第五单元 三角形（单元自测）2025-2026学年四年级下册数学人教版

第五章 三角形 章末达标试题 2025-2026学年 下学期小学数学人教版四年级下册 一、选择题（共20分，每题4分） 1．下面是三名同学为了验证“三角形的内角和是180°”采用的三种方法，不能验证这个结论的是（    ）。（4分） A． B． C． 2．现有3cm、4cm、5cm、7cm和12cm长的小棒各一根，从中选三根围成一个三角形。要使它的周长最大，应选择的三根小棒长度分别是（    ）。（4分） A．5cm、7cm和12cm B．4cm、5cm和12cm C．4cm、5cm和7cm 3．如图，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝5米，OB＝13米，A、B两点的距离可能是（    ）。（4分） A．8米 B．10米 C．18米 4．下面三幅图中的三角形都被长方形纸板遮住了一部分，一定是锐角三角形的是（    ）。（4分） A． B． C． 5．战国时，在制造各种器械、乐器过程中，常常会需要用到角的概念。在《考工记》一书中，几种特殊角都有专门的名称。比如“矩”代表直角，“磬折”指的是乐器“磬”背部（悬挂处）折角的角度，其大小“一矩有半”，有一个直角再加半个直角那么大。下面图（    ）是正确的“磬”的形状。（4分） A． B． C． 二、填空题（共24分，每题3分） 6．任何一个三角形最少有 个锐角，最多有 个直角．（3分） 7．一条红领巾，它的顶角是100°，它的一个底角是 °。（3分） 8．一个等腰三角形的一个角是52°，如果这个角是顶角，则这个三角形的底角是 °，如果这个角是底角，则这个三角形的顶角是 °。（3分） 9．下图中，，， °。（3分） 10．一个等腰三角形两条边的长度分别是3、7，这个三角形的周长是 。（3分） 11．一个三角形的三条边的长都是整厘米数，已知两边的长分别是4、9，第三条边的长度最长为 ，最短为 。（3分） 12．一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是 °，这个三角形按角分是 三角形。（3分） 13．一个多边形的内角和是360°，这个图形是 边形；五边形的内角和是 。（3分） 三、判断题（共10分，每题2分） 14．任意三条线段都可以围成（每相邻两条线段的端点相连）一个三角形。 （2分） 15．等腰三角形一定是锐角三角形。 （2分） 16．三角形中最多只能有一个直角。 （2分） 17．直角三角形只有一条高。 （2分） 18．用一个放大10倍的放大镜看20°的角，这个角是200°。 （2分） 四、计算题（共8分） 19．求下面图形中未知角的度数。（8分） 五、作图题（共8分） 20．以图中虚线为对称轴，画出三角形的另一半，使它成为一个等腰三角形。（8分） 六、解答题（共30分） 21．把一根30厘米长的细铁丝按下列要求折三角形。（5分） （1）若折成一个等边三角形铁框，它的边长是多少？ （2）若折成一个底边长8厘米的等腰三角形铁框，它的一条腰的长是多少？ （3）能折成一个一条边长为16厘米、一条边长为9厘米的三角形铁框吗？ 22．爷爷的木椅腿晃动了，请你钉一根木条（画图）在木椅上，让木椅变得稳定。（5分） 你运用的是哪个数学知识： 生活中还有哪里运用了这一知识，请列出两条： （1） （2） 23．聪聪打算自己制作书签方便阅读，她设计了一个周长是24厘米，其中一条边长是10厘米的等腰三角形书签，你觉得书签有哪几种形状？借助示意图算一算三角形书签的边长分别是多少？（5分） 24．在建筑学上，三角形的稳定性被广泛应用于房屋屋顶的设计。三角形屋顶两个三角形的坡面也有利于雨水的流动，并且利用三角形稳定性中重心的作用，使房屋更加稳定。河南博物院建筑设计中也有三角形面的设计。请以下图中线段AB为底，分别设计一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出锐角三角形底边的高。 画出的三角形的共同点是：（    ）这样的三角形可以画出（    ）个。 24．在建筑学上，三角形的稳定性被广泛应用于房屋屋顶的设计。三角形屋顶两个三角形的坡面也有利于雨水的流动，并且利用三角形稳定性中重心的作用，使房屋更加稳定。河南博物院建筑设计中也有三角形面的设计。请以下图中线段AB为底，分别设计一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，并画出锐角三角形底边的高。（5分） 25．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”在古代，风筝又称为“纸鸢”。小明做了一个等腰三角形的风筝，顶角是70°，这个风筝的底角是多少度？（5分） 26．数学课上，同学们在解决四边形的内角和的问题。下面是四位同学的不同方法。（5分） （2）在你认为正确的解法中，你最喜欢谁的解法？请你用文字解释说明这种解法的思路。 参考答案 题号 1 2 3 4 5 答案 B C B C A 1．B A．图中给出了三角形三个角的度数分别为50°、65°、65°，将这三个角的度数相加50°＋65°＋65°＝180°，通过测量并计算三角形三个内角的度数和，能够验证 “三角形的内角和是180°”。 B．把一个三角形分割成两个小三角形，但是这种方法只是将一个大三角形分成了两个小三角形，并没有直接体现出三角形内角和是180°。因为分割后得到的是两个三角形，无法通过这种方式直接得出原三角形内角和为180°，所以该方法不能验证 “三角形的内角和是180°”。 C．将三角形的三个内角∠1、∠2、∠3剪下来，拼在一起形成一个平角，因为平角的度数是180°，所以可以验证 “三角形的内角和是180°”。 由分析知：这三种方法，不能验证“三角形的内角和是180°”这个结论的是B。 故答案为：B 2．C 根据题意，要使围成的三角形周长最大，那么三角形的三条边也要最长。先看最长的3根小棒，5cm、7cm和12cm，5＋7＝12，不满足任意两条边的和大于第三边，因此不能选的小棒。剩下的4根小棒中4cm、5cm和7cm，4＋5＞7，满足三角形的三边关系，3cm、4cm、5cm，3＋4＞5，也满足三角形的三边关系。但4cm、5cm和7cm长的小棒围成的三角形的周长最长。 根据分析可知： A．5＋7＝12，不满足任意两条边的和大于第三边，不符合题意。 B．4＋5＜12，不满足任意两条边的和大于第三边，不符合题意。 C．4＋5＞7，满足三角形的三边关系，符合题意。 现有3cm、4cm、5cm、7cm和12cm长的小棒各一根，从中选三根围成一个三角形。要使它的周长最大，应选择的三根小棒长度分别是4cm、5cm和7cm。 故答案为：C 3．B 由题意得，连接O、A、B三点可以形成一个三角形。其中，OA＝5米，OB＝13米，那么AB应该和其余两边可以围成三角形。三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边（较短两边之和大于第三边），利用该关系判断选项中AB的长度能否和其余两边围成三角形即可。 A．5＋8＝13（米），13米＝13米，所以这三边无法围成三角形。不满足题意。 B．5＋10＝15（米），15米＞13米，所以这三边可以围成三角形。满足题意。 C．5＋13＝18（米），18米＝18米，所以这三边无法围成三角形。不满足题意。 A、B两点的距离可能是10米。 故答案为：B 4．C A图中，露在外面的角是直角，则这个三角形是一个直角三角形。 B图中，露在外面的角是锐角，根据三角形的内角和为180°可知，其余两个角中一定有一个锐角，但第三个角可能是锐角、直角或者钝角，则这个三角形的类型不确定。 C图中，露在外面的两个角均为70°，根据三角形的内角和为180°可知，第三个角是180°－70°－70°＝40°，三个角均为锐角，这个三角形是锐角三角形。 A．，三角形是直角三角形； B．三角形的类型不确定； C．三角形是锐角三角形； 故答案为：C。 本题考查三角形的分类以及三角形的内角和，任意一个三角形中均有两个锐角，只有确定三个角都是锐角时，这个三角形才是锐角三角形。 5．A 由题意得，“磬”折角的角度有一个直角再加半个直角那么大。直角的度数为90°，可以用90°除以2算出半个直角有多大，然后再加上90°即可算出“磬”折角有多少度。 90°÷2＋90° ＝45°＋90° ＝135° 即“磬”折角的度数为135°。 故答案为：A 6． 2 1 略 7．40 等腰三角形两个底角的度数相等，根据三角形内角和是180和一个顶角是100°，先求得两个底角的度数和；再运用两个底角的度数之和除以2，计算即可求得它的一个底角的度。 180°－100°＝80 80°÷2＝40° 故答案为：40 分析题意，观察自己的红领巾可知红领巾可近似的看作等腰三角形，回想等腰三角形的特点。 8． 64 76 等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底；两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个角叫做底角，等腰三角形的两个底角相等；三角形的内角和是180°；据此解答。 根据分析可得： 如果52°是顶角，那么底角的度数为： （180°－52°）÷2 ＝128°÷2 ＝64° 如果52°底角，那么顶角的度数为： 180°－52°－52° ＝128°－52° ＝76° 本题的关键是要知道等腰三角形的两个底角是相等的，三角形的内角和是180°。 9．35 三角形内角和是180°，已知两个角的度数，所以∠3＝180°－∠1－∠2，计算即可。 180°－∠1－∠2 ＝180°－115°－30° ＝65°－30° ＝35° 所以∠3的度数是35°。 10．17 3＋3＝6＜7，根据三角形的三边关系可知3cm是等腰三角形的底，等腰三角形的周长＝腰×2＋底，据此计算即可。 7×2＋3＝14＋3＝17（cm） 所以这个三角形的周长是17cm。 11． 12 6 根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以第三条边小于（4＋9）cm，大于（9－4）cm，据此作答。 9－4＝5（cm） 9＋4＝13（cm） 5＜第三边＜13 所以第三条边的长度最长为：13－1＝12（cm） 第三条边的长度最短为：5＋1＝6（cm） 12． 70 锐 有两个角相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两个角叫做底角；又已知一个等腰三角形的一个底角是55°，则该等腰三角形的另一个底角也是55°，那么用三角形的内角和180°减去两个底角的和，即可求出该等腰三角形的顶角；三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此判断该等腰三角形按角分是什么三角形即可。 180°－（55°＋55°） ＝180°－110° ＝70° 等腰三角形的三个角分别是55°、55°和70°，都是锐角，所以该等腰三角形是锐角三角形。 即一个等腰三角形的一个底角是55°，它的顶角是70°，这个三角形按角分是锐三角形。 13． 四 540° 从同一顶点出发画出多边形这个顶点上所有对角线，将多边形分成若干个三角形，结合三角形内角和是180°，计算多边形的内角和即可。 四边形：同一顶点可画一条对角线，四边形被分为2个三角形，所以其内角和是2×180°＝360°。 五边形：同一顶点可画两条对角线，五边形被分为3个三角形，所以其内角和是3×180°＝540°。 多边形通过该方式分出三角形的个数等于多边形，边的条数减2，假设多边形的边数是n，则多边形的内角和是（n－2）×180°；据此已知多边形内角和，多边形的边数＝内角和÷180°＋2。 360°÷180°＋2＝2＋2＝4，所以内角和是360°，这个图形是四边形。 （5－2）×180°＝3×180°＝540°，所以五边形的内角和是540°。 14．× 三条线段要想围成三角形，就得满足：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答。 据分析可知：只有满足任意两条线段的和大于第三条线段的三条线段才能构成三角形。 故答案为：× 15．× 等腰三角形的顶角可以是锐角、可以是直角、也可以是钝角，据此判断。 三角形内角和是180度，所以等腰三角形的两个底角一定是锐角，但是等腰三角形的顶角可以是锐角、可以是直角、也可以是钝角。所以，等腰三角形一定是锐角三角形这说法不正确。 故答案为：× 本题考查了等腰三角形的性质， 熟练掌握这些数学概念是解题的关键。 16．√ 如果三角形中有两个以上的直角，则三角形的内角和大于180度，所以三角形中最多只能有一个直角，据此即可解答。 根据分析可知，三角形中有两个以上的直角，三角形的内角和就大于180度，故最多只能有一个直角，原说法正确。 故答案为：√ 本题主要考查学生对三角形内角和知识的掌握和灵活运用。 17．× 根据三角形的高的含义：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高；直角三角形有三条高，两条直角边分别是它的两条高，过直角顶点向斜边也可做一条高，共三条高，由此即可判断。 由分析可知，直角三角形有三条高，不是一条高。 故答案为：× 本题主要考查了三角形高的含义，任意三角形都有三条高。 18．× 角的大小只与角两边的开口有关，与两边的长度无关，用放大镜看，角的大小不变。 用一个放大10倍的放大镜看20°的角，这个角是200°。原题说法错误，角的大小不变。 故答案为：× 此题考查角的定义，学生熟记即可判断。 19．105°；105° 平角是180°，三角形的内角和等于180°，用180°减去60°再减去45°即为剩余角的度数，三角形剩余角的度数与所求的求组成平角，用180°减去三角形剩余角的度数即为所求。 四边形的内角和减去已知的三个角，即为剩余角的度数，剩余角的度数与所求的求组成平角，用180°减去剩余角的度数即为所求。 180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 180°－75°＝105° 图一的未知角是105°。 （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°－110°－95°－80° ＝250°－95°－80° ＝155°－80° ＝75° 180°－75°＝105° 图二的未知角是105°。 20．见详解 补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。由题意得，补全三角形的另一半后，三角形的两条斜着的边的长度相等，所以这是一个等腰三角形。满足题意。 21．（1）10厘米 （2）11厘米 （3）不能 用一根30厘米长的细铁丝围成三角形，即三角形的周长是30厘米，据此解答。 （1）等边三角形的三条边长度相等； （2）等腰三角形的两个腰相等，根据三边之和为30厘米可解答； （3）根据三边之和是30厘米，计算出第三条边的长度，再根据三边关系进行判断。 （1）30÷3＝10（厘米） 答：它的边长是10厘米。 （2）（30－8）÷2 ＝22÷2 ＝11（厘米） 答：它的一条腰长是11厘米。 （3）30－16－9 ＝14－9 ＝5（厘米） 5＋9＝14（厘米） 14＜16，所以不能。 答：不能折成一个一条边长为16厘米、一条边长为9厘米的三角形铁框。 22．见详解 三角形是最简单、最基本的平面图形。三角形的三条边的长度一旦确定，这个三角形的形状和大小就不会改变即三角形不易变形，这就是三角形的稳定性即唯一性。三角形的稳定性知识在人们的生活和生产中有着广泛的应用。学生熟悉的自行车的三脚架是三角形的，是因为三角形具有稳定性。埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。根据题意在木椅的一条腿和面之间钉一根木条组成三角形；依此解答。 画图如下： 运用了三角形的稳定性。 生活中还有哪里运用了这一知识，列出两条： （1）自行车的三脚架是三角形。 （2）三角形钢架是三角形。 23．7厘米、7厘米、10厘米或者10厘米、4厘米、10厘米 分析题目，要解答本题，首先回想一下三角形周长的定义； 三角形的周长是指三边的长度之和，已知周长为24厘米，则三角形的三边之和为24厘米；然后根据三角形的三边关系，判断这条10厘米的边长是腰长还是底边，根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知三角形三边之和和两边的长度，求第三边用减法，列出连减的式子计算。 第一种情况：10＋10＞4 10－10＝0＜4 如果10厘米是等腰三角形的腰长，那么底边的长是24－10－10＝4（厘米）； 第二种情况：底边是10厘米，两条腰长的和是24－10＝14厘米，腰长是14÷2＝7（厘米） 答：三角形书签的边长分别是7厘米、7厘米、10厘米或者10厘米、4厘米、10厘米。 24．见详解 根据三角形的特征画图： 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。 直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高，据此画图即可。 根据画出的三角形写出其共同点即可（合理即可）。 如图： 画出的三角形的共同点是：都是以线段AB为底，并且以线段AB为底的底边上的高一样长。这样的三角形可以画无数个（答案不唯一）。 25．55度 等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°，因此用180°减去顶角的度数后，再除以2即可，依此计算。 （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 答：这个风筝的底角是55度。 26．（1）陈文（×） （2）我喜欢张帆的解法，因为他是把四边形的内角和转化为2个三角形的内角和，这样计算更加简便。（答案不唯一） （1）王磊的方法是：将四边形四个角剪下来，然后拼成1个周长，1周角是360°，也就是说四边形的内角和是360°； 张帆的方法是：将四边形分成2个三角形，即四边形的内角和等于2个三角形的内角和。 李钰的方法是：将四边形分成4个三角形，由图可知，四边形的内角和比4个三角形的内角和少360°； 陈文的方法是：将四边形分成3个三角形，由图可知，四边形的内角和比3个三角形的内角和少180°；依此判断。 （2）根据自己的计算习惯进行选择并解答，言之合理即可。 （1）王磊的方法：1周角＝360°＝四边形的内角和，即王磊的方法正确； 张帆的方法：四边形的内角和＝180°×2＝360°，即张帆的方法正确； 李钰的方法：四边形的内角和＝180°×4－360°＝720°－360°＝360°，即李钰的方法正确； 陈文的方法：四边形的内角和＝180°×3－180°＝540°－180°＝360°，即陈文的方法错误； （2）我喜欢张帆的解法，因为他是把四边形的内角和转化为2个三角形的内角和，这样计算更加简便。 熟练掌握多边形内角和的计算方法是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $