湖北随州市随县第二高级中学2026届高三下学期五月阶段性监测数学试题

**基本信息** 2026届高三五月数学监测卷以“情境真实化、问题层次化”为特色，通过山西汾酒储存价值（函数模型）、阿基米德三角形（圆锥曲线）、商场竞猜活动（概率统计）等素材，融合文化传承与实际应用，考查数学眼光、思维与语言，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、三角函数等基础|第6题以汾酒储存为背景，考查指数函数应用| |多选|3/18|数列、双曲线、函数性质|第9题结合等差数列前n项和判断单调性与最值，体现逻辑推理| |填空|3/15|等比数列、函数零点、向量投影|第13题函数零点问题，考查分类讨论思想| |解答|5/77|三角、立体几何、导数、概率统计、椭圆|第18题以商场竞猜活动为情境，融合概率与利润期望计算，凸显应用意识；第19题椭圆综合题与阿基米德三角形呼应，渗透数学文化|

2026届高三下学期五月阶段性监测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{x∈Z|2x≤8}，则P∩Q＝（　　） A．{0，1，2} B．{x|0≤x≤2} C．{1，2} D．{x|x≤3} 2．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．已知α是第一象限角，且sinα，则cos（2α）＝（　　） A． B． C． D． 4．已知数据x1，x2，x3的平均数为1，数据x4，x5，x6，x7的平均数为8，则数据x1，x2，x3，⋯，x7的平均数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知是函数f（x）＝Asin（2x+φ）（A＞0，0≤φ＜2π）的一条对称轴，且，则（　　） A． B． C．或 D．﹣1或1 6．山西汾酒储存时间越长价值越高，一瓶原价2000元的汾酒，储存t年（t≥0）后的价值y（元）满足函数（k为常数），已知储存4年的此种汾酒价值为2400元，则此种汾酒储存8年的价值为（　　） A．2980元 B．2880元 C．2680元 D．2480元 7．把一个圆锥分割成两个侧面积相等的小圆锥和圆台，则小圆锥和圆台的高之比为（　　） A．1 B． C．2 D． 8．阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称△QMN为“阿基米德三角形”．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则△PAB的面积为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＜0，S7＝S13，则下列结论正确的有（　　） A．{an}是递减数列 B．a12＞0 C．使Sn＞0时n的最小值是21 D．Sn最小时，n＝10 10．已知双曲线的离心率为，则（　　） A．m＝3 B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若F为双曲线的右焦点，P为双曲线右支上任意一点，则 11．已知函数，则下列选项正确的是（　　） A．若x＞﹣1，则函数f（x）的最小值为0 B．若a＞0，b＞0且，则ab≥16 C．函数g（x）的图象关于点（﹣1，1）中心对称 D．若a，b，c是△ABC的三边，则g（a）+g（b）＞g（c） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在等比数列中，，，，则项数n＝ 　 　 ． 13．若函数恰有两个零点，则实数λ的取值范围是　 　 ． 14．已知向量，，且x∈[0，π]，则在方向上的投影的取值范围是　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A﹣sinBsinC＝cos（C+B）cos（C﹣B）． （1）求角A； （2）若D为BC中点，且AD＝2，求△ABC面积的最大值． 16．（15分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°． （1）求D1B的长； （2）求证：直线B1D1⊥平面ACC1A1． 17．（15分）已知函数f（x）＝alnx﹣ln（x+1），a∈R． （1）当时，求f（x）的单调区间； （2）若a＝1，证明：； （3）设函数g（x）＝f（x）+ln（x+1）﹣x，若g（x）有两个不同的零点x1，x2，且x2＞3x1，求a的取值范围． 18．（17分）一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得30元的基础抵扣券的概率为，获得10元的基础抵扣券的概率为，且须继续参加第二轮活动；否则，不获得基础抵扣券，活动结束．若顾客成功通过第二轮活动，则可获得20元的进阶抵扣券．两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动．已知该商品每件的售价为150元，原进货成本为78元，商场承担所有抵扣券金额的50%，其余的由商品生产商承担． （1）若顾客成功通过第一轮活动的概率为，成功通过第二轮活动的概率为，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； （2）设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为p（0＜p＜1），且顾客甲至多购买一件该商品．假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望（单位：元）为g1（p）；顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望为g2（p）．若g1（p）＞g2（p），求p的取值范围． 定义：毛利润期望＝顾客购买概率×（顾客实际支付金额的期望﹣原进货成本﹣商场承担的抵扣券成本的期望） 19．（17分）已知椭圆C：的两个焦点为F1（﹣2，0）和F2（2，0），P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x3，y3）为椭圆上不同三点，且x1≠x2，△PF1F2周长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线PQ平分线段OM，记OM中点为N，当为何值时，△POQ的面积最大？ （3）设直线PO与椭圆C的另一交点为T，直线PT，MQ，PM，TQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1+k2＝0，求k3+k4的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A A B B D B 二．多选题 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABD 三．填空题 12．4． 13．（2，3]∪（6，+∞）． 14．． 四．解答题 15．解：（1）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且有cos2A﹣sinBsinC＝cos（C+B）cos（C﹣B）， 因为cos（C+B）＝cos（π﹣A）＝﹣cosA， 所以cosA[cosA+cos（C﹣B）]＝sinBsinC， 则cosA[cosA+cos（C﹣B）]＝cosA[﹣cos（C+B）+cos（C﹣B）] ＝cosA（﹣cosCcosB+sinCsinB+cosCcosB+sinCsinB）＝sinBsinC， 整理得2cosAsinBsinC＝sinBsinC， 因为B，C∈（0，π），所以sinBsinC≠0，所以， 因为A∈（0，π），所以； （2）若D为BC中点，且AD＝2， 根据中线向量可得， 则， 因为，所以b2+c2+bc＝16， 因为b2+c2+bc≥3bc（当且仅当b＝c时等号成立），所以， 则△ABC面积的最大值为． 16．（1）解：AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°， 因为， 两边平方可得222， 因为||•||cos60＝1， •||•||cos45°＝1， ||•||cos45°＝1， 所以1+1+1﹣2222， 即||，即D1B的长度为； （2）证明：因为平行四边形ABCD中，AB＝AD＝AA1＝1， 可得四边形ABCD为菱形，所以B1D1⊥A1C1， 又因为， 所以0， 即，即AA1⊥B1D1， 又因为AA1∩A1C1＝A1， 可证得直线B1D1⊥平面ACC1A1． 17．解：（1）当时，， 由题意得． 当0＜x＜1，则f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递增； 当x＞1，则f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减； 所以f（x）在 （0，1）上单调递增，在 （1，+∞）上单调递减． （2）证明：若 a＝1，那么函数． 要证明，即证明，即． 设，由 x＞0，可得t＞0，待证不等式转化为． 左边：设，t＞0，则， 所以n（t）在（0，+∞）上单调递增，故n（t）＞lnl﹣0＝0，即； 右边：设 m（t）＝ln（1+t）﹣t，t＞0，那么导函数 因此函数m（t）在（0，+∞）上单调递减，故m（t）＜lnl﹣0＝0，即ln（1+t）＜t． 综上，原命题得证． （3）由题意知g（x）＝alnx﹣x，x1，x2是g（x）的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根． 令，那么导函数， 令H（x）＜0，得x＞e，令H（x）＞0，得0＜x＜e， 所以 h（x）在 （0，e） 上单调递增，在 （e，+∞） 上单调递减，则， 且当x＞0，x→0时，h（x）→→∞，当x→+∞时，h（x）→0． 画出 h（x）的大致图像，如图，可知若曲线 y＝h（x） 与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为x1，x2，则，且1＜x1＜e＜x2 先考虑x2＝3x1的情形： 根据，那么可得3lnx1＝ln3+lnx1 所以，此时． 当时，，从而x2＜3x1，不符合条件； 当时，，，从而x2＞3x1，符合条件， 所以要使x2＞3x1，必须，得 故a的取值范围是． 18．解：（1）顾客实际支付金额X的所有可能取值为100，120，140，150． ． 若顾客通过第一轮、未通过第二轮，基础抵扣10元，则． 若顾客通过第一轮，未通过第二轮且基础30元，或通过两轮且基础10元，． 若顾客通过两轮，基础抵扣30元：． 因此X的分布列为： 数学期望． （2）根据毛利润期望的定义：E（单件利润）＝E（X）﹣78﹣E（商场承担抵扣）＝（150﹣E（D））﹣78﹣0.5E（D）＝72﹣1.5E（D）， 其中D为总抵扣额． g1（p）：总抵扣期望，单件利润期望为72﹣1.5×36＝18， 因此． g2（p）：总抵扣期望，单件利润期望为72﹣1.5×16＝48， 因此． 因为g1（p）＞g2（p），即． 因为0＜p＜1，所以p的取值范围为（0，1）． 19．解：（1）根据题意可得c＝2，又因为三角形PF1F2周长为，即， 因此，那么， 因此椭圆方程为； （2）设直线PQ为y＝kx+m，联立直线PQ和椭圆方程可得， 化简得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8＝0， 根据韦达定理可得，， 因此， 又因为点O到直线PQ的距离， 因此 ， 由于点N为OM的中点，设N（xN，yN），那么可得M（2xN，2yN）， 因此，因此，即N点的轨迹为， 联立直线PQ和N点轨迹方程可得，化简得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0， 因此根的判别式Δ＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）≥0，那么m2≤1+2k2， 令，那么u∈（0，1]， 因此， 因此当u＝1时，三角形POQ的面积取最大值， 此时m2＝1+2k2，那么，所以N为PQ的中点，所以； （3）设T（x4，y4），直线PT方程为y＝tx， 联立椭圆方程和直线PT可得，化简得（1+2t2）x2﹣8＝0， 根据韦达定理可得x1+x4＝0，， 设直线MQ方程为y＝﹣tx+n， 联立直线MQ和椭圆方程可得，化简得（1+2t2）x2﹣4tnx+2n2﹣8＝0， 根据韦达定理可得，， 因此 ． 学科网（北京）股份有限公司 $