江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期高一年级期中考试 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=1+i,则二的虚部为 A B.月 D.i 2 2.已知向量a=(2,1),b=(m,-1),且a/1(a-b),则实数m的值为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.(1+v5tan80)1-v5tan20）= A.2 B.4 C.-1 D.-3 4.在△4BC中，若点D满足CD=2DB,点M为AC中点，则MD= A. D.B+240 3 6 5.设非零向量a=(sin0,sin),万=(N3,-2),若a⊥b,则cos0= A.3 3 B.-3 3 c D 6.若c0s10 -tan20°=√5，则= sin 70" A.1 B.-1 C.2 D.-2 44BC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=,b2)aC,则sin A B.√2 c. 2 D.3 2 8.在平面直角坐标系xOy中，A(V3,),BL,V3),若点P(x,y)是线段AB上的动点，设 ∠BOP=0,则x+③y +sinO的最大值为 Vx2+v2 A.5 B.5 C.25 D.5 1 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少 有两项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9.已知复数z,z2是方程x2+x+1=0的两根，则 A.31+z2=1 B.|z曰z2=1 C.=2 D.z3=z3=1 10.在△4BC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2B,a=2V5,b=3,下 列结论正确的有 A.CosB= B.sinA= 2V2 3 3 C.c=3 D.△ABC的面积为√2 11.在△ABC中，AC=4,AB=5,BC=6,D为AC的中点，E为BD的中点，延长AE 交线段BC于点F,则 A.AE=314 X B.AE=3EF C.A8EF的面积为5 P D.AE.BC=- 63 8 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在方格边长为1的方格纸中，向量ā，b,c的起点和终点均在格点上， 则b·(a+)= 13.已知角a满足sina- π）1 43 ,则sin2a= 14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离， 现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=25√2m,∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°， ∠ACB=120°，则A,B两点的距离为 m. B 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 己知向量ā=(3,4)，b=(x,-3) (1)当(a+b)L(a-b)且x>0时，求|a-b|: (2)当c=(3,7),a/b+)时，求向量ā与b的夹角的余弦值. 16.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC,AD=2, (1)若△ABD是正三角形，求AC的长： （2)若msB=高0，乙AnC=135,求5m的值 B D 17.(本小题满分15分) D已知ae0月e号，且ma+月=号na-3求cA的省： （2)已知2m2a-月+nB=0.且a-B+受+，a≠经keZ.求ana2》的值， tang 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，AB=2,∠BAC=60°，D为AB中点，设AE=xAC,BF=yBC(x,y∈(O,1). ①当x-号时，者正亚方求边4C的长： (2)当x=号y时，4P与DE相交于点0，设0-亚，求实数A的值： (3)若AC=2,且DE⊥AF,求y的最大值. 19.(本小题满分17分) 己知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O,AC=10, 4D=14,cos∠ACD=-5 (1)求sin∠ACO的值： (2)求C0的长： (3)若BC=BD,求△ABD的面积. B 2024~2025学年度第二学期高一年级期中考试 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=1+i,则二的虚部为() A.2 1 B.- 2 c.1 D 【解答】解：z=1+i,则已 1 1-i +0+00,,其虚部为故选：4 2己知向量a=(2,1),b=(m,-1),且a/1(a-b),则实数m的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解答】解：：a=(2,1),b=(m,-1),a-b=(2,1)-(m,-1)=(2-m,2), 由a/(a-b),得2×2-1×(2-m)=0,解得m=-2.故选：D. 3.(1+V5tan80)l-3tam20）=() A.2 B.4 C.-1 D.-3 【答案】B 【详】货为m0=m(0+0)-动 √5+tan20 1-√3tan20° 所以1+V5an80=1+N5.5+tan20 4 1-√3tan20°1-√3tan20 所以1+V3tan80）1-√3tan20）=4.故选：B. 4.在△4BC中，若点D满足CD=2DB,点M为AC中点，则MD= A孤-c8丽-。元c亚c D.24B+1AC 3 6 【答案】A 5.设非零向量a=sin0,sin号)，万=(W5,-2),若a1方，则cos0=() A.3 3 B.3 3 c. D.3 0、 【解答】解：因为d⊥b,非零向量a=(sin0,sin),b=(W3,-2), 2 3sn0-2sim90,所以23 inco号-2sn=0,因为非零向量a=包 2 2 所以sin9≠0，所以cos9= 2 os日-5，所以cos0=2cas9-1=-故选：D. 23 2 3 6.若c0s10 sin 70' -an20=√5，则元= A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解答】C. 7.在△MBC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若B=,F=9ac,则simA+imC= 3 4 A B.√2 C: 2 D. 2 【解答】解，因为B=号公-}c, 4 所以由正弦定理可得，sin Asin C=号sinB=3, 4」 1 9 4ac,即a2+c2=13 9 由余弦定理可得：b2=a2+c2-2 ac.cos B=a2+c2-ac= c, 4 sin4+sin'C=1 4sin AsinC=13 Γ12 7 (sin d+sin C)2=sin'4+sin?C+2sin Asin C=-,sin +sinC= 4 2 故选：C. 8.在平面直角坐标系xO中，A(V3,1),B(1,V3),若点P(x,y)是线段AB上的动点，设 ∠BOP=0,则x+5y +sin0的最大值为() Vx2+y A.3 B C.25 D.5 【解答】解：由已知OA=(W3,1),OB=(1,√3)， ,coS∠AOB= OA.OB√5 OAOB 2 且0<∠AOB<π， ∠AOB=π 6 6 ·P(x,y)为线段AB上的动点， 则∠B0P∈[0,1，OP=(x,), OP.OB=x+3y,cos ZBOP= OP.OB IOP-1081' 则x+V5y=0p.0B V2+ OP OB1·cos∠BOP=2cos∠BOP, 所以x+3y +sin0=2cos0+sin=5sin(0+), V2+ 6 其中cosp= sin 5 25且p为锐角， 所以0=无-p时， 2 所以2cos0+sin0的最大值为√5， 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少 有两项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9已知复数z,,z,是方程x2+x+1=0的两根，则() A.21+22=1 B.|z月22=1 C.= D.z3=z3=1 【解答】解：：复数z,,22是方程x2+x+1=0的两根， 2,+z2=-1,故A错误： 2=-1± 2 ,不妨取2=1+v5, 2 2 则3片上水+=1，放B正： 3=5,-3-15 2i=2,故C错误； 4242 22=eos2+ isin2πy=cos2元+isin2m=1eR, 3 > 4π z23=(cos in4红=cos4r+isin4z=1∈R,故D正确. +isin- 3 故选：BD 10.在△ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=2B,a=2W3,b=3,下 列结论正确的有() A.cos B= B.sin= 2W2 3 3 C.c=3 D.△ABC的面积为√2 【解答】解：a=2√3，b=3, 则由正弦定理可得， 2V33 sin A sinB A=2B,.3sin2B=2√3sinB,即6 sin Bcos B=2√3sinB, B∈0，，∴sinB>0,cosB=5 故A正稀， sin 4=sin2B-2sin Bcos B=2x6x32 3 33 ,故B正确： a=25,b=3,cosB=5 :由余弦定理可得，2V5+c2-2x2Wcx5=3,即c2-4c+3=0,解得c=1或c=3, 3 若c=3, 则B=C, A=2B, A-登B-C=子 .a=√b2+c2=3√2≠2√3，故c≠3，故C错误： 由C选项可知，c=1, 5-8分2x15-6,政D正流 3 故选：ABD, 11.在△ABC中，AC=4,AB=5,BC=6,D为AC的中点，E为BD的中点，延长AE 交线段BC于点F,则() A.AE=314 B.AE=3EF 4 C.ABEF的面积为5V 8 D.AE.BC=-63 【解答】解：在△ABC中，AC=4,AB=5,BC=6, 对于A,由题可得c0s∠CAB6Xx6=8因为D为AC的中点，E为BD的中点， 所 以 花-0+号 所 以 征而+号0+}6+号0-1+华2x5袋， 42 88 区34，故A正确： 所以叶受号 对于8，由征-0+西-}C+孤， 设F=E,所以F-子4C+号B,因为C,F,B三点共线， 4 则子+子1，解得天青则花-子孤，所以正=F,故8正偏 对于C,由于花=A,所以E为AF靠近F的四等分点， 4 由于-兮C+号西，所以F为CB靠近B的三等分点， 1 由于o∠C0-日，CBe0,t). 防mc-令.，则x-4x5.5 8-4 所以5。古位y万-语数c不正确 1 对于D, 征cc+号(C孤C+4c恋号丽-4+5日空，故D 82 8 正确。 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12.如图，在方格边长为1的方格纸中，向量ā，b,c的起点和终点均在格点上，则b·(a+c)= -8一· 9 【解答】解：如图将向量ā，b,c放入平面直角坐标系中， 在方格边长为1的方格纸中， c=(2,3)-(4,-1）=(-2,4), a=1,3),b=(2,0)-(1,1)=1,-1), 则a+c=(-1,7),故b·(a+c)=1,-1)(-1,7)=-1+(-7)=-8. 故答案为：-8. 13.已知角a满足sina- π】1 √2 【解答】解：因为sina-cosa= 3 两边同时平方得，1-2 sina cosa=1-sin2a= 2 则sin2a=g 7 故答案为：) 7 14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”， 我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离， 现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=25√2m,∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°， ∠ACB=120°，则A,B两点的距离为25√10m. 10 B D 【解答】解：因为∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，所以∠ADC=150°， ∠DAC=∠DCA=15°，所以AD=CD=25√2， 又因为∠ACB=120°，所以∠BCD=135°，∠CBD=30°， 在ABCD中，由正弦定理得，BD sm<BCDC8D即02V2】 CD 解得BD=50, √2 1 2 2 在△ABD中，由余弦定理得AB2=AD+BD-2AD·BD·COS∠ADB,所以 4g=50+25J2y-2×50×25N5x-5,解得4B=25N0. 故答案为：25√10. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知向量=(3,4)，b=(x,-3). (1)当(a+b)⊥(a-b)且x>0时，求|a-bl: (2)当c=(3,7),a/1b+c)时，求向量a与b的夹角的余弦值. 【解答】解：(1)当(a+b)⊥(a-b)且x>0时， 则a2=b,即32+42=x2+(-3)2,解得x=4(负值舍去)， ā=(3,4)，b=(4,-3), 则ā-b=(-1,7), 故1a-b=√-1)2+7=5√2； (2)b=(x,-3),=(3,7), 则b+c=(x+3,4), a116+c),a=(3,4), 则4(x+3)=4×3,解得x=0, 11 故b=(0,-3), =(3,4), 设向量ā与b的夹角为0， 则cos0=i-6--124 1alb13×55 故向量ā与万的夹角的余弦值为- 5 16.如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=2DC,AD=2,(1)若△ABD是正三 角形，求AC的长： (2若cms分=高而，∠0C=135,求5的值 B 0 【解答】解：(1)AMBD是正三角形时，AB=DB=AD=2,B= 3 在△ACD中，AD=2,DC=1,∠ADC=120°， 由余弦定理可得AC=√AD2+DC2-2AD·DCcos120° 4+1-2×2x1x()=V7. (2)因为∠ADC=135°，所以∠BDA=45°， cos BAD=-cos(B+4)=-(cos Bcos45-sin Bsin 45) 6inB-cos)=2M0_3o)-5 2 21010 .sin∠BAD 25 5 在A80中，由正孩定提可得验-m20可得80=，C-63, 则S4Bc= BCh=1BC.ADsin45°= 2 2*6V2x2xV 26. 1已知ae0Pe写小，且sma+m=}血a- ,求cosB的值； 65 (2)已知2sim(2a-A)+simB=0,且a-B≠+kr,a≠，k∈Z,求aCa-D的值. 2 2 tana 【解答】解：I)ae0,,Be(亏)， 12 则a+Be号受 sin(a+B)=- ..cos(a+B)=-1-sin2(a+B)=- 5 63 .sina 65 'cosa=v1-sin"a=16 eos=cos (a-a-cos(a+cosa +sin(asina (2).2sin(2a-B)+sin B=0, ∴.2sin(2a-B)=-sinB=sin(-B),即2sin[(a-B)+a]=sin[(a-β)-a], 2sin(a-B)cosa+2cos(a-B)sina sin(a-B)cosa-cos(a-B)sina, 化简得，sin(a-B)cosa=-3cos(a-B)sina, 又：a-B经，g经e2 ∴.cos(a-B)≠0，cosa≠0，tana≠0， :tan(a-B)=-3tana&,即an(a-月)=-3. tana 18.在△MBC中，AB=2,∠BAC=60°，D为AB中点，设AE=xAC,BF=yBC(x,y∈(0,1). 0当x-导时，若0正亚-求边4C的长： (2》当x-子号时，加与DE湘交于点0，设0：亚.求实藏的值： (3)若AC=2,且DE⊥AF,求y的最大值. 【解谷】解1当号号时，花C,所=C. 因为D为B中点，所以而-， 所以D=征-而-号C-, 亦=孤+亦-孤+0=+(4C-例-=+C, 因为DE亚-号且4B=2,∠a4C=60, 所以-号丽+0=c+丽c1+ 12 即4|AC2+|AC1-18=0,解得1AC=2; 2)当x=号y=时，由D知，-5+4C, 所以0==0+40=2G兮×20+3*孤=0+征。 因为D,0,E三点共线，所以元+头-1，解得- 4 4 、3》因为DE=征-而=4C-号孤， AF=AB+yBC=AB+y(AC-AB)=(1-y)AB+yAC, 由DE1AF知：DE.F=(cAC-)A)-0-AB+yAG -w4C-0-列6+x-0)丽4C=4w-20-0+2x-w-2)=0, 1 化简整理得：2y+2x+y=2. 因为x,y∈(0,1)，所以2xy+2x+y=2>2xy+2√2xy, 解得v6-V 2 ,即y<2-V5, 当且仅当2x=y时取等号，此时x=5-1, 2 y=V3-1符合题意. 所以y的最大值为2-√5. I9.己知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角∠ACD的平分线，CB与AD相交于点O, AC=10,AD=14,COsZACD=-1 5 的 (1)求sin∠ACO的值；(2)求CO的长；(3)若BC=BD,求△ABD的面积. 【详解】(1)因为0s∠4CD=片，对角线CB为能角∠4CD的平分线， 所以cos∠ACD=1-2sin2∠AC0, 解得sin∠4co=5或sin∠ACo=-5 (舍) 所以sin∠AC0=sin∠DcO= 5 (2)由题意，在△ACD中，由余弦定理可得 AD2=AC2+CD2-2AC.CD.Cos/ACD, 14 即142=102+CD2-2×10×CD× 整理可得CD2+4CD-96=0,解得CD=8或CD=-12(舍去)， 因为ca∠4CD=写，所以sn∠4CD=2 又因为SAACD=S△ACo+S△Dco, 所以C4.cD.sn∠ACD=CA:c0sm∠4C0+)cD.c0sn∠DCo, 质u0as2-0do乐-g0 52 5 解得C0=1610. 9 AC AD (3)方法一：在△ACD中，由正弦定理可得 sin∠4DC sin.∠ACD' 1014 即sin∠ADc2W6,所以sin∠ADC=2y6 7 5 因为∠ACD为钝角，所以cos∠ADC=3 因为BD=BC,所以∠BDC=∠BCD, 所以sin∠BDC=sn∠BCD=V5,所以cas∠BDC-iO 5 在△BCD中，由余弦定理可得 COSLBDC-10CD+BD-BC:CD 4 5 2CD·BD 2BD BD 解得BD=BC=2V10, 因为sin∠ADB=sin(∠BDC-∠ADC) =sim∠BDC-cos∠ADC-cos∠BDC-sinLADC=5x5_Viox26_E 575735 所以5m4D-D8sin∠ADB-x14x20x店-2V6: 35 15