第九章 统计 重难点题型总结讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计章节重难点题型总结 目录 题型1：抽样方法的选取与计算 2 题型2：频率分布直方图 5 题型3：百分位数的计算 11 题型4：数字特征的性质与应用 14 题型5：统计图表的综合应用 20 题型1：抽样方法的选取与计算 【例1.1】 某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】总体与样本 【分析】由抽样调查的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为抽取一部分对象的调查方式是抽查，对全体对象进行研究的调查方式是普查，所以此调查为抽样调查，所以A错误； 对于B，每名学生的视力是总体的一个个体，所以B错误； 对于C，200名学生的视力是总体的一个样本，所以C正确； 对于D，1200名学生的视力是总体，所以D错误. 故选：C 【例1.2】 下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】①一次性抽取与逐个不放回的抽取等价，是简单随机抽样，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样. 故选：C. 【例1.3】 某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】简单随机抽样的特征及适用条件、简单随机抽样的概率、分层抽样的特征及适用条件 【分析】根据简单随机抽样、分层抽样的定义可以判断A，B；通过计算概率可判断C，D. 【详解】对于A，这次抽样可能采用的是简单随机抽样，故A正确. 对于B，由知，采用的可以是分层抽样，故B错误. 对于C和D，抽样中每个女生被抽到的概率与每个男生被抽到的概率均等于，故C和D均错误. 故选：A. 【例1.4】 某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（    ） A．110 B．100 C．90 D．80 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、分层抽样的特征及适用条件 【分析】由题意及分层抽样知识可得答案. 【详解】样本中高一年级的学生人数为． 故选：A 【例1.5】 已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（     ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的比例关系，分别计算抽取的中年人与青少年人数，再求人数差值． 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人，由分层随机抽样可知，，解得，， 故中年人比青少年多9人． 故选：B． 【例1.6】 某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（   ） A．25 B．30 C．35 D．50 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据分层抽样的方法，列式计算，即可求解． 【详解】选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有． 故选：C． 【例1.7】 统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】简单随机抽样估计总体 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 题型2：频率分布直方图 【例2.1.】 （多选）某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（   ） A． B．估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C．估计该年级学生物理成绩的众数为75 D．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】对于A：因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1， 所以，解得，故A正确； 对于B：估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为，故B错误； 对于C：频率分布直方图中，众数是最高矩形所对应的区间中点，最高矩形是，所以中点为75，故C正确； 对于D：设中位数为，前两组的频率为，前三组的频率为， 因此中位数位于区间内，即，解得，故D错误. 【例2.2.】 某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算频率 【分析】根据频数与总数的比为频率，由此能求出结果． 【详解】分数在的频率为：． 分数不满110分的频率为：． 故选：A． 【例2.3.】 某校举行一次知识竞赛，共900名学生参加，为了解竞赛成绩，抽取部分学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计.请根据未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50      (1)将频率分布表和频率分布直方图补充完整； (2)成绩在内的学生获得奖章，请估计该校获得奖章的人数； (3)依据频率分布直方图的统计信息估计该校学生竞赛成绩的第70百分位数（结果保留整数）. 【答案】(1)答案见解析 (2)504 (3)88 【难度】0.85 【知识点】补全频率分布表、补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、总体百分位数的估计 【分析】（1）在频率分布表中，各组的频数频率样本容量，再根据频率的和等于1建立等式解之即可， 根据频率分布表补全频数分布直方图； （2）首先求出样本中成绩在内的频率，结合共有900名学生参加了这次竞赛可得答案； （3）依据频率分布直方图的统计信息估计该校学生竞赛成绩的第70百分位数. 【详解】（1）由已知样本容量为，故第二组的频数为，第三组的频率为，第五组的频数为：，频率为：， 故频率分布表为： 分组 频数 频率 [50,60) 4 0.08 [60,70) 8 0.16 [70,80) 10 0.20 [80,90) 16 0.32 [90,100] 12 0.24 合计 50 1 频率分布直方图    （2）估计该校获得奖章的人数为 （3）设该校学生竞赛成绩的70%分位数为，依据频率分布直方图，， 保留到整数，解得. 【例2.4.】 江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数 【分析】(1)根据所有矩形的面积和为1即可求出的值； (2)根据频率分布直方图的平均数公式计算即可； (3)利用频率分布直方图百分位数的计算方法求得第百分位数即可. 【详解】（1）由， 解得： （2）这100人的得分的平均数 （3）测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数等价于获得奖品分数的第百分位数， 因为， ， 所以第80百分位数在，设第80百分位数为， 则， 解得：分 则测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为分 【例2.5.】 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】(1)，平均数约为74 (2)6人 (3)，36 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数的平均数、由频率分布直方图估计平均数、估计总体的方差、标准差 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． （2）由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 题型3：百分位数的计算 【例3.1.】 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】由百分位数的定义进行求解． 【详解】因为，所以样本数据的第80百分位数为样本数据由小到大排列的第16个数据和第17个数据的平均数，落在区间内． 故选：C 【例3.2.】 一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计 【分析】根据中位数定义以及百分位数定义计算可得结果. 【详解】数据，，，，，，，，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由，因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得， 故选：A． 【例3.3.】 某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的75%分位数是（   ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由题意，将数据按从小到大的顺序排列后，第6个数为10，第7个数为12， 故这组数据的75%分位数为. 故选：D 【例3.4.】 (多选)某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，则（    ） A．极差是 B．中位数是 C．下四分位数是 D．上四分位数是 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、总体百分位数的估计 【分析】先把原始数据从小到大排列，再利用极差的概念计算判断选项A；利用中位数的概念计算判断选项B；利用上、下四分位数的概念和运算法则计算判断选项C，D． 【详解】将9名同学的成绩从小到大排列为：， 极差为：，故A正确； 中位数为第个，为，故B错误； 9个从小到大排列的数据，下四分位数是前5个数据的中位数，即为，故C错误； 9个从小到大排列的数据，上四分位数是后5个数据的中位数，即为，故D正确． 故选：AD． 【例3.5.】 某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】先求出众数，再根据是否为整数分类讨论后可求的取值范围. 【详解】将数据从小到大排列为5，6，8，8，9，10，11，12，众数为8， 则这组数据的第百分位数为8， 又 ， 若为整数，则，解得； 若不为整数，则或， 解得或，综上，. 题型4：数字特征的性质与应用 【例4.1】 （多选）下列命题正确的是（    ） A．数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B．数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C．数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D．数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 【答案】ABD 【难度】0.77 【知识点】计算几个数的众数、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】根据众数的概念，可判断A的正误；根据极差的求法，可判断B的正误；根据百分位数的求法，可判断C的正误；根据平均数、方差的性质，可判断D的正误. 【详解】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确； 选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确； 选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，， 则该组数据的第百分位数为7，故C错误； 选项D：数据，的平均数为， 方差为，故D正确. 【例4.2】 引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】依题意，在分层随机抽样的方法所抽取的100人中，高一男生有人，高二男生有40人， 记高一男生成绩的平均数和方差分别为和； 高二男生成绩的平均数和方差分别为和， 则样本平均数为， 样本总体方差 . 【例4.3】 从小到大排列的一组数据：90，92，x，96，98，99，若这组数据的第40百分位数与平均数相同，则这组数据的方差为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据平均数求参数 【分析】根据百分位数和平均数的定义计算，最后再利用方差公式计算. 【详解】共个数，因为，所以第40百分位数为， 平均数为， 则，得， 则这组数据的方差为. 故选：C 【例4.4】 随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（   ）    评委编号模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、计算几个数的众数 【分析】根据已知数据分别应用中位数，众数，平均数及方差定义分别计算判断各个选项. 【详解】甲、乙的得分从小到大排列如下： 甲：，乙：， 甲得分的中位数为，乙得分的中位数为，甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正确； 甲得分的众数，乙得分的众数为，甲得分的众数大于乙得分的众数，故B正确； 甲得分的平均数， 乙得分的平均数，所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错误； 甲的方差， 乙的方差为 故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正确. 故选：A. 【例4.5】 （多选）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是（   ） 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】逐个选项分析是否一定满足每天新增疑似病例不超过7人即可. 【详解】对于A，设10天的数据从小到大排序为， 由中位数为2可知 ，即 ， 因为 且数据为非负整数，所以必有， 又因为极差为5，所以 ， 由于，可得 ， 因此，最大值不超过7，即每天新增疑似病例不超过7人，故A正确； 对于B，若乙地过去10日分别为， 则满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误； 对于C，若丙地过去10日分别为， 则满足总体平均数为1，总体方差大于0， 但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误； 对于D，利用反证法，若至少有一天疑似病例超过7人，则方差大于， 与题设矛盾，故连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确. 故选：AD 【例4.6】 （多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.77 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则． 因为与的中位数都是， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． ，故C错误． 由已知得． 因为，所以， 去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的和为， 所以由 ， 所以余下8个数据的方差 所以，故D正确． 【例4.7】 (多选)在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 63 63 61 乙厂 63 62 61 其中，根据统计数据，下列结论中正确的是（   ） A．甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B．甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C．甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同 D．甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、用平均数的代表意义解决实际问题、用中位数的代表意义解决实际问题、用众数的代表意义解决实际问题 【分析】根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐一验证即可求解. 【详解】根据表格有，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂，故A正确； 根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而，所以甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂，故B正确； 根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同，故C错误； 由于甲乙两厂的平均质量为63克，不能判断甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂，故D错误. 故选：AB. 题型5：统计图表的综合应用 【例5.1】 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（   ） A．这14天中有5天空气质量为“中度污染” B．从第三天到第七天空气质量越来越好 C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数的中位数 【分析】根据题意，由折线图分析数据，结合中位数的求法，逐一分析各个选项，即可得答案． 【详解】对于A，这14天中有4天空气质量指数在之间，则有4天为“中度污染”，故A错误； 对于B，从第三天到第七天空气质量先变好再变坏，故B错误； 对于C，将14组数据从小到大排列： ，其中位数为，故C正确； 对于D，5日到7日的三天，数据波动比较大，则方差较大， 所以连续三天中空气质量指数方差最小不是5日到7日，故D错误． 故选：C 【例5.2】 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】众数、平均数、中位数的比较、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为,所以错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对； 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错； 讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错. 故选:B. 【例5.3】 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【答案】D 【难度】0.66 【知识点】频率分布直方图的实际应用、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、根据条形统计图解决实际问题、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】根据饼状图和条形图提供的数据逐一分析判断选项． 【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人， 故高三人数不超过人，C选项正确； 成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误， 故选：D 【例5.4】 （多选）学校进行某项测评，满分10分，学生得分均为整数，其中高一年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下： 则下列说法正确的有（   ） A．1班学生得分的平均分小于2班学生得分的平均分 B．1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差 C．1班学生得分的中位数小于2班学生得分的中位数 D．1班学生得分的第80百分位数等于2班学生得分的第80百分位数 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】先从条形图中提取1班和2班各分数的人数，再分别计算平均分、方差、中位数和第80百分位数，逐一判断选项. 【详解】从条形图中提取数据： 1班：5分4人，6分18人，7分10人，8分8人，9分6人，10分4人，总人数 人. 2班：5分0人，6分8人，7分12人，8分18人，9分8人，10分4人，总人数 人. 1班平均分： 2班平均分： 显然 ，A选项正确. 1班方差： 2班方差： ，故B错误. 1班：50人，故第25、26人均为7分，中位数为7；2班：故第25、26人均为8分，中位数为8.，故C正确. 1班：，第40人得分8分、第41人得分9分，故第80百分位数为. 2班：，第40、41人均为9分，第80百分位数为9. ，故D错误. 故选：AC 【例5.5】 (多选)十项全能的比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（    ） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当 C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】雷达图的应用、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】根据雷达图表示的甲与乙的得分情况，逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由雷达图可知，400米跑项目中，甲的得分比乙的得分高，A错误； 对于B，由雷达图可知，在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当，B正确； 对于C，甲各项得分的波动较大，乙的各项得分均在内，波动较小，故乙的各项得分比甲的各项得分更均衡，C错误； 对于D，甲的各项得分的极差约为，乙的各项得分的极差小于200，D正确． 故选：BD． 【例5.6】 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 【答案】(1)甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194. (2)从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定. 【难度】0.65 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）由折线图提供的数据，利用平均数公式代入计算即可； （2）分别找出甲乙两厂的所有标准轮胎宽度的数据，再分别求出平均值与方差，即可判断. 【详解】（1）由题：甲厂轮胎宽度的平均值为： ； 乙厂轮胎宽度的平均值为： ； 所以甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值分别为195，194. （2）由题，甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为： ，其平均数为：， 其方差为：； 乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度为： ，其平均数为：， 其方差为：； 从平均数上来看：乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度高于甲厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度，但乙厂提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度方差较大，不够稳定. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 统计章节重难点题型总结 目录 题型1：抽样方法的选取与计算 2 题型2：频率分布直方图 3 题型3：百分位数的计算 5 题型4：数字特征的性质与应用 6 题型5：统计图表的综合应用 8 题型1：抽样方法的选取与计算 【例1.1】 某高中为了了解高一年级1200名学生的视力情况，抽查了其中200名学生的视力，并进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．上述调查属于普查 B．每名学生是总体的一个个体 C．200名学生的视力是总体的一个样本 D．1200名学生是总体 【例1.2】 下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.3】 某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生、6名女生，则下列命题中正确的是（    ） A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样 B．这次抽样一定没有采用分层抽样 C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率 D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率 【例1.4】 某学校高一年级有1100名学生，高二年级有1000名学生，高三年级有900名学生，为了解不同年级学生运动的情况，通过分层随机抽样的方法，从全体学生中抽取一个容量为300的样本，那么从高一年级抽取的学生人数为（    ） A．110 B．100 C．90 D．80 【例1.5】 已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（     ） A．6人 B．9人 C．12人 D．18人 【例1.6】 某校高一有500名学生，为了培养学生良好的数学素养，学校要求高一学生从《九章算术》《数书九章》《缀术》《海岛算经》中选一本阅读，其中有200人选《九章算术》，150人选《数书九章》，100人选《缀术》，50人选《海岛算经》．若按选书种类进行分层，用分层随机抽样的方法抽取50名学生分享读后感，则选《九章算术》和《数书九章》的学生抽取的人数共有（   ） A．25 B．30 C．35 D．50 【例1.7】 统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 题型2：频率分布直方图 【例2.1.】 （多选）某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（   ） A． B．估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C．估计该年级学生物理成绩的众数为75 D．估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【例2.2.】 某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表： 分数段 人数 2 5 6 8 分数段 人数 12 6 4 2 那么分数在的频率和分数不满110分的频率分别是（精确到0.01）（   ） A．0.18，0.47 B．0.47，0.18 C．0.18，0.50 D．0.38，0.75 【例2.3.】 某校举行一次知识竞赛，共900名学生参加，为了解竞赛成绩，抽取部分学生成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计.请根据未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 4 0.08 0.16 10 16 0.32 合计 50      (1)将频率分布表和频率分布直方图补充完整； (2)成绩在内的学生获得奖章，请估计该校获得奖章的人数； (3)依据频率分布直方图的统计信息估计该校学生竞赛成绩的第70百分位数（结果保留整数）. 【例2.4.】 江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 【例2.5.】 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； (2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ (3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 题型3：百分位数的计算 【例3.1.】 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示 分组 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据的第80百分位数所在区间为（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 一组从小到大排列的数据：，，，，，，，，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 某同学收集并整理了某市2026年1月11日至18日每日最高气温（单位：℃）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则1月11日至18日最高气温的75%分位数是（   ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【例3.4.】 (多选)某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：，则（    ） A．极差是 B．中位数是 C．下四分位数是 D．上四分位数是 【例3.5.】 某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：数字特征的性质与应用 【例4.1】 （多选）下列命题正确的是（    ） A．数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B．数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C．数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D．数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 【例4.2】 引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 【例4.3】 从小到大排列的一组数据：90，92，x，96，98，99，若这组数据的第40百分位数与平均数相同，则这组数据的方差为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【例4.4】 随着Deepseek的流行，各种AI大模型层出不穷，现有甲、乙两个AI大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（   ）    评委编号模型名称 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【例4.5】 （多选）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合该标志的是（   ） 甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2； 丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【例4.6】 （多选）有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（   ） A． B． C． D． 【例4.7】 (多选)在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表： 工厂 平均质量 中位数 众数 方差 甲厂 63 63 61 乙厂 63 62 61 其中，根据统计数据，下列结论中正确的是（   ） A．甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂 B．甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂 C．甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同 D．甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂 题型5：统计图表的综合应用 【例5.1】 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”，六个等级．如图，是我市冬季某月连续14天的空气质量指数趋势图，则下列说法中正确的是（   ） A．这14天中有5天空气质量为“中度污染” B．从第三天到第七天空气质量越来越好 C．这14天中空气质量指数的中位数为196.5 D．连续三天中空气质量指数方差最小的是5日到7日 【例5.2】 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（    ） A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【例5.3】 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 【例5.4】 （多选）学校进行某项测评，满分10分，学生得分均为整数，其中高一年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下： 则下列说法正确的有（   ） A．1班学生得分的平均分小于2班学生得分的平均分 B．1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差 C．1班学生得分的中位数小于2班学生得分的中位数 D．1班学生得分的第80百分位数等于2班学生得分的第80百分位数 【例5.5】 (多选)十项全能的比赛成绩是按照国际田径联合会制定的专门田径运动会全能评分表将各个单项成绩所得的评分加起来计算的，总分多者为优胜者．如图，这是某次十项全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图，则下列说法正确的是（    ） A．在400米跑项目中，甲的得分比乙的得分低 B．在跳高和标枪项目中，甲、乙水平相当 C．甲的各项得分比乙的各项得分更均衡 D．甲的各项得分的极差比乙的各项得分的极差大 【例5.6】 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了 10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm） 记录下来并绘制出折线图： (1)分别计算甲、 乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值； (2)轮胎的宽度在[193，195]内，则称这个轮胎是标准轮胎，试比较甲、 乙两厂分别提供的 10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好. 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