2026年 九年级数学中考二轮复习 二次函数综合压轴题 常考热点题型专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分提升训练（附答案） 一、二次函数与等腰三角形综合 1．如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线对应的二次函数表达式； (2)点P在抛物线对称轴上，当是以为底的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)在抛物线上存在点Q，使得，直接写出Q的坐标______． 2．如图，二次函数的图象经过点、、，连结，点为抛物线上一动点（点不与点、、重合），且点的横坐标为，过点作轴交直线于点，交轴于点，连结． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，上存在一点，使得的值最小，求点的坐标； (3)当点在直线上方时，连接、、，求四边形面积的最大值； (4)当为等腰三角形时，直接写出的值． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的抛物线与x轴交于点A，抛物线的顶点为D，对称轴交直线于点H，点E为线段上动点，点F在上，连接，且满足． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若是等腰三角形，求E点坐标； (3)点P是坐标平面内一点，当时，请直接写出的面积． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与一次函数的图像交于A，B两点，已知．      (1)求抛物线的表达式； (2)点C是直线上方抛物线上的一动点，连接，．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)当（2）中取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数与直角三角形综合 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点，点P在此抛物线上，其横坐标为 (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在x轴上方时，结合图象，写出m的取值范围； (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为 ①求m的值； ②点D为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为． (1)求、两点的坐标； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点．设的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长； ②当为何值时，四边形为平行四边形，请说明理由； ③当为何值时，为直角三角形，直接写出结论． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 10．如图，已知抛物线与轴交于A，B两点（点在点的右边），顶点为点．将抛物线绕点旋转后得抛物线，其中顶点的对应点为点，点的对应点为点． (1)当时，写出三点的坐标； (2)如图1，连接，当是直角三角形时，求的值； (3)在（1）的条件下，如图2，若动直线与抛物线交于M，N两点（直线与不重合），连接，，直线与交于点．当时，点的横坐标是否为定值，请说明理由． 三、二次函数与相似三角形综合 11．已知二次函数的图像与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点且与交于点F，． (1)求二次函数的表达式； (2)点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧， ①当时，求点P的坐标； ②连接，点Q是直线上一点，当时，求点P的坐标． 12．如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点（不与点B重合），过点M作轴于点N，交直线于点P． (1)求线段的长； (2)若，求点M的坐标； (3)若点M在直线下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图1，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点，点为抛物线的顶点． (1)求m的值． (2)如图2，过点D作轴于点E，连接，，． ①求的正切值． ②若点N是第三象限内抛物线上的一动点，射线上是否存在点P，使得与相似?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式： (2)如图1．抛物线的对称轴与直线交于点，与轴交于点，若点是对称轴上的一个动点，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由： (3)如图2，抛物线与轴相交于点，连接，，点是直线上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点作线段于点，连接，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求点的坐标并求出的最大值． 四、二次函数与平行四边形综合 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标． 17．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若点F是第四象限内抛物线上一点，过点F作轴于点D，交直线于点E，当时，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知抛物线过点、，点C的坐标为． (1)求此抛物线对应的函数解析式； (2)直接写出抛物线的对称轴； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线与x轴交于点和点．点C是抛物线上的一个动点，抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方抛物线对称轴上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点C的纵坐标是3，求点C的坐标； (3)若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，求点C的坐标； (4)在（3）的条件下，连接，在x轴上方的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：由题意得：， ∴， ， ； （2）解：， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴， 设， ， ， ， ； （3）解：过点作轴于点，交于点，如图所示， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； 当， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点Q的坐标为或； ∴点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，勾股定理列方程，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键． 2．(1) (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，将军饮马求最短距离问题，二次函数与面积综合题，等腰三角形分类问题，综合性强，难度较大． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线，即可得到点坐标为，点A、B关于对称轴对称，从而得到当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点．求出直线解析式为，即可得到点的坐标为； （3）根据点的横坐标为得到点的纵坐标为，点坐标为，求出，根据得到，根据二次函数性质即可求出当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）根据，， ，求出，，，根据为等腰三角形，分，，三种情况列出方程，解方程舍去不合题意解，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴二次函数表达式为； （2）解：由二次函数表达式为可得抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点坐标为，点A、B关于对称轴对称， ∴当时，为抛物线的对称轴，存在一点，使得的值最小，此时点E即为直线与对称轴的交点． 设直线解析式为， ∵点、， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最大，最大值为4； （4）解：如图， ∵，， ， ∴， ， ， ∵为等腰三角形， 当时，，解得（均不合题意，舍去）； 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得． 综上所述，符合条件的的值或1． 3．(1) (2)或或． (3)8或12 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）求出，再将代入即可求得抛物线解析式； （2）设，分三种情况讨论：①当时，过点E作轴交于点G，在上截取，得到，可求；②当时，，可求；③当时，，可求； （3）设，由，可得，则有，能求出或，即可求的面积为8或12． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴． （2）解：设， ①当时，过点E作轴交于点G，在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得∶， ∴； 综上所述：E点坐标为或或． （3）解：∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴或， ∴的面积为8或12． 4．(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2） 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 5．(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先确定，将，两点代入并求解即可； （2）过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，易得点E 坐标为，可知，结合三角形面积公式可得，由二次函数的性质可得当时，有最大值，此时，将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则有，即可获得答案； （3）根据待定系数法求出直线解析式，则可求点M的坐标，设，分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数，令，可得， ∴， 将，两点代入， 可得，解得， 则抛物线的表达式为； （2）解：过点C作轴交直线于点E， 设点C坐标为，    ∴点E 坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， 将点 B 关于y轴的对称点，再向上平移3个单位得到，连接、，,则， ，， 是平行四边形， ， ， ， 即当点、、三点共线时，有最小值， ， ， 即最小值为； （3）解：设直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 对于，当时，， 设， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、轴对称的性质，等腰三角形的定义，两点间距离公式，公式法解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 6．(1) (2)或 (3)①m的值为 ；②存在，点Q的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，结合图形即可解答； （3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P在对称轴左侧，即时，当点P在对称轴右侧，即时；②根据①中求出的点P的坐标，进行分类讨论即可：当时，当时． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线与x轴相交于， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为 ∴由图可知，当点P在x轴上方时或． （3）解：①∵， ∴对称轴为直线， 当点P在对称轴左侧，即时， 最低点为抛物线顶点， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， 当点P在对称轴右侧，即时，y随x的增大而减小， ∴最低点为， ∴， 解得：， 综上：； ②由①可知 当时，，和点A重合， ∵对称轴为直线，， ∴； 当时，令对称轴和x轴相交于点H，则， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上：存在，点Q的坐标为或． 7．(1) (2)能，或 (3)点的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则， ，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就看得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，当时，当时，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能． 将代入中， 得：， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ， ∴，， 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 当时，， 即， 整理得， 解得，（舍去）， 此时点坐标为； 综上所述，当点的坐标为或时，直线能否把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵，， ∴，，， 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，此时点的坐标为； 当时，为直角三角形，， 即， 解得，，此时点的坐标为或； 综上所述，满足条件的点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 8．(1)点，点 (2)①（），②当时，四边形为平行四边形，理由见解析，③当或时，为直角三角形 【分析】题目主要考查二次函数的性质，解一元二次方程，平行四边形的性质，直角三角形的定义等，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）令抛物线解析式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①令抛物线解析式中求出y值，即可得出点C的坐标，结合点B、C的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，再由点P的横坐标为m找出点F、P的坐标，由此即可得出结论； ②利用配方法求出抛物线的对称轴以及顶点D的坐标，根据点D坐标即可得出点E坐标以及线段的长度，再根据平行四边形的性质可得出，由此可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论； ③由轴可得出若要为直角三角形，则只能是或，然后求解即可． 【详解】（1）解：中， 则有， 解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴点，点． （2）①中，则， ∴点． 设直线的解析式为， 将点、代入中， 得：，， 解得： ， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点，， ∴． ②∵， ∴抛物线的对称轴为，顶点， 将代入中，得：， ∴点， ∴． ∵四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：（舍去），， ∴当时，四边形为平行四边形． ③∵轴， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时． ∵轴，， ∴轴， ∴点C、F关于对称轴对称， ∵点，抛物线对称轴为， ∴． ∴当时． 过点P作轴于点L， ∴， ∵点、， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 9．(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标并列出方程求解． （1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式； （2）设，先求出的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出的长，从而求得用m表示的的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值； （3）设点Q的坐标为，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出、、，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于E． 设． 设直线的解析式为 将点A和点C的坐标代入，得 解得： ∴直线的解析式为， ∴ ∴ ， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴点P坐标为； （3）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴可设点Q的坐标为， ∴， ， ， 要使是以为斜边的直角三角形，只需， ∴， 整理，得， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 10．(1)，，． (2)或 (3)点的横坐标是定值，且为，理由见详解 【分析】（1）当时，求出点，，顶点，由抛物线绕点A旋转后得抛物线求得点，即可作答； （2）分和两种情况求解a的值即可； （3）先得出抛物线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为．则求出的解析式为，结合得设的解析式为，整理得，得，即点的坐标可以表示为．整理得直线的解析式为：．直线的解析式为：．结合题意，得，进行整理得，即可作答． 【详解】（1）解：当时，抛物线：， 当时，， 解得，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∵将抛物线绕点A旋转后得抛物线， ∴，，抛物线开口向下，形状不变， ∴，的二次项系数为， ∴点， ∴， ∴点， （2）解：对于抛物线：， 当时，，即， 解得，， ∴,,对称轴为直线， 由（1）可知，，点，， 如图1，作于点H， 当时， ∵将抛物线绕点A旋转后得抛物线， ∴， ∵， ∴，， ∴点， 把点代入得，， 解得； 当时， ∵A为的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴, ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，   把代入得，， 解得； ∴a的值为或； （3）解：点的横坐标是定值，且为，理由如下： 由（1）得，抛物线的二次项系数为，点，点， ∴抛物线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为． ∵，且与不重合， ∴且且． 设的解析式为 ∵点，点 ∴ 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴点的坐标可以表示为． ∴设直线的解析式为：， 由点，点， 得， 解得． ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为：， 由点，点， 得 解得 可得到直线的解析式为：． ∵直线的解析式为：． ∴ ∴． ∴ ∴． ∴点的横坐标为定值2． 11．(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据题意可得对称轴为直线，，则由对称轴计算公式可得，由平行线分线段成比例定理可得，则可求出，则，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①先求出；过点C作于R，则，导角可证明，可求出；取，作直线，连接，可证明，得到，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点P的坐标为；同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置，同理求出点P坐标即可； ②求出，由相似三角形的性质得到，；过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V，可证明，得到，设，则，求出直线解析式，把点Q坐标代入直线解析式中求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，∵对称轴经过点， ∴对称轴为直线，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；①在中，当时，，当时，， 当时，解得或， ∴； 如图所示，过点C作于R，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 如图所示，取，作直线，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 同理可证明，则直线与抛物线的交点（不是A）即为点P的一个位置， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； ②∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线．垂足分别为W、V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ 同理可得直线解析式为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行线分线段成比例定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．(1)； (2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 13．(1) (2)点M的坐标为或 (3)存在，点M的坐标为或 【分析】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． （1）根据题意确定，，即可求出线段的长度； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，，则，，列出方程，再求解即可； （3）设，且，则，，再求出；再分为当时及当时，这两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：令，得， 解得，． 点A在点B的左侧， ，， ． （2）令，得， ． 设直线的解析式为 把点，代入， 得， 解得 直线的解析式为． 轴， 设，则， ， ， 或， 解得，（舍去），，（舍去）． 点M的坐标为或． （3） 轴， 设，且，则，， ，，． 和相似，且， 或． 当时，，且， ，即， 解得（舍去），， ； 当时，如图，过点M作轴于点D， 则， ， ，， ，解得（舍去），， 综上，当以点M，P，C为顶点的三角形与相似时，点M的坐标 为或． 14．(1) (2)①，②存在，点坐标分别为，，，，详见解析 【分析】（1）由抛物线的顶点得出，由与y轴交于点得出，进而即可得解； （2）①如图，过E点作交于点F，利用点的坐标和勾股定理得出的长，再利用正切的定义计算即可得解；②先确只有可能等于，再分当和两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵点为抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴抛物线， ∵抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点， ∴， ∴； （2）解：①如图，过E点作交于点F， 令得得，， ∴， ∵，，轴于点E， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在点P，使得与相似，理由如下， ∵点N是第三象限内抛物线上的一动点， ∴， ∴只有可能等于， 如图，设交轴于点， ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∴， ∴， 过C点作轴交直线于点， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， 当，时，此时，，过点P作轴于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上所述：点坐标分别为，，，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，三角函数的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 15．(1) (2)或 (3)，的最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，易证是等腰直角三角形，得到，再证明是等腰直角三角形，根据题意得到是等腰直角三角形，求出直线的解析式为，再求出抛物线的对称轴为，得到，求出，，，设，求出，根据，则分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作轴于点M，求出直线的解析式为，设，再求出直线的解析式为，求出点，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：存在， 由（1）知抛物线的表达式为：， 将代入，则， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵以为顶点的三角形与相似， ∴是等腰直角三角形， ∴点P在点G上方， 设直线的解析式为， 则，解得： 设直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴点G的横坐标为， ∴， ∴，， ∴，，， 设， ∴， ∵， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或； （3）解：过点作轴于点M， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴， ∵，的面积为的面积为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时，， ∴，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 16．(1) (2)，4 (3)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的最值问题、平行四边形的性质等知识点，掌握待定系数法以及平行四边形的性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）设出M点的坐标，利用列出函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可； （3）由得是平行四边形的边，表示出的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：， 将代入函数解析式得： ，解得， 所以此函数解析式为：． （2）解：如图：连接， ∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：， ∴ ， ∵， ∴当时，S的最大值为4． （3）解：如图：设． ∵， ∴为平行四边形的边， ∴，Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为， ∴设． 由，得，解得：或或． 当不合题意，舍去． ∴点Q的坐标为或或． 17．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，进而得到点坐标，根据，进行求解，再根据分割法求出四边形的面积即可； （3）分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得或（舍去）； ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：存在， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， 由（2）知：， 当以点B，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分3种情况： ①当为对角线时，则，即， ∴， ∴； ②当为对角线时，则，即， ∴， ∴； ③当为对角线时，则，即， ∴， ∴； 综上：或或． 18．(1) (2) (3) (4)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法解可得该抛物线的函数解析式； （2）将抛物线解析式转化为顶点式，即可确定该抛物线的对称轴； （3）可知该抛物线的对称轴为，并确定该抛物线与轴的另一个交点的坐标；结合点是直线上一点，并根据抛物线轴对称的性质可得，易得，故当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小，即可确定答案； （4）根据题意，设，，分是平行四边形的一边和是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入抛物线， 可得，解得， ∴此抛物线的函数解析式为， （2）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； （3）解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴为， 设该抛物线与轴的另一个交点为， 令，可得， 解得，， ∴， 如下图， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， ∵点C的坐标为 ∴点在直线上， 当点均在轴上时，即时，的值最小，即的值最小， 如下图， 此时， ∴， ∴点的坐标为； （4）解：∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴可设，， ①如下图， 当是平行四边形的一边时， 则有， ∴，解得， ∴； ②如下图， 当是平行四边形的对角线时， 则有， ∴，解得， ∴． 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 19．(1) (2)或 (3) (4)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查用待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定； （1）将点和点代入抛物线解析式，即可求解； （2）点C的纵坐标是3，令，求解即可； （3）由抛物线的解析式可得对称轴为，再由平行四边形的性质可得点C的横坐标为，令，，即可求出点C的坐标； （4）分类讨论：当时，过点C作轴，证明可得，可求出点P的坐标；当时，证明可得，可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵点C的纵坐标是3， 令，解得：或， ∴或． （3）解：若点C在对称轴的右侧，且轴，连接、，当四边形是平行四边形时，如图所示： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C的横坐标为， 令，， ∴． （4）解：当时，过点C作轴，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 综上：存在，点P的坐标为或． 20．(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $