专题01 三角函数与解三角形(基础+中档) 解答题专项训练-2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 覆盖三角函数与解三角形6大核心题型，以典型例题构建从概念应用到综合拓展的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数相关问题|6题|含图像变换、性质应用及解三角形综合|三角恒等变换→图像性质→与解三角形结合，体现数学眼光| |求边长、角度问题|6题|涉及中线、角平分线等几何元素|正弦定理/余弦定理→边角互化，培养推理意识| |求面积、周长问题|6题|结合锐角三角形、圆内接三角形等背景|面积公式/周长公式→条件约束下的计算，发展模型观念| |几何图形问题|6题|含四边形、正方形等复杂图形|三角形知识向多边形拓展，强化空间观念| |取值范围与最值问题|8题|涉及函数思想与不等式应用|边角关系→函数建模→范围求解，提升数学思维| |证明类问题|4题|含三角形形状判断、恒等式证明|定理应用→逻辑推理，培养理性精神|

专题01 三角函数与解三角形(基础+中档) 题型1：三角函数相关的问题 题型2：求边长、角度问题 题型3：求面积、周长问题 题型4：几何图形的问题 题型5：求取值范围与最值问题 题型6：证明类问题 题型1：三角函数相关的问题 1．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 【答案】(1)最小正周期为，增区间为 (2) 【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间； （2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长． 【详解】（1）由 ， 则的最小正周期， 令时，解得， 故函数的增区间为； （2）因为，则， 由于，则，所以，解得， 又，则， 又由于，得， ，解得． 2．（2026·陕西榆林·三模）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简，得到，结合角的范围求出，利用两角差的正弦公式代入求解即可. （2）根据图像平移变换得到，结合余弦型函数性质求值域即可. 【详解】（1）由题意知， 令，所以， 又，所以， 所以， 所以． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到， 当时，， 所以，， 即的值域为． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； (2)将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 【答案】(1) 0 0 2 0 0 (2) 【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可； （2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到，最后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）根据表中已知数据，解得， 因为，所以解得，， 数据补全如下表： 0 0 2 0 0 函数表达式为； （2）由（1）知， 将函数的图象向左平移个单位后得到 ， 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 若图象的一个对称中心为， ， 解得，， 由可知，当时，， 因此； 因为，所以， 故在上的值域为. 4．（2026·陕西榆林·三模）已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． (1)求函数的单调递增区间； (2)若在等比数列中，，数列的前项和为，求满足的的最小值． 【答案】(1) (2)7. 【分析】（1）先求出的最小正周期，根据的最小正周期是的2倍且，求出的值；再根据点是两个函数的交点，分别代入和，再结合，求出的值，进而确定的解析式；利用正弦函数的单调递增区间的求解方法，结合的解析式，列出关于的不等式，解不等式得到单调递增区间； （2）先根据等比数列的通项公式，由和求出公比，得到数列的通项公式，从而得到的表达式，利用局部等比数列求和公式求出，最后解不等式，求出的最小值. 【详解】（1），的最小正周期为； 函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍，的最小正周期为； ，； 函数的图象与函数的图象的一个交点为，. ，即，解得或； ，； . 令，得； 的单调递增区间为． （2）设等比数列的公比为. ，，由，得，解得； ． ，； ； 当时，；当时，；当时，； . ，，即； ； ，的最小值为7. 5．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得，从而可求对称轴方程； （2）先由求得，由余弦定理求出的关系，再根据均值不等式求的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意 ， 所以的对称轴为，即. （2）由得 ， 解得或 ，若， 则，与角为锐角矛盾， 若，则 ，取，得， 由余弦定理得 即，由基本不等式得， ，化简得：，等号当且仅当时取得， ，即. 面积的最大值，等号当且仅当时取得. 题型2：求边长、角度问题 7．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； （2）在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中，已知角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得； （2）由题意可知，为向量与的夹角，即与的夹角，分别计算，，，代入向量夹角的计算公式可得. 【详解】（1）由余弦定理知， 化简得，，所以． 又因为，所以． （2）由题意可知，为向量与的夹角，即与的夹角. 是的中点，得， 由是中点，得. 所以. 由，得. 所以， ， . 故． 9．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】(1) (2)①② 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； （2）如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 10．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 11．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，点在线段上，. (1)若，求的值； (2)若，求的余弦值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理以及即可求解； （3）设，利用正弦定理和直角三角形的边角关系可得，再根据三角函数的最大值即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以. 在中，利用余弦定理可得， 即，解得（负数舍去）. （2）设，可得， 利用余弦定理可得， 即，解得， 又，所以的余弦值为. （3）设，可得. 在中，利用正弦定理可得，即， 整理可得，当时，取最大值. 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知分别为的内角所对的边，. (1)求； (2)三角形的布洛卡点是法国数学家布洛卡于1816年首次发现：当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.若，，为的布洛卡角，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换得，方法1：利用辅助角公式得，进而求解；方法2：利用二倍角公式化简得，进而求解；方法3：利用平方关系，解方程组，进而求解； （2）利用正弦定理解出，进而得,方法1：在中，利用正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而求解；方法2：在中，利用正弦定理得，在中，由正弦定理得，进而求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 方法1：所以，即， 因为，所以，所以，所以； 方法2：，， 因为，所以，，； 方法3：因为，， 所以； （2）在中，，，，由余弦定理，可得， 由正弦定理得，， 因为，所以，， 所以，而，所以， 又，所以， 所以， 方法1：在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有， 所以 ， 所以.所以； 方法2：在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 题型3：求面积、周长问题 13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦边角关系和余弦定理计算即可求得； （2）利用正弦定理将边替换成角的表达式，再由锐角以及三角函数值域即可求出周长的取值范围. 【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，得， 整理得，故，又，所以； （2）由（1）知，， 由于是锐角三角形，则，则， 由正弦定理得，即，. 又，故的周长为 . 而在上单调递减， 所以的周长的取值范围为. 14．（2026·安徽淮北·二模）已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求； （2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换，以及的范围可求得周长的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得，所以， 又因为，所以或. （2）若为锐角，由（1）可知， 由正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 15．（2026·北京门头沟·一模）在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)选条件②或③，存在，周长为. 【分析】（1）根据所给的边结合正弦定理，二倍角公式可得； （2）选条件①直接由余弦定理判断三角形不存在；选条件②先同角三角函数关系式可得A，B的正弦值，再由正弦定理和余弦定理求解可得；选条件③：先由面积公式可得，再结合余弦定理可得三角形的周长. 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理得，而三角形中有， 所以，再由二倍角公式得，且， 所以. （2）若选条件①：. 因为，由（1）可知，所以由余弦定理可得：， 即，得，， 方程无解，所以a边不存在，故不存在. 若选条件②：. 因为，由（1）可知，所以. 同理，得， 所以在中由正弦定理，得， 再由余弦定理，得， 即，解得或（舍去）. 所以三角形的周长. 若选条件③：的面积为. 因为，由（1）可知，所以, 由三角形面积公式，得. 再由余弦定理，得，即. 所以，所以. 所以三角形的周长. 16．（2026·陕西咸阳·三模）已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理统一为角的三角函数等式，再通过三角形内角和关系替换角并消去公因式，由辅助角公式解得角； （2）先用余弦定理建立边的等量关系，再结合基本不等式求出的最大值，最后代入面积公式求得面积最大值. 【详解】（1）根据正弦定理得： 中，因此， 代入上式消去得： 因为，，两边同除以整理得： ， 由得，因此，即， （2）由余弦定理，代入、得： 由基本不等式，得： 即，当且仅当时取等号， 的面积， 代入的最大值得： 因此面积的最大值为. 17．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简原式，利用和角公式和三角形内角范围计算即可； （2）先求出A范围，再利用正弦定理化边为角，根据三角形面积公式，结合三角函数值域计算即可 【详解】（1）因为，所以， 所以，， 整理得， 在中，，所以， 故， 因为，所以， 又，故. （2）由正弦定理得， 所以，. 因为，所以. 三角形为锐角三角形，故， 解得. 三角形面积， 又， 所以 ， 因为，所以，则. 因此. 18．（2026·河南周口·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式可得，根据正弦定理及两角和差正弦公式化简即可得证； （2）设，由正弦定理可得，，由三角形面积公式可得，令，化简可得最大值为，进而可计算面积最小值. 【详解】（1）因为， 所以，即， 由正弦定理可得， 因为，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故成立； （2）若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 题型4：几何图形的问题 19．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理可得、，由可得，再结合即可得的值； （2）设，利用余弦定理可表示出、，再利用（1）中所得即可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得，则， 在中，由正弦定理可得，则， 故， 由，则， 则，故； （2）设，则，， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ， 由（1）知，则， 故， 解得. 20．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）利用余弦定理直接求解. （2）利用正弦定理、二倍角公式及和角的正弦公式求解. （3）利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理，得， 解得． （2）由正弦定理，得，即， 因为B为锐角，所以， 则，， 所以． （3）因为，即，所以， 则． 设点A到直线的距离为d， 因为，，所以． 21．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 22．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出的值，进而得到的值，再利用勾股定理即可求出； （2）设，，，，利用的周长为2求出的值，再结合的范围求出的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2） 设，，，，则，． 由的周长为2可得，即， 两边同时平方可得，化简得． 所以 ． 又因为，所以． 所以． 23．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 24．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【详解】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 题型5：求取值范围与最值问题 25．（2026·甘肃金昌·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合三角恒等变换得，进而求得答案； （2）根据正弦定理得，，再结合三角恒等变换得，最后结合求解值域即可得答案. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 又，所以， 由，得． （2）由正弦定理有， 所以，， ， 由，有，可得， 所以，即的取值范围为． 26．（2026·安徽安庆·二模）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由三角恒等变换可得，结合正弦定理和余弦定理求解即可； （2）结合向量的线性运算、正弦定理和三角形的内角和定理可得，根据，求解即可. 【详解】（1）因为， 即， 所以， 即， 所以， 即， 由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）由题意可得， 所以, 所以, 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即 ， ， 因为，所以， 所以， 所以， 即， 所以，即， 又因为， 所以， 所以实数的取值范围为. 27．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【详解】（1）在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2）当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 28．（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一、由正弦定理结合三角恒等变形化简可得，进而得到；法二、利用余弦定理代入，整理得，再求即可求解； （2）先根据锐角三角形得到，再利用余弦定理求的范围，再结合进行求解． 【详解】（1）解：方法一、因为，则. 由正弦定理得： 则，因为，则. 所以，所以. 法二、由余弦定理：， 代入，得，又， 故， 整理得，故， 又，故； （2）在锐角中，由，可得. 又， 又，则，故. 又，设，设， 又在上单调递减，在上单调递增，所以 又因为，所以，故的取值范围为． 29．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【详解】（1）设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. （2）在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 30．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 31．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和，将 转化为 ，整理得 ，再代入余弦定理，化简得到边的关系式 ，最后结合正弦定理，将边的关系转化为角的正弦关系，完成证明. （2）先用（1）的边的关系，把用表示出来，再用基本不等式求出它的最小值，并验证等号能取到，然后根据三角形内角的性质，确定它小于1，最后综合得到的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 则代入得， 所以，即， 由余弦定理可得， 所以，所以， 因为正弦定理 （ 为外接圆半径）， 则，，，代入上式： 所以． （2）由（1）知，所以， 由余弦定理得， 由基本不等式 （当且仅当 ，即 时取等号）， 得：， 又因为当时，代入，得，解得， 则满足三角形三边关系，故等号成立， 由，可知为最大边，且，故为钝角， 因此，即，故， 又由基本不等式得， 所以的取值范围为． 32．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以由，或， 由， 由，显然不成立， 所以； （2）由（1）可知：， 所以，因为， 所以， ， 由，设，， 设， 则，令， 因为，所以解得， 当时，函数，所以函数在上单调递增， 当时，函数，所以函数在上单调递减， 因为，所以函数在时，值域为， 即当时，， 于是当时，. 题型6：证明类问题 33．（2026·广东广州·模拟预测）记内角的对边分别为． (1)若的面积为6，求； (2)求； (3)证明：是钝角三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由三角形内角和可求出，再利用面积公式计算即可得解； （2）借助正弦定理将边化为角后，结合的大小与三角恒等变换公式计算即可得； （3）若，计算可得与矛盾，故，不妨设，则由（2）中所得可得，即可得，即可得证. 【详解】（1）由，可得则， ，解得； （2），由正弦定理得，由， 则 ， 故； （3）若，则有，此时，， 这与矛盾，故， 不妨设，则，于是， 由得，故，于是， 故是钝角三角形． 34．（2026·河北张家口·二模）在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 方法一：由余弦定理化简得，两边同乘，结合正弦定理化简即可证明结论； 方法二：结合正弦定理将问题转化为证明，利用和差化积和二倍角公式，即可证明结论； （2）方法一：特殊情况先验证：当点D，E都位于点A时，，一般情况： 由，利用向量数量积的几何定义即可证明； 方法二：展开右侧的和差角余弦，结合三角形中的射影定理与正弦定理，消去含的项，化简为左侧形式即可 【详解】（1）方法一：由余弦定理得，， 所以， 即， 两边同乘，得， 由正弦定理可得， 所以． 方法二：由正弦定理可知，要证， 只需证， 又因为 ， 所以，得证． （2）方法一：当点都位于点时，，等式显然成立． 当点不同时位于点时， ， ， ， ， 所以，又， 即． 方法二：展开等式右边， ， 易知，又由正弦定理可知，， 所以， 即． 35．（2026·湖南长沙·模拟预测）中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出和的值，再用表示，进而得到的表达式，整理证明即可； （2）先利用和得到关于的表达式，通过函数关系确定的取值范围； （3）先求出的值，再建立坐标系，将内切圆方程表示出来，设出点的坐标，利用两点间距离公式表示出，结合圆的方程求其最大值 【详解】（1）由​，得​，​，结合已知， 由余弦定理得，化简得​， 所以 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以，故成立，得证； （2）三角形面积​，内切圆半径​， 代入化简得​，， 是开口向下的二次函数，对称轴​，最大值为​，且， 故的取值范围是； （3）当​时，得​，​，三边长满足， 则为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：， 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为. 36．（2026·广东深圳·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）6（ii） 【分析】（1）由余弦定理和正弦定理得到，由三角恒等变换得到，取倒数可得； （2）（i）由基本不等式得，，所以，得到答案； （ii）由为锐角和余弦定理得，即，由三角形面积公式得，因为，令，，由单调性求出，即，所以，所以，得到答案. 【详解】（1）由余弦定理得， 又，所以，即 由正弦定理得， 因为，所以， 由为锐角三角形， 得， 两边取倒数得. （2）（i） 因为，所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立，满足为锐角三角形， 所以周长的最大值为. （ii）成立，即为锐角，且， 由为锐角得及， 解得，即 的面积为， 因为， 令，，则二次函数开口向下，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减，又，， 所以，即， 所以，即， 所以，即面积的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数与解三角形(基础+中档) 题型1：三角函数相关的问题 题型2：求边长、角度问题 题型3：求面积、周长问题 题型4：几何图形的问题 题型5：求取值范围与最值问题 题型6：证明类问题 题型1：三角函数相关的问题 1．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 2．（2026·陕西榆林·三模）已知函数． (1)若，且，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 3．（2026·山东泰安·模拟预测）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； (2)将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 4．（2026·陕西榆林·三模）已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍． (1)求函数的单调递增区间； (2)若在等比数列中，，数列的前项和为，求满足的的最小值． 5．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 题型2：求边长、角度问题 7．（2026·河北保定·二模）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． (1)求的面积； (2)若是的中点，求的最小值． 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中，已知角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 9．（2026·河南·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且. (1)求角的大小； (2)若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 10．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 11．（2026·河北沧州·模拟预测）在中，点在线段上，. (1)若，求的值； (2)若，求的余弦值； (3)求的最大值. 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知分别为的内角所对的边，. (1)求； (2)三角形的布洛卡点是法国数学家布洛卡于1816年首次发现：当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角.若，，为的布洛卡角，求. 题型3：求面积、周长问题 13．（2026·重庆北碚·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为， . (1)求角； (2)已知，求周长的取值范围. 14．（2026·安徽淮北·二模）已知的三个顶点在半径为2的圆上，. (1)求； (2)若为锐角，求周长的取值范围. 15．（2026·北京门头沟·一模）在中，，． (1)求， (2)再从以下条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的周长． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16．（2026·陕西咸阳·三模）已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 17．（2026·湖南浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为，且． (1)求的大小； (2)若为锐角三角形且，求面积的取值范围． 18．（2026·河南周口·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 题型4：几何图形的问题 19．（2026·河南郑州·二模）如图，在中，为边上的一点，满足，且． (1)求； (2)若，求的值． 20．（2026·天津河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求a的值； (2)求的值； (3)过点A作，D在边上，记与的面积分别为，，求的值． 21．（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 22．（2026·四川成都·二模）如图，正方形的边长为1，P，Q分别为边，上的点． (1)若，，求； (2)当的周长为2时，求的大小． 23．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 24．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 题型5：求取值范围与最值问题 25．（2026·甘肃金昌·三模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求； (2)求的取值范围． 26．（2026·安徽安庆·二模）在中，角的对边分别为， ，点为边上一点. (1)求角的大小； (2)若是边上靠近点的一个三等分点，，求实数的取值范围. 27．（2026·贵州遵义·模拟预测）在锐角三角形中，角所对的边分别为，且满足： (1)证明：； (2)求的取值范围. 28．（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 29．（2026·吉林·三模）在平面四边形中，，. (1)若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. (2)若，，与交于点.记，求当为何值时，. 30．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 31．（2026·安徽·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 32．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 题型6：证明类问题 33．（2026·广东广州·模拟预测）记内角的对边分别为． (1)若的面积为6，求； (2)求； (3)证明：是钝角三角形． 34．（2026·河北张家口·二模）在中，分别为内角的对边，分别为边，上的动点，记为与的夹角． (1)证明：； (2)证明：． 35．（2026·湖南长沙·模拟预测）中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 36．（2026·广东深圳·模拟预测）记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若， （i）求周长的最大值； （ii）求面积的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $