9.4 定点定值定线问题 课件-2026届高考数学二轮专题复习

专题九 解析几何 【新高考二轮复习专题】 专题9.4 定点定值定线问题 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 定点定值定线问题 定点类 定值类 定线类 直线过定点基础 斜率相关定值问题 点在恒定直线上 斜率相关过定点问题 距离面积定值问题 角度向量定值问题 考点概览 考点一 定点类 20-25 年真题统计 具体考查方式 2024年北京卷第19题 已知直线斜率为0，证明另一条直线过定点 2023年全国乙卷文科第21题 椭圆中证明线段中点为定点 2023年全国乙卷理科第20题 椭圆中证明线段中点为定点 2022年全国乙卷文科第21题 给出向量相等，证明直线过定点 2022年全国乙卷理科第20题 给出向量相等，证明直线过定点 2020年全国乙卷文科第19题 椭圆内证明直线过定点问题 2020年全国乙卷理科第19题 椭圆内证明直线过定点问题 考频统计 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 ①直线或曲线过定点问题，解法：引入参变量建立直线或曲线方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． ②由直线方程确定其过定点时，若得到直线的点斜式方程，则直线必过定点；若得到直线的斜截式方程，则直线必过定点． 考点一 定点类 知识点拨 由题意知：，  ，，， 此时椭圆的标准方程为：； 设直线的方程为，，． 依题意知：，，即 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，左顶点为，上顶点为，． 求椭圆的标准方程； 不过椭圆点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 考点一 定点类 重点题型 联立，整理得， ，，将它们代入得： 化简得． 当时，直线的方程为，此时直线恒过点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为，此时直线恒过点． 综上：直线恒过定点 考点一 定点类 重点题型 曲线图象经过点，所以，所以， 所以抛物线的标准方程为 ；  由知，当时，，所以的方程为， 联立，得，则， 由，所以弦 ； 抛物线的图象经过点，焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点， 求抛物线的标准方程； 当时，求弦的长； 已知点，直线，分别与抛物线交于点，证明：直线过定点． 考点一 定点类 重点题型 由知，直线的斜率不为，设直线的方程为， ，，，， 联立得，， 因此，．设直线的方程为，联立得，则，因此，，得，同理可得，所以 ，因此直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令得，，所以，直线过定点． 考点一 定点类 重点题型 设，，因为，， 所以，， 因为，所以，即， 又点在双曲线上，所以，由消去， 得，所以，，双曲线的方程为； 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在双曲线上，且． 求双曲线的方程 过点作斜率为，的两条直线，分别与双曲线交于异于点的两点，，若，证明直线过定点． 考点一 定点类 重点题型 因为直线的斜率存在， 可设直线的方程为，，， 由消去，整理得， 所以，， 由，且，， 得， 所以， 整理得，即或， 当时，直线过点，舍去，所以， 所以的方程为，即直线过定点．  考点一 定点类 重点题型 解题通法 定点问题的常见解法 ①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点． ②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 考点一 定点类 归纳总结 考点二 定值类 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025年全国甲卷文科第21题 把垂直关系转化为斜率相等，证明斜率差为0 2024年上海卷第20题 根据数量积为定值，求双曲线参数的范围 2023年北京卷第19题 把平行关系转化为斜率相等，证明斜率为定值 2021年新课标全国I卷第21题 直线与双曲线相交，求两条直线斜率之和为定值 2020年新课标全国I卷第22题 椭圆内证明线段长度为定值问题 考频统计 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 ①求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值． ②求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． ③求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 考点二 定值类 知识点拨 因为以的长轴为直径的圆的方程为，所以． 因为，所以，， 故C的方程为． 已知椭圆：的离心率为，以的长轴为直径的圆的方程为． 求的方程． 直线与轴平行，且与交于，两点，，分别为的左、右顶点，直线与交于点，证明：点与点的横坐标的乘积为定值． 考点二 定值类 重点题型 证明：设直线的方程为， ，则，，且， 直线的方程为，直线的方程为， 将两式相除得， 解得，即， 故为定值． 考点二 定值类 重点题型 由抛物线方程知，点在上，则， 又，所以，解得，舍去， 所以．所求抛物线的方程为，． 已知点在抛物线上，的焦点为，． 求抛物线的方程及； 经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值． 考点二 定值类 重点题型 设，，则直线与的斜率分别为，， 若直线的斜率不存在，则，， 所以， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，显然， 将代入直线的方程得， 整理得，因为，所以，． 所以．， 所以．， 所以直线与的斜率之积为定值．  考点二 定值类 重点题型 由切线不可能平行于轴，即切线的斜率不可能为， 设切线方程为，联立方程组， 整理得， 已知点为双曲线上任意一点，过点的切线交双曲线的渐近线于两点． 证明：恰为的中点； 过点分别作渐近线的平行线，与、分别交于、两点，判断的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； 考点二 定值类 重点题型 所以，可得，即，所以，即，所以，则，所以点，又由双曲线的渐近线方程为，联立方程组，可得，即，联立方程组，可得，即， 所以， ，所以的中点坐标为， 又因为，所以，所以点与的中点重合 考点二 定值类 重点题型  由，， 可得，， 所以，即， 又由， 可得， 所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形的面积为定值． 考点二 定值类 重点题型 解题通法 求定值问题常见的方法 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 考点二 定值类 归纳总结 考点三 定线类 20-25 年真题统计 具体考查方式 2023年新课标全国II卷第21题 双曲线中证明点在定直线上 2022年新课标全国II卷第21题 选择条件证明结论，证明定线问题 考频统计 圆锥曲线中的定线问题的常见类型及解题策略 定直线问题一般都为特殊直线或型. 设出定直线，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定直线的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求直线与横坐标（纵坐标）交点； 考点三 定线类 知识点拨 由题意可得，解得，， 所以， 故椭圆的方程为； 已知椭圆：的离心率，为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，的最大值为． 求椭圆的标准方程； ，分别为椭圆的左、右顶点，过点作直线交椭圆于，两点，直线、交于点，试探究点是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由． 考点三 定线类 重点题型 由题知，，，设，， 设直线的方程为，代入椭圆的方程可得： ， 则，， 设直线的方程为 直线的方程为 联立可得 又由可得 由可得 ， 则，解得，即点在定直线上． 考点三 定线类 重点题型 由双曲线的左、右焦点分别为，， 直线与的左、右两支分别交于，两点，且四边形为矩形， 所以，且，由，解得或 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为． 求四边形的外接圆方程； 设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点异于，，直线与交于点，证明：点在定直线上． 考点三 定线类 重点题型 即，则，又，， 解得，，， 所以双曲线的方程为， 所以，，，， 所以的中点为，又， 所以矩形的外接圆的方程为． 考点三 定线类 重点题型 由知，， 依题意知直线的斜率不为零，设直线为，， ，由，得． 当且， 所以，，所以， 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 所以， 解得，故点在定直线上 考点三 定线类 重点题型 ，，即， 又，解得：，，所求椭圆的方程为； 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为焦距为，的面积为． 求椭圆的方程； 过点的直线与椭圆相交于、两点，试问直线、的交点是否在一条定直线上？若是，请写出直线方程，并给出证明；若不是，请说明理由． 考点三 定线类 重点题型 证明：由题意，设直线的方程为， 代入椭圆的方程消去整理得：， 设，，所以，， 直线方程为，直线方程为， ，故 解得： 因为，即 所以， 直线、的交点在直线上． 考点三 定线类 重点题型 解题通法 求定直线问题常见的方法 ①从特殊入手，求出定直线，再证明这个值与变量无关. ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到直线． 考点三 定线类 归纳总结 $