上海实验中学2025-2026学年高二下学期数学练习5试卷

SES 2027届高二第二学期数学练习5 2026.5.6 一、填空题 1．已知事件与事件互斥，且，，则________. 【详解】. 2．若，则为整数的概率为_____. 【详解】因为，所以有4种选法，也有4种选法，总的基本事件数为种结果. 而为整数的有：当时，或4，则或2，有2种； 当时，或9，则或2，有2种； 当时，，则，有1种； 当时，，则，有1种；所以满足为整数的有6种结果， 所以为整数的概率为. 3．已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______. 【详解】将先后两次的向上点数记为有序实数对，则共有个基本事件， 其中向上点数之和为8的情况有，共5种， 所以满足条件的概率为. 4．的展开式中含的项为____. 【详解】可看成6个相乘， 的展开式中含的项有以下三种情况： ①个多项式取，个多项式取乘积得到，即； ②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； ③个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； 综上所述，的展开式中含的项为. 5．下列是古典概型的序号是_____. ①任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 ②求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 ③从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 ④从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率 【详解】由题意得①项中由于点数的和出现的可能性不相等，故①不是古典概型； ②项中的样本点是无限的，故②不是古典概型； ③和④项满足古典概型的有限性和等可能性，故③和④都是古典概型． 故答案为：③④ 6．甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中甲获胜的概率是，乙获胜的概率为，且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制”，则甲最终获胜的概率为______． 【详解】甲以3：0获胜的概率为， 以3：1获胜的概率为， 以3：2获胜的概率为， 所以甲获胜的概率为. 7．2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦､孙颖莎以战胜日本队组合吉村真晴､大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军. 假设2026年的一次乒乓球比赛中，中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛中国队组合获胜的概率为，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以获胜的概率为 【详解】中国队以获胜，则一共打了4局比赛，且第4局一定是中国队获胜. 前3局比赛中，中国队恰好赢2局、输1局，已知每局中国队获胜概率为，输的概率为， 每局比赛独立，概率为. 8．某校开设了A，B，C，D，E这5门课程，甲、乙都任意选修了其中1门课程，则甲、乙都没有选修课程A，且他们恰有1人选修课程 B 的概率是________. 【详解】由题意可知，甲选修课程与乙选修课程相互独立， 若甲选修课程，乙没有选修课程，其概率为； 若乙选修课程，甲没有选修课程，其概率为. 因此，甲、乙两人都没有选修课程，且他们中恰有1人选修课程的概率是. 9．盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 【详解】设事件 A 为取出的两粒棋子都是黑子，事件 B 为取出的两粒棋子都是白子， 事件 C 为取出的两粒棋子颜色不同（一黑一白）， 根据题意：， 又因为，， 所以， 即. 10．某食品厂制作了4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入1张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品．小明一次性购买该种食品6袋，那么小明获奖的概率是__________． 【详解】这6袋中卡片总共有种可能情况，其中可以获奖的情况可分为两类， 第一类是有3袋食品的卡片相同的获奖情况有（种）， 第二类是有两组2袋食品的卡片相同的获奖情况有（种）， 故小明获奖的概率是． 11．春节前夕，某街道办事处为某小区老年人送慰问品，需招募10名志愿者，分成两组，每组5人，共有15人报了名．其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组的概率为______． 【详解】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为， 15人选10人分两组的分法种数为， 所以两人都被选中且被分在不同组的概率为． 12．对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为__________. 【答案】 【分析】通过讨论红格个数，由古典概型概率公式求解即可， 【详解】0个红格，共种； 1个红格，共种； 2个红格，共种； 3个红格，共种； 4个红格，共种， 所以； 13．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件，则______. 【详解】记“一号列车准点到站”为事件，“二号列车准点到站”为事件， 则，，， 由，故， 则，则， 故， 而，即，故， 则. 14．已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为_____. 【详解】由题意可得，，，，，， ，，，， 因为，， 满足的数组有：、、、， 故所求概率为. 15．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果 一种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五个面涂白色; b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有__________种。 【详解】两种颜色类型的，有种； 类型的，有种（两个面相邻、相对） 类型的，有2种（三个面有公共顶点或者没有公共顶点） 因此共有8种. 16．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______.      【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能，丙投1次也有10种可能， 所以甲乙丙一次投掷1次，记下数字有种情况， 这10个数字中选出3个，能构成等差数列的情况如下： 公差为0的等差数列有：；；；；，共有10种情况； 公差为1的等差数列有：；；；；，共有8种情况； 公差为2的等差数列有：；；；；，共有6种情况； 公差为3的等差数列有：；；；；，共有4种情况； 公差为4的等差数列有：；，共有2种情况； 其中，公差为的等差数列中第1项和第3项的数字交换， 分别构成公差为的等差数列， 所以构成等差数列的可能情况有：种， 所以甲乙丙一次投掷一次，三个数恰好构成等差数列的概率为. 17．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为______． 【详解】因为每次爬行有3种选择，故5次爬行共有种情况， 考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况： ①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况； ②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走， 以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个， 蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种， 故三个三角形共有种， 所以蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为． 18．从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为______． 【详解】如下图，选正方体6个侧面上的顶点，共有6种共面的情况； 过中心的平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，则共有种； 所有可能情况有种， 所以这4个点在同一个平面的概率为. 19．在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，从中任取个点，则这个点在同一个卦限的概率为_______________. 【详解】因为点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，则点共有个， 计算每个卦限包含的点数： x负、y负、z负：8个点 x负、y负、z正：4个点 x负、y正、z负：4个点 x负、y正、z正：2个点 x正、y负、z负：4个点 x正、y负、z正：2个点 x正、y正、z负：2个点 x正、y正、z正：1个点 同一卦限中选2个点的组合数之和为： 从这个点中任取两个点，共有个基本事件， 故所求概率为. 20．已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）. 【详解】根据题意可得：， 由于函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 而，所以比较 可知，所以， 故答案为：. 二、解答题 21．如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1） 如图建系，根据已知条件可得：， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 则点到平面的距离； （2）由平面的法向量为，平面的法向量为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为： . 22．已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【详解】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 23．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质． ①在上的导数存在； ②在上的导数存在，且（其中）恒成立． (1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由． (2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)函数在区间上具有性质； (2)存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； (3)的最大值为. 【分析】（1）令，按照题目所给定义，求出和，并判断是否恒成立即可； （2）先利用为奇函数且在处取得极值求出实数，的值，再按照题目所给定义，求出，即可求出的取值范围； （3）分离参数得，构造函数，通过的最小值，即可确定正整数的最大值. 【详解】（1）令，， 则，， ，， 当时，恒成立， ∴函数在区间上具有性质； （2）∵， ∴， ∵在处取得极值，且为奇函数， ∴在处也取得极值， ∴，解得， ∴， ， 当时，令，解得；令，解得； 故在单调递减，在单调递增，满足在处取得极值， ∴， 当时，恒成立， ∴存在实数，使在区间上恒成立， ∴存在实数，使得在区间上具有性质，的取值范围是； （3）∵， ∴， 令， 则， 令， 则， 当时，，在区间上单调递增， 又∵，， ∴存在，使， ∴当时，，，在区间上单调递减， 当时，，，在区间上单调递增， ∴当时，的最小值为， 由，有， ∴， ∵，∴， 又∵恒成立， ∴， ∵且， ∴的最大值为. 24．我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是________. 【详解】（1）   （2）   （3）   （4）   如图以平面为基准，在平面内取三点，显然（1）（2）合题意，（3）（4）不合题意，同理，将换成，，，各能找到两个“鳖（biē）臑（nào）”，所以当三点确定在一个平面上时，可以确定8个“鳖（biē）臑（nào）”，共有6个面，所以可确定个“鳖（biē）臑（nào）”.但上图（1）在以平面为基准时又被算了一次，图（2）在以平面为基准时又被算了一次，所以每一种情况都被重复计算了一次，故共能确定个“鳖（biē）臑（nào）”. 25．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 【详解】（1），， 所以，， 因为，所以， 所以在为凸函数. （2）由（1）知在内为凸函数， 又，且（，，，）， 所以 所以 （3）令，，则在上恒成立， 则，且， 当，，不合题意舍去; 当，则， 故， 令，则 ， 令，，则， 所以在上递增，所以， 所以，即在上递增， 又，则，所以在上递增， 又，即，，符合题意; 当，令，则，， 所以，不合题意舍去， 综上，正整数a的取值集合为 学科网（北京）股份有限公司 $SES2027届高二第二学期数学练习52026.5.6 一、填空题 1.已知事件A与事件B互斥，且P(A)=0.5,P(AVB)=0.7,则P(B)= 2.若a,b∈2,3,4,9}，则loga b为整数的概率为 3.己知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1,2,3,4,5,6，抛掷这 个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为 4. (2+x一x2)的展开式中含x4的项为 5.下列是古典概率模型的序号是 ①任意抛掷两枚骰子，将所得点数之和作为样本点时 ②求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 ③从甲地到乙地共10000条路线，求某人正好选中最短路线的概率 ④从袋子中形状、大小完全相同，只有颜色不同的3个红球和2个白球中任取2个小球， 计算所取的两个小球都是白球的概率 6.甲、乙两名乒乓球选手进行比赛，根据赛前两位选手胜负的统计数据，得在一局比赛中 甲获胜的概率是号乙获胜的概率为且各局比赛之间互不影响，若采用“五局三胜制，则 甲最终获胜的概率为· 7.2025年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以3：1战胜日本队组合吉村 真晴、大藤沙月，连续第三次夺得世界乒乓球混双冠军假设2026年的一次乒乓球比赛中， 中国队组合再次遇到日本队组合，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局 比赛中国队组合获胜的概率为号，每局比赛互不影响，则中国队组合再次以3：1获胜的概率为 8.某校开设了A,B,C,D,E这5门课程，甲、乙都任意选修了其中1门课程，则甲、 乙都没有选修课程A,且他们恰有1人选修课程B的概率是 9.盒子中有散落的黑白棋子若干粒，己知从中取出2粒都是黑寸的概率是六从中取出2 粒都是白子的概率是 20 ,则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为 10.某食品厂制作了同样数量的4种不同的精美卡片，在该厂生产的每袋食品中都随机装入 1张卡片，规定：如果收集齐了4种不同的卡片，便可获得奖品.小明一次性购买该种食品 6袋，那么小明获奖的概率是 11.春节前夕，某街道办事处为某小区老年人送慰问品，需招募10名志愿者，分成两组， 每组5人，共有15人报了名.其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组 的概率为 I2.对如图的7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有 相邻红格的概率为 13.某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为 号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准 点到站”为事件A“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B, 则P(AUB)= 14.已知正整数n,欧拉函数p(n)表示1、2、3、、n中与n互素的整数的个数，例如，p(2)=1, p(4)=2.若小明从3、5、7、11、13中随机取一个数k,小红从6、8、9、10、30中随机取 一个数l,则p()-p()=2的概率为 15.用黑白两种颜色（都要使用)给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一 种涂色方案可以通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。 (例如：a前面涂黑色，另外五个面涂白色；b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案) 则涂色方案一共有 种。 16.现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图)的各面写上09这10个数字 （相对的两个面上的数字相同)，这样就得到一个产生09的随机数的骰子.依次投掷这个骰 子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一 次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为_一一一 6 17.一只蚂蚁从正四面体A-BCD的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若 它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走 过)的概率为 18.、从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为 19.在空间直角坐标系0xyz中，0xy平面、0yz平面、0xz平面把空间分成了八个部分，这 八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦 限“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原 点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中 的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现 了数学名词翻译的“信达雅”若点4，的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合{-1，一2,4，从A 中任取2个点，则这2个点在同一个卦限的概率为 20.已知袋中有9+n(n≥2，n∈N)个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球n个，从中任取 两个球，取出的两球是一黄一红的概率为P,则P,的最大值为（用最简分数表示)· 二、解答题 21.如图，已知正方体ABCD-AB,CD,的棱长为1，Q为B,G的中点，点P在棱AA1上， AP:AA1=1:3. D B (1)求点D到平面BPQ的距离； (2)求平面ABCD与平面BPQ的夹角的余弦值， 可 2.已知椭圆：兰+若=1a>b>0)的离心常e=,点2，在B上，直线y=x+ 2 m(m≠0)与椭圆E交于M,N两点， (I)求椭圆E的标准方程： 2)当k为何值时，10M2+10N12为定值， 23.若函数y=f(x)(x∈D)同时满足下列两个条件，则称y=f(x)在D上具有性质M. ①y=f(x)在D上的导数f'(x)存在： ②=f'(x)在D.上的导数f"(x)存在，且f(x)>0(其中f(x)=「f(x))恒成立. (1)判断函数y=lg在区间(0，+∞)上是否具有性质M？并说明理由. (2)设a、b均为实常数，若奇函数g(x)=2x3+ax2+b在x=1处取得极值，是否存在实数c, 使得y=g(x)在区间[c+o)上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理 由. 何)没keZ且k>0,对于任意的xe(0,+四，不等式4mtD>点成立，求k的最大值。 三、附加题 24.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖膈”的几何体，它指的是由四个直角 三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖需” 的个数是 25.己知定义：函数f(x)的导函数为f'(x),我们称函数f(x)的导函数f"(x)为函数f(x)的二 阶导函数，如果一个连续函数f(x)在区间I上的二阶导函数f"(x)≥0，则称f(x)为1上的凹 函数；二阶导函数f"(x)≤0，则称f(x)为I上的凸函数.若f(x)是区间I上的凹函数，则对任 意的，，…xn∈1，有不等式f(色2++s+++/恒成立（当且仅当 =2=…=n时等号成立)，若f(x)是区间1上的凸函数，则对任意的x1,x2,…xn∈1， 有不等式f（色+t)≥+2++/恒成立（当且仅当x1=x2==xn时等号成 立).已知函数f因=本x∈(0，引 ()试判断f(x)在(0，为凹函数还是凸函数？ 2设，，，X0,n≥2，且x1+2++xn=1,求W=+平++平2的 最大值； (3)已知a∈N,且当x∈(0，，都有sinx+sin(ax)-3(1+x)f(x)cosx>0恒成立，求实 数a的所有可能取值