)子弹击中物块P的过程中，子弹和物块P组成的系统损失的机械能； (2)弹簧第一次恢复到原长时，物块P的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）子弹击中物块P的过程中，子弹和P组成的系统动量守恒有 解得 故系统损失的机械能   解得 （2）设P第一次压缩弹簧到最短时弹簧的形变量为，根据动能定理有 解得 到第一次恢复到原长，根据动能定理有   解得 例3．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 【答案】(1) (2) (3)，方向水平向右 【详解】（1）设子弹射入木块后与木块的共同速度为，对子弹和木块组成的系统，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 解得子弹射入木块后的共同速度 根据能量守恒，可得此过程系统所产生的内能 解得产生的内能 （2）设木块（含子弹）在圆弧轨道上升到最大高度时，两者的速度大小为，木块沿圆弧轨道上升的最大高度为h，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得木块沿圆弧轨道上升的最大高度 因，所以木块未从圆弧轨道最高点飞出 （3）设木块（含子弹）在圆弧轨道上时，圆弧轨道一直做加速运动，木块（含子弹）在圆弧轨道底端与轨道分离时，圆弧轨道的速度最大，设此时木块（含子弹）的速度为，圆弧轨道的速度为，取子弹的初速度方向为正方向，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得圆弧轨道的最大速度 方向水平向右。 变式1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，滑板B静止在光滑水平面上，其右端与固定台阶相距，滑块A静止放在滑板B的最左侧。一子弹以水平向右的初速度击中A后留在A中（此过程时间极短）。已知子弹的质量，水平速度。A的质量的质量、B之间动摩擦因数，B足够长，A不会从B表面滑出，B与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)子弹击中滑块A后瞬间，A的速度大小； (2)若A与B恰好共速时B与台阶碰撞，则滑板B右端与固定台阶的距离； (3)若仍取第（2）问中的值，但改变子弹的初速度，则子弹的初速度最大为多少时，可避免滑板B与台阶第二次相碰。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）子弹击中滑块A的过程，子弹与滑块A组成的系统动量守恒，有 解得 （2）A与B达到共速的过程，子弹、A、B组成的系统动量守恒，有 解得 对B，根据动能定理有 解得 （3）在第（2）问的情况下，B与台阶相碰后动量方向向左，大小不变，因 则相碰后子弹、A、B的总动量方向向左，再次共速后速度仍向左，B与台阶不会第二次相碰。为避免B与台阶第二次相碰，则第一次相碰前A与B必然未达到共速，设B与台阶恰好不发生第二次相碰对应的子弹的初速度为，就是避免B与台阶第二次相碰的子弹初速度的最大值，根据动量守恒有 B与台阶恰好不发生第二次相碰，则B反弹后的动量正好与子弹、A整体的动量等大反向，即整个系统的总动量为零，则有 联立解得 变式2．（2026·四川德阳·二模）如图所示，竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于A点，另一端经光滑孔钉B连接质量为可视为质点的物块。点A、B和静止的物块在同一竖直线上，A、B间距等于弹力绳原长，B点离地高度为L。一质量为m的子弹以速度向右射入物块，且未击穿物块。已知物块与地面的动摩擦因数为，弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，重力加速度大小为g，求： (1)子弹射入物块后，物块的速度大小； (2)物块向右运动过程中，当弹力绳偏离竖直方向角度为时，物块所受的滑动摩擦力大小f。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）子弹射入物块的过程，由动量守恒得 解得 （2）对物块和子弹整体受力分析，竖直方向有 由胡克定律 滑动摩擦力 联立解得 变式3．（2026·河北唐山·一模）如图所示，质量为0.49kg的木块静置于光滑水平轨道上，半径为0.8m的光滑半圆形轨道与水平轨道相切，直径竖直。质量为0.01kg的子弹以的水平速度击中木块并留在其中。木块进入半圆形轨道后，在某一位置离开轨道。木块可视为质点，取。求： (1)木块到达半圆形轨道最低点时对轨道的压力； (2)木块离开半圆形轨道时速度的大小。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2)或者或者 【详解】（1）设子弹质量为，木块质量为子弹击中木块，由动量守恒定律得 木块到达点时受到的支持力为，则有 由牛顿第三定律 木块对轨道的压力，方向竖直向下。 （2）设木块离开轨道时，木块与圆心连线与竖直方向的夹角为，速度为 由机械能守恒定律得 重力分力提供向心力有 联立可得或者或者 考点三 斜面问题 解题思路点拨：将重力沿斜面、垂直斜面正交分解；受力列牛顿第二定律方程求加速度；结合运动学公式求解位移、速度；涉及做功、机械能时，分析重力、摩擦力做功，用动能定理或机械能守恒求解。 例1．（2026·广东广州·三模）如图，AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率v0顺时针转动的水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为μ，其余接触面均光滑。已知R=0.36m，L=1.6m，v0=5m/s，m=0.2kg，M=1.8kg，μ=0.25，重力加速度取g=10m/s2。不计空气阻力，物块视为质点，传送带足够长。求： (1)物块滑到B点处的速度大小； (2)物块从B到C点过程因摩擦产生的热量； (3)物块到达圆弧轨道最高点时对轨道的压力。 【答案】(1) (2) (3)3N，方向竖直向上 【详解】（1）物块从P到B点，根据动能定理可得 解得 （2）物块从B点匀加速运动到与传送带共速v0，对物块有，， 解得， 对传送带有 根据功能关系可得 解得 （3）物块从进入圆弧槽到达最高点过程，根据水平方向动量守恒和能量守恒可得， 解得，（，，不符合实际舍掉） 物块在圆弧槽最高点时，有 解得 根据牛顿第三定律，物块在圆弧槽最高点时对轨道的压力大小3N，方向竖直向上。 例2．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 【答案】(1) (2) (3)在C点左侧到C点的距离为 【详解】（1）设滑块经过B点时的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 根据滑块和小车组成的系统机械能守恒可得 解得， （2）滑块经过D点时，滑块和小车在水平方向的速度相同，设为，滑块在竖直方向的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 可得 滑块到达D点的过程中，根据能量守恒可得 小车运动到D点时，相对于小车做圆周运动 根据牛顿第二定律可得 小球的向心加速度水平向左，为小球水平方向上相对小车的相对加速度 在D点，水平方向上对小球：   在D点，水平方向上对小车： 解得半圆形轨道对滑块的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得，滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小为 （3）设滑块从E点飞出时，滑块的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 滑块从D点到E点的过程中，系统机械能守恒 解得， 滑块飞行过程中，在竖直方向 解得 在水平方向，滑块从E点飞出后落到小车上位置在C点左侧到C点的距离为 例3．（25-26高三下·广西·期中）如图所示，质量为的小车放在台阶左侧的光滑水平面上，小车由光滑圆弧轨道和粗糙水平轨道构成，圆弧轨道的半径为，圆心为，与水平轨道相切于点，水平轨道的长度为，上表面与台阶平齐。小车最右端放置一质量为的滑块，滑块与小车水平轨道间的动摩擦因数为。一质量为的小球从台阶上以大小为的水平速度与滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块能从圆弧轨道最高点冲出。滑块和小球均可视为质点，重力加速度为，求： (1)碰后瞬间滑块的速度大小； (2)滑块脱离圆弧轨道后还能上升的最大高度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球和滑块发生弹性碰撞，动量和机械能均守恒，有，     解得 （2）设滑块上升到最高点时水平速度为，有， 滑块离开轨道后沿竖直方向上升的最大高度 变式1．（2026·山东·模拟预测）如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)小球再次回到圆槽P的过程中上升的最大高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球第一次离开圆槽时速度为，圆槽的速度为，从小球开始下落到第一次离开圆槽，由动量守恒和能量守恒有， 解得 （2）小球第一次与弹簧相互作用，弹簧的最大弹性势能时小球和物块Q共速，设共速的速度为，从开始压缩弹簧到弹性势能最大， 解得 （3）设小球与Q分离后，小球的速度为，Q的速度为；小球再次回到圆槽P上升最大高度时，小球与圆槽共速，速度为，上升的最大高度为h，从压缩弹簧到与Q分离，由动量守恒和能量守恒有， 从与Q分离到回到圆槽P上升的最大高度时，由动量守恒和能量守恒有， 解得 变式2．（2026·安徽·三模）如图所示，带圆弧槽的小车静止在光滑的水平面上，槽的端与圆心的连线与竖直方向的夹角为，端与圆心等高，一个质量为、可视为质点的小球以水平向右的初速度抛出，刚好从点无碰撞地进入圆弧槽，小球运动到点时恰好与小车相对静止。圆弧槽光滑，小车质量为，不计空气阻力，重力加速度为，求： (1)小球运动到点时，球与小车的共同速度大小； (2)小球抛出点与点的高度差； (3)圆弧槽的半径。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 设小球运动到B点时小车的速度为，小球与小车在水平方向动量守恒，则有 解得 （2）设小球运动到A点时速度大小为，则有 小球从抛出点到A点由机械能守恒则有 解得 （3）小球从A点到B点的过程，系统机械能守恒，则有 解得 变式3．（2026·河北邢台·二模）如图所示，水平传送带的长度为，传送带沿顺时针转动且速度，右侧水平面上有一个固定的物体P，P右侧静置着一个质量的光滑物体Q，P、Q紧密接触但不粘连，段为半径的光滑圆弧，处是圆弧最低点，段圆弧所对圆心角。一个质量为的小物块以水平向右的初速度从端滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，物体从点离开传送带做平抛运动并恰好从点无碰撞进入圆弧。小滑块可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块在传送带上滑行的时间； (2)小物块经过点时受到圆弧的支持力大小（结果保留一位小数）； (3)物体Q能获得的最大速率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块相对传送带上运动时，由牛顿第二定律得 解得 由运动学公式得 解得 故小物块在传送带上先减速再匀速，由 解得 匀速阶段有 解得 所以小物块在传送带上滑行的时间为 （2）小物块做平抛运动到达点时，有 解得 从点到点过程，根据动能定理得 解得 在点，由牛顿第二定律得 解得 （3）当小物块滑离物体Q时，物体Q获得的速度最大，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得Q的最大速度 考点四 滑块弹簧问题 解题思路点拨：弹力是变力，不适合用牛顿定律过程分析；优先用动量守恒+机械能守恒；抓住原长、最大形变量、共速等临界位置，求解速度、弹簧形变量和能量分配。 例1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (2)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (3)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为，由机械能守恒定律可知 其中 同时有 联立解得， （2）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 其中，联立解得 （3）对Q和小球整体，根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长。设此时Q的质量为M，Q的最大速度为，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 例2．（25-26高三上·北京海淀·开学考试）光滑水平面上放有质量分别为2m和m的物块A和B，用细线将它们连接起来，两物块中间加有一压缩的轻质弹簧（弹簧与两物块均不相连），弹簧的压缩量为x。现将细线剪断，两物块刚要离开弹簧时物块A的速度大小为v，求： (1)物块A从开始运动到刚要离开弹簧的过程中，A的位移大小； (2)物块A从开始运动到刚要离开弹簧的过程中，弹簧弹力对B的冲量大小； (3)物块开始运动前弹簧的弹性势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）系统动量守恒 解得 两物块运动时间相同，则 即 又，解得 （2）由动量定理，弹簧弹力对B的冲量 （3）由能量守恒，弹簧弹性势能 例3．（2026·内蒙古包头·一模）将物块A和物块B用一根轻弹簧连接放置在传送带上，已知物块A和物块B的质量相等均为，物块A和物块B与传送带的动摩擦因数相等均为，弹簧劲度系数，零时刻，弹簧处于原长，使物块A以的初速度水平向左运动，物块B的初速度为零，t时刻，物块A与传送带第一次共速，传送带足够长，弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)若传送带始终静止，求物块B开始运动时，物块A的速度（结果可以用根式表示）； (2)若传送带逆时针以的速度运行，求t时刻物块B的速度大小； (3)在（2）的前提下，求t时刻弹簧的伸长量。 【答案】(1) (2)1m/s (3)0.2m 【详解】（1）当B开始运动时，有 解得 对A应用动能定理，有 解得 （2）A、B均未与传送带共速时，因，且方向相反，所以此过程中A、B系统动量守恒，假设A先与传送带共速，则A与传送带共速时有 解得，假设成立。 可知t时刻物块B的速度大小为 （3）A、B与传送带间的相对路程分别为， 设弹簧的伸长量为，可得 根据能量守恒有 解得 变式1．（25-26高三上·山东聊城·期末）如图所示，在一个倾角为的光滑固定斜面底端固定一个挡板，斜面左侧有一足够长竖直墙面，小滑块A、B通过一根劲度系数为的轻弹簧连接放置在斜面上，其中A紧靠挡板，系统处于静止状态。将一物块C从斜面顶端距B物块处以初速度向下释放，B与C相碰后立即粘合在一起，三个物块均可视为质点，物块B、C的质量均为，物块A的质量为，弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能，为弹簧的形变量，重力加速度为，计算结果可保留根号。 (1)求C、B相碰后瞬间的速度大小； (2)求物块A刚离开挡板时物块B、C的速度； (3)若物块A刚离开挡板时，B、C恰好与弹簧分离，而后B、C飞出斜面与墙面碰撞，反弹后能从斜面顶端处、且速度沿着斜面方向返回斜面，物块与墙面间的碰撞可视为弹性碰撞。求斜面与墙面的水平距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）C下滑过程，光滑斜面只有重力做功，由动能定理 代入， 得 B、C碰撞过程动量守恒（碰撞瞬间弹簧形变可忽略） 解得 （2）初始系统静止，弹簧压缩量满足平衡 A刚离开挡板时，弹簧伸长量满足平衡 从碰撞后到A刚离开挡板，系统机械能守恒，BC沿斜面上升，重力势能增加 代入数值计算 解得 （3）物块BC需要继续沿斜面向上运动 到达斜面顶端的过程，根据机械能守恒有 解得 BC从斜面顶端飞出后做斜抛运动，速度分解为：水平分量，竖直分量（向左上方） 弹性碰撞墙面后，水平速度反向、大小不变，从飞出到返回斜面顶端的总时间满足：水平总位移为，故 返回斜面顶端时竖直位移为0（回到原高度），由竖直方向匀变速运动 联立两式消去得 代入、、、 得： 变式2．（25-26高三下·贵州·开学考试）在机械动力学性能测试的水平测试台上，搭建了一套滑块—滑板传动模拟装置。水平测试台经精密调试可看成光滑面，滑板装置的总质量，其结构由三部分组成：前端段为光滑的圆弧轨道，圆弧轨道与水平的中间段平滑衔接；中间段为粗糙摩擦段（长度）；后端段为光滑的水平导向段，导向段末端处有一轻质固定挡板，一水平轻质弹簧固定在挡板上，弹簧自然伸长时左端与点重合（即弹簧原长位置为）。质量的金属滑块（可视为质点）从圆弧轨道顶端点由静止释放，滑块第一次滑到点时的速度大小，滑块与滑板段间的动摩擦因数。不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，取重力加速度大小。 (1)求滑块第一次通过点时，滑板的速度大小和圆弧轨道的半径； (2)滑块在滑板上运动的过程中，弹簧会出现弹性势能最大的瞬间（以弹簧原长时弹性势能为零势能参考），求该瞬间弹簧具有的最大弹性势能； (3)实验持续足够长时间后，滑块与滑板达到稳定状态，求此时滑块到点的距离及整个运动过程中滑板的位移大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）把滑块和滑板（含弹簧）看成一个系统，则系统满足水平方向上动量守恒，则有 根据能量守恒定律则有 解得， （2）弹簧从开始至压缩到最短的过程中，满足水平方向上动量守恒，则有 解得 根据能量守恒定律则有 解得 （3）滑块从开始运动到稳定的过程中满足水平方向上动量守恒，则有 解得 根据能量守恒定律则有 解得 即滑块最终静止在与点的距离处 根据水平方向上动量守恒则有 由几何关系有 解得 变式3．（2026·山东菏泽·一模）如图所示，轻质弹簧的左端固定在质量为2m的小球B上，右端与质量为2m的小球C接触但未拴接，B和C静止在光滑水平台面上，C离水平台面右端点O的距离为L，质量为m的小球A以v0向右运动，与B发生弹性碰撞，碰撞时间极短。当C运动到O点时弹簧恰好恢复原长，沿水平抛出，落入固定在水平地面上的竖直四分之一椭圆轨道内。O为椭圆的中心，椭圆轨道半长轴为a，半短轴为，三个小球A、B、C均可看成质点，重力加速度为g，椭圆方程参考公式。求： (1)A与B碰撞后B球的速度大小vB； (2)C运动到O点的时间； (3)改变A的初速度及L，C落到椭圆轨道上的最小动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A、B碰撞过程，设碰后A的速度为，由系统动量守恒得 由系统机械能守恒得 解得 （2）B、C和弹簧系统动量守恒，设任一时刻，B球速度为，C球的速度为，则有 经一微小段时间，有 对时间累积得 可得 解得 （3）设C球平抛的初速度为，经时间落到轨道上。根据平抛运动规律可得， 把以上两式带入椭圆方程得 即 平抛过程，对C球用动能定理得 联立可得 根据基本不等式可知，当，即 C落到椭圆轨道上的动能最小，为 考点五 人船问题及其变式 解题思路点拨：系统水平方向合外力为零，动量守恒、质心位置保持不变；利用平均动量守恒，位移与质量成反比；直接列位移比例关系，快速求解两者对地位移。 例1．（2026·河北沧州·二模）有一项娱乐比赛项目，其规则如下：在光滑水平地面上有一个长为、质量为的木板，距木板左侧某处固定了一个销钉（不计质量），紧挨着销钉的右侧放置了一个质量为的金属块（金属块和销钉不会干扰参赛者在木板上的运动）。木板紧靠在平台的右侧（木板与平台等高），距离木板右侧较远处有一竖直墙壁。质量为的参赛者由木板右端由静止出发，走到木板最左侧处停止，随后以方向与水平面夹角为θ的初速度跳离木板落在平台上，如果金属块最终没有从木板上滑落，即为比赛胜利。已知金属块与木板间的动摩擦因数，参赛者、金属块和销钉均可视为质点，木板与墙壁碰撞视为弹性碰撞，重力加速度g取。 (1)求参赛者在起跳前距离平台的水平距离。 (2)求参赛者至少以多大的初速度从木板上跳出，才能安全落在平台上，以及θ角的大小。 (3)已知参赛者刚要起跳时，参赛者、金属块、销钉和木板系统的机械能为E，若参赛者以做功最小的方式跳出并安全落在平台，最终金属块未掉落，求金属块与木板间的相对位移。 【答案】(1)0.5m (2)， (3) 【详解】（1）参赛者在木板上运动全过程动量守恒，有 将等式两边同时乘以较小的时间间隔，设参赛者的位移为，板的位移为，故 其中 解得 故参赛者起跳前距离平台的距离为 （2）参赛者起跳的速度为v，根据斜抛运动规律可知水平方向有 竖直方向有 解得 当时，v最小，解得 （3）人跳出时系统水平方向动量守恒 根据能量守恒可得参赛者做的功为 联立解得 当时，W有最小值，解得（，） 最终金属块和木板相对静止且停在水平面上，动能转化为热量有 解得 例2．（2026·河北保定·一模）如图甲所示，物块A、B和带有半径R=4m的光滑圆弧轨道EF的物块D均放在光滑水平地面上，D被锁定。圆弧轨道的圆心为O，OE水平，A、B通过劲度系数为k的轻弹簧相连。小球C从E点正上方高h=16.8m处由静止释放，当O、C连线和OF的夹角为时，解除物块D的锁定。已知重力加速度取。 (1)求小球C经过F点时，小球C、物块D的速度大小和物块D对小球C的支持力大小； (2)小球C与物块A碰撞时间极短，碰后粘在一起，取该时刻为t=0时刻，之后A、C组合体和B的速度随时间按正弦规律变化，如图乙所示，内，A前进的距离为求弹簧的劲度系数。 【答案】(1)，， (2)120N/m 【详解】（1）O、C连线和OF的夹角为θ时，小球下落的高度 由动能定理有 解除D的锁定后，C、D组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒，有， 解得， C相对D做圆周运动，由牛顿第二定律，有 解得物块D对小球C的支持力大小为 （2）小球C与物块A碰撞过程，有 解得 碰后A、B、C共速时，有 解得 对A、B、C组成的系统，任意时刻，有 取之后极短时间Δt，有 求和有 此过程弹簧的压缩量为， 代入数据解得， 设弹簧的劲度系数为k，由变力做功和机械能守恒，有 解得弹簧的劲度系数 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，套在固定水平杆上的光滑小环A与小球B通过不可伸长的轻绳相连，A环右侧处有一竖直挡板，固定在水平杆上P点，A环与竖直挡板碰撞后立即被锁定在P点。初始时刻，小球B与环A在处于同一水平面，轻绳恰好伸直且与水平杆平行。已知轻绳长为L，小环A质量为，小球B的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。A、B同时由静止释放，求： (1)若固定环A，当小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小； (2)在环A与挡板相撞前瞬间的速度大小； (3)若，则小球B的最大速度是多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A环固定时，对小球B由动能定理有 设小球B运动到最低点时受到轻绳的拉力为，根据牛顿第二定律可知 联立解得 由牛顿第三定律可知，小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小为 （2）环A与小球B组成的系统在水平方向动量守恒，满足 等式两边对时间微元求和得 当A与挡板碰撞时 联立解得环A与小球B水平方向的相对位移 由几何关系可知此时轻绳与水平方向夹角 在A环与竖直挡板碰撞前，系统在水平方向动量守恒 对、系统机械能守恒有 碰前、沿绳方向速度大小相等 三式联立解得 （3）将代入第（2）问，解得 结合系统在水平方向动量守恒 解得 、沿绳方向速度大小相等 解得 A环与竖直挡板发生碰撞、立即被锁定，此时轻绳绷紧，B球沿绳方向动量瞬时变为0，此后以垂直于绳方向速度为初速度继续运动，即 从锁定位置到竖直最低点，B下落高度 根据机械能守恒可知B球摆至最低点时速度最大，满足 解得 变式1．（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）如图所示，质量为m的物块B静止在水平面上P点，半径为r＝2R的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点C相切，质量为3m的小球A用长为L（未知）的轻绳连接于O点，O点正下方O′点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为R的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点D，B与Q点左侧水平面间的动摩擦因数为0.5，Q点右侧水平面光滑，开始时C点与Q点对齐，P、Q间距离s＝37R，A、B可视为质点，重力加速度为g，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度L及圆弧体的质量； (3)若B在圆弧面上向上运动的时间为t，则B在圆弧面向上运动过程中，圆弧体运动的距离为多少。 【答案】(1) (2)10R， m (3) 【详解】（1）设A、B碰撞后一瞬间，小球A的速度大小为，小球A绕O＇做竖直面内圆周运动到最高点速度大小为，根据牛顿第二定律，有 解得 根据机械能守恒，有 解得 （2）设碰撞前一瞬间小球A的速度大小为、物块B的速度大小为 则根据动量守恒，有 根据机械能守恒，有 解得， 对小球A由静止释放运动到最低点研究，根据机械能守恒，解得L＝10R 设物块B运动到Q点时速度大小为，圆弧体质量为M，根据动能定理 设物块B运动到圆弧面最高点时速度大小为，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒 解得M＝m， （3）物块B在圆弧面向上运动过程中，物块与圆弧体水平方向动量守恒，则 即 两边同乘以t，有 可得 根据几何关系 解得 变式2．（2026·陕西商洛·一模）如图所示，A、C两球的质量均为4m，B球的质量为M，A、B两球分别用长为l的轻杆通过轻质铰链与C球连接，A、B两球静止于光滑水平地面上，两杆竖直并拢。受到微小扰动后，A、B两球分别向左右两边运动，两杆始终保持在同一竖直面内，三小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g，求； (1)若，C球落地时的速度大小； (2)若，C球落地过程中水平位移的大小； (3)若，C球机械能最小时距离地面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）C球落地时，A、B速度为零，系统机械能守恒有 解得 （2）C球落地过程中，系统水平方向动量守恒，则有 因，，，B、C的位移满足 A、C的位移满足 解得 （3）设两杆与水平面夹角为时，C球机械能最小，此时A、B动能最大，三小球的速度及其分速度如图所示 水平方向动量守恒有 又 解得， 沿杆方向根据运动速度的关联规律有 联立解得 据机械能守恒定律有 解得 令，对其求导得 当该导数等于0时，解得，此时取最大值，A、B的动能最大，C的机械能最小，此时C的高度为 变式3．（25-26高三上·河南·月考）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在光滑水平面上，斜面长为，斜面底端与水平面平滑连接，质量为的物块C静止在水平面上，质量为的小球B套在固定的光滑水平直杆上，用长为的细线将质量为的小球A与小球B连接，开始时A、B两球均静止，细线刚好水平伸直，由静止释放小球A，小球A运动到最低点刚好沿水平方向与物块C发生弹性碰撞，碰撞瞬间，连接小球A的细线也恰好断开，物块在斜面上减速后沿斜面滑下再次进入水平面，并且能与小球A再次发生碰撞。不计小球和物块的大小，重力加速度，，。求： (1)A与C碰撞前，B沿杆运动的距离； (2)A与C第一次碰撞过程中，A对C做的功； (3)物块C与斜面间的动摩擦因数的取值范围（答案均可用分数表示）。 【答案】(1)1m (2) (3) 【详解】（1）设A球到最低点时，A球沿水平方向的位移为，B球沿水平方向的位移为，根据几何关系有 由于小球向下运动过程中，A、B两球组成的系统水平方向动量守恒，则有 即 整理得 联立解得 （2）设碰撞前，A的速度大小为，B的速度大小为，根据水平方向动量守恒 根据机械能守恒 解得 设A与C碰撞后，A的速度大小为，C的速度大小为，规定水平向左为正方向，根据动量守恒 根据机械能守恒 解得， 根据动能定理，A、C第一次碰撞过程，A对C做的功 （3）设当物块C与斜面间的动摩擦因数为时，物块滑上斜面后再滑下恰好不能与A再发生碰撞，根据能量守恒有， 解得 当物块C刚好能滑到斜面顶端时，物块与斜面间的动摩擦因数设为，则 解得 要使物块滑上斜面后还能滑下，则 即 综合分析可知，要使物块C沿斜面下滑后与A能再次相碰，需物块C与斜面间的动摩擦因数应满足的条件为。 考点六 爆炸问题 解题思路点拨：爆炸瞬间内力远大于外力，系统动量守恒；爆炸过程时间极短，位置可认为不变；化学能转化为机械能，总动能增加；由动量守恒列方程，求解爆炸后各物体速度。 例1．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 【答案】(1)3m/s (2)； 【详解】（1）对A、B组成的系统，动量守恒 由能量关系可得 解得 （2）爆炸后，物块A向左匀减速，物块B匀速，长木板向左匀加速；设A与木板共速后，B再与木板碰撞，规定方向向左为正方向；A、长木板动量守恒 对A受力分析根据牛顿第二定律 匀变速运动中速度时间关系 可得， 物块B的位移 长木板位移 ，假设成立 A和木板共速后以匀速运动， 爆炸后瞬间到B第一次与挡板相碰所经历的时间 第一次B与木板发生弹性碰撞，以右为正向 根据动量守恒 机械能守恒 解得 例2．（25-26高三上·广东深圳·期末）一质量为1kg的烟花弹从地面斜向上发射，发射速度大小为50m/s，方向与水平方向夹角为53°，如图所示，达到最高点时炸裂为质量相等的两部分A和B。爆炸后A又上升了3s，且恰好落回出发点，不计空气阻力，爆炸的时间极短且忽略爆炸前后的总质量变化，取重力加速度，，，求： (1)爆炸点到抛出点的水平、竖直距离； (2)炸裂后A的速度大小； (3)爆炸过程中释放的化学能。 【答案】(1)120m， (2) (3)1462.5J 【详解】（1）初速度的水平、竖直分量分别为vx = v0 cos 53° = 30 m/s ，vy = v0sin53° = 40 m/s 运动时间为 水平、竖直方向位移为x = vx t = 120 m， （2）炸裂后，A运动的竖直方向有， 下落过程有 解得 A运动的水平方向有x = vAx (t1 + t2) 解得vAx = 15 m/s 炸裂后A的速度 （3）爆炸时，由水平、竖直方向动量守恒有 解得vBx = 75 m/s，vBy = 30 m/s     爆炸过程中释放的化学能为 例3．（2025·山东济南·一模）如图所示，光滑水平地面上有一右侧带挡板的长木板，不同材料做成的物块A、B中间夹有微量炸药放置在木板上，物块B离挡板的距离为L=5.5m，炸药具有的化学能E0=8J，物块A、B均视为质点。引爆炸药，将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，两物块均未从木板上滑下。已知两物块及长木板的质量均为m=1kg，物块A与长木板间的动摩擦因数为μ=0.1，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度g=10m/s2，碰撞时间不计，求 (1)爆炸后瞬间，物块B的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间； (3)整个过程中，物块B与物块A、挡板之间发生碰撞的总次数记为n，发生第n次碰撞前系统损失的机械能记为E，当n>2时，写出E与n的关系。 【答案】(1)2m/s (2) (3) 【详解】（1）炸药爆炸瞬间，由能量守恒可得 对A、B组成的系统，规定向左为正方向，由动量守恒可得 解得 爆炸后瞬间，物块B的速度大小为2m/s （2）两物块及长木板的质量均为m=1kg，对物块A受力分析可得 可得 木板加速度大小与物块A的加速度大小相等，设A与木板共速后，B再与木板碰撞，规定方向向左为正方向，有 可得， 此时， 因为，故假设成立。 又 解得 可得物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间 （3）物块A与木板第一次共速前的相对位移 第一次B与木板发生碰撞， 解得， 可得 解得， 此时 第二次B与物块A发生碰撞，同理可得， 可得，， 此时 第三次B与木板发生碰撞，同理可得， 可得，， 此时 发生第n次碰撞前，物块A与木板的总相对位移为 解得 可得损失的机械能 变式1．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图所示，一平台上静置着物块A、B（均可视为质点），两物块之间有少量火药（火药的体积和质量忽略不计）。现在引爆火药（爆炸时间极短），火药爆炸能量的60%转化为A、B的动能。爆炸后A沿着光滑圆弧轨道MN上升至N点后无碰撞地进入小车C上表面。小车左端恰好位于N点正下方，小车右端与墙相距，当小车碰到墙时立即停止运动。已知，，，圆弧轨道MN半径，物块A在N点时对轨道的压力大小等于自身重力的2.2倍，物块A与小车C之间动摩擦因数，其余地方摩擦力全部忽略不计。求： (1)求物块A运动到N点时的速度。 (2)爆炸释放的总能量E。 (3)若物块A在运动过程中始终不会和墙发生碰撞，求小车长度L的最小值。 【答案】(1) (2)9J (3) 【详解】（1）物块A在N点时由牛顿第二定律得 且，联立解得 （2）设爆炸后A、B的速度分别为、，对物块A，由M点到N点，根据动能定理得 解得 爆炸时物块A、B满足动量守恒，则有 解得 由能量守恒，爆炸能量的60%转化为A、B的动能，则有 解得 （3）物块A进入小车C后，假设能达到共速，根据动量守恒有 解得 设这段时间内小车C向右运动的距离为x，对小车，根据动能定理得 解得 故物块和小车达到共速后，小车再撞上墙，此过程中滑块与小车的相对位移为，根据能量守恒有 解得 小车C撞上挡板后立即停止，小物块在小车C上表面做匀减速直线运动至停止，根据动能定理得 解得 则小车的长度至少为 变式2．（2025·四川达州·一模）如图所示，水平桌面上放置两个物块、，质量分别为，，、间夹有少量炸药。有一质量的小球，用长，不可伸长的轻绳悬挂于悬点处，小球与桌面接触但不挤压。在点左下方的点固定一光滑钉子，、两点距离为，与竖直方向夹角为，右侧桌面粗糙、左侧光滑，与桌面间动摩擦因数。现点燃炸药将物块、分开，炸药释放能量的60%转化为两物块的动能，、分开后，与小球发生弹性碰撞，经时间停在水平桌面上。、、均可视为质点，重力加速度取。求： (1)炸药释放的能量； (2)忽略绳与钉子相互作用的能量损失，判断小球能否在竖直面内做圆周运动到达点正上方，若能，求此时绳子的拉力。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）炸药爆炸后，、分开，由物块、动量守恒 炸药释放能量的60%转化为两物块的动能 在桌面上经时间减速停止，由牛顿第二定律可知 由运动学规律可知 联立解得，， （2）物块与小球发生弹性碰撞 解得。碰后先以半径做圆周运动，绳与钉子作用后变为以半径做圆周运动，假设碰撞后小球能运动到点的正上方，则由机械能守恒定律得 解得。小球恰能做圆周运动到达点正上方，则有： 解得。，所以小球能到达点正上方。在点正上方有 解得 变式3．（25-26高三上·湖北·月考）从水平地面斜向上发射一枚质量为的炮弹，发射初速度与水平方向成45°角、大小为，炮弹在上升至最高点时突然爆炸而分裂成两块质量均为的碎片，一块以与水平方向成45°角斜向上的初速度做斜抛运动，另一块以与水平方向成45°角斜向下的初速度做斜抛运动，两块碎片最终落回到水平地面、炮弹爆炸时间极短，可认为系统水平方向、竖直方向动量均守恒，已知炮弹及碎片均在同一竖直平面内运动，重力加速度大小为g，不计空气阻力。 (1)爆炸前后系统机械能增加了多少？ (2)两块碎片在水平地面上的落点间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由斜抛运动规律可知，炮弹在最高点的速度为 设两块碎片的初速度分别为、，则由动量守恒定律，在竖直方向有 在水平方向，有 解得 故炮弹爆炸前后系统增加的机械能为 （2）解法1：斜上抛的碎片比斜下抛的碎片多运动的水平位移，就是斜上抛的碎片落回爆炸时所在高度时的水平位移，在水平方向，有 在竖直方向做竖直上抛运动，根据匀变速直线运动速度与时间的关系，得 联立解得 解法2：设两块碎片落地竖直速度为，根据匀变速直线运动速度与时间的关系，斜上抛的碎片在竖直方向的速度为 斜下抛的碎片在竖直方向的速度为 联立解得 两块碎片在水平地面上的落点间的距离为 解法3：设爆炸点距水平地面的高度为，根据匀变速直线运动位移与时间的关系，斜上抛的碎片在竖直方向的位移为 斜下抛的碎片在竖直方向的位移为 联立解得 两块碎片在水平地面上的落点间的距离为 2 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律：板块问题、子弹打木块问题、斜面问题、滑块弹簧问题、人船问题及其变式、爆炸问题专项训练 动量守恒定律：板块问题、子弹打木块问题、斜面问题、滑块弹簧问题、人船问题及其变式、爆炸问题 专项训练 考点目录 板块问题 子弹打木块问题 斜面问题 滑块弹簧问题 人船问题及其变式 爆炸问题 考点一 板块问题 爆炸问题 解题思路点拨：先整体后隔离，受力分析判断板块间摩擦力；判断是否相对滑动，用牛顿第二定律求加速度；涉及运动、能量时，用动量守恒+能量守恒，摩擦生热等于滑动摩擦力乘以相对位移，关注共速临界状态。 例1．（2026·湖北·二模）如图，在光滑的水平面上，质量为的平板小车以速度向右匀速运动。现将一质量为的小物块无初速度放在小车右端，同时对小车施加一大小不同的水平向右的恒力，作用一段时间后撤去，最终使物块与小车一起以原速度向右匀速运动。已知物块始终没有从小车上掉下来，重力加速度为，不计空气阻力的影响（物块与小车间的动摩擦因数未知）。 (1)若恒力大小为，求做的功； (2)若恒力的大小为，求做的功； (3)若不知恒力大小，求恒力做功的范围。 例2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）如图所示，长度的轻绳一端固定在点，另一端拴一小球。木板静止在光滑水平面上，物块静止在木板左端。开始时，木板右端与竖直墙相距，、、的质量均为，、间的动摩擦因数。现将小球拉到点正上方（轻绳伸直），以的初速度水平向左抛出，当小球运动至最低点时与物块发生碰撞，碰撞后立即撤去小球。木板的长度可以保证物块在运动过程中不与墙接触。小球和物块均可视为质点，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短。取重力加速度大小。求： (1)小球与物块发生碰撞前瞬间，轻绳对小球的拉力大小； (2)与相对运动所用的时间。 例3．（2026·江苏南京·二模）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在水平地面上，最低点切线水平，紧邻轨道左侧放置着一个下表面光滑、上表面粗糙的木板，在木板的左侧放置一小物块。从与圆心点等高处静止释放小滑块，经圆弧最低点滑上，与共速后，再与发生弹性碰撞。在以后的运动过程中，小滑块始终在木板上。已知，，，与间、与地面间的动摩擦因数均为，重力加速度。求： (1)经过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小； (2)、第一次碰撞前，、系统损失的机械能； (3)在地面上运动的最大位移。 变式1．（2026·山东枣庄·二模）如图所示，质量的滑板静止在光滑水平面上，长度的水平段AB和光滑圆弧面BC平滑连接，B、C的高度差。质量的滑块置于滑板上点，与滑板AB段间的动摩擦因数；长度的细线一端固定于点，另一端与质量的小球栓接。初始时细绳水平伸直，小球由静止被释放，运动至点正下方时与滑块发生对心碰撞（时间很短），碰后反弹的瞬间，受到的拉力大小。小球与滑块均可视为质点，不计空气阻力，细线不可伸长，取。 (1)求碰撞后瞬间滑块的速度大小； (2)求滑块从滑板上的处运动到处的时间； (3)若滑块从滑板上点离开后在空中运动的最小速率为，求滑块在滑板上运动的过程中，所受合力的冲量大小。 变式2．（25-26高三下·河北衡水·期中）如图所示，水平传送带顺时针匀速传动，左、右两端相距，其右端与足够长的光滑轨道无缝平滑连接，在轨道的左侧静止一足够长的质量的木板，轨道的右侧足够远处固定有一竖直弹性挡板，木板的右端放置有小物块乙，其质量，它与木板间的动摩擦因数，某时刻，小物块甲以初速度水平向右从传送带左端A点滑上传送带，一直匀加速从右端滑离传送带时，与木板发生弹性正碰，已知物块甲的质量，它与传送带间的动摩擦因数，不计木板与挡板碰撞过程的时间及能量损失，物块均可视为质点，重力加速度g取。 (1)求传送带的运动速度v的大小应该满足的条件。 (2)求物块甲与木板碰后，物块甲与木板左端相距的最大距离。 (3)若物块甲与木板碰后立即取走甲，木板与挡板碰撞前，乙与木板已共速，求从木板与挡板第一次碰撞开始计时到木板停止运动，物块乙与木板相对滑动过程所经历的时间。 变式3．（2026·天津红桥·一模）如图所示，挡板固定地面上，半径为，粗糙程度分布不均匀的四分之一圆弧轨道静置在光滑的水平面上，左端紧靠挡板，右端B紧靠等高的木板。质量为可视为质点的物块从圆弧轨道上端点的正上方高度为处由静止开始下落，物块刚好从点沿切线方向进入轨道，到达点时对点的压力大小为。已知木板质量为，物块与木板间的动摩擦因数为，重力加速度取。 (1)求圆弧轨道对物块做的功； (2)若轨道始终紧靠挡板，求挡板在物块下滑过程中对轨道的冲量； (3)若物块恰好不从木板上掉下，求木板的长度 考点二 子弹打木块问题 解题思路点拨：系统水平方向动量守恒；作用时间极短，外力忽略；先由动量守恒求共同速度，再用能量守恒，损失的机械能转化为内能，内能等于摩擦力乘以射入相对深度，区分留在木块和击穿两种情况。 例1．（2026·北京东城·一模）如图所示，把一个质量的小球放在高度的直杆的顶端。一颗质量的子弹以的速度沿水平方向击中小球，并穿过球心，小球落地处离杆的水平距离取，求： (1)子弹穿出小球瞬间小球的速度； (2)子弹穿出小球瞬间子弹的速度； (3)子弹和小球相互作用过程中系统损失的机械能。 例2．（2026·辽宁·一模）如图所示，质量为的物块P静置在水平地面上，并通过劲度系数为的轻质弹簧连接在右侧的固定挡板上，初始时弹簧处于原长。质量为的子弹以初速度水平向右击中物块P并留在其中，物块P与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，弹簧始终在弹性限度内，子弹与物块P作用时间可忽略不计，求： (1)子弹击中物块P的过程中，子弹和物块P组成的系统损失的机械能； (2)弹簧第一次恢复到原长时，物块P的速度大小。 例3．（25-26高三上·湖北·开学考试）如图所示，质量为、半径为的四分之一光滑圆弧轨道放在光滑水平地面上，下端与水平地面相切，质量为的木块静止在轨道左侧，质量为的子弹以的速度水平向右射入木块并留在其中。已知子弹与木块作用时间极短，木块的尺寸远小于圆弧轨道的半径，重力加速度大小g取，不计空气阻力。求： (1)子弹射入木块后的共同速度的大小以及此过程中产生的内能； (2)木块沿圆弧轨道上升的最大高度； (3)圆弧轨道的最大速度。 变式1．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图，滑板B静止在光滑水平面上，其右端与固定台阶相距，滑块A静止放在滑板B的最左侧。一子弹以水平向右的初速度击中A后留在A中（此过程时间极短）。已知子弹的质量，水平速度。A的质量的质量、B之间动摩擦因数，B足够长，A不会从B表面滑出，B与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力，重力加速度。求： (1)子弹击中滑块A后瞬间，A的速度大小； (2)若A与B恰好共速时B与台阶碰撞，则滑板B右端与固定台阶的距离； (3)若仍取第（2）问中的值，但改变子弹的初速度，则子弹的初速度最大为多少时，可避免滑板B与台阶第二次相碰。 变式2．（2026·四川德阳·二模）如图所示，竖直平面内一轻质弹力绳的一端固定于A点，另一端经光滑孔钉B连接质量为可视为质点的物块。点A、B和静止的物块在同一竖直线上，A、B间距等于弹力绳原长，B点离地高度为L。一质量为m的子弹以速度向右射入物块，且未击穿物块。已知物块与地面的动摩擦因数为，弹力绳始终在弹性限度内且满足胡克定律，劲度系数为，重力加速度大小为g，求： (1)子弹射入物块后，物块的速度大小； (2)物块向右运动过程中，当弹力绳偏离竖直方向角度为时，物块所受的滑动摩擦力大小f。 变式3．（2026·河北唐山·一模）如图所示，质量为0.49kg的木块静置于光滑水平轨道上，半径为0.8m的光滑半圆形轨道与水平轨道相切，直径竖直。质量为0.01kg的子弹以的水平速度击中木块并留在其中。木块进入半圆形轨道后，在某一位置离开轨道。木块可视为质点，取。求： (1)木块到达半圆形轨道最低点时对轨道的压力； (2)木块离开半圆形轨道时速度的大小。 考点三 斜面问题 解题思路点拨：将重力沿斜面、垂直斜面正交分解；受力列牛顿第二定律方程求加速度；结合运动学公式求解位移、速度；涉及做功、机械能时，分析重力、摩擦力做功，用动能定理或机械能守恒求解。 例1．（2026·广东广州·三模）如图，AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率v0顺时针转动的水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为μ，其余接触面均光滑。已知R=0.36m，L=1.6m，v0=5m/s，m=0.2kg，M=1.8kg，μ=0.25，重力加速度取g=10m/s2。不计空气阻力，物块视为质点，传送带足够长。求： (1)物块滑到B点处的速度大小； (2)物块从B到C点过程因摩擦产生的热量； (3)物块到达圆弧轨道最高点时对轨道的压力。 例2．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 例3．（25-26高三下·广西·期中）如图所示，质量为的小车放在台阶左侧的光滑水平面上，小车由光滑圆弧轨道和粗糙水平轨道构成，圆弧轨道的半径为，圆心为，与水平轨道相切于点，水平轨道的长度为，上表面与台阶平齐。小车最右端放置一质量为的滑块，滑块与小车水平轨道间的动摩擦因数为。一质量为的小球从台阶上以大小为的水平速度与滑块发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块能从圆弧轨道最高点冲出。滑块和小球均可视为质点，重力加速度为，求： (1)碰后瞬间滑块的速度大小； (2)滑块脱离圆弧轨道后还能上升的最大高度。 变式1．（2026·山东·模拟预测）如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)小球再次回到圆槽P的过程中上升的最大高度。 变式2．（2026·安徽·三模）如图所示，带圆弧槽的小车静止在光滑的水平面上，槽的端与圆心的连线与竖直方向的夹角为，端与圆心等高，一个质量为、可视为质点的小球以水平向右的初速度抛出，刚好从点无碰撞地进入圆弧槽，小球运动到点时恰好与小车相对静止。圆弧槽光滑，小车质量为，不计空气阻力，重力加速度为，求： (1)小球运动到点时，球与小车的共同速度大小； (2)小球抛出点与点的高度差； (3)圆弧槽的半径。 变式3．（2026·河北邢台·二模）如图所示，水平传送带的长度为，传送带沿顺时针转动且速度，右侧水平面上有一个固定的物体P，P右侧静置着一个质量的光滑物体Q，P、Q紧密接触但不粘连，段为半径的光滑圆弧，处是圆弧最低点，段圆弧所对圆心角。一个质量为的小物块以水平向右的初速度从端滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数，物体从点离开传送带做平抛运动并恰好从点无碰撞进入圆弧。小滑块可看作质点，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块在传送带上滑行的时间； (2)小物块经过点时受到圆弧的支持力大小（结果保留一位小数）； (3)物体Q能获得的最大速率。 考点四 滑块弹簧问题 解题思路点拨：弹力是变力，不适合用牛顿定律过程分析；优先用动量守恒+机械能守恒；抓住原长、最大形变量、共速等临界位置，求解速度、弹簧形变量和能量分配。 例1．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (2)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (3)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 例2．（25-26高三上·北京海淀·开学考试）光滑水平面上放有质量分别为2m和m的物块A和B，用细线将它们连接起来，两物块中间加有一压缩的轻质弹簧（弹簧与两物块均不相连），弹簧的压缩量为x。现将细线剪断，两物块刚要离开弹簧时物块A的速度大小为v，求： (1)物块A从开始运动到刚要离开弹簧的过程中，A的位移大小； (2)物块A从开始运动到刚要离开弹簧的过程中，弹簧弹力对B的冲量大小； (3)物块开始运动前弹簧的弹性势能。 例3．（2026·内蒙古包头·一模）将物块A和物块B用一根轻弹簧连接放置在传送带上，已知物块A和物块B的质量相等均为，物块A和物块B与传送带的动摩擦因数相等均为，弹簧劲度系数，零时刻，弹簧处于原长，使物块A以的初速度水平向左运动，物块B的初速度为零，t时刻，物块A与传送带第一次共速，传送带足够长，弹性势能（x为弹簧的形变量），重力加速度。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)若传送带始终静止，求物块B开始运动时，物块A的速度（结果可以用根式表示）； (2)若传送带逆时针以的速度运行，求t时刻物块B的速度大小； (3)在（2）的前提下，求t时刻弹簧的伸长量。 变式1．（25-26高三上·山东聊城·期末）如图所示，在一个倾角为的光滑固定斜面底端固定一个挡板，斜面左侧有一足够长竖直墙面，小滑块A、B通过一根劲度系数为的轻弹簧连接放置在斜面上，其中A紧靠挡板，系统处于静止状态。将一物块C从斜面顶端距B物块处以初速度向下释放，B与C相碰后立即粘合在一起，三个物块均可视为质点，物块B、C的质量均为，物块A的质量为，弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能，为弹簧的形变量，重力加速度为，计算结果可保留根号。 (1)求C、B相碰后瞬间的速度大小； (2)求物块A刚离开挡板时物块B、C的速度； (3)若物块A刚离开挡板时，B、C恰好与弹簧分离，而后B、C飞出斜面与墙面碰撞，反弹后能从斜面顶端处、且速度沿着斜面方向返回斜面，物块与墙面间的碰撞可视为弹性碰撞。求斜面与墙面的水平距离d。 变式2．（25-26高三下·贵州·开学考试）在机械动力学性能测试的水平测试台上，搭建了一套滑块—滑板传动模拟装置。水平测试台经精密调试可看成光滑面，滑板装置的总质量，其结构由三部分组成：前端段为光滑的圆弧轨道，圆弧轨道与水平的中间段平滑衔接；中间段为粗糙摩擦段（长度）；后端段为光滑的水平导向段，导向段末端处有一轻质固定挡板，一水平轻质弹簧固定在挡板上，弹簧自然伸长时左端与点重合（即弹簧原长位置为）。质量的金属滑块（可视为质点）从圆弧轨道顶端点由静止释放，滑块第一次滑到点时的速度大小，滑块与滑板段间的动摩擦因数。不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，取重力加速度大小。 (1)求滑块第一次通过点时，滑板的速度大小和圆弧轨道的半径； (2)滑块在滑板上运动的过程中，弹簧会出现弹性势能最大的瞬间（以弹簧原长时弹性势能为零势能参考），求该瞬间弹簧具有的最大弹性势能； (3)实验持续足够长时间后，滑块与滑板达到稳定状态，求此时滑块到点的距离及整个运动过程中滑板的位移大小。 变式3．（2026·山东菏泽·一模）如图所示，轻质弹簧的左端固定在质量为2m的小球B上，右端与质量为2m的小球C接触但未拴接，B和C静止在光滑水平台面上，C离水平台面右端点O的距离为L，质量为m的小球A以v0向右运动，与B发生弹性碰撞，碰撞时间极短。当C运动到O点时弹簧恰好恢复原长，沿水平抛出，落入固定在水平地面上的竖直四分之一椭圆轨道内。O为椭圆的中心，椭圆轨道半长轴为a，半短轴为，三个小球A、B、C均可看成质点，重力加速度为g，椭圆方程参考公式。求： (1)A与B碰撞后B球的速度大小vB； (2)C运动到O点的时间； (3)改变A的初速度及L，C落到椭圆轨道上的最小动能。 考点五 人船问题及其变式 解题思路点拨：系统水平方向合外力为零，动量守恒、质心位置保持不变；利用平均动量守恒，位移与质量成反比；直接列位移比例关系，快速求解两者对地位移。 例1．（2026·河北沧州·二模）有一项娱乐比赛项目，其规则如下：在光滑水平地面上有一个长为、质量为的木板，距木板左侧某处固定了一个销钉（不计质量），紧挨着销钉的右侧放置了一个质量为的金属块（金属块和销钉不会干扰参赛者在木板上的运动）。木板紧靠在平台的右侧（木板与平台等高），距离木板右侧较远处有一竖直墙壁。质量为的参赛者由木板右端由静止出发，走到木板最左侧处停止，随后以方向与水平面夹角为θ的初速度跳离木板落在平台上，如果金属块最终没有从木板上滑落，即为比赛胜利。已知金属块与木板间的动摩擦因数，参赛者、金属块和销钉均可视为质点，木板与墙壁碰撞视为弹性碰撞，重力加速度g取。 (1)求参赛者在起跳前距离平台的水平距离。 (2)求参赛者至少以多大的初速度从木板上跳出，才能安全落在平台上，以及θ角的大小。 (3)已知参赛者刚要起跳时，参赛者、金属块、销钉和木板系统的机械能为E，若参赛者以做功最小的方式跳出并安全落在平台，最终金属块未掉落，求金属块与木板间的相对位移。 例2．（2026·河北保定·一模）如图甲所示，物块A、B和带有半径R=4m的光滑圆弧轨道EF的物块D均放在光滑水平地面上，D被锁定。圆弧轨道的圆心为O，OE水平，A、B通过劲度系数为k的轻弹簧相连。小球C从E点正上方高h=16.8m处由静止释放，当O、C连线和OF的夹角为时，解除物块D的锁定。已知重力加速度取。 (1)求小球C经过F点时，小球C、物块D的速度大小和物块D对小球C的支持力大小； (2)小球C与物块A碰撞时间极短，碰后粘在一起，取该时刻为t=0时刻，之后A、C组合体和B的速度随时间按正弦规律变化，如图乙所示，内，A前进的距离为求弹簧的劲度系数。 例3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，套在固定水平杆上的光滑小环A与小球B通过不可伸长的轻绳相连，A环右侧处有一竖直挡板，固定在水平杆上P点，A环与竖直挡板碰撞后立即被锁定在P点。初始时刻，小球B与环A在处于同一水平面，轻绳恰好伸直且与水平杆平行。已知轻绳长为L，小环A质量为，小球B的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。A、B同时由静止释放，求： (1)若固定环A，当小球B运动到最低点时对轻绳的拉力大小； (2)在环A与挡板相撞前瞬间的速度大小； (3)若，则小球B的最大速度是多少。 变式1．（2026·黑龙江辽宁·模拟预测）如图所示，质量为m的物块B静止在水平面上P点，半径为r＝2R的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点C相切，质量为3m的小球A用长为L（未知）的轻绳连接于O点，O点正下方O′点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为R的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点D，B与Q点左侧水平面间的动摩擦因数为0.5，Q点右侧水平面光滑，开始时C点与Q点对齐，P、Q间距离s＝37R，A、B可视为质点，重力加速度为g，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度L及圆弧体的质量； (3)若B在圆弧面上向上运动的时间为t，则B在圆弧面向上运动过程中，圆弧体运动的距离为多少。 变式2．（2026·陕西商洛·一模）如图所示，A、C两球的质量均为4m，B球的质量为M，A、B两球分别用长为l的轻杆通过轻质铰链与C球连接，A、B两球静止于光滑水平地面上，两杆竖直并拢。受到微小扰动后，A、B两球分别向左右两边运动，两杆始终保持在同一竖直面内，三小球可视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g，求； (1)若，C球落地时的速度大小； (2)若，C球落地过程中水平位移的大小； (3)若，C球机械能最小时距离地面的高度。 变式3．（25-26高三上·河南·月考）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在光滑水平面上，斜面长为，斜面底端与水平面平滑连接，质量为的物块C静止在水平面上，质量为的小球B套在固定的光滑水平直杆上，用长为的细线将质量为的小球A与小球B连接，开始时A、B两球均静止，细线刚好水平伸直，由静止释放小球A，小球A运动到最低点刚好沿水平方向与物块C发生弹性碰撞，碰撞瞬间，连接小球A的细线也恰好断开，物块在斜面上减速后沿斜面滑下再次进入水平面，并且能与小球A再次发生碰撞。不计小球和物块的大小，重力加速度，，。求： (1)A与C碰撞前，B沿杆运动的距离； (2)A与C第一次碰撞过程中，A对C做的功； (3)物块C与斜面间的动摩擦因数的取值范围（答案均可用分数表示）。 考点六 爆炸问题 解题思路点拨：爆炸瞬间内力远大于外力，系统动量守恒；爆炸过程时间极短，位置可认为不变；化学能转化为机械能，总动能增加；由动量守恒列方程，求解爆炸后各物体速度。 例1．（2026·四川成都·二模）如图所示，有一右侧带挡板的长木板静止在光滑水平地面上，可视为质点的物块A、B中间夹有微量炸药静置在木板上，物块B离挡板的距离。炸药具有的化学能，引爆炸药将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，碰撞时间和爆炸时间均不计，两物块均未从木板上滑下。已知两物块质量均为，长木板的质量，物块A与长木板间的动摩擦因数，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度，求： (1)爆炸后瞬间，物块A的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间、碰后木板的速度大小。 例2．（25-26高三上·广东深圳·期末）一质量为1kg的烟花弹从地面斜向上发射，发射速度大小为50m/s，方向与水平方向夹角为53°，如图所示，达到最高点时炸裂为质量相等的两部分A和B。爆炸后A又上升了3s，且恰好落回出发点，不计空气阻力，爆炸的时间极短且忽略爆炸前后的总质量变化，取重力加速度，，，求： (1)爆炸点到抛出点的水平、竖直距离； (2)炸裂后A的速度大小； (3)爆炸过程中释放的化学能。 例3．（2025·山东济南·一模）如图所示，光滑水平地面上有一右侧带挡板的长木板，不同材料做成的物块A、B中间夹有微量炸药放置在木板上，物块B离挡板的距离为L=5.5m，炸药具有的化学能E0=8J，物块A、B均视为质点。引爆炸药，将两物块沿木板分开，炸药化学能的50%转化为两物块的动能，在以后的运动过程中两物块的碰撞以及物块与挡板间的碰撞均为弹性碰撞，两物块均未从木板上滑下。已知两物块及长木板的质量均为m=1kg，物块A与长木板间的动摩擦因数为μ=0.1，物块B与长木板间无摩擦，重力加速度g=10m/s2，碰撞时间不计，求 (1)爆炸后瞬间，物块B的速度大小； (2)物块B从爆炸后瞬间到第一次与挡板相碰所经历的时间； (3)整个过程中，物块B与物块A、挡板之间发生碰撞的总次数记为n，发生第n次碰撞前系统损失的机械能记为E，当n>2时，写出E与n的关系。 变式1．（25-26高三上·陕西商洛·月考）如图所示，一平台上静置着物块A、B（均可视为质点），两物块之间有少量火药（火药的体积和质量忽略不计）。现在引爆火药（爆炸时间极短），火药爆炸能量的60%转化为A、B的动能。爆炸后A沿着光滑圆弧轨道MN上升至N点后无碰撞地进入小车C上表面。小车左端恰好位于N点正下方，小车右端与墙相距，当小车碰到墙时立即停止运动。已知，，，圆弧轨道MN半径，物块A在N点时对轨道的压力大小等于自身重力的2.2倍，物块A与小车C之间动摩擦因数，其余地方摩擦力全部忽略不计。求： (1)求物块A运动到N点时的速度。 (2)爆炸释放的总能量E。 (3)若物块A在运动过程中始终不会和墙发生碰撞，求小车长度L的最小值。 变式2．（2025·四川达州·一模）如图所示，水平桌面上放置两个物块、，质量分别为，，、间夹有少量炸药。有一质量的小球，用长，不可伸长的轻绳悬挂于悬点处，小球与桌面接触但不挤压。在点左下方的点固定一光滑钉子，、两点距离为，与竖直方向夹角为，右侧桌面粗糙、左侧光滑，与桌面间动摩擦因数。现点燃炸药将物块、分开，炸药释放能量的60%转化为两物块的动能，、分开后，与小球发生弹性碰撞，经时间停在水平桌面上。、、均可视为质点，重力加速度取。求： (1)炸药释放的能量； (2)忽略绳与钉子相互作用的能量损失，判断小球能否在竖直面内做圆周运动到达点正上方，若能，求此时绳子的拉力。 变式3．（25-26高三上·湖北·月考）从水平地面斜向上发射一枚质量为的炮弹，发射初速度与水平方向成45°角、大小为，炮弹在上升至最高点时突然爆炸而分裂成两块质量均为的碎片，一块以与水平方向成45°角斜向上的初速度做斜抛运动，另一块以与水平方向成45°角斜向下的初速度做斜抛运动，两块碎片最终落回到水平地面、炮弹爆炸时间极短，可认为系统水平方向、竖直方向动量均守恒，已知炮弹及碎片均在同一竖直平面内运动，重力加速度大小为g，不计空气阻力。 (1)爆炸前后系统机械能增加了多少？ (2)两块碎片在水平地面上的落点间的距离为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $