11.4概率与数列 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十一 创新压轴题 【新高考二轮复习专题】 专题11.4 概率与数列 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 概率与数列 传球模型 药物模型 游走模型 考点概览 考点一 传球模型 20-25 年真题统计 具体考查方式 2020年江苏卷第19题 两个袋子装有球，互相交换 考频统计 概率分布: 每次传球是独立的随机事件，传球后回到某一特定人手中的概率可以用递推关系表示. 概率的递推关系常表现为等比数列. 等比数列: 根据递推公式，验证概率序列是否为等比数列，并计算公比与和式. 数学建模: 将传球问题转化为概率模型或数列模型求解. 考点一 传球模型 知识点拨 足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目． 假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时有的可能将球扑出球门外在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数的分布列和数学期望 某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外人中的人，接球者再等可能地传给另外人中的人，如此一直进行假设每个球都能被接住，记第次传球后球又回到甲脚下的概率为． 求证：数列为等比数列，并求． 考点一 传球模型 重点题型 由题意可得，守门员每次可以将球扑出球门外的概率，  ， 守门员在前三次点球中，把球扑出球门外的个数可能的 取值为，，，， ，，，，，  故的分布列为：  考点一 传球模型               故 ； 重点题型 证明：第次传球后球在甲脚下的概率为，易知， 则当时，第次传球后球在甲脚下的概率为， 第次传球后球不在甲脚下的概率为，  故， 即，  又，  是以为首项，公比为的等比数列，  ．  考点一 传球模型 重点题型 从甲、乙、丙等人中随机地抽取三个人去做传球训练训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出． 记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列； 若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，，，，， 直接写出，，的值； 求与的关系式，并求 考点一 传球模型 重点题型 可能取值为，，， ；；， 所以随机变量的分布列为： 考点一 传球模型 重点题型 若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中 的概率为，，，，，则有，，， 记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”， 则， 所以 ，即，，，，， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即次传球后球在甲手中的概率是．  考点一 传球模型 重点题型 解题通法 列递推式: 分析每一次传递后的结果，利用条件概率公式构建递推关系. 找等比数列规律: 证明概率是否形成等比数列，并求其通项公式. 计算数学期望: 将概率分布列代入公式计算期望. 考点一 传球模型 归纳总结 考点二 药物模型 近年真题统计 具体考查方式 2019年全国乙卷理科第22题 药物治愈模型 考频统计 概率分布列: 根据题目描述，列出可能结果及其对应的概率，形成分布列. 期望的计算: 根据概率分布列公式计算随机变量的数学期望. 等比数列的证明: 验证试验得分分布是否符合等比数列，并求公比与和. 考点二 药物模型 知识点拨 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病．新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，人感染了冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．日前正在世界范围内广泛传播，并对人类生命构成了巨大威胁．针对病毒对人类的危害，科研人员正在不断研发冠状病毒的抑制剂．某种病毒抑制剂的有效率为，现设计针对此抑制剂的疗效试验：每次对病毒使用此抑制剂，如病毒被抑制，得分为分，如抑制剂无效，得分分，持续进行试验．设得分为时的概率为． 进行两次试验后，总得分为随机变量，求的分布列和数学期望；求证：． 考点二 药物模型 重点题型 两次试验后，随机变量可能取值为、、， 则， ， ， 所以的分布列为： 考点二 药物模型 所以的数学期望为； 重点题型 证明：， 由已知，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， ， ， ．  考点二 药物模型 重点题型 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为． 考点二 药物模型 重点题型 求的分布列； 若甲药、乙药在试验开始时都赋予分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，假设，． 证明：为等比数列； 求，并根据的值解释这种试验方案的合理性． 考点二 药物模型 重点题型 的所有可能取值为，，． ，， ， 的分布列为： 考点二 药物模型               重点题型 证明：，， 由得，，，． 因此， 故，即， 又， 为公比为，首项为的等比数列； 考点二 药物模型 重点题型 解：由可得， ， ，， ． 由计算结果可以看出，在甲药治愈率为，乙药治愈率为时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 考点二 药物模型 重点题型 解题通法 列分布列: 通过条件概率或组合公式列出各结果的概率. 计算期望: 根据公式计算期望. 结合数列规律: 判断是否符合等比数列，验证通项公式. 考点二 药物模型 归纳总结 考点三 游走模型 20-25 年真题统计 具体考查方式 注: 该考点在近年真题中未有出现与涉及. 但近年各地模考中偶有出现. 26 年高考亦有考查可能.因此高三毕业班授课教师与考生应适当关注, 建议根据自身情况选择学习. 考频统计 随机游走: 质点每次可能向左或向右移动一个单位，根据独立概率构建分布列. 期望计算: 利用递推关系，计算首次到达某点所需步数的期望. 轨道限制: 特殊约束条件下（如只能向右移动），分析其对概率与期望的影响. 考点三 游走模型 知识点拨 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为，设移动次后质点位于位置． Ⅰ求随机变量的概率分布列及Ⅱ求 若轨道上只有，，，这个位置质点向左或右移动一个单位的概率都为，若在处，则只能向右移动现有一个质点从出发，求它首次移动到的次数的期望． 考点三 游走模型 重点题型 (1)​​​​​​​(Ⅰ)可能取值为-4,-2,0,2,4， ， ， ， ， ， (； 考点三 游走模型 重点题型 (Ⅱ)设质点次移动中向右移动的次数为Y,显然每移动一次的概率为, 则，所以； (2) 设首次从到的步数期望为,则有(1 所以,则() (),小球在0处,只能向前移动到1,则有1,所以数列{}是以2为公差，1为首项的等差数列，可得. 所以,又有,则.所以它首次移动到的次数的期望为​​​​​​​.  考点三 游走模型 重点题型 有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于，则棋子向右移动一个单位从移动到，若掷出的骰子小于或者等于，则棋子向右移动两个单位从移动到，若棋子移动到处，则“闯关失败”，若棋子移动到处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为． 求， 求证：为等比数列其中，并求出 若有人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求结果保留两位有效数字． 考点三 游走模型 重点题型 由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为， 由此可得：，． 由题意，，则，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 故所以 累加可得，所以； 考点三 游走模型 重点题型 由可知，， 所以， 而随机变量服从二项分布，所以． 考点三 游走模型 重点题型 解题通法 概率分布: 将每次移动的结果用二项分布表示. 递推公式: 利用期望公式递推，求出首次到达某点的步数期望. 结合数列: 若形成数列关系，计算通项公式或累加和. 考点三 游走模型 归纳总结 $