江西抚州市崇仁县第一中学2025-2026学年下学期高三年级阶段性数学作业

**基本信息** 高三数学二模试卷注重基础巩固与创新应用结合，以九宫格几何最值、抛物线与圆切线综合题考查数学眼光，概率与独立性检验题发展逻辑推理，体现对数学思维与表达的综合评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计、复数、抛物线、三角函数|第7题九宫格节点几何最值，融合空间观念| |多选题|3/18|相关系数、概率事件、函数切线新定义|第11题“共轴切点”新定义，考查创新意识| |填空题|3/15|函数求值、等差数列|第14题集合概率，体现数据观念| |解答题|5/77|数列、立体几何、解三角形、双曲线、概率应用|第19题社区比赛概率，结合实际情境，发展应用意识|

崇仁县第一中学2025-2026学年春季学期高三年级阶段性数学作业 参考答案 一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题只有一个选项符合要求。 1. 样本数据4,6,10,16的平均数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】 【解析】(1) 教材题源:人教 版必修二 181 页第 1 题； (2)高考题源:2025 年新高考全国Ⅱ卷第 1 题； (3)课标要求:结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位、数、众数), 理解集中趋势参数的统计含义. 2. 复数 的共轭复数是 A. B. C. D. 【答案】 【解析】【解析】 共轭复数为 3. 已知抛物线 上的一点 的横坐标为 1，则点 到焦点的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】 【解析】(1) 教材题源: 人教 版必修二第 157 页第 1 题; (2)高考题源:2025 年北京卷第 11 题； (3)课标要求:了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质. 4. 函数 的最小正周期为 ,其图象的对称中心可以为 A. B. C. D. 【答案】 【解析】(1) 教材题源:人教 版必修一第 214 页第 16 题； (2)高考题源:2025 年新高考全国 I 卷第 4 题； (3)课标要求:结合具体实例，了解 的实际意义；能借助图象理解参数 的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 【解析】由于 ,则 . 5. 若 ,则 的值为 A. B. 2 C. D. -2 【答案】 【解析】【解析】因为 . 6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上满足 ,且 ,则 的离心率为 A. B. C. D. 【答案】 【解析】【解析】设 ,则 . 由椭圆定义得 ,解得 . 在 中,由余弦定理得 ,即 ,整理得 ,离心率 . 7. 已知下图是一个边长为 3 的九宫格 (由 9 个边长为 1 的小正方形构成)，九宫格中有 16 个节点 (如图加黑的 16 个点),从这 16 个点中任选互不相同的三个点 ,则 的最大值为 A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 【答案】 【解析】【解析】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 , 若 点在原点，任取两点作为向量坐标，发现 或 取得最大值，故 的最大值为 15. 经检验可知，当 ， 取其他坐标时， 的值均不会超过 15. 8. 如图，抛物线 的方程为 ，焦点是 ，圆心在 轴上的圆 与抛物线 在第四象限有且只有一个公共点 ，且它们在点 处的切线是同一条直线. 若点 的横坐标为 ,则实数 的值为 A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 【解析】【解析】如图,作出抛物线 和圆 在点 处的公共切线 ,同时过 作射线 轴,则有 ,由抛物线的光学性质, ， ， ， ，且 ，又 ，代入得: ，解得: . 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 下列说法正确的是 A. 若成对样本数据 都落在一条直线上,则变量 和变量 的样本相关系数 满足 B. 若 ,则事件 相互独立与 互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性,如果把 的列联表中所有的数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据 的平均数和方差分别为 和 ,数据 的平均数和方差分别为 和 ，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为 和 ，若 ,则必有 【答案】 【解析】【解析】 正确， 正确， 对于 ,因为 ,当 扩大到原来的 10 倍,则 的值也扩大 10 倍，则得到的结论会受到影响. 错误. 对于 ,对于题中的分层抽样, . 又 正确. 10. 已知 是概率均不为 0 随机事件，下列说法正确的是 A. 若 ,则事件 与 为对立事件 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 【答案】 【解析】【解析】对于 互斥，不能 对立， 错； 对 得: 或 ,故 错; 对 ,若 则 对 ,而 ,所以 11. 若函数 图象上存在不同的两点 和 ,使得 的图象在点 处的切线交于直线 ( 为常数) 上同一点,则称 为函数 的一对 “关于直线 的共轴切点”. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. 存在实数 ,使得 不存在关于 轴的共轴切点 B. 若 存在关于直线 的共轴切点,则两切点的横坐标之积为定值 C. 若 ,则存在实数 ,使得 存在关于直线 的共轴切点,且对应的两切线斜率之和大于 0 D. 若 ,则对于任意 都存在关于直线 的共轴切点 【答案】 【解析】【解析】由题意可知 ,设 处的切线交于直线 上同一点,则在 处的切线方程分别为 和 . 令 ,得 . 当 时,* 式可化为 . 令 ,则 . 当 时, ,故 在 上单调递减,故不存在不同的 使得 ,因此当 时, 不存在关于 轴的共轴切点,故 正确; 当 时,令 ,则 * 式可化为 . 取 得 ,此时存在多对 满足,但 不为定值,故横坐标之积不是定值，故 错误；当 时，取 ， ，则 ， 代入 (*) 解得 ，此 使 成为 关于直线 的共轴切点,此时斜率之和 ,故 正确；当 时, ,记 ,则 ,故 在 处取最大值 ，故存在 ，使得方程 存在两个不同的解，即 存在关于直线 的共轴切点，故 正确. 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分 12. 设 ，则 _____. 【答案】60 【解析】【解析】二项式 通项公式为 . 令 ,则 ,所以 . 13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____. 【答案】 14 【解析】(1) 教材题源:人教 版选择性必修二第 56 页第 11 题； (2)高考题源:2025 年新高考全国Ⅱ卷第 7 题； (3)课标要求:探索并掌握等差数列的前 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系. 【解析】由于 为等差数列,设 ,则 三项成等差数列, 于是 ,则 . 14. 设正整数 ,其中 . 记 . 从集合 中随机抽取一个数 ,则 的概率为_____. 【答案】 【解析】【解析】 的二进制表示最多有 11 位,也就是从 到 为 的二进制表示中 1 的个数， 的二进制表示中 1 的个数不超过 3 . 当 时,取得最大值为 满足条件的 均不超过 的个数为 的个数为 的个数为 . 满足条件的 的个数为 . 15. 设 为数列 的前 项和,已知 与 的等比中项为 3,且 为等差数列. (1)求数列 的通项公式 ； (2)若数列 满足 ，求 的前 项和 . 【解析】【解析】(注 易解】设函数 的公差为 ,因为 , 所以 ,即 ,所以 ,即 ,4 分 当 时， ， 当 时， ，满足上式，所以 . 6 分 (2)由(1)知 ，则 所以数列 的前 项和为 . 13 分 16. 如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 是菱形，平面 平面 是 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)若 ，求点 到平面 的距离. 【解析】【解析】(1)证明: 为等边三角形, 为 中点, 又 平面 平面 , ,平面 平面 ,平面 平面 , 平面 平面 . (2) 平面 且 ,分别以 为 建立如图所示空间直角坐标系 . 设平面 的法向量 ,不妨设 ,则 . 到平面 距离 . 17. 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记 . (1) 若 成等差数列，求 的最小值； (2)若 成等比数列，求 的取值范围. 【解析】【解析】( 1 ) 因为 成等差数列，所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ， 所以 ， , 当 取得最大值时， 取得最小值，因为 ，所以 ， 所以当 时， 取得最小值 1 . (2) 因为 成等比数列，所以 ，由 (1) 知 ， 因为 ，所以 ，将 代入 ，化简得 ，两边同除以 ，得 ，即 ， 所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，即 ，得 ， 所以 的取值范围为 . 18. 设双曲线 的离心率为 2,其左、右焦点分别是 ,过 的直线 与双曲线 的右支交于点 . 当 与 轴垂直时， . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最小值； (3)记 的内切圆 与双曲线 的一个公共点为 ，双曲线 的左顶点为 ，证明: . 【解析】( 1 )不妨设点 在第一象限，点 在第四象限，离心率 ① 在 中，当 时， ，故 ，即 ② ，又因 ③，联立①②③，解得 ，故双曲线 的标准方程为 . (2)由(1)得 ，当直线 的斜率为0时，直线 与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件； 当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为 ，由 ，化简得 ，设 ,则 ,解得 , 则 , 因 ,则 ,故 ,即 .故 的最小值为 9 . (3)如图，设 与边 切于点 ，由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ，即点 与点 重合，即 与边 切于点 . 设 与边 切于点 ，则 ， 在 中， . 设点 ，点 ，则 ，解得 ， 即点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，交直线 于点 ， 其中， , 设点 关于直线 的对称点为点 ，所以 . 因为点 与点 ，点 与点 分别关于直线 对称，所以 且 ，所以点 均在 上，且 ，所以 . 19. 甲社区有 个女生和 个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 个女生 , 和 个男生 ,其中女生 认识男生 ,但不认识其他男生. 现从甲社区和乙社区分别选出 队选手参加社区比赛，每队选手均为 2 人. (1) 若 ， ，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 队的不同的选法种数为 和 . (i) 求 ,并证明: 当 时, 递推公式，并说明理由； (ii) 若乙社区将选出的 个男生和 个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率. 【解析】【解析】(1)设事件 表示 “甲社区的参赛选手都是女生”，事件 表示 “乙社区的参赛选手都是女生”， 事件 表示 “甲社区的参赛选手都是男生”，事件 表示 “乙社区的参赛选手都是男生”, 则 , 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即 因为 ，所以 ，即事件 与 互斥， 又事件 与 互相独立，事件 与 互相独立， 所以所求事件的概率 (2)(i)因为甲社区中男生和女生都认识，因此 ， 当 时， ， 所以 , 因为 , 两边 同乘以 ,得 . (ii) 先考虑 的递推关系式. 当 时，考虑乙社区中的女生 ，有以下两种情况: ①当女生 被选中时，其余 队共有 种不同的选法， 可在余下 个男生中任选一人，有 种选法， 因此由乘法计数原理可知，共有 种选法； ②当女生 没被选中时，此时从 中选出 个女生，从 中选出 个男生组队，共有 种选法； 所以当 时， ， 当 时，由前述分析可得 ， 由 (i) 可知 满足相同的递推公式 , 因为 , 所以 和 有相同的递推关系和初始值，所以对任意 和 ，均有 .所以 ，设乙社区中各选 个男生和 个女生，男、女组成 个队，共有 种情况，且 因此，满足组队要求的概率 学科网（北京）股份有限公司 $高三年级 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求。 1.样本数据4,6,10,16的平均数为 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【解析】(1)教材题源：人教A版必修二181页第1题； (2)高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第1题； (3)课标要求：结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位、数、众 数)，理解集中趋势参数的统计含义 2复数器 的共轭复数是 A+ R- c-号+ D-是- 【答案】B 【解析1【解析】2. 2i(2-i) =学-2告=号+号…共扼复数为 2+i=(2+i)(2-)=4-2 5 昌 3.已知抛物线y2=4x上的一点M的横坐标为1，则点M到焦点的距离为 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】(1)教材题源：人教A版必修二第157页第1题； (2)高考题源2025年北京卷第11题； (3)课标要求：了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何 性质， 4.函数fo)=sin(om-)a>0)的最小正周期为元，其图象的对称中心可以为 A(磨0 R.(受 c.(譬0 D.(.0) 【答案】A 【解析】(1)教材题源：人教A版必修一第214页第16题； (2)高考题源：2025年新高考全国1卷第4题； (3)课标要求：结合具体实例，了解y=Asin(ωx+p)(A≠0，w≠0)的实际意义；能借助 图象理解参数ω，P,A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 【解析】由于2红=元，则w=2f()=sin(2z-平)月 5.若tan(a+A)=l,tanf=号，则tana的值为 B.2 c D.-2 【答案】C 【解析】【解析】因为tana=tan(ce+B-B)= tan(a+B)-tanB 1-3 =1 l+tan(a+B)tanβ 1+1×号 6已知椭圆C名十Q>b>0)的左、石焦点分别为，乃，点P在C上满起 b2 PF=2P,且∠FPE=60°，则C的离心率为 A号 B.V3 C.v6 D.② 3 3 2 【答案】B 【解析】【解析】设P=m,则PFl=2m·由椭圆定义得Pl+P=3m=2a ,解得m=号.在△PR中，由余弦定理得REP=PRF十PF- 2PP时cos60,即(2c=(号+（学-2号·号os6n,整理得c=0号 ,离心率e=c=3 7.已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个 节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点A,B,C,则AB·AC 的最大值为 A.12 B.13 C.15 D.18 【答案】C 【解析】【解析】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)， (2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3) 若A点在原点，任取两点作为向量坐标，发现(2,3)·(3,3)=15或(3,2)(3,3)=15取得 最大值，故ABAC的最大值为15. 经检验可知，当AB,AC取其他坐标时，ABAC的值均不会超过15. 8.如图，抛物线C的方程为y2=2px(p>0),焦点是F,圆心在x轴上的圆E与抛物 线C在第四象限有且只有一个公共点M,且它们在点M处的切线是同一条直线. 若点M的横坐标为3，∠FME=灭，则实数p的值为 6 A.18 B.12 C.9 D.6 【答案】A 【解析】【解析】如图，作出抛物线C和圆E在点M处的公共切线1，同时过M作 射线MN∥ox轴，则有EM⊥l,由抛物线的光学性质，∠FME=∠EMN= ∠FEM=x ,FE=RM=w+号=3+号Fr(号0以BB+0),且kw= 6 tan/EMN=-9=02,又坑=2p×3=p,代入得：专=6仰，解得：刀 3(3+p)-3 =18. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若成对样本数据(c,y)(i=1,2,…,n)都落在一条直线上，则变量x和变量y的样 本相关系数r满足r=1 B.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立 C.用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数 据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据，2，…，xm的平均数和方差分别为元和s2,数据，2，…，n的平均数和 方差分别为y和s号，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为z和s,若之 =(+列，则必有≥号(+ 【答案】ABD 【解析】【解析】A正确，B正确， n(ad-bc)2 对于C,因为K2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,当a,b,c,d扩大到原来的10倍，则 K的值也扩大10倍，则得到的结论会受到影响.C错误， 对于D.对于题中的分层抽样，=心什n+m=号任+列m=a 又好=n开n[+(匠-]+nm十n[+(-]=(++(匠-列+何-0≥ 子(+).D正确 10.已知A,B,C是概率均不为0随机事件，下列说法正确的是 A.若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B为对立事件 B.若P(AIB)=P(BIA),则P(A)=P(B) C.若P(A)=P(B),则P(AB=P(AB) D若PA)=日PB1可=是，则PA+D)=号 【答案】CD 【解析】【解析】对于A,P(AB)=0→A,B互斥，不能→A,B对立，A错： 对B得：PA=→PAB)=0或P(A)=P(B),故B错 P(B) 对C,P(A)=P(AB)+P(AB),P(B)=P(AB)+P(AB),若P(A)=P(B)则 P(AB)=P(AB); 对D,P(A=吾，而P(AB)=P(AP(BA=号，所以P(A+B)=。P()+ PD)-PAB)-PA+PAB)-号 11.若函数f(x)图象上存在不同的两点A和B,使得f(x)的图象在点A,B处的切线 交于直线x=m(m为常数)上同一点，则称A,B为函数f(x)的一对“关于直线 x=m的共轴切点”.已知函数f(x)=e-kx(k∈R),则下列说法正确的是 A.存在实数k,使得f(x)不存在关于y轴的共轴切点 B. 若f(x)存在关于直线x=1的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C.若k<0,则存在实数m,使得f(x)存在关于直线x=m的共轴切点，且对应的 两切线斜率之和大于0 D.若k<0,则对于任意m,f(x)都存在关于直线x=m的共轴切点 【答案】ACD 【解析】【解析】由题意可知f'(x)=e-2kx,设A(a,f(a),B(b,f(b)处的切线交于 直线x=m上同一点，则在A,B处的切线方程分别为y=(ea-2ka)x+(1-a)e“+ ka2和y=(eb-2kb)x+(1-b)eb+b2.令x=m,得e(m+1-a) e(m+。1-b)=-k(a-b)(a+b-2m)(*).当m=0时，*式可化为e(1-a)+a2 =e1-b)+M.令T(=e(1-)+x2,则T()=z(2k-e.当k=号时 T'(x)=x(1-e)≤0，故T(x)在R上单调递减，故不存在不同的a,b使得T(a)= T(b),因此当k=号时，f()不存在关于y轴的共轴切点，故A正确：当m=1 时，令=a-1y=b-1.则*式可化为er1-到-e1-)=-名e-(c+） 取k=0得e(1-x)=e"(1-y),此时存在多对(x,y)）满足，但xy不为定值，故横 坐标之积不是定值，故B错误；当k<0时，取a=1,b=-1,则a+b=0, 代入（解得m=。2e>0,此m使A,B成为f)关于直线x=m的 e-e-1-4k 共轴切点，此时斜率之和e+e1-2k(1-1)=e+e1>0,故C正确；当k<0时， f"(x)=e-2k>0,记g(x)=f(x)+f'(c)(m-x),则g(x)=f"(x)(m-x),故 g(x)在x=m处取最大值f(m)，故存在%<f(m),使得方程g(x)=存在两个 不同的解，即f(x)存在关于直线x=m的共轴切点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设(x-2)°=a0十a1x+a2x2+…十a6x,则a4= 【答案】60 【解析】【解析】二项式(x-2)°通项公式为T,+1=Cx-r(-2)y.令6-r=4,则r=2,所 以a4=C%(-2)}=15×4=60 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sm,且3S=8S,S4=26,则a5=: 【答案】14 【解析】(1)教材题源：人教A版选择性必修二第56页第11题； (2)高考题源：2025年新高考全国Ⅱ卷第7题； (3)课标要求：探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系 【解折】由于{条}为等差数列，设令=工，则x号：三项成等差数列 于是13=x,则 2=8,S6=40,a5=S5-S4=14, 14.设正整数n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2-1+ak·2,其中a,∈{0,1}，i=0,1,2,…,k。 记w(n)=a+a1+…+ak·从集合{x∈N1x≤2000}中随机抽取一个数n,则 ω(n)≤3的概率为 【答案】0 【解析】【解析】n≤2000<2048=21→m的二进制表示最多有11位，也就是从2 到210·ω(n)为n的二进制表示中1的个数，w(n)≤3→n的二进制表示中1的个 数不超过3. 当w(n)=3时，取得最大值为nmax=20+29+28=1792.1792≤2000→满足条件的n 均不超过2000.w(n)=1→n的个数为C州=11.w(n)=2→n的个数为C%=55.w(n) =3→n的个数为C=165. 满足条件的n的个数力1+5+165=231P=别 15.设Sm为数列{an}的前n项和，已知a1=1,S1与(S4-1)的等比中项为3，且 {品}为等差数列 (1)求数列{an}的通项公式a,； g(+),n为奇数 (2)若数列}满足6.=2为偶数 ,求{b}的前2n项和2m· 【解析【解析】()易得8=10，设等差数列{亮》 的公差为d,因为a1=S1=1, 所以9-9=3d,即9-1=3dd= 所以受=1+号m-),即8=n0+D,4分 2 当n≥2时a=S.-3。-1=nm+) n(m-1) 2 2 当n=1时，a1=1,满足上式，所以am=n·6分 (2)由(1)知bm= 1g(),为奇数 2",n°为偶数c ,则In=(b+b+b+…+bm-)+ 6+a+k++ba)=0g号+le号+l8管++1g2克2)+(g+2+2+…+2）= gm+i)+4=49=1gn+D+专（-0 1-4 所以数列b.}的前2n项和为=lg(m+1)+号4-1)：13分 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，平面 PAD⊥平面ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点. (1)证明：OB⊥平面PAD; (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离 锤了数学 D 0 【解析】【解析】(1)证明：：△PAD为等边三角形，O为AD中点，∴.PO⊥AD 又：AD⊥PB,PO∩PB=P,PD,PBC平面POB,∴.AD⊥平面POB ∴.AD⊥BO,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD BOC平面ABCD,·.BO⊥平面PAD. (2)BO⊥平面PAD且PO⊥OA 分别以OA,OB,OP为x,y,z建立如图所示空间直角坐标系O-xyz 锤予数学 AB=4,∴.OA=2,OB=2√5，OP=2W5, ∴.P(0,0,23),B(0,23,0),BC=2AO=2(-2,0,0)=(-4,0,0) 设平面PBC的法向量元=(x,,z), 元BF=0.∫-2w5y+2W3z=0 元BC=0'{-4=0 不妨设y=1,则之=1，x=0,(0,1,1). O到平面PBC距离d= o2=28=√6 √2 17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A≤B,记m=sinA+cosAtanB sinC+cosCtanB (1)若A,B,C成等差数列，求m的最小值； (2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围 【解析】【解析】(L)m=sinA+cosAtanB sinA+cosA.sinB cosB sinC+cosCtanB sinC+cosC.sinB cosB sinAcosB+cosAsinB 2_sin(A+B）-sinC sinCcosB+cosCsinB sin(B+C)sinA 因为A,B,C成等差数列，所以2B=A+C, 又A+B+C=,所以B=行，又A≤B,所以0<A≤， 所以sinC=sin(r-A-B)=sin(A+B)=sin(A+F), .msinc sin()sinA cos 1 sinA sinA sinA 2 tanA' 当tanA取得最大值时，m取得最小值， 因为0<A≤号，所以0<tanA≤5， 所以当A=时，m取得最小值1· 3 (2)因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac, 由()知m=sinC sinA sinA=sinB=sinc,所以m=mC=e>0, 因为a sinA a 将b=√ac代入a-c<b<a+c,化简得(a-c)2<ac<(a+c), 两边同除以a,得名-2+分<1<8+2+台，即-2+m<1<品+2+m, a m m 所以10”解得3<m<斗， 2 2 因为A≤B,所以a≤b,即a≤Vac,得g≥l, 所以m的取值范围为[1,3+) 18.设双曲线C,父- =1(α，b>0)的离心率为2，其左、右焦点分别是，F,过的直 线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与x轴垂直时，MN=6. (1)求双曲线C的标准方程； (2)求ME·NE的最小值； (3)记△MN的内切圆⊙P与双曲线C的一个公共点为Q,双曲线C的左顶点为A,证 明：∠APQ=2∠FPQ. 【解析]【解析】（①）不妨设点M在第一象限，点N在第四象限，离心率e=:=2① 在。-1中，当=6时，y=±名，故wN-=6,即-3@， a 0 又因c2=a2+®，联立①②③，解得{=1 b=√5' 故双曲线C的标准方程为x一￠=1， 3 (2)由(1)得(2,0)，当直线MN的斜率为0时，直线MN与双曲线的两个交点分别在 左支和右支，不符合条件： 当直线MN的斜率不为0时，设直线MN的方程为x=ty+2, x=ty+2 由 2-普=1'化简得32-12+12g+9=0 3 3t2-1≠0 设M(,h),N(2,22),则△=36t+36>0,解得0≤P<号 9 3=3t1<0 则M:N=V+lV1+=-(1+w=-91+9 =-3+,12 3t2-1 1-3t2 因0≤#<3，则0<1-3≤1，故2≥12，即-3+，2。≥9. 1-3t2 1-3t2 故ME·NE的最小值为9. (3)如图，设⊙P与边MN切于点E, 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得，2ME=|M+MN-N =MF+ME+NE-NF=(2+ME+ME-(NF-NE =2+M+M-2=2M,即点与点E重合，即⊙P与边MN切于点. 设⊙P与边FM切于点G,则IGFl=IME-|MG=IMF-|ME=2, 在Rt△PGF中，P=PG+|G=PE2+|1GE2=|PE2+4. 设点P,w,点Q(,则(+2+6=(-2P+6+4,解得=， 即点P在直线x=号上，过点Q()作直线x=的垂线，交直线x=?于点T, 其中， Q=√(-2)+5=√国-2+3（喝-1_2-引 =2 OT -引 -引 -引 设点Q关于直线x=,的对称点为点D,所以Ql=2lQT=1QD, 因为点Q与点D,点A与点分别关于直线心=号对称， 所以IDA=|QF=|QDL,IPA=|P且IPQ=IPD, 所以点A,D,Q均在⊙P上，且∠APD=∠DPQ=∠QPF, 所以∠APQ=2∠FPQ. 19.甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生g1,92, …,9m和2n-1个男生b1,b2,…,b2m-1其中女生g:(i=1,2,…,n)认识男生 b(j=1,2,…,2i-1),但不认识其他男生，现从甲社区和乙社区分别选出 m(m.=1,2,…,n)队选手参加社区比赛，每队选手均为2人. (1)若n=3,m=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率， (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 m队的不同的选法种数为A(m)和B.(m). (i)求An(m),并证明：当2≤m≤n-1时，An(m)=An-1(m)+(2m-m)An-1(m-1) 递推公式，并说明理由； (ⅱ)若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛 要求的概率。 【解析】【解析】(1)设事件A表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件B,表示“乙 社区的参赛选手都是女生”， 事件A,表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件B,表示“乙社区的参赛选手都是男 生” 则PA=PA0-g-有，PB-8=会.P-号=品， C 所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生，即AB,U A2B2, 因为A1∩A2=0,所以AB1∩A2B2=0,即事件AB1与AB2互斥， 又事件A1与B,互相独立，事件A2与B2互相独立， 所以听求事件的率P-P(AUAB-PAP)+PP)-专×+号 ×品品 (n)2 (2)(i)因为甲社区中男生和女生都认识，因此A(m)=(C”)2·Am= [(n-m]2m! 当2≤m≤n-1时，A-1(m)=(Cm}A0=, [(m-1)] [(n-m-1)P-ml'A.-(m-1)= [(m-1)]2 (C=}·Am-mjr-(m-10 所以A,(m)= n2 [(n-1)]2 (n-m)'m[(n-m-1)].(m-1)！ [(m-1)]2 [(n-1)]2 A.m）=[m=m-Pml-m`[m-m-1)f-(m-)！ An-1(m-1)= [(m-1)]2 [(m-1)]2 [(n-m)].(m-1)！(n-m)2[(n-m-1)].(m-1)川 因为1+(2m-m)· 1 (n-m'+(2m-m)m_n2-2mm+m2+2mn-m2 m (n-m} (n-mm (n-m)m n2 (n-m)}2m 两边同乘以 [(n-1)] 得A.(m)=An-1(m)+(2m-m)An-(m-1) [(n-m-1)].(m-1) (就)先考虑B.(m)的递推关系式 当2≤m≤n-1时，考虑乙社区中的女生g,有以下两种情况： ①当女生gn被选中时，其余m-1队共有Bn-1(m-1)种不同的选法， gm可在余下(2m-1)-(m-1)=2n-m个男生中任选一人，有2n-m种选法 因此由乘法计数原理可知，共有(2m-m)Bn-1(m-1)种选法； ②当女生gn没被选中时，此时从g1,92…,9m-1中选出m个女生，从b1,b2,…,b2n-3中选 出m个男生组队，共有Bn-1(m)种选法； 所以当2≤m≤n-1时，Bn(m)=Bn-1(m)+(2m-m)Bn-(m-1), 当m=n时，由前述分析可得Bn(n)=nBn-1(n-1), 由d)可知A.(m)满足相同的递推公式A.m=A-m)+(2m-m)A-m-1)” A.(n)=mAn-1(m-1) 因为A.(①）=2，B.(0=1+3++(2n-1D=n1+2n-)=m=A.①，A,(2=2 2 =B2(2), 所以A(m)和B,.(m)有相同的递推关系和初始值， 所以对任意n∈N和m=1,2,…,n,均有An(m)=B.(m). 所以A(m)=(Cπ)2·Am, 设乙社区中各选m个男生和m个女生，男、女组成m个队，共有2(m)种情况，且 2(m)=Cπ.C如-1'Am, 因此，满足组队要求的概率P= B.(m）=A.(m）=(CY·A"=Cm 2(m) 2(m) C7·C20-1‘AmC0-1 n!(2m-1-m)！ (n-m)(2m-1)！高三年级 工0地双2刻 数学阶段性作业 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求。 1.样本数据4,6,10,16的平均数为 克) A.6 B.7 C.8 D.9 Vw宋C 2复数 的共轭复数是 .95=9 . + B号- c-+ 3.已知抛物线y=4c上的一点M的横坐标为1，则点M到焦点的距离为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数fo)=sin(ox-平)(@>0)的最小正周期为元，其图象的对称中心可以为 A(,0) B(50) c.(35,0) D.(,0) 5.若tan(a+)=1,tan8=号 ,则tana的值为 巨坐限个m味史文个官函士峰甲 A.-2 B.2分中到 C. 2 4,d中程D,一2味 出 甲从侧 &已知椭因c号+ =1(a>b>0)的左、右焦点分别为乃，B,点P在C上满足 P=2P,且∠PE=60°，则C的离心率为 1 A. B.③ @米各( 一同不阳的 7.已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个 节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点A,B,C,则A·AC 的最大值为 华动帕浓要奥 A.12 B.13 C.15 D.18 8.如图，抛物线C的方程为？=2pz(>0),焦点是F,圆心在x轴上的圆E与抛物 线C在第四象限有且只有一个公共点M,且它们在点M处的切线是同一条直线， 若点M的横坐标为3，∠D=否，则实数P的值为 】暖送写 卡《·0+四0=n82五Q 呗，n个一好面8中0 代率P8(w 是函 之共巡儿关本含调四 且8武中窖的1-飞)居 随购《}反贤代之处C { 左公的{}末( A.18 B.12 C.9 D.6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.若成对样本数据(c,y)(1=1,2,…,n)都落在一条直线上，则变量x和变量y的样 本相关系数r满足r=1 面B.若P(A)>0,P(B)>0,则事件A,B相互独立与A,B互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数 据都大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D.数据，2，…，cm的平均数和方差分别为五和s2,数据1,2，…，n的平均数和 方差分别为和号，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为元和$，若无 =号(+列，则必有号≥(+) 10.已知A,B,C是概率均不为0随机事件，下列说法正确的是 A.若P(AUB)=P(A)+P(B),则事件A与B为对立事件 B.若P(AIB)=P(BIA),则P(A)=P(B) C.若P(A)=P(B),则P(AB=P(AB) D.若PA)=合，P(B1列=号，则P(A+B)=号 11,若函数f()图象上存在不同的两点A和B,使得f(如)的图象在点A,B处的切线 交于直线x=m（m为常数)上同一点，则称A,B为函数f(x)的一对“关于直线 D=m的共轴切点”.已知函数f()=e-km(k∈R),则下列说法正确的是 A存在实数k,使得f(x)不存在关于y轴的共轴切点 51 B,若f(知)存在关于直线①=1的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 子( C. 若k<0,则存在实数m,使得f(m)存在关于直线c=m的共轴切点且对应的 两切线斜率之和大于0 D.若k<0,则对于任意m,()都存在关于直线c=m的共轴切点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共5分=式雪的9司 12设e-2=a+o0+x十+m,则0，=生公个。李只且引四年西图 18已知等差数列a,}的前n项和为&，且35，=88.9，=26，则4，克 14.设正整数%=a2+a12++a412*1+4·2*,其中a,∈{0,1}，i=0,1,2,…,k 记0(m)=ao+a:++a:·从集合{r∈N1z≤2000}中随机抽取-个数n,则 ω(n)≤3的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.设Sn为数列{o}的前n项和，已知a,=1,S:与(54-1)的等比中项为3，且 {受}为等差数列 (1)求数列{an}的通项公式a; 故，求时的前和及 8I.A 元(Q)若数列6)满起，= 2,n为偶数 食0同啦限极管代心陪卧加惊形代谢，食。骨节数企。兔爱目圆合深 是的动五点及不.Q 装对设变序一属发现1录-(，…￡【=)8，)文本补以阳密 家造装关沐水 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，底面ABCD是菱形，平面 PAD⊥平面ABCD,AD⊥PB,O是AD的中点. (1)证明：OB⊥平面PAD; 来大 (2)若AB=4,求点O到平面PBC的距离.t平0，·d,心 ，序五 奇网旦.承四式春文 儸了数学 0 c￥原S0RGn @,(A8)门=但A)9等 8)5=(人)项，3)1-(A)客 Sa+n国，8=瓜81。=1香 .0 设宝阳（汽境，日味人房两增不者g图儿必营 17.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为ab,c,且A≤B,记m=sinA+cosAtanB sinC++cosCtanB (1)若A,B,C成等差数列，求m的最小值； (2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围. 续馆1的商千关（八合 18.设双曲线C:-=1a.b>0的离心率为2，其左、右焦点分别是乃，B,过乃的直 a2 b2 线l与双曲线C的右支交于点M,N.当MN与轴垂直时，MN=6. (1)求双曲线C的标准方程； 平01010.b (2)求M·NF的最小值； (3)记△MN的内切圆⊙P与双曲线C的一个公共点为Q,双曲线C的左顶点为A, 证明：∠APQ=2LFPQ. 大离配品至M点切I心地货馆M点一的a一候百 10 sa 式人四心中饭定窗其，和大后五哪0<（是一=（八通 0,.d 19.甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有m个女生91,92， …,9n和2n-1个男生b1,b2,…,b2m1,其中女生g:(1=1,2,,n)认识男生 b(=1,2,…,2-1),但不认识其他男生.现从甲社区和乙社区分别选出 m(m=1,2,…,n)队选手参加社区比赛，每队选手均为2人. (1)若n=3,m=1,求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出 的m队的不同的选法种数为A,(m)和B,(m): （i)求A(m),并证明：当2≤m≤n-1时，An(m)=An-1(m)+(2m-m)A-(m-1) 递推公式，并说明理由； (i)若乙社区将选出的m个男生和m个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参 赛要求的概率， 崇仁县第一中学2025-2026学年春季学期高三年级阶段性数学作业 一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求。 1. 样本数据4,6,10,16的平均数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 复数 的共轭复数是 A. B. C. D. 3. 已知抛物线 上的一点 的横坐标为 1，则点 到焦点的距离为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数 的最小正周期为 ,其图象的对称中心可以为 A. B. C. D. 5. 若 ,则 的值为 A. B. 2 C. D. -2 6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上满足 ，且 ，则 的离心率为 A. B. C. D. 7. 已知下图是一个边长为3的九宫格 (由9 个边长为1的小正方形构成)，九宫格中有16个节点 (如图加黑的 16 个点)，从这 16 个点中任选互不相同的三个点 ，则 的最大值为 A. 12 B. 13 C. 15 D. 18 8. 如图，抛物线 的方程为 ，焦点是 ，圆心在 轴上的圆 与抛物线 在第四象限有且只有一个公共点 ，且它们在点 处的切线是同一条直线。 若点 的横坐标为 ，则实数 的值为 A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。 9. 下列说法正确的是 A. 若成对样本数据 都落在一条直线上,则变量 和变量 的样本相关系数 满足 B. 若 ，则事件 相互独立与 互斥不能同时成立 C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把 的列联表中所有的数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D. 数据 的平均数和方差分别为 和 ，数据 的平均数和方差分别为 和 ，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为 和 ，若 ,则必有 10. 已知 是概率均不为 0 随机事件，下列说法正确的是 A. 若 ,则事件 与 为对立事件 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 11. 若函数 图象上存在不同的两点 和 ,使得 的图象在点 处的切线交于直线 ( 为常数) 上同一点，则称 ， 为函数 的一对“关于直线 的共轴切点”. 已知函数 ，则下列说法正确的是 A. 存在实数 ，使得 不存在关于 轴的共轴切点 B. 若 存在关于直线 的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C. 若 ，则存在实数 ，使得 存在关于直线 的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于 0 D. 若 ，则对于任意 都存在关于直线 的共轴切点 三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共 15 分 12. 设 ，则 _____. 13. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 _____. 14. 设正整数 ，其中 . 记 . 从集合 中随机抽取一个数 ，则 的概率为_____. 四、解答题:本题共5 小题，共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设 为数列 的前 项和,已知 与 的等比中项为 3,且 为等差数列. (1)求数列 的通项公式 ； (2)若数列 满足 ，求 的前 项和 . 16. 如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 是菱形，平面 平面 是 的中点. (1)证明: 平面 ； (2)若 ，求点 到平面 的距离. 17. 设 的内角 所对的边分别为 ，且 ，记 . (1)若 成等差数列，求 的最小值； (2)若 成等比数列，求 的取值范围. 18. 设双曲线 的离心率为 2，其左、右焦点分别是 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于点 . 当 与 轴垂直时， . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最小值； (3)记 的内切圆 与双曲线 的一个公共点为 ，双曲线 的左顶点为 ， 证明: . 19. 甲社区有 个女生和 个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有 个女生 , 和 个男生 ,其中女生 认识男生 ,但不认识其他男生. 现从甲社区和乙社区分别选出 队选手参加社区比赛，每队选手均为 2 人. (1)若 ， ，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率； (2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 队的不同的选法种数为 和 . (i) 求 ,并证明: 当 时, 递推公式，并说明理由; (ii) 若乙社区将选出的 个男生和 个女生按男、女搭配随机组队，求组队结果满足参赛要求的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $