精品解析：河南周口市第三高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷

2025-2026学年度高一数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分共8题） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 6 3. 在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，为异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（   ） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 6. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 7. 如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱，构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 与点C的位置有关 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 的模为 C. 的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应点在第一象限 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 已知球面上三点满足，且球心到平面的距离为6，则球的表面积为.___________. 13. 一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 16. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 17. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 18. 如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且． （1）证明：E，F，G，H四点共面． （2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点． 19. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分共8题） 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，故在复平面内对应的点为， 该点在第一象限. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】因，则， 又因，则，解得. 3. 在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，为异面直线 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，判断各选项正误. 【详解】 如图所示，当相交，直线垂直于相交的平面时，满足，，但是此时不满足，所以A错误. 如图所示，当两个平面平行时，被第三个面所截，得两条交线，此时，，不满足，为异面直线，所以B错误. 如图所示，此时满足，，，但是不满足，所以C错误. 根据面面平行的定义可知，平面没有交点，当时，与平面没有交点，此时，所以D正确. 故选：D. 4. 一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 5. 下列说法中，正确的是（   ） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B. 棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D. 有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 6. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 7. 如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用棱锥的体积公式计算即可． 【详解】三棱锥的体积为： 故选：C 【点睛】本题考查柱锥台体的体积公式，考查学生计算能力，属于基础题． 8. 如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱，构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 与点C的位置有关 【答案】A 【解析】 【分析】设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为，由圆锥的性质可知平面，再根据题意可知，，最后在中，利用勾股定理，即可求出结果. 【详解】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为，连接，则平面，且在线段上. 因为直径与侧棱，构成边长为的正三角形，易知，. 设球的半径为R，在中，由勾股定理得，解得. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查圆锥的概念、球面面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力. 二、多选题（共3题，每题6分） 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 10. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. 的模为 C. 的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应点在第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数除法求出，再逐项判断可得答案. 【详解】由， 对于A，的虚部应为1，故A错误； 对于B，的模为，故B正确； 对于C，的共轭复数应为，故C正确； 对于D，在复平面内对应点为，显然在第一象限，故D正确. 故选：BCD. 11. 中，，，则（ ） A. B. 的角平分线交AB于D，则 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3题，每题5分） 12. 已知球面上三点满足，且球心到平面的距离为6，则球的表面积为.___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知三角形为直角三角形，球心到平面的距离即为球心到中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表面积 【详解】由题意，，可知 因为球心到平面的距离为6， 所以球心到中点的距离为6， 所以球的半径为： 球的表面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查了球的内接体问题，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题 13. 一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，利用圆锥的侧面积公式及弧度数的定义，得，可求出，再利用圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题知，解得，所以， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. 16. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【小问1详解】 由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 17. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. 【小问2详解】 由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 18. 如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且． （1）证明：E，F，G，H四点共面． （2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用三角形中对应边成比例，证得，，进而得到，即可得出结果． （2）由，可知EG，FH必相交于一点，设为点O,平面平面，通过证明，即可． 【详解】证明：（1）在中，因为E，F分别是PA，AB的中点， 所以． 在中，因为， 所以，从而． 所以，即E，F，G，H四点共面． （2）由（1）知，，， 所以EG，FH必相交于一点，设为点O． 因为平面PAC，所以平面PAC． 同理平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点． 因为平面平面， 所以，即三直线EG，FH，AC交于一点． 19. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $