1.5 角平分线 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.5 角平分线 第一章　三角形的证明及其应用 5 角平分线 第1课时　角平分线的性质与判定 第一章　三角形的证明及其应用 知识点1 　角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥ AB于点E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝ ⁠ ⁠。 5 cm 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝ 8，CD＝3，则△ABD的面积是 ⁠。 12　 3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC。求证：BD＝ DF。 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE。 在△DCF和△DEB中， ∴△DCF≌△DEB(SAS)。 ∴BD＝DF。 知识点2 　角平分线的判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 4. 如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意 一点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：①∠AOC＝ ∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO。 能判定OC是∠AOB的平分线的有 (填序号)。 ①②③④　 5. (教材P41例1·改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°， 点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别 为E，F，且DE＝DF，则DE的长为 ⁠。 5　 6. 如图，AD是△ABC的中线，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足 分别为F，E，BE＝CF。 求证：AD平分∠BAC。 证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。 ∵DF⊥AC，DE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°。 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ​ ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)。 ∴DE＝DF。∴AD平分∠BAC。 5 角平分线 第2课时　三角形三个内角的平分线 第一章　三角形的证明及其应用 知识点1 　三角形三个内角的平分线性质 1. 若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这个点一 定是(　B　) A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的垂直平分线的交点 B 2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点 O，连接AO，则下列结论正确的是(　B　) A. ∠1＞∠2 B. ∠1＝∠2 C. ∠1＜∠2 D. 不能确定∠1与∠2的关系 B 3. (教材P42例2·改编)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝ 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。求 证： (1)CD＝BE； 证明：(1)∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形。∴∠B＝45°。 ∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形。 ∴DE＝BE。 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴CD＝DE。∴CD＝BE。 证明：(1)∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形。∴∠B＝45°。 ∵DE⊥AB，∴△BDE是等腰直角三角形。 ∴DE＝BE。 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴CD＝DE。∴CD＝BE。 (2)AB＝AC＋CD。 3. (教材P38例2·改编)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝ 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。求 证： (2)在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。 ∴AE＝AC。 由(1)知CD＝BE。 ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD。 (2)在Rt△ACD和Rt△AED中， ∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。 ∴AE＝AC。 由(1)知CD＝BE。 ∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD。 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，F在AC上，BD＝DF。求证： (1)CF＝EB； 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC。 在Rt△CDF和Rt△EDB中， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)。 ∴CF＝EB。 (2)AB＝AF＋2EB。 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，F在AC上，BD＝DF。求证： (2)在Rt△ADC和Rt△ADE中， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)。 ∴AC＝AE。 ∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB。 知识点2 　与角平分线有关的尺规作图 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D。若∠A＝40°，则∠CBD的度数是 ⁠。 25°　 6. 尺规作图：如图，相关部门要修建一个车站，要求车站到 两个村庄C，D的距离相等，且车站到两条公路OA，OB的距 离相等，在∠AOB内部确定车站的位置点P(保留作图痕迹， 不写作法)。 解：如图所示，点P即为车站的位置。 $