精品解析：江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年下学期高三年级阶段性数学作业

崇仁县第一中学2025-2026学年春季学期高三年级阶段性数学作业 一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 每小题只有一个选项符合要求. 1. 样本数据，，，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上的一点的横坐标为，则点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、多选题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 11. 若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 设，则______（用数字作答）． 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则______. 14. 设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 四、解答题:本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 17. 设的内角所对的边分别为，且，记. （1）若成等差数列，求的最小值； （2）若成等比数列，求的取值范围. 18. 设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的最小值； （3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 19. 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 崇仁县第一中学2025-2026学年春季学期高三年级阶段性数学作业 一、单选题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分， 每小题只有一个选项符合要求. 1. 样本数据，，，的平均数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】样本数据的平均数为. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 复数的共轭复数为. 3. 已知抛物线上的一点的横坐标为，则点到焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛物线的准线方程为， 由抛物线定义可知，点到焦点的距离与点到准线的距离相等， 则点到焦点的距离. 4. 函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，，所以，故. 令，，则，， 所以该函数的对称中心为，，显然只有A符合. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对进行变换可得，再结合两角差的正切展开公式求解. 【详解】因为， 所以． 6. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 7. 已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 8. 如图，抛物线的方程为，焦点是，圆心在轴上的圆与抛物线在第四象限有且只有一个公共点，且它们在点处的切线是同一条直线.若点的横坐标为，则实数的值为（ ） A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出公共切线，并过作射线轴，则由抛物线的光学性质可得，再利用抛物线定义计算可得点坐标，最后利用直线的斜率计算即可得. 【详解】如图，作出抛物线C和圆E在点处的公共切线，同时过作射线轴， 则有，由抛物线的光学性质，可得， ， 且， 又，代入得，解得. 二、多选题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若成对样本数据都落在一条斜率存在且不为0的直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B. 若，则事件相互独立与互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若，则必有 【答案】AB 【解析】 【分析】由相关系数的概念可判断A，根据独立得到，由事件互斥，可判断B，由卡方计算公式可判断C，通过举反例可判断D. 【详解】由相关系数的概念可知A正确， 对于B选项，若事件相互独立，则， 若事件互斥，则，矛盾， 故事件相互独立与互斥不能同时成立，故B正确， 对于C，因为，当扩大到原来的10倍， 则的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响，C错误. 对于D，由总平均数， 可得，即或， 取，数据，得； 取，数据，得， 此时满足， 计算总方差， 而，显然，不等式不成立，D错误. 10. 已知A，B是概率均不为0的随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若，则事件A与B为对立事件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用和事件与积事件的关系可得，再利用互斥事件与对立事件性质可得A；利用条件概率公式计算可得B；利用全概率公式计算可得C；利用对立事件的性质及概率的乘法公式与和事件与积事件的关系计算可得D. 【详解】对A：由，故， 则、互斥，但不能得到、对立，故A错误； 对B：由，则， 故或，故B错误， 对C：，， 若则，故C正确； 对D：，则， 所以. 11. 若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B. 若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D. 若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，写出在点，处的切线方程，根据它们交于直线上同一点得到包含两个参数的关于的方程，A选项中，取，构造出一个单调函数即可判断不存在不同的满足方程；选项中，取构造出一个先增后减的函数即可找到无穷对满足方程的但积不为定值；C选项，取得到关于的方程，根据得到恒有解，此时两切线斜率之和便大于；D选项，观察切线方程的一般形式，通过构造函数将问题转为证明方程有两个解的问题. 【详解】由题意可知，设，， 在处的切线方程为即， 同理在处的切线方程为，两条切线交于直线上同一点， 故有（*）， 当时，*式可化为， 令，则，当时，， 时，时，均有， 时 ，则在上单调递减，所以不存在不同的，使得， 因此当时，不存在关于轴的共轴切点，A正确； 当时，取得，考虑函数， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且当时，， 所以对有满足，同样有使得， 而，故横坐标之积不是定值，B错误； 当时，取，代入（*）解得， 此使，成为关于直线的共轴切点， 此时斜率之和，C正确； 当时，设，则， 在处的切线方程具有一般形式， 考虑函数，则， 时，，时，， 故在处取最大值，可知存在使得方程存在两个不同的解， 即存在两个不同的使得，也就是同时在这两处的切线上 即存在关于直线的共轴切点，D正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 设，则______（用数字作答）． 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式定理及通项公式求解即可. 【详解】二项式通项公式为. 是的系数，令，则， 所以. 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】解法一：因为，且为等差数列，可以得到，求解即可. 解法二：因为为等差数列，所以为等差数列，设，则，，三项成等差数列，再通过等差中项的性质求解即可. 【详解】因为，且，则， 于是，则，. 解法2 由于为等差数列，设，则，，三项成等差数列， 于是，则，，. 故答案为：14. 14. 设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以表示的二进制数最多有11位，即， 而为的二进制表示中1的个数，又，且， 当时，取得最大值为 ，故满足条件的均不超过 2000， 所以，对应的的个数为，，对应的的个数为，，对应的的个数为， 综上，满足条件的的个数为， 所以的概率为. 四、解答题:本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【小问1详解】 因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 16. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接，因为是等边三角形，是中点，所以． 又因为，，平面，，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合等边三角形的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而由线面垂直的性质定理得，然后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）法一：利用线面垂直的判定定理证明平面，在平面内，作于，由线面垂直的性质定理和判定定理得平面，然后在中求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后点面距的向量公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：在菱形中，， 又因为，，所以，． 因为，平面，，所以平面． 在平面内，作于． 因为平面，平面，所以． 又因为，，平面，， 所以平面， 所以的长度为点到平面的距离． 在中，因为，，， 所以，同理． 因为平面，平面，所以． 在中，因为，所以边上的高． 即点到平面的距离为． 法二：因为平面，平面，所以． 由（1）得、、两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，，． 设平面的法向量为， 所以所以 所以是平面的一个法向量． 所以点到平面的距离． 17. 设的内角所对的边分别为，且，记. （1）若成等差数列，求的最小值； （2）若成等比数列，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解； （2）由（1）得，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解. 【小问1详解】 ， 因为成等差数列，所以， 又，所以，又，所以， 所以， ， 当取得最大值时，取得最小值， 因为，所以， 所以当时，取得最小值1. 【小问2详解】 因为成等比数列，所以， 由（1）知， 因为，所以， 将代入，化简得， 两边同除以，得，即， 所以，解得， 因为，所以，即，得， 所以的取值范围为. 18. 设双曲线的离心率为2，其左、右焦点分别是，过的直线与双曲线的右支交于点．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的最小值； （3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】（1） （2） 9 （3） 如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点与点重合，即与边切于点. 设与边切于点，则， 在中，. 设点，点，则，解得， 即点在直线上，过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以. 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点均在上，且， 所以. 【解析】 【分析】（1）依题意列出关于的方程组，求解即得双曲线的标准方程； （2）设直线的方程为与双曲线方程联立，推得，写出的表达式，利用的范围，即可求得的最小值； （3）先证明与边的切点即为点，再证，由此推得点在直线上，再证，结合，且，可得点均在上，即得证. 【小问1详解】 不妨设点在第一象限，点在第四象限，离心率① ， 在中，当时，，故，即② ， 又因③ ，联立① ②③，解得， 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 由，化简得， 设，则，解得， 则， 因，则，故，即. 故的最小值为9. 【小问3详解】 略 19. 甲社区有个女生和个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有个女生和个男生，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的队的不同的选法种数为和． （ⅰ）求，并证明：当时，递推公式，并说明理由； （ⅱ）若乙社区将选出的个男生和个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率． 【答案】（1） （2） （i）因为甲社区中男生和女生都认识，因此. 当时，，， 所以， ， ， 因为， 两边 同乘以，得. （ii） 【解析】 【分析】（1）现根据古典概率公式求出甲乙社区的参赛选手都是男生或女生的概率，再根据互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式求解； （2）（i）根据题意结合排列数和组合数公式求出，观察公式的结构特征，证明；（ii）先求得的递推关系式，得到和有相同的递推关系和初始值，利用古典概率公式求解. 【小问1详解】 设事件表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是女生”， 事件表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是男生”， 则，，， 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即， 因为，所以，即事件与互斥， 又事件与互相独立，事件与互相独立， 所以所求事件的概率. 【小问2详解】 （i）略 （ii）先考虑的递推关系式. 当时，考虑乙社区中的女生，有以下两种情况： ①当女生被选中时，其余队共有种不同的选法， 可在余下个男生中任选一人，有种选法， 因此由乘法计数原理可知，共有种选法； ②当女生没被选中时，此时从中选出个女生，从中选出个男生组队，共有种选法； 所以当时，， 当时，由前述分析可得， 由（i）可知满足相同的递推公式， 因为，，， 所以和有相同的递推关系和初始值， 所以对任意和，均有. 所以， 设乙社区中各选个男生和个女生，男、女组成个队，共有种情况，且， 因此，满足组队要求的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $