专题10.2 分式的基本性质（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

专题10.2 分式的基本性质 知识点1：分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.字母表示：（、、为整式，且，）。 3.核心要点：同乘/同除、同一个、不为0，三者缺一不可。 知识点2：分式的符号法则 变形规则 数学表达 示例 改变分子、分母符号，值不变 改变分子、分式符号，值不变 改变分母、分式符号，值不变 知识点3：分式的约分与最简分式 1.约分：依据分式基本性质，把分子、分母的公因式约去的变形。 2.约分步骤： 单项式：约去系数最大公因数、相同字母最低次幂； 多项式：先因式分解，再找公因式约分。 3.最简分式：分子与分母没有公因式（1除外）的分式。 知识点4：分式的通分与最简公分母 1.通分：把几个异分母分式化为同分母分式的变形，依据分式基本性质。 2.最简公分母： 单项式分母：系数最小公倍数×相同字母最高次幂×单独字母； 多项式分母：先因式分解，再按上述规则确定。 知识点5：分式系数化整与首项化正 1.系数化整：分子分母同乘小数分母/分数分母的最小公倍数。 2.首项化正：分子分母同乘，保证最高次项系数为正。 【基础必考题型】 【题型1】分式基本性质的正误判断 1.核心知识点 分式基本性质三要素；乘除整式≠0；不可加减 2.解题方法技巧 逐项核对：同乘/同除、同一个、不为0；排除加减变形 【例题1】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意； B．，故变形错误，不符合题意； C．，故变形正确，符合题意； D．，故变形错误，不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南周口·月考）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、只有当时，等式才成立，原式不一定成立，故此选项不符合题意； B、当时，分式无意义，当时，，原式不成立，故此选项不符合题意； C、，不一定成立，故此选项不符合题意； D、，原式一定成立，故此选项符合题意； 【题型2】分式恒等变形（填分子/分母） 1.核心知识点 分式基本性质；分子分母同步变化 2.解题方法技巧 看已知边变化→另一边同乘/同除相同整式→多项式加括号 【例题2】.（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 【变式题2-1】.（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的基本性质与因式分解，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质，分子分母同乘求解即可； （2）将分母因式分解后再约分即可． 【详解】解：（1）左边分式的分母为，右边分式分母为， 由于， 因此分子分母同乘，分子， 故括号内应填； （2）左边分式分母可因式分解为， 故， 因此右边分式分母为， 故括号内应填． 故答案为：；． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填_______；_________；________． （2）；序号中应分别填_______；_________；________． （3）；序号中应分别填_______；_________；________． （4）．序号中应分别填_______；_________；________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 【题型3】单项式分式约分 1.核心知识点 公因式：系数最大公因数×相同字母最低次幂 2.解题方法技巧 先定系数→再定字母→约去公因式→化为最简 【例题3】.（25-26八年级下·河南周口·期中）计算：_______ 【答案】 【分析】本题考查分式的约分，根据分式的基本性质，约去分子分母中的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）约分：_______ 【答案】 【详解】解：． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·期中）．括号内填___________． 【答案】 【详解】解：因为， 故答案为：． 【题型4】多项式分式约分 1.核心知识点 先因式分解，再约分；完全平方、平方差公式 2.解题方法技巧 分解→找公因式→约去→验最简 【例题4】.（25-26八年级下·河南周口·期中）化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用到平方差公式对分子因式分解后约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质，给等式右边的分子分母同乘，即可求出被遮挡部分的式子. 【详解】解：设*部分的式子为，，且， 根据分式的基本性质， 给等式的分子分母同乘得：， ， 即*部分的式子为， 故选B. 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南周口·月考）化简 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式对分子因式分解，再约去公因式即可得到结果. 【详解】解： 【变式题4-3】.（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 【培优高频题型】 【题型5】分式系数化为整数 1.核心知识点 分子分母同乘公倍数；不改变分式值 2.解题方法技巧 小数→乘10ⁿ；分数→乘分母最小公倍数；同乘不漏项 【例题5】.（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键．直接利用分式的基本性质将分子与分母分别乘以，进而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型6】分子分母最高次项系数化正 1.核心知识点 同乘；符号法则 2.解题方法技巧 找最高次项→系数为负则整体变号→注意每一项变号 【例题6】.（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的符号性质，掌握通过提取负号调整分子或分母的符号，使最高次项系数为正，同时保持分式值不变是解题的关键． （1）分母最高次项系数为负，将分母提取负号变形，同时调整分式符号，使分母最高次项系数为正； （2）先将分子、分母分别提取负号，使最高次项系数为正，再整理降幂排列． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分母变为相反数，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）； 故答案为： （4）． 故答案为： 【变式题6-3】.（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点． （1）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，再由分式的符号规律，将分母上的符号提到分式前面即可得到答案； （2）根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，分子分母同时乘以，即可得到答案可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【题型7】确定最简公分母与通分 1.核心知识点 最简公分母规则；多项式先分解 2.解题方法技巧 分解分母→定公分母→分子同步乘→规范书写 【例题7】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）分式和的最简公分母是______． 【答案】/ 【分析】根据最简公分母的定义，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即可得到结果． 【详解】解：由题意可得：分式的分母为，的分母为， ∴系数和的最小公倍数为，字母因式的最高次幂为，的最高次幂为， ∴最简公分母为． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 【变式题7-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 【压轴素养题型】 【题型8】字母扩大倍数对分式值的影响 1.核心知识点 分式基本性质；齐次式值不变 2.解题方法技巧 代入2x、2y→化简→与原式比较；判断倍数变化 【例题8】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用替换，求出新分式的结果即可得到答案． 【详解】解：把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为， ∴新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍． 【变式题8-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．缩小9倍 C．是原来的 D．不变 【答案】A 【详解】解：把原分式中的、都扩大到原来的9倍后的分式为， ∴现在的分式与原分式相比扩大到原来分式的9倍． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·四川成都·月考）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 【题型9】分式化简求值（整体代入） 1.核心知识点 先约分再求值；因式分解+整体代入 2.解题方法技巧 分解→约分→代入已知式→计算结果 【例题9】.（25-26九年级下·北京昌平·月考）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】根据题意得到，代入式子即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式． 【变式题9-1】.（2025·北京朝阳·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将分子、分母因式分解后约分化简，然后将，变形得到整体代入化简后的分式即可. 【详解】解：原式， ∵， ， 原式． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 【答案】（1）1（2） 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的约分求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）利用提公因式和平方差公式进行因式分解，然后根据分式的基本性质约分，最后将整体代入即可； （2）根据分式的基本性质化简，然后将整体代入即可． 【详解】解：（1）原式 ． ， ， 原式． （2）， ． 易错点 1.运用性质时乘/除的整式为0，导致变形无效。 2.约分/通分时未先分解多项式，漏看公因式。 3.符号法则误用：只改一个符号或乱改符号。 4.系数化整时漏乘某一项，导致变形错误。 5.混淆“约分（一个分式）”与“通分（多个分式）”。 重点 1.熟练掌握分式基本性质，能进行恒等变形。 2.准确进行分式约分、通分，会化最简分式。 3.掌握符号法则、系数化整、首项化正。 4.会用性质解决字母扩倍、化简求值问题。 难点 1.多项式分母先分解再约分/通分的严谨操作。 2.分式符号与系数的综合变形。 3.探究规律、跨学科情境的数学建模。 4.含参数分式的恒等变形与取值讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简分式的定义判断，即分子与分母没有公因式的分式为最简分式，对各选项因式分解约分后即可得到结果． 【详解】解：∵ 分子与分母没有公因式的分式是最简分式． 对选项A：，分子分母有公因子，不是最简分式． 对选项B：，分子可变形为，与分母没有公因式，无法约分，是最简分式． 对选项C： ， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 对选项D：， ，分子分母有公因式，不是最简分式． 2．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数与各字母的最高次幂，再将二者相乘得到最简公分母． 【详解】解：两个分式分母的系数分别为和，和的最小公倍数是， 最简公分母的系数取； 对于字母部分，的最高次幂是，的最高次幂是，第二个分式含有单独字母，需要将纳入公分母， 将系数与各字母最高次幂相乘，可得最简公分母为． 3．将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（   ） A．扩大到3倍 B．不变 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 【答案】B 【分析】将扩大3倍后的、代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化．根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，可快速判断本题中分子分母同时扩大3倍，分式值不变． 【详解】解：将、都扩大到原来的3倍后，变为，变为， 代入原分式得： 化简后结果与原分式相等，因此分式的值不变． 二、填空题 4．若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系得到与的关系式，代入所求分式化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 【答案】 【分析】根据题意，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：分式约分后得到最简分式， ∴， ∵， ∴． 6．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 三、解答题 7．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】根据分式的基本性质判断即可. 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）∵， ∴． （3）∵， ∴． （4）∵， ∴，且， ∴． 8．已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题考查分式的性质，解题的关键是掌握分式有意义的条件，分式的基本性质，分式值为零、分式值为正，分式所应具备的条件进行解答，即可． （1）根据分式无意义，则分母为； （2）根据分式值为零，分子为零，分母不为零，即可； （3）将的值代入分式计算即可； （4）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 解得： （2）解：由题意得且， 解得，， ∴ （3）解：当时，； 当时， （4）解：由题意可得①， 此不等式组无解； ②，解得． ∴分式的值是正数，的取值范围是． 9．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 【答案】(1) (2)0或1或3或4 【分析】（1）把原式先变形为，再利用平方差公式分解因式得到，据此可得答案； （2）把式子变形为，进一步可变形为，根据题意可得是整数，则或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴是整数，且是整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或． 10．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 分式的基本性质 知识点1：分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.字母表示：（、、为整式，且，）。 3.核心要点：同乘/同除、同一个、不为0，三者缺一不可。 知识点2：分式的符号法则 变形规则 数学表达 示例 改变分子、分母符号，值不变 改变分子、分式符号，值不变 改变分母、分式符号，值不变 知识点3：分式的约分与最简分式 1.约分：依据分式基本性质，把分子、分母的公因式约去的变形。 2.约分步骤： 单项式：约去系数最大公因数、相同字母最低次幂； 多项式：先因式分解，再找公因式约分。 3.最简分式：分子与分母没有公因式（1除外）的分式。 知识点4：分式的通分与最简公分母 1.通分：把几个异分母分式化为同分母分式的变形，依据分式基本性质。 2.最简公分母： 单项式分母：系数最小公倍数×相同字母最高次幂×单独字母； 多项式分母：先因式分解，再按上述规则确定。 知识点5：分式系数化整与首项化正 1.系数化整：分子分母同乘小数分母/分数分母的最小公倍数。 2.首项化正：分子分母同乘，保证最高次项系数为正。 【基础必考题型】 【题型1】分式基本性质的正误判断 1.核心知识点 分式基本性质三要素；乘除整式≠0；不可加减 2.解题方法技巧 逐项核对：同乘/同除、同一个、不为0；排除加减变形 【例题1】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·河南周口·月考）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】分式恒等变形（填分子/分母） 1.核心知识点 分式基本性质；分子分母同步变化 2.解题方法技巧 看已知边变化→另一边同乘/同除相同整式→多项式加括号 【例题2】.（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为________． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北石家庄·月考）填空： （1）（a≠0）； （2）． 括号内的式子分别是_________，___________． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填_______；_________；________． （2）；序号中应分别填_______；_________；________． （3）；序号中应分别填_______；_________；________． （4）．序号中应分别填_______；_________；________． 【题型3】单项式分式约分 1.核心知识点 公因式：系数最大公因数×相同字母最低次幂 2.解题方法技巧 先定系数→再定字母→约去公因式→化为最简 【例题3】.（25-26八年级下·河南周口·期中）计算：_______ 【变式题3-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）约分：_______ 【变式题3-2】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·江苏泰州·期中）．括号内填___________． 【题型4】多项式分式约分 1.核心知识点 先因式分解，再约分；完全平方、平方差公式 2.解题方法技巧 分解→找公因式→约去→验最简 【例题4】.（25-26八年级下·河南周口·期中）化简分式 的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）在等式中，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·河南周口·月考）化简 的结果是 （    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【培优高频题型】 【题型5】分式系数化为整数 1.核心知识点 分子分母同乘公倍数；不改变分式值 2.解题方法技巧 小数→乘10ⁿ；分数→乘分母最小公倍数；同乘不漏项 【例题5】.（2026八年级下·吉林长春·专题练习）将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·月考）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 【题型6】分子分母最高次项系数化正 1.核心知识点 同乘；符号法则 2.解题方法技巧 找最高次项→系数为负则整体变号→注意每一项变号 【例题6】.（2026八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的最高次项的系数化为正数，并将分子与分母按降幂排列： (1) (2) 【变式题6-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含负号： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，将下列分式的分子和分母中各项系数都化为整数，且分子与分母的首项系数都不含“”号： (1)； (2)． 【题型7】确定最简公分母与通分 1.核心知识点 最简公分母规则；多项式先分解 2.解题方法技巧 分解分母→定公分母→分子同步乘→规范书写 【例题7】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）分式和的最简公分母是______． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【变式题7-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型8】字母扩大倍数对分式值的影响 1.核心知识点 分式基本性质；齐次式值不变 2.解题方法技巧 代入2x、2y→化简→与原式比较；判断倍数变化 【例题8】.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 【变式题8-1】.（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）把分式中的、都扩大到原来的9倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的9倍 B．缩小9倍 C．是原来的 D．不变 【变式题8-2】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【变式题8-3】.（25-26八年级下·四川成都·月考）把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的16倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【题型9】分式化简求值（整体代入） 1.核心知识点 先约分再求值；因式分解+整体代入 2.解题方法技巧 分解→约分→代入已知式→计算结果 【例题9】.（25-26九年级下·北京昌平·月考）已知，求分式的值． 【变式题9-1】.（2025·北京朝阳·一模）已知，求代数式的值． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知，求代数式的值（）． （2）已知实数满足，求分式的值． 易错点 1.运用性质时乘/除的整式为0，导致变形无效。 2.约分/通分时未先分解多项式，漏看公因式。 3.符号法则误用：只改一个符号或乱改符号。 4.系数化整时漏乘某一项，导致变形错误。 5.混淆“约分（一个分式）”与“通分（多个分式）”。 重点 1.熟练掌握分式基本性质，能进行恒等变形。 2.准确进行分式约分、通分，会化最简分式。 3.掌握符号法则、系数化整、首项化正。 4.会用性质解决字母扩倍、化简求值问题。 难点 1.多项式分母先分解再约分/通分的严谨操作。 2.分式符号与系数的综合变形。 3.探究规律、跨学科情境的数学建模。 4.含参数分式的恒等变形与取值讨论。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．分式和的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 3．将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（   ） A．扩大到3倍 B．不变 C．扩大到9倍 D．扩大到6倍 二、填空题 4．若，则的值为__________． 5．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子是________． 6．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 三、解答题 7．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 8．已知分式，回答下列问题． (1)若分式无意义，求的取值范围； (2)若分式的值是零，求的值； (3)当，时，分别求分式的值； (4)若分式的值是正数，求的取值范围． 9．一般情况下，一个分式通过适当变形，可以转化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式，例如： ①； ②． (1)仿照上述方法，试将分式化成一个整式和一个分子是整数的分式的和的形式； (2)若分式的值为整数，请求出整数的值． 10．阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $