2026年初中毕业生学业质量监测数学试卷-中考冲刺扣押（云南专用）

**基本信息** 云南专用初中数学二模卷以神舟发射、绿色能源等时代素材为情境，通过基础（单选）到综合（解答）的梯度题型，考查实数、几何、函数等核心知识，融合抽象能力、推理意识与数据意识等素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|15/30|实数（第1题）、科学记数法（第2题）、几何初步（第3题）|结合神舟发射（第1题）、云南就业数据（第2题）创设情境| |填空题|4/8|因式分解（16题）、平行四边形（17题）|19题以昭通游客出行调查考查数据处理| |解答题|8/62|方程应用（22题）、概率（23题）、二次函数（26题）、圆综合（27题）|24题体育器材采购融合方程与不等式，27题动态探究切线与线段关系，体现应用意识与推理能力|

2026届初中毕业生学业质量监测（云南专用） 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭点火前10秒记为秒，那么火箭点火后5秒应记为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反意义的量，解题的关键是理解正负数的意义．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：火箭点火前10秒记为秒， 火箭点火后5秒应记为秒． 故选：C． 2．2025年云南省民生保障坚实有力，全省城镇新增就业约511000人，群众获得感幸福感安全感满满，数据511000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，对于大于的原数，等于原数的整数位数减，根据科学记数法的定义确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 3．如图，直线，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，根据平行线的性质得到的度数，再由对顶角相等即可得到的度数． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∴， 故选：B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式运算中的幂的运算法则与合并同类项法则，逐一根据法则计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A，∵根据积的乘方法则，，∴A运算正确． 选项B，∵根据同底数幂的除法法则，，∴B运算错误． 选项C，∵根据幂的乘方法则，，∴C运算错误． 选项D，∵合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，，∴D运算错误． 5．昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次，统计数据如下表，则这7个数据的中位数是（    ） 站点 西山公园站 西部汽车站 东风广场站 白云路站 梁家河站 昆明火车站 市体育馆站 客流人次（单位：百人） 46 87 245 168 61 198 75 A．75 B．87 C．61 D．168 【答案】B 【分析】根据数据个数为奇数，取最中间位置的数即为中位数． 【详解】解：将这7个数据按从小到大的顺序排列得：， ∵数据总个数为7，是奇数， ∴这组数据的中位数为． 6．如图是一个传统粗瓷大碗．关于它的三视图，下列说法正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】A 【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 7．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 【答案】A 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 8．下列4个艺术汉字示意图中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 9．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式和分式有意义的条件求解，二次根式的被开方数需为非负数，分式的分母不能为0，结合两个条件即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义 ∴ 解得且 ∴ 的取值范围是且． 10．观察下列式子：，依照此规律，第8个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查式子的规律，掌握知识点是解题的关键． 观察分子和分母的规律：分子是连续偶数，分母是的幂次递增． 【详解】解：分子依次为2， 4， 6， 8， …，；分母依次为， ， ， ， …， 因此第个式子为． 当时，． 故选：D． 11．如图，在中，，，垂足为D，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了求正切值，等角的余角相等． 根据等角的余角相等得到，求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵，，， ∴． 故选：D． 12．云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列．年，在技术创新、政策扶持、市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升．假设年该企业光伏产品全年销量为万台，年该企业光伏产品全年销量为万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年销量年销量，列方程即可． 【详解】解：年该企业光伏产品全年销量为万台，年平均增长率为， 年该企业光伏产品全年销量为万台， 年该企业光伏产品全年销量为万台， 年该企业光伏产品全年销量为万台， ． 13．如图，在中，为上两点，为的直径，，那么为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，为上两点， ∴， ∵为的直径，即三点共线， ∴， 故选：A． 14．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：此草帽锅盖的侧面积为：． 故选：C． 15．如图，直线，点E，F分别在直线上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部交于点H，画射线交于点G，若，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 17．如图，在平行四边形中，点在边上，、交于点，若，，则为_______． 【答案】 【分析】先由设出、，再结合平行四边形性质得到及，进而判定，求出，根据相似三角形性质及同高三角形面积与底边比例关系确定，，求出、，即可得到，数形结合表示出代值计算即可得到答案． 【详解】解：由，可设、， 在平行四边形中，，且， ， 则， ，， ， ，， 则，， ， 则． 【点睛】本题综合性较强，突破口是从题中已知条件去推理，确定其他三角形的面积，然后想到相似性质中的面积与相似比关系求、同高三角形面积与底边比例关系求是解决问题的关键所在． 18．如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【答案】 12 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由，可知：， 解得，，即点的坐标为， 将代入双曲线：, 故. 19．昭通，别称“秋城”，是云南省下辖地级市，位于云南省东北部，地处云、贵、川三省结合部的乌蒙山区腹地，东侧紧邻贵州省毕节市，南侧紧邻云南省曲靖市，西侧以金沙江为界与四川省凉山彝族自治州相邻，北侧以金沙江为界与四川省宜宾市相邻，总面积2.3万平方公里，2026年春节接待游客324万人次，相关部门对到昭通观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，并统计如下，其中选择其他方式出行的大约有________万人次． 【答案】32.4 【详解】解：（万人次） 三、解答题（本大题共8小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（本题7分）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 21．（本题6分）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活利用证明三角形全等是解题的关键． 先证明，再根据即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 22．（本题7分）早春三月，草长莺飞，万物复苏，在这春意盎然的季节里，某县开展“植”此青绿，播种希望的义务植树活动．该县计划完成总植树任务720棵，由于学生志愿者的支援，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，求原计划每天植树多少棵． 【答案】40棵 【分析】本题考查了分方程的应用，设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据该县计划完成总植树任务720棵，实际每天植树量比原计划每天多植，结果提前3天完成任务，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树x棵，根据题意可列方程为： ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天植树40棵． 23．（本题6分）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A．民族舞蹈；B．经典诵读；C．民族乐器；D．地方戏曲，每名学生限报一个．该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣，一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上．小文先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张．他们分别以各自所抽取卡片上的内容来确定所报小组． (1)小文抽到B．经典诵读的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式直接求解即可； （2）根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，则抽到B．经典诵读的概率是； （2）解：列表如下：          小艺小文 A A 由表可知，共有16种等可能的结果，其中小文和小艺抽到同一个兴趣小组的情况共有4种， ∴小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率为． 24．（本题8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练． 素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元． 素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的． 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格． (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用． 【答案】(1)每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元 (2)最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 【分析】（1）设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元，求出，再结合题意列出一元一次不等式得出的取值范围，最后由一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元． 根据题意得， 解方程组得， 答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元； （2）解：设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元． ， 购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的， ， ， 智能计数跳绳和标准实心球均需购买， ，且为正整数． ， 随的增大而减小． 当时，取最小值． 此时，． 即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元． 答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元 25．（本题8分）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 26．（本题8分）已知关于的二次函数（为常数）． (1)当时，求二次函数图象的对称轴； (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或 【分析】（）利用二次函数对称轴公式，代入即可解答； （）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴与 区间的位置关系分四类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区间内靠近左端点、区间内靠近右端点，分别求出对应区间的最值并代入列方程，舍去不符合前提条件的解后，最终得到符合条件的值为或． 【详解】（1）解：∵二次函数（为常数）， ∴根据二次函数图象的对称轴为直线， 当时，对称轴为直线， 故二次函数图象的对称轴为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， ①若对称轴在区间左侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最小值为， 当时， 有最大值为， ， ， 即， （舍去）； ②若对称轴在区间右侧时，如图，则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ， ， 即， （舍去）； ③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图， 则，即， 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，， 即，（舍去），（符合）； ④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图， 则，即． 此时，当时，有最大值为， 当时，有最小值为， ，，即， 解得，（舍去），（符合）； 综上所述，的值为或． 27．（本题12分）如图，在中，，以为直径的过线段的中点，连接，过点作于点．若点是上与点位于异侧的一个动点（），连接，，过点作交于点，，交于点． (1)的长度是___________； (2)求证：直线是的切线； (3)请探究在点的运动过程中，的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)不变，16 【分析】（1）由圆周角定理可得，即，再结合题意得出是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可得出结果； （2）连接，证明是的中位线，得出，从而可得，即可得证； （3）过点作于点，过点作于点，则，证明，得出，再证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，最后证明得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴，即， 又∵是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴的长度是4； （2）证明：连接，如图： ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线 ， ，即， 是的半径，且， 直线是的切线． （3）解：的值是定值16．理由如下： 如图：过点作于点，过点作于点， 则， 是的直径， 又， ， ，即， 同理可得， ，即， ，， 四边形是平行四边形，， ， 在和中， ， ， ， 又，且， ． 【点睛】直径所对的圆周角是直角；相似三角形的对应边成比例 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届初中毕业生学业质量监测（云南专用） 数学试卷 (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射 中心点火发射.若火箭点火前10秒记为-10秒，那么火箭点火后5秒应记为() A.-10秒 B.-5秒 C.+5秒 D.+10秒 2.2025年云南省民生保障坚实有力，全省城镇新增就业约511000人，群众获得感幸福感安全感满满，数 据511000用科学记数法表示为() A.5.11×104 B.51.1×104 C.5.11×10 D.0.511×10 3.如图，直线a∥b,若∠1=38°，则∠2的度数为() 2 -b A.52° B.38° C.58 D.142° 4.下列运算正确的是() A.(3a2=9a2 B.a5÷a2=a3 c.(a2）'=a D.3a2+2a2=6a2 5.昆明地铁运营方为优化运力调配需要，统计了某工作日晚高峰时段7个代表性站点的进出站总客流人次， 统计数据如下表，则这7个数据的中位数是() 站点 西山公 西部汽 东风广 白云路 梁家 昆明火 市体育 试卷第1页，共3页 园站 车站 场站 站 河站 车站 馆站 客流人次（单位： 46 87 245 168 61 198 75 百人) A.75 B.87 C.61 D.168 6.如图是一个传统粗瓷大碗.关于它的三视图，下列说法正确的是() A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同 C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都不相同 7.若一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是() A.九边形 B.八边形 C.六边形 D.五边形 8.下列4个艺术汉字示意图中是轴对称图形的是() 爱我中华 9.若式子x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是() x-3 A.x>2且x≠3B.x>3 C.x≥2且x≠3 D.x>2 10成察列武子：子一，袋熙质，第8个式f是《) A号 20 c D. 11.如图，在ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,若AC=2,BC=1,则tan∠BCD的值为() A.⑤ B.25 C.2 5 D. 12.云南省大力发展绿色能源产业，光伏产品销量稳居西南地区前列.2025年，在技术创新、政策扶持、 试卷第1页，共3页 市场需求扩大等多重因素推动下，云南省某企业光伏产品销量持续攀升.假设2023年该企业光伏产品全年 销量为150万台，2025年该企业光伏产品全年销量为216万台，设该企业光伏产品销量的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是() A.150(1+2x=216 B.150(1+2x)2=216 C.150(1+x)2=216 D.1501+x2）=216 13.如图，在⊙0中，C,D为⊙0上两点，AB为00的直径，∠ADC=25°，那么∠BOC为() B A.130° B.155 C.55 D.75° 14.“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状.已知圆锥的底面直径为50cm,母线 长为40cm,则此草帽锅盖的侧面积约是() A.625ncm2 B.650xcm2 C.1000元cm2 D.2000πcm2 15.如图，直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，连接EF,以点E为圆心，适当长为半径画弧， 交射线EA于点M,交EF于点N,再分别以点M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧（两弧半径相等， 两弧在∠AEF的内部交于点H,画射线EH交CD于点G,若LAEF=70°，则图中∠1的度数为() -k 1冰 G A.35 B.110° C.135° D.145o 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16.分解因式：16ab-ab3= 试卷第1页，共3页 17.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC、BE交于点O,若AE:ED=1:2,S△4oE=6cm ，则S四边形EocD为， 18.如图，平面直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=二的交点A,B位于第一，第三象限.分别过 点A,B作x轴，y轴的垂线，交于点C,若AC=8,BC=6,则k的值是 VA 19.昭通，别称“秋城”，是云南省下辖地级市，位于云南省东北部，地处云、贵、川三省结合部的乌蒙山区 腹地，东侧紧邻贵州省毕节市，南侧紧邻云南省曲靖市，西侧以金沙江为界与四川省凉山彝族自治州相邻， 北侧以金沙江为界与四川省宜宾市相邻，总面积2.3万平方公里，2026年春节接待游客324万人次，相关 部门对到昭通观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，并统计如下，其中选择其他方式出行的大约有 万人次. 公共 自驾 交通 40% 50% 其他 三、解答题（本大题共8小题，满分62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20.(本题7分)计第：2西-314-x+h-同+2s45. 21.(本题6分)如图，BA=BE,∠I=∠2，LC=∠D,求证：△ABC≌△EBD. 试卷第1页，共3页 D B 22.(本题7分)早春三月，草长莺飞，万物复苏，在这春意盎然的季节里，某县开展“植”此青绿，播种希 望的义务植树活动.该县计划完成总植树任务720棵，由于学生志愿者的支援，实际每天植树量比原计划 每天多植20%，结果提前3天完成任务，求原计划每天植树多少棵。 23.(本题6分)为弘扬中华民族优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A.民族舞蹈；B.经 典诵读；C.民族乐器；D.地方戏曲，每名学生限报一个.该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣， 一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示 四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上.小文先从这四张卡片 中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张.他们分别以各 自所抽取卡片上的内容来确定所报小组. A.民族舞蹈 B经典诵读 C.民族乐器 D.地方戏曲 (1)小文抽到B.经典诵读的概率是； (2)请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率. 小艺小文 A B C D A （A,A) (4,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 24.(本题8分)请你根据下列素材，完成有关任务. 试卷第1页，共3页 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球 背景 两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练 素材 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳 和1个标准实心球共需110元. 素材 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数 量不超过购买标准实心球数量的 请完成下列任务： (1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格， (2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用. 25,(本题8分)如图，在四边形ABCD中，AB=BC,CD∥AB,点E,F分别为AC,BC的中点， DE∥CF. B (I)求证：四边形EFCD为菱形： (2)若∠ADC=90°，EF=2,求AD的长. 26.(本题8分)已知关于x的二次函数y=x2+x-3(k为常数). (1)当k=2时，求二次函数图象的对称轴； (2)当k≤x≤k+3时，二次函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=6,求k的值. -k X- k+ ①若对称轴在区间左侧时，如图1，则-<k,即太>0， 门-- 图1 此时，当x=k时，y有最小值为n=2k2-3, 试卷第1页，共3页 当x=k+3时， y有最大值为m=(k+3)+k(k+3)-3=2k2+9k+6, :m-n=6, 2k2+9k+6-2k2-3=6, 即9k+9=6, (舍去)： ②若对称轴在区同右侧时，如图2，则今k+3,即<-2， -k 此时，当x=k时，y有最大值为m=2k2-3, k+3 图2 当x=k+3时，y有最小值为n=2k2+9k+6, :m-n=6, (2k2-3-(2k2+9k+6)=6, 即-3-9k-6=6, ©去。 ③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图3， -k X←2 kk+k+3 k+3 则 22 ,即-1<k≤0， k k-2 图3 此时，当x=k+3时，y有最大值为m=2k2+9k+6, 当x=一今时，y有最小值为n= -3=-3 2-21 试卷第1页，共3页 -=6,2+9+-(-3=6, 即32+12k+4=0,k=6-26(舍去，k=6+26 3 (符合) 3 ④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图4， - = 2 k、k+k+3 2 则 2 ，即-2≤k≤-1. /k+3 ≤k+3 2 图4 此时，当x=k时，y有最大值为m=2k2-3, 当x=- 时，y有最小值为n=k-3, 4 -623-(-小=6，即-6 4 解得k=士26，：k26(舍去，k=-26 (符合)： 3 3 :综上所述，k的值为-6+26或-26 3 3 27.(本题12分)如图，在ABC中，AB=4,以AB为直径的OO过线段AC的中点D,连接BD,过点 D作DE⊥BC于点E.若点P是OO上与点D位于AB异侧的一个动点（∠PAB>∠ABD),连接AP,BP ,过点A作AM∥BD交BP于点M,AN∥BP,交BD于点N. M B (1)BC的长度是 (2)求证：直线DE是⊙0的切线： (3)请探究在点P的运动过程中，BM·BP+BN·BD的值是否改变？若不变，请求出此值；若改变，请说明 理由 试卷第1页，共3页