黑龙江大庆市大庆市九年级靓祥联考五月份阶段检测2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 本试卷以科技前沿（中国经济GDP）、文化传承（榫卯、赵爽弦图）为情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查九年级数学核心知识，适配月考评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、科学记数法、图形对称、三视图|结合GDP数据（数据意识）、榫卯结构（空间观念）设计情境| |填空题|8/24|因式分解、概率、扇形弧长、菱形动态问题|跨学科物理化学变化概率（应用意识）、动态几何（几何直观）| |解答题|10/66|解直角三角形、函数综合、圆、抛物线|机器人玩具利润（模型意识）、赵爽弦图变式（创新意识）、圆的证明（推理能力）|

2025-2026下学年大庆市九年级靓祥五月联考数学试卷答案 一、选择题（每题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B D C A A D B 1.下列实数中，无理数是（　　） A． B．π C． D．﹣|﹣1| 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、是有理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、﹣|﹣1|＝﹣1是有理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数。无限不循环小数为无理数，如π、，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 2．2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国GDP（国内生产总值）总量突破101万亿元人民币．将数据“101万亿”用科学记数法表示为（　　） A．101×108 B．101×1012 C．0.101×1015 D．1.01×1014 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：101万亿＝101000000000000＝1.01×1014． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【解答】解：A．选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，掌握中心对称图形，轴对称图形的定义是关键． 4.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图．版权所有 【专题】投影与视图；空间观念． 【答案】B 【分析】直接利用俯视图即从物体的上面观察得到视图即可． 【解答】解：如图所示，俯视图为： ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 5.下列计算正确的是（　　） A．m+4n＝5mn B．a2﹣2a＝0 C．m+m＝m2 D．3a2b﹣2ba2＝a2b 【分析】根据整式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：A、m+4n≠5mn，故A错误； B、a2﹣2a≠0，故B错误； C、m+m＝2m≠m2，故C错误； D、3a2b﹣2ba2＝a2b，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型． 6．当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B． C．y＝3x+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 【分析】根据一次函数，二次函数及反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 当x＞1时， 函数y＝﹣3x中y随x的增大而减小． 故A选项不符合题意； 当x＞1时， 函数中y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意； 当x＞1时， 函数y＝3x+1中y随x的增大而增大． 故C选项符合题意； 当x＞1时， 函数y＝﹣（x﹣1）2﹣3中y随x的增大而减小． 故D选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、二次函数的性质、正比例函数的性质及反比例函数的性质，熟知一次函数，二次函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7．在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）时，嘉嘉不小心将一次项系数写成了﹣b，解出其中一个根是x＝1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是﹣1； 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 【考点】根的判别式；一元二次方程的一般形式；一元二次方程的解．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【解答】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为ax2﹣bx+3＝0（a≠0）， 将x＝1代入得a×12﹣b×1+3＝0， a﹣b+3＝0， 解得b＝a+3， 甲：∵原方程为ax2+bx+3＝0， 将x＝﹣1代入原方程得a×（﹣1）2+b×（﹣1）+3＝0， a﹣b+3＝0， 解得b＝a+3， ∴x＝﹣1是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，Δ＝b2﹣4•a•3＝b2﹣12a， Δ＝（a+3）2﹣12a ＝a2+6a+9﹣12a ＝（a﹣3）2， 当a≠3时，（a﹣3）2＞0，即Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 8．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．△ABC是等边三角形，△ABF，△BCD，△ACE是三个全等的三角形，△DEF是围成的小等边三角形．已知，AE＝1，ED＝2，则BC的长是（　　） A． B． C． D．4 【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；全等三角形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于点H，根据全等三角形的性质得CD＝BF＝AE＝1，DF＝ED＝2，则BD＝3，根据等边三角形性质得∠CDH＝∠EDF＝60°，在Rt△CDH中，根据∠DCH＝30°得DH，CH√3/2，进而得BH，然后在Rt△BCH中，由勾股定理即可求出BC的长． 【解答】解：过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于点H，如图所示： ∴∠H＝90°， ∴△CDH和△BCH都是直角三角形， 根据全等三角形的性质得：CD＝BF＝AE＝1，DF＝ED＝2， ∴BD＝BF+DF＝3， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠CDH＝∠EDF＝60°， 在Rt△CDH中，∠DCH＝90°﹣∠CDH＝30°， ∴DHCD， 由勾股定理得：CH， ∴BH＝BD+DH， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC． 故选：A． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解全等三角形的性质，等边三角形的性质，灵活利用含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 9.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长是（　　） A． B． C． D． 【考点】正方形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力． 【答案】D 【分析】依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得CD，在Rt△ACD中由勾股定理得AD，再由图形的拼接可知BD＝CE＝1，由此可得AB的长． 【解答】解：如图所示： ∵正方形ACEF的边长为1，即AC＝CE＝EF＝AF＝1， ∴正方形ACEF的面积为1， ∵将正方形ACEF分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴CD， 在Rt△ACD中，AC＝1，CD， 由勾股定理得：AD， 由图形的拼接可知：BD＝CE＝1， ∴AB＝AD﹣BD1． 故选：D． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 10．（3分）如图1，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．点E在斜边AC上，从点A出发，运动到点C时停止．设AE为x，DE2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点P（0，100），且经过N（n﹣9，100）和最高点M（n，m）两点．下列选项正确的是（　　） A．∠A＝30° B．m＝325 C．n＝24 D．y的最小值为64 【分析】结合图象可求出AB的长，过点D作DF⊥AC交AC于点F，由图2知，点M（n，m）为最高点，当点E和点C重合时，DE最大，根据三角函数和勾股定理可求出n和m，进而判断选项B和选项C；用cosA的值可判断选项A；当DE⊥AC，即点E和点F重合时，DE有最小值，进而判断选项D． 【解答】解：由图2可知，当x＝0时，y＝100，即AD2＝100， ∴AD＝10， ∵D是边AB的中点， ∴AB＝20； ∵N（n﹣9，100）， 即DE2＝100，DE＝10，x＝n﹣9， 此时AD＝10＝DE，AE＝n﹣9， 如图，过点D作DF⊥AC交AC于点F，则有△ADE为等腰三角形， ∴，， 由图2知，点M（n，m）为最高点， ∵当点E和点C重合时，DE最大， ∴AC＝n，DC2＝m， ∴， ∴， 整理得n2﹣9n﹣400＝0， 解得n＝25或﹣16（负值舍去），故选项C错误； ∴AC＝25，， ∴DC2＝DB2+BC2＝102+152＝325＝m，，故选项B正确； ∴∠A≠30°，故选项A错误； 由上图可知，当DE⊥AC，即点E和点F重合时，DE有最小值，即y＝DE2最小， 此时， ∴DF2＝AD2﹣AF2＝102﹣82＝36， ∴y的最小值为36，故选项D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11.把2a2b﹣8b3因式分解的结果是 　2b（a+2b）（a﹣2b）　 ． 【分析】先提取公因式2b，再利用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：2a2b﹣8b3 ＝2b（a2﹣4b2） ＝2b（a+2b）（a﹣2b）， 故答案为：2b（a+2b）（a﹣2b）． 【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 12．函数的自变量x的取值范围是x≥﹣1且x≠4　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得： ， ∴， 故答案为：x≥﹣1且x≠4． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 13．已知的整数部分为a，的小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足，则x+y的值为　﹣5　 ． 【考点】估算无理数的大小．版权所有 【专题】实数；数感；运算能力． 【答案】﹣5． 【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数，的大小确定a、b的值，再将a、b的值代入x+y+a＝2b确定x、y的值即可． 【解答】解：∵32＝9，42＝16，而9＜11＜16， ∴34， ∴的整数部分a＝3， ∵23＝8，33＝27，而8＜11＜27， ∴23， ∴的整数部分为2，小数部分b2， ∵x+y+a＝2b，即x+y+3＝24， ∴x+y2﹣7， ∴x＝2，y＝﹣7， ∴x+y＝2﹣7＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键． 14.数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，D属于物理变化，B，C属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上． 若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率是 ． 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有6种，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：列表如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 由表可知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有2种， ∴两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为． 【点评】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 15.已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6πcm2，则该扇形的弧长为 　2π　 cm． 【分析】首先根据扇形的面积公式即可求得扇形的半径长，然后利用弧长公式即可求解． 【解答】解：设扇形的半径长是R，则6π，解得：R＝6． 则弧长是：2πcm． 故答案为：2π． 【点评】本题考查了扇形的面积公式以及弧长的计算公式，正确理解公式是关键． 16.如图，在菱形ABCD中，AB＝12，对角线AC＝18，点E、O分别在边AB、BC上，AE＝OB＝4，⊙O半径为2，点P为AC上一动点，点Q为⊙O上一动点．当EP+PQ＝10时，AP的长为　6　 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】6． 【分析】作AF＝AE＝4，连接FP，QO，连接FO交圆于点G，得到FG＝FP+PQ＝EP+PQ＝10，可得F，P，Q共线，再利用相似三角形的判定和性质，即可解答． 【解答】解：如图，作AF＝AE＝4，连接FP，QO，连接FO交⊙O于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC，BC∥AD，BC＝BA＝12， ∵AF＝AE＝BO＝4， ∴四边形AFOB为平行四边形， ∴AB＝FO＝12， ∵⊙O半径为2， ∴FG＝12﹣2＝10， ∵AE＝AF，∠EAP＝∠FAP，AP＝AP， ∴△EAP≌△FAP（SAS）， ∴EP＝FP，∠EPA＝∠APF， ∵EP+PQ＝10， ∴FP+PQ＝10＝FG， ∴F，P，Q共线，且与FG重合，此时P为FO与AC的交点， ∵AB∥FO， ∴∠BAC＝∠APF＝∠EPA， ∵∠BAC＝∠BCA， ∴∠BCA＝∠EPA， ∴PE∥BC， ∴△AEP∽△ABC， ∴，即， ∴AP＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17.若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为　16　 ． 【分析】先解不等式组，根据关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围0＜m≤6，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得y＝m﹣2，由分式方程的解为非负数，可得m≥2且m≠4，进而得到2≤m≤6且m≠4，问题随之得解． 【解答】解：， 解①得：x＜4， 解②得：， ∴不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1， ∴， 解得：0＜m≤6， 解方程，得y＝m﹣2， 由条件可知y＝m﹣2≥0且m﹣2≠2， 解得m≥2且m≠4， ∴2≤m≤6且m≠4， 则所有满足条件的整数m的值之和是2+3+5+6＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．熟练掌握以上知识点是关键． 18.已知的图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支恰好重合，则 ______． 【答案】2 【分析】本题考查了翻折变换，坐标与图形的变化，解决本题的关键是结合函数图象进行求解． 根据题意得出反比例函数图象关于对称，联立反比例函数与确定到，结合函数图象求解即可． 【详解】解：将图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，再将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ∵反比例函数图象关于对称， ∴对称与旋转变换之后能与剩余部分重合的话需要两段图象关于直线对称， ∴联立得到， 即过点A与y轴垂直的直线方程为， 向下平移2个单位长度， ∴． 平移旋转后的图象如图所示： 故答案为：2 ． 三、解答题（共66分） 19.（4分）计算：． 【分析】根据实数的运算法则进行计算． 【解答】解： ＝﹣2﹣4.......................................3分 ＝﹣2﹣2+3 ＝﹣1．..................................................................4分 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 20.（4分）先化简，再求值：，其中． 【分析】先把分式的分子、分母因式分解，约掉公因式变为，再同分母分式相加化简整理，最后把代入化简后的式子计算，即可解题． 【解答】解： ；（或）...............................................................2分 把，代入上式得， 原式．....................................4分 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，将分式化到最简是解题的关键． 21.（4分）2025年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在B组的有　15　 人，抽取学生成绩的中位数是　83.5　 分； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； 【分析】（1）由直方图及中位数定义即可求得； （2）根据样本中不低于80分的占比来估计总体． 【解答】解：（1）由直方图可知在B组人数：15人； ∵5+15+20+10＝50，50÷2＝25， ∴中位数为：， 故答案为：15；83.5；............................................................................................ 2分 （2）（人）； ∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于8（0分）的人数约720人．..........4分 【点评】本题考查了用样本估计总体，频数（率）分布直方图，中位数，看懂统计图是解题的关键． 22.（6分）如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i＝1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，1.41） （1）求点D到FC的距离； （2）求塔AB的高度．（结果精确到0.1米） 【分析】（1）过D点作DM⊥BF于M点．如图，根据坡度的定义得到，设DM＝x，CMx，则CD＝2x，所以2x＝10，解方程得x＝5（米），从而得到点D到FC的距离； （2）过D点作DH⊥AB于H点，如图，易得四边形DMBH为矩形，则BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC，在Rt△ADH中利用∠ACB＝45°得到BC＝AB＝AH+5，则DH＝AH+5+5，在Rt△ADH中利用正切的定义得到AH＝DH•tan31°，即AH＝0.6（AH+5+5），然后解方程求出AH，最后计算AH+BH即可． 【解答】解：（1）过D点作DM⊥BF于M点．如图， ∵斜坡CE的坡度i＝1：， ∴， 设DM＝x，CMx， ∴CD2x， 即2x＝10， 解得x＝5（米）， ∴DM＝5米， 答：点D到FC的距离为5米；......................................................2分 （2）过D点作DH⊥AB于H点，如图， ∵∠DMB＝∠DHB＝∠HBM＝90°， ∴四边形DMBH为矩形，∴BH＝DM＝5米，DH＝CM+BC， 在Rt△ADH中，∵∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝AH+5， 由（1）可得CM＝5米， ∴DH＝BC+CM＝AH+5+5，......................................................4分 在Rt△ADH中，∵tan∠ADH， ∴AH＝DH•tan31°， 即AH＝0.6（AH+5+5）， 解得AH≈20.475（米），..............................................................5分 ∴AB＝AH+BH＝20.475+5≈25.5（米）． 答：塔AB的高度为25.5米．.....................................................6分 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解仰角俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．也考查了坡度． 23.（6分）【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）若设购买一个A种机器人玩具价格为x元，直接写出用1500元购进B种机器人玩具数量（用含x的代数式表示），并求购进A，B两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用；列代数式．版权所有 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【答案】（1）购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元； （2）至少购进40个A种机器人玩具． 【分析】（1）设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购买一个A种机器人玩具的价格），再将其代入（x+10）中，即可求出购买一个B种机器人玩具的价格； （2）设购进y个A种机器人玩具，则购进（60﹣y）个B种机器人玩具，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3200元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为（x+10）元， 根据题意得：2，..........................................................2分 解得：x＝50， 经检验，x＝50是所列方程的解，且符合题意，..................................3分 ∴x+10＝50+10＝60（元）． 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元；......4分 （2）设购进y个A种机器人玩具，则购进（60﹣y）个B种机器人玩具， 根据题意得：50y+60（60﹣y）≤3200，.....................................................5分 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：至少购进40个A种机器人玩具．..................................................... .6分 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接BF． （1）证明：四边形DCFB为菱形； （2）AF与BC相交于点G，若AC＝12，BF＝10，求GC的长． 【分析】（1）先证明△ADE和△FCE全等得AD＝CF＝BD，根据CF∥AB可判定四边形DCFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边中线性质得DC＝BD，据此即可得出结论； （2）连接DF交BC于点H，根据菱形性质得DH⊥BC，CH＝BHBC，FH＝DH，BD＝BF＝10，进而得AB＝2BD＝20，在△ABC中，由勾股定理得BC＝16，继而得CH＝BH＝8，再证明DH是△ABC的中位线得FH＝DH＝6，然后证明△FHG和△ACG相似，利用相似三角形的性质即可得出GC的长． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠EAD＝∠EFC， ∵点E为CD中点， ∴DE＝CD， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS），...........................................................2分 ∴AD＝CF， ∵点D为AB中点， ∴BD＝AD， ∴BD＝CF， 又∵CF∥AB， ∴四边形DCFB是平行四边形，..................................................3分 在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点， ∴DC＝BD＝ADAB， ∴平行四边形DCFB是菱形；....................................................4分 （2）解：连接DF交BC于点H，如图所示： 由（1）可知：四边形DCFB是菱形， ∴DH⊥BC，CH＝BHBC，FH＝DH，BD＝BF， ∵BF＝10， ∴BD＝BF＝10， ∵点D为AB中点， ∴AB＝2BD＝20， 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12， 由勾股定理得：BC16， ∴CH＝BHBC＝8， ∵DF⊥BC， ∴∠DHB＝∠ACB＝90°， ∴DF∥BC， 又∵点D为AB中点， ∴DH是△ABC的中位线， ∴DHAC＝6，...........................................................................6分 ∴FH＝DH＝6， ∵DF∥BC， ∴△FHG∽△ACG，∴，............................7分 ∴设HG＝a，GC＝2a， ∴CH＝CG+HG＝3a＝8， 解得：a， ∴GC＝2a．................................................................................8分 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 25.（8分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．版权所有 【专题】经济问题；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出w﹣150与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围． 【解答】解：（1）设y＝kx+b， ∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150）， ∴， 解得：． 故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，..............................................2分 （2）由题意，得 ﹣10x+700≥240，.......................................................................................................3分 解得x≤46， ∴30＜x≤46， 设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700）， w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000， ∵﹣10＜0， ∴x＜50时，w随x的增大而增大， ∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，.........................................6分 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600， ﹣10（x﹣50）2＝﹣250， x﹣50＝±5， x1＝55，x2＝45， 如图所示，由图象得： 当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．.....................................8分 【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 26.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是（6，2），点B的纵坐标是﹣3． （1）求反比例函数和直线l1的表达式； （2）将直线l1：y＝k1x+b沿y轴向上平移后得直线l2，l1，l2与x轴分别交于E，F两点，l2与反比例函数在第一象限内交于点C，如果△ABC的面积为15，求平移后的直线l2的函数表达式． 【分析】（1）将点（6，2）代入，求出反比例函数的表达式；可求出B点坐标，再将A，B两点的坐标代入l1：y＝k1x+b，利用待定系数法求出直线l1的表达式； （2）连接AF，BF，则E（2，0），根据平移的性质可得CF∥AB，即可得出△ABC的面积与△ABF的面积相等，可求得F（﹣4，0），即可得出平移后的直线l2的函数表达式． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是（6，2），点B的纵坐标是﹣3． ∴，即k2＝12， ∴反比例函数的表达式为，......................................................1分 在中，当时，x＝﹣4， ∴B（﹣4，﹣3）． ∴， 解得：， ∴直线l1的表达式为；.......................................................3分 （2）如图，连接AF，BF，......................................................................4分 在中，当，x＝2， ∴E（2，0）， 由平移的性质可得CF∥AB， ∴△ABC的面积与△ABF的面积相等， ∵△ABC的面积为15， ∴S△ABF＝S△AFE+S△BFE＝15，..........................................................................6分 ∴， ∴， ∴EF＝6，...........................................................................................................7分 ∵E（2，0）， ∴F（﹣4，0）， 设平移后的直线l2的函数表达式为， 把F（﹣4，0）代入，得， 解得：n＝2， ∴平移后的直线l2的函数表达式为．.............................................8分 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键． 27.（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线； （2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE； （3）若cos∠DBA，CG＝10，求BD的长． 【分析】（1）连接OC，OD，证得∠BAH＝∠BOC，得出AH∥OC，则OC⊥CH，则结论得证； （2）连接AC，得出CE＝CH，证明Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），则BE＝DH，证出AD＝DH，则可得出结论； （3）延长CE交⊙O于点F，得出GB＝GC＝10，在Rt△GEB中，cos∠DBA，可求出BE＝8，GE＝6，证明Rt△AEC∽△Rt△CEB，由可求出AE，再求出AD，则可得出BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD， ∵BC＝CD， ∴∠BOC＝∠COD∠BOD， 又∵∠BAH∠BOD， ∴∠BAH＝∠BOC， ∴AH∥OC， ∵AH⊥CH， ∴OC⊥CH， ∵OC是⊙O的半径， ∴CH是⊙O的切线；.......................................................................3分 （2）证明：如图，连接AC， ∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠CAH， 又∵CE⊥AB，CH⊥AH， ∴CE＝CH， ∵BC＝CD， ∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），...........................................5分 ∴BE＝DH， ∵点D为AH的中点， ∴AD＝DH， ∴AD＝BE；............................................................................6分 （3）解：如图，延长CE交⊙O于点F， ∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ∴， ∴∠BCE＝∠CBD， ∴GB＝GC＝10， 在Rt△GEB中，cos∠DBA， ∴BE＝8，GE＝6， ∴CE＝CG+GE＝10+6＝16， ∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴Rt△AEC∽△Rt△CEB，................................................................................8分 ∴，即， ∴AE＝32， ∴AB＝AE+BE＝32+8＝40，在Rt△ADB中，cos∠DBA， ∴BDAB40＝32．.................................................................................9分 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆周角定理，平行线的判定性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键． 28.（9分）已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 【答案】(1)直线 (2)①或8；②或24 【详解】（1）解：∵（为常数）， ∴对称轴为直线．....................................................................2分 （2） 解：①把代入得：，解得：或8． .............................................................................................................5分 ②由①得：或8， 当时，，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线不能在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴下方的直线经过顶点，此时与抛物线两交点的横坐标分别为和， ∴，两交点为，此时，为直线， ∴；......................................................................7分 当时，， ∵抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间，且， ∴下方的平行线在顶点上方， ∵直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6， ∴直线与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为且要尽可能靠近对称轴， ∴，即：直线与对称轴右侧的抛物线交点分别为， ∴．....................................................................... 综上，或24．................................................................................9分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026下学年大庆市九年级靓祥五月联考数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1.下列实数中，无理数是（　　） A． B．π C． D．﹣|﹣1| 2．2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国GDP（国内生产总值）总量突破101万亿元人民币．将数据“101万亿”用科学记数法表示为（　　） A．101×108 B．101×1012 C．0.101×1015 D．1.01×1014 3.博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4.榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（　　） A． B． C． D． 5.下列计算正确的是（　　） A．m+4n＝5mn B．a2﹣2a＝0 C．m+m＝m2 D．3a2b﹣2ba2＝a2b 6．当自变量x＞1时，下列函数y随x的增大而增大的是（　　） A．y＝﹣3x B． C．y＝3x+1 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 7．在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）时，嘉嘉不小心将一次项系数写成了﹣b，解出其中一个根是x＝1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是﹣1； 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（　　） A．甲、乙都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．甲、乙都错 8．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．△ABC是等边三角形，△ABF，△BCD，△ACE是三个全等的三角形，△DEF是围成的小等边三角形．已知，AE＝1，ED＝2，则BC的长是（　　） A． B． C． D．4 9.由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中AB的长是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图1，在Rt△ABC中，D是边AB的中点．点E在斜边AC上，从点A出发，运动到点C时停止．设AE为x，DE2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点P（0，100），且经过N（n﹣9，100）和最高点M（n，m）两点．下列选项正确的是（　　） A．∠A＝30° B．m＝325 C．n＝24 D．y的最小值为64 二、填空题（每题3分，共24分） 11.把2a2b﹣8b3因式分解的结果是 　 　 ． 12．函数的自变量x的取值范围是 　 ． 13．已知的整数部分为a，的小数部分为b，x，y为有理数，若x，y，a，b满足，则x+y的值为　 　 ． 14.数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片A，D属于物理变化，B，C属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗匀，然后放置在桌面上． 若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率是 ． 15.已知扇形OAB的圆心角为60°，扇形的面积为6πcm2，则该扇形的弧长为 　 　 cm． 16.如图，在菱形ABCD中，AB＝12，对角线AC＝18，点E、O分别在边AB、BC上，AE＝OB＝4，⊙O半径为2，点P为AC上一动点，点Q为⊙O上一动点．当EP+PQ＝10时，AP的长为　 　 ． 17.若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为　 　 ． 18.已知的图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支恰好重合，则 ______． 三、解答题（共66分） 19.（4分）计算：． 20.（4分）先化简，再求值：，其中． 21.（4分）2025年中国科技发展进入创新爆发期，创新指数首次跻身全球前十，在航空航天、清洁能源、高端制造等多领域斩获多项世界级突破．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．该校某调查小组对活动中模具设计水平进行调查，随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）本次抽取的学生中成绩在B组的有　15　 人，抽取学生成绩的中位数是　83.5　 分； （2）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； 22.（6分）如图，小红同学为了测量小河对岸某塔AB的高度，他在与塔底B同一水平线BF上的点C处测得塔的顶端A的仰角为45°，接着他沿着坡度i＝1：的斜坡CE向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为31°．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，1.41） （1）求点D到FC的距离； （2）求塔AB的高度．（结果精确到0.1米） 23.（6分）【问题背景】2026央视马年春晚播出后．晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）若设购买一个A种机器人玩具价格为x元，直接写出用1500元购进B种机器人玩具数量（用含x的代数式表示），并求购进A，B两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共60个进行销售，且总金额不超过3200元，求至少购进A种机器人玩具的数量． 24.（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接BF． （1）证明：四边形DCFB为菱形； （2）AF与BC相交于点G，若AC＝12，BF＝10，求GC的长． 25.（8分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 26.（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是（6，2），点B的纵坐标是﹣3． （1）求反比例函数和直线l1的表达式； （2）将直线l1：y＝k1x+b沿y轴向上平移后得直线l2，l1，l2与x轴分别交于E，F两点，l2与反比例函数在第一象限内交于点C，如果△ABC的面积为15，求平移后的直线l2的函数表达式． 27.（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线； （2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE； （3）若cos∠DBA，CG＝10，求BD的长． 28.（9分）已知抛物线（为常数）． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若抛物线与轴交于点． ①求的值． ②设，抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线之间．若直线之间的距离为（为常数）时，的最大值为6，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $