10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时-和差倍分问题） 闯关练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

10.3 实际问题与二元一次方程组（第1课时-和差倍分问题） 闯关练 2025-2026学年下学期初中数学人教版（2024）七年级下册 一、单选题 1．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 3．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知母鸡买4只，设公鸡买x只，小鸡买y只，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》中记载了各种计算，其中有一题：今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？译：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，三只小鸡值1钱．现用100钱买100只鸡，请问能买公鸡、母鸡、小鸡各多少只？设公鸡有只，则下列各值中不能取的数是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 5．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头．正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人？那么大和尚比小和尚少多少人？（    ） A．25 B．35 C．50 D．75 6．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 7．已知长江比黄河长836千米，黄河长的6倍比长江长的5倍多1284千米．若设长江长x千米，黄河长y千米，则下列方程组能满足上述关系的是（ ） A． B． C． D． 8．某校七年级学生开展义务植树活动，参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍，则该校七年级学生共有（   ）人． A．72人 B．80人 C．96人 D．100人 9．一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张?（   ） A．110，215 B．216，109 C．108，217 D．214，111 二、填空题 10．《孙子算经》中有一道题，其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则列出的方程组为______________． 11．《九章算术》是我国古代的数学著作，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．那么学生人数为______人，该书的单价为______元． 12．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载有一题：“今有布绢三十正，共卖价钞五百七，四定绢价九十贯，三石布价该五十，欲问绢布各几何？”其大意为：今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，问绢布各有多少？ 答：（1）绢有________；（2）布有________． 13．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是___________岁． 14．甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______． 15．一家四口人的年龄加在一起是100岁，弟弟比姐姐小8岁，父亲比母亲大2岁，十年前他们全家人年龄的和是65岁，则父亲今年的年龄为__________岁． 16．某班共有学生人，其中男生的倍比女生的倍少人．则男生、女生的人生分别是_______________； 三、解答题 17．《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，求每头牛和每只羊各值多少金？ 18．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你用方程组的知识解答这个问题． 19．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 20．阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 21．7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 22．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 23．某学校组织捐物给贫困地区的同学，按书、体育用品进行分类打包，统计得共820件，书比体育用品多150件，用甲、乙两种货车共10辆将物品运往贫困地区，已知甲种货车每辆最多可装书100件和体育用品20件，乙种货车每辆最多可装书30件和体育用品50件． （1）求捐赠物品书和体育用品各几件？ （2）学校安排甲、乙两种货车有几种方案？请你帮助设计出来； （3）如果甲货车每辆需付800元，乙种货车每辆需付600元，应选择哪种方案可使总费用最少？最少费用是多少元？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A A D C C A C B 1．A 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组． 根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程， 根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程， 所以可列方程组为． 故选：A． 2．A 本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设竿长x尺，绳索长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺可得方程，根据将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得方程，据此可得答案，解题的关键是读懂题意，列出方程组． 解：由题意得： ， 故选：A． 3．A 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，利用总价单价数量，结合花费一百钱买一百只鸡，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 解：∵共买了100只鸡， ∴； ∵公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，且共花费100钱， ∴． ∴根据题意得可列方程组 ． 故选：A． 4．D 本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理清题意正确列出方程是解题的关键．设公鸡只，母鸡只，则小鸡只，由题意可得，整理后求出方程的正整数解即可． 解：设公鸡只，母鸡只，则小鸡只 由题意得， 即 由于，，均为正整数 所以方程的正整数解只有或或 故选：D． 5．C 本题考查了二元一次方程组的应用，设小和尚有x人，大和尚有y人，由题意：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．列出二元一次方程组，解方程组即可． 解：设小和尚有x人，大和尚有y人， 由题意得：， 解得：， 即大和尚有25人，小和尚有75人， （人）， 即大和尚比小和尚少多50人， 故选：C． 6．C 由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．A 根据题意可得：长江的长度－黄河的长度=836，黄河的长度×6=长江的长度×5+1284． 解：设长江长x千米，黄河长y千米， 根据长江比黄河长836千米，则x-y=836； 根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，则6y=5x+1284． 可列方程组为． 故选：A． 本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 8．C 设参加者为x人，未参加者为y人，根据参加者是未参加者人数的3倍，若该年级人数减少6人，未参加人数增加6人，则参加者是未参加者人数的2倍列出方程组求解即可． 解：设参加者为x人，未参加者为y人， 由题意得，， 解得， ∴， ∴该校七年级学生共有96人， 故选C． 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 9．B 设外国邮票有x张，中国邮票有y张，根据中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少2张，列出方程组，解方程组即可． 解：设外国邮票有x张，中国邮票有y张，根据题意得： ， 解得：， 即外国邮票有109张，中国邮票有216张，故B正确． 故选：B． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组． 10． 本题考查了二元一次方程的应用，设木长尺，绳子长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；若将绳子对折再去测量长木，长木还剩余1尺”，即可得出方程组．找准等量关系是解题的关键． 解：设木长尺，绳子长尺， 根据题意得，， 故答案为：． 11． 7 53 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得，解方程组即可． 解：设有学生x人，书的价格为y元，根据题意，得： ， 解得． 即有学生7人，书的价格为53元， 故答案为：7，53． 12． 疋 疋 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设绢有x疋，布有y疋，根据今有绢与布共30疋，卖得570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯列出方程组求解即可． 解：设绢有x疋，布有y疋， 由题意得，， 解得 ， 答：绢有12疋，布有18疋． 故答案为：疋，疋 13．15 设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意，因为弟弟与哥哥的年龄差等于哥哥与20岁的年龄差，哥哥与弟弟的年龄差等于弟弟与5岁的年龄差，列出二元一次方程组求解即可． 设此时弟弟岁，哥哥岁， 由题意：， 解得：， ∴此时哥哥的年龄是15岁， 故答案为：15． 本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意，准确建立二元一次方程组并求解是解题关键． 14．42岁，23岁 设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设甲现在x岁，乙现在y岁， 依题意，得：， 解得：． 答：甲现在42岁，乙现在23岁． 故答案为：42岁，23岁． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．42 由题意得：弟弟今年的年龄为5岁，姐姐今年的年龄为13岁，设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是100岁，父亲比母亲大2岁，列出方程组，解方程组即可． 解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上100-65=35（岁），说明十年前弟弟没出生， 则弟弟的年龄为10-（40-35）=5（岁），姐姐的年龄为5+8=13（岁）， 设母亲今年的年龄为x岁，父亲今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即父亲今年的年龄为42岁， 故答案为：42． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16．男25，女20 根据题意可得两个等量关系：①男生+女生=45，②男生的2倍=女生的3倍-10．列方程组求解即可. 设男生有x人，女生有y人，根据题意可得 ， 解得， 即，男生有25人，女生有20人， 故答案为男生有25人，女生有20人． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 17．每头牛值金，每只羊值金 本题考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金，每只羊值金，根据“牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金”，解之即可得出结论，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 解：设每头牛值金，每只羊值金， 根据题意得：， 解得：． 答：每头牛值金，每只羊值金． 18．客人30个，盘子13个 本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 解：设有x个客人，y个盘子． 根据题意，得 , 解得 ， 答∶有30个客人，13个盘子． 19．大和尚有人，小和尚有人 本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键； 根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程组解答即可． （方法一） 解：设大和尚有人，小和尚有人， 根据题意得：， 解这个方程组，得． 答：大和尚有人，小和尚有人． （方法二）设大和尚有人， 根据题意得： 解得； ； 答：大和尚有人，小和尚有人； 20．(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． （1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 21．现在哥哥10岁，妹妹6岁． 设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 22．(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． （1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 23．（1）捐赠物品书485件，体育用品335件；（2）学校安排甲、乙两种货车有三种方案：①学校安排甲种货车3辆，乙种货车7辆；②学校安排甲种货车4辆，乙种货车6辆；③学校安排甲种货车5辆，乙种货车5辆；（3）选择安排甲种货车3辆，乙种货车7辆可使总费用最少，最少费用是6600元． （1）设捐赠物品书x件，体育用品y件，然后建立一元二次方程组，解方程组即可； （2）设学校安排甲种货车a辆，则安排乙种货车辆，根据载重量的不等关系，列出不等式求解即可； （3）分别求出（2）中三种方案的总费用，再比较大小即可． （1）设捐赠物品书x件，体育用品y件 由题意得： 解得 答：捐赠物品书485件，体育用品335件； （2）设学校安排甲种货车a辆，则安排乙种货车辆 由题意得： 解得 a为整数 a的可能取值是 因此，学校安排甲、乙两种货车有三种方案： ①学校安排甲种货车3辆，乙种货车7辆 ②学校安排甲种货车4辆，乙种货车6辆 ③学校安排甲种货车5辆，乙种货车5辆； （3）①学校安排甲种货车3辆，乙种货车7辆，总费用为（元） ②学校安排甲种货车4辆，乙种货车6辆，总费用为（元） ③学校安排甲种货车5辆，乙种货车5辆，总费用为（元） 因为 所以选择安排甲种货车3辆，乙种货车7辆可使总费用最少，最少费用是6600元． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $